$Id: funktion.tex,v /11/18 12:14:12 hk Exp $ $Id: komplex.tex,v /11/18 13:13:25 hk Exp hk $

Transkript

1 $Id: funktion.te,v.5 03//8 :4: hk Ep $ $Id: komple.te,v.0 03//8 3:3:5 hk Ep hk $ Funktionen In der letzten Sitzung haben wir den allgemeinen Funktionsbegriff eingeführt und eine ganze Reihe damit zusammenhängender Begriffe definiert. Insbesondere hatten wir ganz am Ende die Umkehrfunktionen bijektiver Funktionen besprochen, und heute wollen wir uns ein paar einfache Beispiele hierzu anschauen, bei denen wir keine wirklichen Rechnungen durchführen müssen. Ist f : M N eine bijektive Funktion so ordnet die Umkehrfunktion f : N M jedem N das eindeutige = f () M mit f() = zu. Streng genommen ist die Schreibweise f () nicht günstig da wir so schon die Urbildmenge f ({}) = {} bezeichnet haben, diese kleine Mehrdeutigkeit stellt sich im praktischen Gebrauch aber als unproblematisch heraus. Kommen wir zu unseren Beispielen.. Wie schon früher in einem Beispiel bemerkt ist die Funktion f : R 0 R 0 ; bijektiv. Zum Bestimmen der Umkehrfunktion muss die Gleichung = f() = gelöst werden, und dies geschieht durch =. Die Umkehrfunktion des Quadrierens auf R 0 ist also die Wurzelfunktion f() = f () =. Als nächtes wollen wir den Sinus betrachten, nur ist dieser leider weder injektiv noch surjektiv. Dabei können wir die Surjektivität leicht erreichen indem wir die 7-

2 Menge N = [, ] = { R } als Zielmenge verwenden. Um den Sinus auch injektiv zu machen schauen wir uns nur Argumente zwischen π/ und π/ an. Wie schon früher einmal bemerkt, geben wir die Argumente der trigonometrischen Funktionen immer im Bogenmaß an. Dann ist die Funktion [ sin : π, π ] [, ]; sin bijektiv, und ihre Umkehrfunktion arcsin : [, ] wird als der Arcus Sinus bezeichnet. [ π, π ] f() = sin.5 f () = arcsin Beachte das die in der Schule verbreitete Schreibweise sin für den Arcus Sinus nicht benutzt wird, schon da sie eigentlich unsinnig ist, der Sinus selbst ist ja nicht umkehrbar sondern nur seine Einschränkung auf das Intervall [ π/, π/]. Entsprechendes trifft für die Schreibweisen der anderen trigonometrischen Umkehrfunktionen zu. 3. Beim Cosinus sind die Verhältnisse weitgehend analog, nur müssen wir eine andere Menge als Definitionsbereich verwenden, zwischen π/ und π/ ist der Cosinus nicht injektiv. Die übliche Wahl ist die Menge der Winkel zwischen 0 und π, d.h. wir betrachten die bijektive Funktion und ihre Umkehrfunktion wird als der Arcus Cosinus bezeichnet. cos : [0, π] [, ]; cos arccos : [, ] [0, π] 7-

3 f() = cos 3 f () = arccos 4. Als letztes nehmen wir den Tangens. Dieser als Abbildung nach R surjektiv, und betrachten wir ihn nur zwischen π/ und π/ so ist er auch injektiv. Wir nehmen also die bijektive Funktion ( tan : π, π ) R; tan und ihre Umkehrfunktion arctan : R ( π, π ) heißt der Arcus Tangens f() = tan.5 f () = arctan Bislang haben wir nur Begriffe definiert und Beispiele zu diesen besprochen. Zum Abschluß dieses Kapitels wollen wir auch noch einige wichtige Aussagen über all diese Begriffe formulieren und beweisen. Wir beginnen dabei mit einem Lemma über die Hintereinanderausführung von Funktionen. Lemma. (Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung) Seien f : A B, g : B C und h : C D drei Funktionen. Dann gilt (h g) f = h (g f). 7-3

