Ähnlich zur Einführung der irrationalen Zahlen, als man Gleichungen der Form. x 2 = 2. lösen wollte, stieß man erneut auf Probleme mit der Gleichung:

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1 7 Komplexe Zahlen 7.1 Motivation Ähnlich ur Einführung der irrationalen Zahlen, als man Gleichungen der Form x 2 = 2 lösen wollte, stieß man erneut auf Probleme mit der Gleichung: x 2 = 1. Sie hat in den rellen Zahlen keine Lösung. Man erkannte damit, dass R immer noch nicht ausreichte und erweiterte ihn u den komplexen Zahlen. Das ist analog u der Hinunahme der Null, der negativen Zahlen, der Brüche und der Wureln. 7.2 Definition der komplexen Zahlen Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C beeichnet. Die komplexen Zahlen C sind die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen (2-Tupel): C = { ( 1, 2 ) 1, 2 R } R R. (7.1) Dau definieren wir die Operationen +, auf ( 1, 2 ),(w 1,w 2 ) C. + : ( 1, 2 )+(w 1,w 2 ) = ( 1 +w 1, 2 +w 2 ) (7.2) : ( 1, 2 ) (w 1,w 2 ) = ( 1 w 1 2 w 2, 1 w w 1 ) (7.3) Da +, über die entsprechenden Operationen in R definiert sind, gelten Assoiativgeset Distributivgeset Kommutativgeset Zwei komplexe Zahlen sind gleich, genau dann, wenn ihre Komponenten gleich sind: ( 1, 2 ) = (w 1,w 2 ) 1 = w 1 und 2 = w 2. (7.4) 1

2 Die komplexen Zahlen sind nicht geordnet. Die Relationen >, < machen für,w C keinen Sinn. Die Tupel-Darstellung ist allerdings etwas unhandlich. Können wir sie vereinfachen? Wenn wir uns die Menge C betrachten, fallen Ähnlichkeiten um R 2 auf. C ist aber etwas anderes als R 2. R 2 ist ein Vektorraum über den reellen Zahlen, C ist ein Körper. Die definierten Operationen sind verschieden. Betrachten wir die Menge C R = { ( 1,0) 1 R } so ist diese isomorph u R, d.h., es existiert eine bijektive, invertierbare Abbildung f wischen beiden Mengen, die wir direkt angeben können. f :C R R, ( 1,0) 1 f 1 :R C R, 1 ( 1,0). Die Menge C R entspricht der reellen Achse, wir können daher auch sagen ( 1,0) entspricht 1. Wir können vereinfacht schreiben: 1 = ( 1,0) und Das heißt auch: 1 (w 1,w 2 ) := ( 1,0) (w 1,w 2 ) = ( 1 w 1, 1 w 2 ) 1 = (1,0). Desweiteren definieren wir: i := (0,1). Mit diesen Konventionen und den Rechenregeln in C erhalten wir die gesuchte vereinfachte Schreibweise. Führen wir dau alle Einelschritte der Reihe nach durch um u eigen, wie man von der Form ( 1, 2 ) auf die vereinfachte Form 1 +i 2 kommt. ( 1, 2 ) = ( 1,0)+(0, 2 ) Additionsregel = ( 1,0)(1,0)+(0,1)( 2,0) Multiplikationsregel = 1 (1,0)+(0,1) 2 Identifiiere ( j,0) mit j = 1 +(0,1) 2 Identifiiere (1,0) mit 1 = 1 +i 2 Identifiiere (0,1) mit i. (7.5) wir erhalten damit die wesentlich handlichere Darstellung: ( 1, 2 ) = 1 +i 2 (7.6) in dieser Darstellung können wir rechnen wie gewohnt, müssen aber beachten dass für i = (0,1) gilt: i 2 = i i = (0,1)(0,1) = ( 1,0) = 1, (7.7) 2

