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1 $Id: funktion.tex,v /11/08 13:28:24 hk Exp hk $ 3 Funktionen Dieses Kapitel ist das letzte der vorbereitenden, allgemeinen Kapitel und wir wollen uns mit dem Funktionsbegriff beschäftigen. Während wir bisher fast nur logische Konzepte oder mathematische Grundbegriffe besprochen haben, werden wir Funktionen wirklich exakt definieren können, wie wir sehen werden wird der Funktionsbegriff auf den Mengenbegriff zurückgeführt. Als Vorbereitung hierzu erinnern wir zunächst an die aus der Schule vertraute Definition einer Funktion. Dort hatte man zwei Variablen x, y wobei der Wert einer der beiden Variablen von der anderen abhing. Normalerweise verwendet man y als diese abhängige Variable und bezeichnet y als eine Funktion von x, symbolisch oft geschrieben als y = f(x). Dabei muss jedem Wert von x genau ein Wert von y entsprechen, in anderen Worten y y x (x,y)=(x,f(x)) hängt y über eine eindeutige Zuordnungsvorschrift von x ab. Typischerweise war diese Zuordnungsvorschrift dabei einfach eine Formel in der x als freie Variable vorkommt. Graphisch konnte man sich die Funktion dann durch ihren Funktionsgraphen veranschaulichen, d.h. man trägt auf der horizontalen Achse die x-werte ab und auf der vertikalen das zugehörige y = f(x). Die Menge all der Punkte auf diesem Graphen liefert dann eine Teilmenge graph(f) = {(x, f(x)) x dom(f)} der Ebene, wobei dom(f) die Menge all derjenigen Werte von x ist für die y = f(x) definiert ist, der sogenannte Definitionsbereich der Funktion. Beachte das wir den Punkt P der Ebene mit x-koordinate a und y-koordinate b einfach als P = (a, b) schreiben, in der Schule populäre Schreibweisen wie P (a b) werden in der Mathematik nicht verwendet. Durch den Graphen einer Funktion f ist die Funktion vollständig festgelegt, um den Funktionswert y = f(x) zu ermitteln bilden wir die vertikale Gerade durch (x, 0) und diese schneidet den Graphen im Punkt (x, y). Wie bereits bemerkt ist die Zuordnungsvorschrift oftmals einfach eine Formel in x, beispielsweise y = x 2 +1 oder y = sin x. In der Schule wurde dann leider der Unterschied zwischen der definierenden Formel und der Funktion verwischt, eine Funktion ist keine Formel, Formeln können nur umgekehrt zur Definition von Funktionen verwendet werden. Tatsächlich reichen derartige Funktionen nicht aus, man braucht zumindest noch solche Funktionen die in mehreren Stücken definiert sind, etwa x 4-1

2 f(x) H(x) y = f(x) = x=0 x=1/2 x=1 x { 2x, 0 x 1 2, 2 2x, 1 2 x 1 y = H(x) = { 0, x < 0, 1, x 0. Die Funktion H(x) ist die sogenannte Heaviside-Funktion und tritt gelegentlich bei der Behandlung von Einschaltvorgängen auf. In Anwendungssituationen tauchen dann noch weitere Funktionsarten auf, beispielsweise Funktionen die nicht durch irgendeine Formel gegeben sind sondern von einigen Meßergebnissen gebildet werden. Derartige Funktionen sind dann zunächst nur in endlich vielen Punkten definiert, es können ja nur endlich viele Messungen wirklich durchgeführt werden, und will man die Funktion auch in anderen Punkten auswerten so geschieht dies durch eine für die konkrete Situation geeignete Form von Interpolation. Wieder andere Funktionen sind durch das Ein/Ausgabeverhalten irgendwelcher realer Apperaturen definiert, und manche entstehen sogar indem einfach ihr Graph hingemalt wird. Wie sie sehen, deckt dieser reale Funktionsbegriff eine Vielfalt verschiedenartiger Situation ab. Der nun einzuführende mathematische Funktionsbegriff soll all diese verschiedenen Funktionstypen umfassen und zugleich eine exakte mathematische Definition sein. Dies wird möglich indem der eigentliche Zuordnungsvorgang völlig ignoriert wird. Man betrachtet nur noch den fertigen Funktionsgraph und verwendet diesen zur Definition einer Funktion. Wenn Sie so wollen, nimmt man die Idee, das Funktionen durch Hinmalen des Graphen definiert werden können, ernst. Es tritt zuvor nur noch eine kleine zusätzliche Schwierigkeit auf. Bisher haben wir nur Funktionen betrachtet die reelle Argumente und reelle Werte haben und der Graph war dann eine Menge von Punkten der Ebene. Mit reellwertigen Funktionen einer reellen Variable kommt man aber nicht aus, beispielsweise ordnet ein elektrisches Feld ja jedem Punkt des betrachteten Raumgebiets einen Vektor zu, die beschreibende Funktion hat also dreidimensionale Punkte als Argumente und dreidimensionale Vektoren als Werte. Auch so etwas soll mit unserem Funktionsbegriff erfasst werden, wir wollen sogar erlauben das die Argumente x aus einer völlig beliebigen Menge M kommen und die Werte y = f(x) aus einer ebenfalls völlig beliebigen Menge N sind. Als Ersatz für die Ebene nehmen wir das wie folgt definierte Produkt der Mengen M und N. Definition 3.1 (Cartesisches Produkt von Mengen) Seien M und N zwei Mengen. Das cartesische Produkt von M und N ist dann die Menge M N := {(x, y) x M, y N}. Manchmal spricht man auch kürzer einfach vom Produkt der beiden Mengen M und N. Wir denken uns anschaulich M N als eine Ebene deren horizontale x-koordinaten 4-2