4 Beweis: Beachte das zwei Funktionen offenbar genau dann gleich sind, wenn sie denselben Definitionsbereich haben und jedes Element dieses Definitionsbereichs auf denselben Wert abbilden. Wir haben und für jedes A gilt dom((h g) f) = A = dom(g f) = dom(h (g f)) (h g) f() = h g(f()) = h(g(f())) = h(g f()) = h (g f)(). Aus dem Assoziativgesetz folgt, dass man auch beliebig lange Ketten von Hintereinanderausführungen beliebig umklammern kann ohne die Gesamtfunktion zu ändern, d.h. man kann die Klammern auch einfach weglassen, da sie sowieso keinen Einfluss auf das Ergebnis haben. Wie bei der Multiplikation wird gelegentlich auch das Zeichen für die Komposition weggelassen, man schreibt also verkürzt gf anstelle des vollständigen g f. Ein Kommutativgesetz für die Komposition von Abbildungen gilt aber nicht, zum einen muss f g nicht einmal definiert sein wenn g f dies ist und selbst wenn dies der Fall ist kann f g g f sein. Nehmen wir beispielsweise die beiden Funktionen f : R R; und g : R R; + so ist für jedes R zum einen g(f()) = + und zum anderen f(g()) = (+) = + +, also haben wir f g g f. Wir kommen nun zu zwei kleinen Beobachtungen über Umkehrfunktionen. Zunächst beachte das die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion f : M N wieder bijektiv ist mit (f ) = {(, ) (, ) f } = {(, ) (, ) f} = f. Die definierende Eigenschaft der Umkehrfunktion einer Funktion f : M N war die Gleichung f(f ()) = für alle N und diese kann man auch als f f = id N lesen, wobei id N die sogenannte identische Funktion oder Abbildung auf N ist, d.h. id N : N N;. Die identische Funktion auf einer Menge M, oder kurz die Identität auf M, ist also die Funktion, die mit den Elementen der Menge überhaupt nichts macht. Diese Funktion taucht überraschend häufig auf, und erhält daher auch ihr eigenes Smbol. Ist jetzt wieder M, so ist f (f()) M dasjenige Element u von M mit f(u) = f(), also u = und dies bedeutet f (f()) =. Somit haben wir auch f f = id M. 7-4

5 Umgekehrt stellt sich nun heraus das die Umkehrfunktion durch die beiden Eigenschaften f f = id N und f f = id M bereits festgelegt ist. Um den Nutzen dieser Aussage zu rechtfertigen, machen wir uns erst einmal klar was zu tun ist, um die Umkehrfunktion von f : M N zu berechnen. Im ersten Schritt muss man sich überlegen, dass es überhaupt eine Umkehrfunktion gibt, d.h. man muss zeigen, dass die Funktion f bijektiv, also sowohl injektiv als auch surjektiv, ist. Ist dies erledigt, so gibt es überhaupt eine Umkehrfunktion und diese können wir durch Auflösen der Gleichung f() = nach ermitteln. Hier gibt es oft eine gewisse Überlappung, die Rechnungen zum Auflösen von = f() sind häufig genau dieselben die schon zum Nachweis von Surjektiv und Injektiv verwendet wurden. Das folgende Lemma stellt jetzt ein alternatives Vorgehen bereit. Angenommen wir haben schon einen Kandidaten h : N M für die Umkehrfunktion. Wie man auf solch einen Kandidaten kommt, hängt an der speziellen Situation, man kann beispielsweise f() = zumindest teilweise lösen oder oft kann man auch einfach geschickt raten. Haben wir den Kandidaten h so reicht es f(h()) = für alle N und h(f()) = für alle M nachzurechnen. Ist dies getan, so folgt sowohl das f bijektiv ist als auch das h die Umkehrfunktion von f ist. Lemma. (Kennzeichnung der Umkehrfunktion) Seien M, N zwei Mengen und f : M N eine Funktion. Dann ist f genau dann bijektiv, wenn es eine Funktion g : N M mit g f = id M und f g = id N gibt. In diesem Fall ist g = f. Beweis: = Dass f f = id N und f f = id M gelten, haben wir bereits oben eingesehen. = Sei g : N M eine Funktion mit g f = id M und f g = id N. Wir zeigen zunächst das f injektiv ist. Seien also, M mit f( ) = f( ) gegeben. Dann folgt = id M ( ) = (g f)( ) = g(f( )) = g(f( )) = (g f)( ) = id M ( ) =. Damit ist f zumindest injektiv. Sei jetzt N. Dann haben wir das Element g() M mit f(g()) = (f g)() = id N () =. Dies zeigt zum einen, dass f surjektiv, und damit sogar bijektiv, ist, und zum anderen das f () = g() für jedes N gilt, es ist also g = f. Als ein kleines Beispiel zur Anwendung dieses Lemmas wollen wir uns noch einmal die Funktion f : R\{ } R\{}; + der letzten Sitzung anschauen. Wir hatten bereits die Gleichung = f() als = ( + )/( ) aufgelöst, d.h. die Umkehrfunktion g = f von f ist g() = ( + )/( ). Wir wollen dies noch einmal, unabhängig von unserer früheren Rechnung, beweisen. 7-5