3 gemäß der Multiplikation in C. Wir haben also ein Objekt kreiert, das die Gleichung x 2 = 1 löst. Im Folgenden werden wir von der Darstellung = 1 +i 2 ausgehen. Weiterhin gelten folgende Beeichnungen: Realteil von : Imaginärteil von : Re = Re( 1 +i 2 ) = 1 R (7.8) Im = Im( 1 +i 2 ) = 2 R (7.9) siehe dau auch Abbildung 7.1. Geometrische Betrachtung: Man kann sich die komplexen Zahlen als eine Ebene, wie den R 2 vorstellen. Eine Achse repräsentiert den Realteil, die andere den Imagninärteil. Dies wird in Abbildung 7.1 geeigt. Im = 2 Im Re Re = 1 Figure 7.1: Darstellung einer komplexen Zahl = 1 +i 2 in der komplexen Ebene. Seien im Folgenden,w C mit = 1 +i 2 und w = w 1 +iw 2, mit i,w i R. Wir schreiben die oben definierten Operationen nun in der angenehmeren Schreibweise. Beachtet man, dass i 2 = 1 gilt, kann man in C gan normal rechnen wie in R. 3

4 7.3 Operationen auf komplexen Zahlen Addition und Subtraktion Wir schreiben die Addition in unserer neuen Schreibweise als: +w = 1 +i 2 +w 1 +iw 2 = 1 +w 1 +i( 2 +w 2 ). (7.10) Addition der Realteile und Addition der Imaginärteile. Wir schreiben die Subtraktion als die Addition von w, dem Inversen beüglich +: w = +( w) = 1 +i 2 (w 1 +iw 2 ) = 1 w 1 +i( 2 w 2 ) (7.11) Subtraktion der Realteile und Subtraktion der Imaginärteile. Man kann hier eine anschauliche Parallele ur Vektoraddition im R 2 iehen, wie in Abbildung 7.2 dargestellt. Im +w w Figure 7.2: Darstellung der Addition weier komplexer Zahlen, w. Man beachte die Analogie ur Addition weier Vektoren. Re Komplexe Konjugation Die komplexe Konjugation ist eine Abbildung : C C C = 1 +i 2 1 i 2 = (7.12) Geometrisch kann man dies als Spiegelung an der reellen Achse sehen, wie in Abbildung 7.3 geeigt. Die komplexe Konjugation hat folgende Eigenschaften: 1. ( ) = 2. ( +w) = +w 3. (w) = w Hinweis: Ebenso gebräuchlich ist die Notation für. 4

5 Im = 2 Im Re Re = 1 Im = 2 Figure 7.3: Darstellung der komplexen Konjugation. Dabei wird = 1 +i 2 abgebildet auf = 1 i 2. Geometrisch entspricht dieser einer Spiegelung an der reellen Achse Betrag Der Absolutbetrag einer komplexen Zahl ist definiert als: R = 1 +i 2 = = (7.13) Auch hier die Analogie um Betrag eines Vektors im R Multiplikation und Division Multiplikation in unserer neuen Schreibweise: w = ( 1 +i 2 ) (w 1 +iw 2 ) = 1 w (iw 2 )+(i 2 )w 1 +(i 2 )(iw 2 ) = ( 1 w 1 2 w 2 )+i( 1 w w 1 ). (7.14) Division durch w 0 entspricht der Multiplikation mit 1, dem Inversen beüglich : w w = 1 w = 1 +i 2. (7.15) w 1 +iw 2 5