6 Hierzu können wir die Funktion g von vornherein als g : R\{} R\{ }; + definieren, was wegen + ( ) für alle R sinnvoll ist. Dann rechnen wir die beiden Hintereinanderausführungen g f und f g aus. Für jedes R\{ } ist g(f()) = + f() f() = = ( ) = = und für jedes R\{} haben wir f(g()) = g() + g() + = + ( ) = = =, + d.h. es gelten g f = id R\{ } und f g = id R\{}. Nach dem eben bewiesenen Lemma ist f damit bijektiv mit der Umkehrabbildung f = g. Auf diese Weise kann man natürlich nur vorgehen wenn man bereits einen Kandidaten für die Umkehrfunktion von f besitzt. Es gibt tatsächlich erstaunlich häufig Situationen in denen eine solche vermutete Umkehrfunktion offensichtlich ist, und selbst in Fällen in denen man rechnen muss um g zu finden, kann es dann einfacher sein den Beweis der Aussage f = g unter Verwendung des obigen Lemmas zu führen. In den abschließenden beiden Lemmatas dieses Kapitels untersuchen wir jetzt wie sich Injektivität und Surjektivität mit der Komposition von Funktionen vertragen. Lemma.3 (Grundeigenschaften von Injektivität und Surjektivität) Seien f : A B und g : B C zwei Funktionen. (a) Sind f und g injektiv, so ist auch g f injektiv. (b) Ist g f injektiv, so ist auch f injektiv. (c) Sind f und g surjektiv, so ist auch g f surjektiv. (d) Ist g f surjektiv, so ist auch g surjektiv. Beweis: (a) Seien, A mit. Da f injektiv ist, ist dann f() f() und da auch g injektiv ist, haben wir (g f)() = g(f()) g(f()) = (g f)(). Somit ist auch g f injektiv. (b) Seien, A mit. Dann g(f()) = (g f)() (g f)() = g(f()) und insbesondere muss f() f() sein. Damit ist f injektiv. (c) Sei z C. Da g surjektiv ist, eistiert ein B mit z = g(). Da weiter auch f surjektiv ist, eistiert auch ein A mit = f() und wir haben (g f)() = g(f()) = g() = z. Damit ist g f surjektiv. 7-6