6 Um diesen Bruch in Real und Imaginärteil aufuteilen, erweitert man mit dem komplex konjugierten Zähler. w = w w w = 1 +i 2 w1 iw 2 =... = 1w 1 2 w 2 +i 1w w 1 w 1 +iw 2 w 1 iw 2 w1 2 +w2 2 w1 2 +w2 2 (7.16) Dabei ist ww = w 2 1 +w2 2 = w 2. Geometrisch ist die Multiplikation von mit w eine Drehstreckung, Drehung und Streckung, wie in Abbildung 7.4 geeigt. Es besteht jedoch ein wichtiger Unterschied um R 2 : Im w w Figure 7.4: Darstellung der Multiplikation weier komplexer Zahlen, w. Die geometrische Analogie ist die Verknüpfung einer Drehung mit einer Streckung. Dort ist keine Multiplikation Vektor Vektor definiert die wieder einen Vektor ergibt. Genausowenig gibt es die Division weier Vektoren Funktionen, Integrale, Ableitungen Auf C ist es genau wie im Reelen möglich Funktionen u definieren, die in diesem Fall mit komplexen Argumenten arbeiten. So sind um Beispiel Sinus und Cosinus auch für komplexe Zahlen definiert, ebenso Wureln, Exponentialfunktionen, Logarithmen und Polynome. Ebenso machen die Begriffe Integration und der Ableitung auch im Komplexen Sinn. Vieles ist wie in den Reellen Zahlen, wobei komplexe Funktionen ahlreiche neue Eigenschaften haben können. Dies ist Gegenstand der Funktionentheorie. Faustregel: Was im Reellen definiert ist, ist auch im Komplexen definiert. 7.4 Polardarstellung komplexer Zahlen Analog um R 2 ist auch hier manchmal sinnvoll eine andere Darstellung komplexer Zahlen u verwenden. Es gibt für die den komplexen Zahlen eine Analogie u den ebenen Polarkoordinaten, die Polardarstellung. Verschaffen wir uns die Polardarstellung Re 6

7 von = 1 +i 2. Wie man anhand Abbildung 7.5 erkennen kann, gilt: Im Im sinφ φ Re Re cosφ Figure 7.5: Darstellung einer komplexen Zahl in Polardarstellung = e iφ. = 1 +i 2 = (cosφ+isinφ), (7.17) mit = = (7.18) ( ) 2 φ = arctan. (7.19) 1 Man nennt den Betrag von undφdas Argument von. Die Polardarstellung sieht so aus als hätten wir nicht viel gewonnen, doch der Schein trügt. Es gilt nämlich weiterhin: e iφ = cosφ+isinφ Euler Formel. Um dies u eigen, betrachten wir die Taylor-Reihe von e x mit x = iφ. e iφ = (iφ) n n=0 Zerlegen in grades n (n = 2k) und ungerades n (n = 2k +1) n! = (iφ)n n! n gerade + (iφ)n n! n ungerade 7

8 Umschreiben auf Index k = k=0 (iφ) 2k (2k)! + (iφ) 2k+1 (2k+1)! k=0 i 2k = i 2k = (i 2 ) k = ( 1) k und i 2k+1 = ii 2k = i( 1) k = k=0 ( 1) k φ2k = cosφ+isinφ Es gilt also für die Polardarstellung: (2k)! +i ( 1) k φ 2k+1 (2k +1)! k=0 = 1 +i 2 = e iφ. (7.20) Die Polardarstellung eignet sich sehr gut für die Multiplikation komplexer Zahlen, während für die Addition die Darstellung mit Real- und Imaginärteil vorteilhafter ist. Betrachten wir die Multiplikation weier komplexer Zahlen,w in Polardarstellung: w = e iφ w e iφw = w e i(φ+φw). (7.21) Man multipliiert die Beträge und addiert die Argumente. Die Addition der Argumente bewirkt eine Drehung, die Multiplikation der Beträge bewirkt eine Streckung. Siehe dau auch Abbildung 7.6. Vorsicht jedoch: Die Polardarstellung ist jedoch nicht eindeutig, was man an der Im w φ +φ w w w φ w φ w Re Figure 7.6: Darstellung der Multiplikation weier komplexer Zahlen,w in der Polardarstellung. Die geometrische Analogie ist die Verknüpfung einer Drehung mit einer Streckung. 8