7 (d) Sei z C. Da g f surjektiv ist, eistiert ein A mit (g f)() = z. Damit haben wir das Element f() B mit g(f()) = (g f)() = z. Somit ist auch g surjektiv. In (b) folgt im Allgemeinen tatsächlich nur die Injektivität von f aber nicht die von g und in (d) ergibt sich entsprechend auch nur die Surjektivität von g aber nicht von f. Zum Abschluß beweisen wir noch ein Lemma über die Umkehrfunktionen von Kompositionen. Lemma.4 (Hintereinanderausführungen bijektiver Funktionen) Seien f : A B und g : B C zwei bijektive Funktionen. Dann ist auch g f : A C bijektiv und es gilt (g f) = f g. Beweis: Wir betrachten die Abbildung h := f g : C A. Mit dem Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung Lemma ergibt sich (g f) h = g (f h) = g (f (f g )) = g ((f f ) g ) = g (id B g ) = g g = id C, und analog folgt auch h (g f) = id A. Nach Lemma ist g f bijektiv mit (g f) = h = f g. Das g f bijektiv ist, folgt natürlich auch aus Lemma 3, wir wollten hier aber einen davon unabhängigen Beweis vorführen. 3 Die kompleen Zahlen Die kompleen Zahlen wurden ursprünglich zur Lösung der Gleichung dritten Grades eingeführt. Man kann die allgemeine Gleichung dritten Grades 3 +a +b+c = 0 zunächt analog zur quadratischen Ergänzung auf die Normalform 3 + p + q = 0 bringen, und für diese Gleichung gibt es eine Lösungsformel, die sogenannte Formel von Cardano. Die volle Cardano-Formel beschreibt alle drei Lösungen der Gleichung 3 + p + q = 0, aber für unsere Zwecke reicht es die erste, und auch einfachste, dieser drei Lösungen hinzuschreiben. Diese Lösung ist gegeben als 3 D = 6 3 p mit D := 08q + p 3 + 8q. D Wir wollen als ein konkretes Beispiel einmal beginnen die Gleichung = 0 7-7

8 durchrechnen. Hier ist p = 3/50 und q = /50. Damit wird p 3 + 8q = = und wir sehen das es überhaupt keine reelle Wurzel p 3 + 8q = 8/6500 gibt. Die kompleen Zahlen entstanden jetzt, indem dieses Problem einfach ignoriert wird, d.h. wir rechnen einfach weiter und erhalten p3 + 8q = 34 5 = 3 9 = und schließlich D = 08q + p 3 + 8q = = 5 5 ( + ). Um die Cardano-Formel anzuwenden, muss jetzt als nächster Schritt die dritte Wurzel 3 D berechnet werden. Das werden wir auch tun, aber erst später wenn wir eine Methode zum Berechnen solcher Wurzeln haben. Das Ende dieses Beispiels vertagen wir daher auf etwas später in diesem Kapitel, was wir bisher gesehen haben ist, dass die Cardano Formel auf Wurzeln negativer Zahlen führt und man mit diesen einfach weiterrechnet. Wir wollen also so tun als würde es Wurzeln aus negativen Zahlen geben, und die kompleen Zahlen sind dann das was herauskommt wenn wir zu den reellen Zahlen die Wurzeln negativer Zahlen hinzunehmen und normal rechnen. Das ist natürlich keine mathematische Definition, zu dieser kommen wir erst etwas später. Wir können die Situation gleich ein wenig vereinfachen. Wir brauchen gar keine Wurzeln aus beliebigen negativen Zahlen, eine einzige Wurzel i := reicht bereits aus und dann ist für jedes positive R auch = = i. Zum Beispiel ist damit D = 54 5 ( + ) = 54 ( + i). 5 Die Schreibweise i = wird in der Mathematik durchgängig verwendet, in einigen anderen Gebieten finden Sie gelegentlich auch andere Schreibweisen, etwa j statt i in der Elektrotechnik. Was brauchen wir neben i jetzt an weiteren neuen Zahlen? Wenn wir normal rechnen wollen müssen wir insbesondere die Potenzen von i bilden können, und diese ergeben sich als i =, i 3 = i i = i, i 4 = (i ) = ( ) =, i 5 = i 4 i = i,... und so weiter. Wir brauchen also nur erste Potenzen von i und betrachten daher Zahlen der Form a + ib mit a, b R. Derartige Zahlen addieren und multiplizieren sich gemäß der Formeln (a + ib ) + (a + ib ) = a + a + i(b + b ), (a + ib ) (a + ib ) = a a + i(a b + a b ) + i b b = a a b b + i(a b + a b ). 7-8

9 Insbesondere haben Summen und Produkte von Zahlen der Form a + ib (a, b R) stets wieder diese Form. Dies läßt die Hoffnung zu, dass es für die kompleen Zahlen ausreichen könnte überhaupt nur Zahlen z = a + ib mit a, b R zuzulassen. Das einzige Problem ist, dass es dann nicht unmittelbar klar ist, ob wir die Division immer durchführen können, ob also /(a + ib) auch wieder von der Form a + ib ist. Um diese Frage zu klären behandeln wir zunächst ein Beispiel + i = i ( + i) ( i) = i i = i 5 = 5 5 i. Hier haben wir mit i erweitert um im Nenner die dritte binomische Formel anwenden zu können. Eine analoge Rechnung kann man auch allgemein durchführen, für alle a, b R mit (a, b) (0, 0) ist a + ib = a ib (a + ib) (a ib) = a ib a + b = a a + b i b a + b. Mit diesen Formeln ist festgelegt wie man mit kompleen Zahlen a + ib zu rechnen hat. Es ist nur nicht klar ob das überhaupt funktioniert. Es ist denkbar das man durch konsequente Anwendung der Rechenregeln für die kompleen Zahlen letztlich zu einem Widerspruch gelangt. Für die Anwendung auf die Cardano Formel ist dies völlig belanglos, wie wir noch sehen werden verschwinden in der Cardano Formel am Ende der Rechnung alle kompleen Größen und es bleibt ein reelles Ergebnis übrig. Dass dieses Ergebnis dann tatsächlich eine Lösung der gegebenen Gleichung dritten Grades ist, kann man einfach durch Einsetzen überprüfen, die logische Konsistenz der Rechnung spielt da keine Rolle. Da die kompleen Größen in der der Cardano Formel nur zwischendurch als Zwischenergebnisse auftauchen und am Ende wieder alle weg sind, haben sie in diesem Zusammenhang etwas Geisterhaftes und dies führt zu der Sprechweise von i = als der imaginären Einheit. Die Zahlen i mit R werden dann entsprechend imaginär genannt. Wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden, gibt es eine ganz konkrete und eplizite Konstruktion der kompleen Zahlen, und an ihnen ist damit nichts mehr imaginär. Die Sprechweise von i als der imaginären Einheit hat damit eigentlich ihre Berechtigung verloren, sie wird aber traditionell weiter verwendet. 3. Die Gaußsche Zahlenebene Wir wollen jetzt eine eakte mathematische Definition der kompleen Zahlen angeben. Diese Definition wird uns zugleich auch ein besseres Verständnis der kompleen Zahlen geben so, dass wir beispielsweise auch leicht sehen können wie man dritte Wurzeln kompleer Zahlen berechnet, was beispielsweise für die Cardano Formel von Interesse ist. Die Grundidee ist dabei sehr einfach, wir denken uns die komplee Zahl a + ib mit a, b R als den Punkt (a, b) R der Ebene. Wir führen die kompleen Zahlen dann ein, indem eine Addition und eine Multiplikation von Punkten der Ebene definiert wird. Wir wissen auch bereits wie wir dies tun müssen, Summen und Produkte von 7-9

10 Zahlen der Form a + ib haben wir ja bereits oben berechnet, und wir stellen diese Rechnung nun auf den Kopf und verwenden ihr Ergebnis als Definition von Addition und Multiplikation. +3i Im 3 i + i 3 3 Re Wir formulieren das Ergebnis dieser Überlegungen als einen Satz. 3 Satz 3. (Konstruktion der kompleen Zahlen) Die kompleen Zahlen sind die Menge C := R R versehen mit der durch die Formeln (a, b ) + (a, b ) := (a + a, b + b ), (a, b ) (a, b ) := (a a b b, a b + a b ) für a, a, b, b R definierten Addition und Multiplikation. Diese erfüllen die in. aufgelisteten Körperaiome mit der Null (0, 0) und der Eins (, 0), wobei additives und multiplikatives Inverses für a, b R durch die Formeln ( a (a, b) := ( a, b) und (a, b) := a + b, b ) für (a, b) (0, 0) a + b gegeben sind. Fassen wir R als die -Achse auf, schreiben also = (, 0) für R, so stimmen reelle und komplee Addition und Multiplikation auf R überein. Schließlich erfüllt die imaginäre Einheit i := (0, ) C die Gleichungen i = und a + ib = (a, b) für alle a, b R. Beweis: Wir gehen zunächst die neun Körperaiome durch und verwenden dabei deren Bezeichnungen aus.. In der Vorlesung hatten wir darauf verzichtet dies alles aufzuschreiben, hier soll aber der vollständige Beweis angegeben werden. 7-0