9 Euler Formel sieht, denn es gilt und damit cos(x) = cos(x+2nπ) n Z analog für sin (7.22) e iφ = e iφ+i2nπ. (7.23) Dies resultiert in verschiedenen Darstellungen für das gleiche, liefert aber keine neue Zahl, genau so wie 1 = 2. Anschaulich gesehen bedeutet es, dass ich einen vollen 2 4 Kreis laufe und wieder auf dem selben Punkt lande. Daher kann man für praktische Rechnungen den Faktor i2nπ weglassen. Die Nichteindeutigkeit der Darstellung hat jedoch ihre Folgen, wie wir.b. beim Wurel iehen sehen werden. Beispiele: 1. Sei = 1. Damit ist = 1 und φ = arctan(0) = 0. Damit = e i 0+i2nπ = e i2nπ. Für n = 1 erhält man 1 = e i2π (7.24) 2. Sei = i. Damit ist = 1 und φ = arctan( ) = π. Damit = ei π 2 +i2nπ Sei = 1+i. Damit ist = 2 und φ = arctan(1) = π 4. Damit = 2e iπ 4 +i2nπ Komplexe Wurel Als k-te Wurel einer komplexen Zahl beeichnen wir jede komplexe Zahl w n für die gilt: w k n =. Zur Berechnung der Wurel eignet sich am besten die Polardarstellung, wobei man beachten muss, dass diese nicht eindeutig ist. Es gilt dann: w k n = eiφ+i2πn mit n Z. Zieht man nun auf beiden Seiten die k-te Wurel, so erhält man alle verschiedenen k-ten Wureln von. w n = 1 k e i φ k +i2πn k mit n = 0,...,k 1. (7.25) Die Einschränkung für n kommt daher, dass sich für n k keine neuen Ergebnisse mehr ergeben, sondern nur andere Darstellungen der vorherigen. 1 Alternative Schreibweise: ( w n = 1 k cos φ+2πn +isin φ+2πn ). (7.26) k k 1 Unvollständige Induktion: n = k :e i2πk k = 1 n = k +1 :e i2π(k+1) k = e i2πk k e i 2π k = e i 2π k = n = 1. 9

10 Beispiel: Dritte Wurel von 1. Damit gilt = 1, φ = 0 und n = 0, 1, 2. Damit ergeben sich die folgenden dritten Wureln: w n = e i2πn 3 w 0 = e 0 = 1 w 1 = e i2π 3 = cos 2π 3 isin 2π 3 = 1 2 +i 3 2 w 2 = e i4π 3 = cos 4π 3 isin 4π 3 = 1 2 i Fundamentalsat der Algebra Der Fundamentalsat der Algebra besagt: Jedes nicht-konstante komplexe Polynom p() vom Grad n hat in C n Nullstellen c j, wenn man deren Vielfachheit mitählt. Es lässt sich demufolge in Linearfaktoren erlegen: p() = n a n n = a n ( c 1 ) m 1 ( c 2 ) m 2...( c r ) mr. (7.27) Dabei sind die Nullstellen c j paarweise verschieden und m j beeichnet die Vielfachheit der Nullstelle c j. Die c j sind aus C, die m j aus R. Weiterhin gilt m 1 +m m r = n, dies sagt nichts anderes als, dass die Vielfachheiten der Nullstellen den Rang des Polynoms ergeben. Betrachten wir wei Beispiele: 1. Sei p() = Dieses Polynom hat die beiden Nullstellen i, i. Es kann demnach in Linearfaktoren erlegt werden: Hier hat jede Nullstelle Vielfachheit 1. p() = 2 +1 = ( i)( +i) 2. Sei p() = 3 i i. Dieses Polynom hat die beiden Nullstellen i, i. Es kann demnach in Linearfaktoren erlegt werden: p() = 3 i 2 + +i = ( i) 2 ( +i) Hier hat die Nullstelle i die Vielfachheit 2 und i hat Vielfachheit 1. Sind die Koeffiienten a n alle in R so gilt darüber hinaus: Ist c j eine Nullstelle von p(), so ist c j eine weitere Nullstelle. Betrachtet man die Eigenschaften der komplexen Konjugation erkennt man (p()) = p( ). Die Bedeutung des Fundamentalsates kommt um Beispiel um Tragen bei der Berechnung von Eigenwerten reeller n n Matrien. 10