11 (A) Seien z, z, z 3 C und schreibe z j = (a j, b j ) mit a j, b j R für j =,, 3. Dann gilt (z + z ) + z 3 = ( (a, b ) + (a, b ) ) + (a 3, b 3 ) = (a + a, b + b ) + (a 3, b 3 ) = ((a + a ) + a 3, (b + b ) + b 3 ) = (a + (a + a 3 ), b + (b + b 3 )) = (a, b ) + (a + a 3, b + b 3 ) = (a, b ) + ( (a, b ) + (a 3, b 3 ) ) = z + (z + z 3 ). (A) Seien z, z C und schreibe z j = (a j, b j ) mit a j, b j R für j =,. Dann gilt z + z = (a, b ) + (a, b ) = (a + a, b + b ) = (a + a, b + b ) (A3) Ist z C so schreibe z = (a, b) mit a, b R und erhalte = (a, b ) + (a, b ) = z + z. (0, 0) + z = (0, 0) + (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b) = z. Damit ist (0, 0) die Null der kompleen Zahlen. (A4) Ist z C so schreibe z = (a, b) mit a, b R. Dann ist auch z := ( a, b) C und es gilt ( z) + z = ( a, b) + (a, b) = (( a) + a, ( b) + b) = (0, 0), d.h. z = ( a, b) ist das additive Inverse von z. (M) Seien z, z, z 3 C und schreibe z j = (a j, b j ) mit a j, b j R für j =,, 3. Dann gilt (z z ) z 3 = ( (a, b ) (a, b ) ) (a 3, b 3 ) = (a a b b, a b + a b ) (a 3, b 3 ) = ((a a b b )a 3 (a b + a b )b 3, (a a b b )b 3 + a 3 (a b + a b )) = (a a a 3 b b a 3 a b b 3 b a b 3, a a b 3 b b b 3 + a b a 3 + b a a 3 ) = (a (a a 3 b b 3 ) b (a b 3 + a 3 b ), a (a b 3 + a 3 b ) + (a a 3 b b 3 )b ) = (a, b ) (a a 3 b b 3, a b 3 + a 3 b ) = (a, b ) ((a, b ) (a 3, b 3 ) ) = z (z z 3 ) (M) Seien z, z C und schreibe z j = (a j, b j ) mit a j, b j R für j =,. Dann gilt z z = (a, b ) (a, b ) = (a a b b, a b + a b ) (M3) Ist z C so schreibe z = (a, b) mit a, b R und erhalte = (a a b b, a b + a b ) = z z. (, 0) z = (, 0) (a, b) = ( a 0 b, b + a 0) = (a, b) = z. Da auch (, 0) (0, 0) gilt ist (, 0) damit die Eins der kompleen Zahlen. 7-

12 (M4) Ist z C mit z (0, 0) so schreibe z = (a, b) mit a, b R. Wegen z (0, 0) ist a 0 oder b 0, also a > 0 oder b > 0 und somit a + b > 0, d.h. a + b 0 und z := (a/(a + b ), b/(a + b )) C ist eine wohldefinierte komplee Zahl. Es gilt ( a z z = a + b, b ) (a, b) a + b ( a = a + b + d.h. z ist das multiplikative Inverse von z. b a + b, ab a + b ab ) = (, 0) a + b (D) Seien z, z, z 3 C und schreibe z j = (a j, b j ) mit a j, b j R für j =,, 3. Dann gilt z (z + z 3 ) = (a, b ) ((a, b ) + (a 3, b 3 ) ) = (a, b ) (a + a 3, b + b 3 ) = (a (a + a 3 ) b (b + b 3 ), a (b + b 3 ) + (a + a 3 )b ) = (a a + a a 3 b b b b 3, a b + a b 3 + a b + a 3 b ) = (a a b b + a a 3 b b 3, a b + a b + a b 3 + a 3 b ) = (a a b b, a b + a b ) + (a a 3 b b 3, a b 3 + a 3 b ) = ( (a, b ) (a, b ) ) + ( (a, b ) (a 3, b 3 ) ) = z z + z z 3. Damit haben wir alle neun Körperaiome verifiziert. Für alle, R haben wir weiter (, 0) + (, 0) = ( +, 0) und (, 0) (, 0) = (, 0), also stimmen die reelle und die komplee Addition und Multiplikation auf den reellen Zahlen überein. Die Aussagen über die imaginäre Einheit ergeben sich durch und für alle a, b R. i = (0, ) (0, ) = (, 0) = a + ib = (a, 0) + (0, ) (b, 0) = (a, 0) + (0, b) = (a, b) Wie schon in erwähnt bedeutet die Gültigkeit der neun Körperaiome das wir mit den kompleen Zahlen bezüglich der Grundrechenarten normal rechnen können, insbesondere haben wir wie bei den reellen Zahlen auch wieder Subtraktion und Division und die Bruchrechenregeln gelten. Es gibt allerdings keine Methode die kompleen Zahlen so anzuordnen, dass die Aiome eines angeordneten Körpers gelten. In der Tat hatten wir in eingesehen, dass diese Aiome implizieren das Quadrate positiv 7-

13 oder Null sind und das negativ ist, da in C aber = i ein Quadrat ist, kann es keine Anordnung geben. Die Addition kompleer Zahlen ist die vertraute Addition von Vektoren in der Ebene, die geometrische Interpretation der Multiplikation ist etwas komplizierter, und wird erst im nächsten Abschnitt behandelt. Wir starten die weitergehende Untersuchung der kompleen Zahlen mit der Formel a + ib = a ib a + b für die multiplikative Inverse einer kompleen Zahl. Sowohl der Zähler als auch der Nenner der rechten Seite dieser Gleichung haben eine geometrische Bedeutung. Definition 3.: Sei z = + i mit, R eine komplee Zahl. (a) Die reelle Zahl Re z := heißt der Realteil von, er ist die Orthogonalprojektion von z auf die -Achse. (b) Die reelle Zahl Im z := heißt der Imaginärteil von, er ist die Orthogonalprojektion von z auf die -Achse. (c) Die komplee Zahl z := i heißt die komple Konjugierte zu z. Diese ist die Spiegelung von z an der -Achse. (d) Die reelle Zahl z := + heißt der Betrag von z. Nach dem Satz des Pthagoras ist z der Abstand des Punktes z der Ebene zum Nullpunkt 0 = (0, 0). b + b z + z z=a+ib z=(,) b z r b z a a a + a z=a ib Addition Konjugation Betrag Gelegentlich wird die komple Konjugierte einer Zahl z C auch mit dem Smbol z anstelle von z bezeichnet, diese Schreibweise werden wir in diesem Skript aber nicht verwenden. Mit diesen Bezeichnungen gilt für jedes z C\{0} die Gleichung z = also auch zz = z. Trivialerweise gilt diese Gleichung auch für z = 0. Die Grundeigenschaften der kompleen Konjugation werden im folgenden Lemma zusammengestellt: z z Lemma 3. (Grundeigenschaften der kompleen Konjugation) Seien z, w C. Dann gelten: 7-3

14 (a) Es ist z + w = z + w. (b) Es ist z w = z w. (c) Im Fall z 0 sind z = z z und ( ) = z z. (d) Es sind z = z, z = z und zz = z. (e) Es gelten Re(z) = z + z und Im(z) = z z. i (f) Genau dann ist z R wenn z = z gilt. Beweis: Wir schreiben z = + i und w = u + iv mit,, u, v R. (a) Es ist (b) Es ist z + w = ( + u) + i( + v) = ( + u) i( + v) = i + u iv = z + w. zw = u v + i(v + u) = u v i(v + u) = u + ( )( v) + i(( v) + ( )u) = ( i) (u iv) = z w. (c) Die erste Gleichung haben wir bereits oben festgehalten, und für die andere Gleichung ergibt sich mit (b) = = z z = z ( ) = z ( ) = z z. (d) Diese Aussagen sind klar, beziehungsweise bereits oben bewiesen. (e) Es gelten z + z = und z z = i. (f) Klar. 7-4