11 7.6 Anwendungen Bahnkurven und Bewegungsgleichungen Manche Probleme im Reellen lassen sich ins Komplexe übertragen und dort (hoffentlich) leichter lösen. Betrachten wir als Beispiel die Bewegung eines Punktteilchens auf einer Kreisbahn mit Radius R und Winkelgeschwindigkeit ω um den Ursprung. Dabei sind R,ω R. Diese Bahn kann man in der komplexen Ebene wie folgt darstellen: (t) = Re iωt. Dabei ist (t) C und t R beeichnet die Zeit. Die Geschwindigkeit des Teilchens ist wie immer ż = d dt : ż = iωre iωt. Entsprechend berechnet man die Beschleunigung als. = ω 2 Re iωt. Diese Ergebnisse kann man in kartesische Koordinaten überseten, wenn das Problem es verlangt. Die Vorgehensweise ist dabei analog u ( ) C = 1 +i 2 1 = x R 2. 2 Man benutt hier die Euler-Formel und sortiert nach Real- und Imaginärteil. Dies ergibt für den Ort ( ) cosωt (t) = R(cosωt+isinωt) x = R. sinωt Dies kann man in ebenen Polarkoordinaten des R 2 ausdrücken als (t) Rê. Für die Geschwindigkeit ergibt sich: ż = iωr(cosωt+isinωt) = ωr( sinωt+icosωt) x = ωr ( ) sinωt cosωt. Dies kann man in ebenen Polarkoordinaten des R 2 ausdrücken als ż(t) ωrê φ. 11

12 Für die Beschleunigung: ( ) = ω 2 R(cosωt+isinωt) x = ω 2 cosωt R sinωt. Dies kann man in ebenen Polarkoordinaten des R 2 ausdrücken als (t) ω 2 Rê. Die Bahnkurve für die Spiralbahn aus Aufgabe 3 auf Blatt 4 hat im Komplexen diese Darstellung: ( (t) = L+ L t ) { exp i 2π } T T t Wellen Betrachte die eitlich variierende Größe E = A cosωt E,A,w,t R, E,A,w, konst. E nimmt dabei alle Werte in [ A,A] an. Oder mit einer Phasenverschiebung φ: Die kann man ins Komplexe überseten: E = A cos(ωt+ φ). E = A cos(ωt+ φ) = ARe(e i(ωt+ φ) ) = Re(Ae i(ωt+ φ) ) = Re(Ae iωt e i φ ) = Re(Ae i φ e iωt ) = Re(Ze iωt ) mit Z C, was manche Rechnungen vereinfachen kann. Man rechnet mit der komplexen ZahlZe iωt und am Ende nimmt man den Realteil Re(Ze iωt ), dies ist oft bequemer als die Darstellung mit Kosinus und Sinus Optik In der Optik definiert man den komplexen Brechungsindex ˆn als die Wurel der komplexen dielektrischen Funktion ε: ˆn = ε = n+ik, dabei sind n,k reelle Zahlen, Imaginär- und Realteil der Wurel. Das reelle n nennt man den Brechungsindex und k den Absorptionskoeffiienten. 12

13 7.6.4 Weiteres Weitere Anwendungen/Vorkommen komplexer Zahlen in der Physik: Differentialgleichungen/Schwingungen (später in der Vorlesung) Fouriertransformation (später in der Vorlesung) Quantenmechanik (Vorlesung Quantenmechanik) 13