3 aus der Menge M kommen und deren vertikale y-koordinaten aus der Menge N kommen. Wir wollen einige Beispiele cartesischer Produkte behandeln: 1. Das Produkt R 2 := R R ist die Menge aller Paare (x, y) reeller Zahlen x, y R, also die Ebene. 2. Ebenso ist R 3 := R R R die Menge aller Tripel (x, y, z) reeller Zahlen x, y, z R, und wir können uns den R 3 als den dreidimensionalen Raum denken. Streng genommen ist dies durch die Definition des cartesischen Produkts gar nicht abgedeckt, da wir hier drei statt zwei Faktoren haben, wir denken uns etwas genauer R 3 = (R R) R. Die Elemente sind dann eigentlich von der Form ((x, y), z) mit x, y, z R. Zur Vereinfachung der Notation entscheiden wir uns dann dazu die inneren Klammern nicht mitzuschreiben. 3. Noch allgemeiner kann man für jedes n N mit n 1 auch den n-dimensionalen Raum R n = R R }{{} n mal einführen. Der Begriff Dimension wird hier in einem sehr prosaischen Sinne verwendet, man denkt nicht an irgendwelche zusätzlichen Raumdimensionen sondern einfach an Dinger zu deren Beschreibung man n reelle Zahlen braucht. Das mathematische Wort Dimension ist also das was sie in der Physik als die Anzahl der Freiheitsgrade bezeichnen. y=2 y=1 4. Das cartesische Produkt Z Z der Menge Z der ganzen Zahlen mit sich selbst ist die Menge aller Punkte der Ebene mit ganzzahliger x- und y-koordinate, also ein unendlich ausgedehntes Gitter in der Ebene x= 2 x= 1 x=0 x=1 x=2 y=0 y= 1 y= 2 5. Als ein ganz konkretes Beispiel nehmen wir jetzt die beiden Mengen M = {1, 2} und N = {2, 3}. Für die beiden Komponenten der Punkte im cartesischen Produkt M N gibt es dann jeweils zwei Möglichkeiten und das Produkt hat damit vier Punkte, nämlich M N = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}. Wie schon bemerkt wollen wir Funktionen von einer Menge M in eine Menge N als Graphen definieren, also als Teilmengen des cartesischen Produkts M N. Nun ist aber nicht jede Teilmenge von M N als Graph einr Funktion geeignet. Einen jeden Wert x M soll genau ein Wert y N zugeordnet werden, d.h. die vertikale Gerade {(x, y) y N} sollte den Graphen in genau einem Punkt N x M 4-3

4 treffen, es sollte also nicht die rechts abgebildete Situation vorliegen. Dies führt uns auf die folgende Definition von Funktionen. Definition 3.2: Seien M, N zwei Mengen. Eine Funktion oder Abbildung f : M N ist eine Teilmenge f M N so, dass es für jedes x M genau ein y N mit (x, y) f gibt. Man nennt die Menge M dann den Definitionsbereich der Funktion f und schreibt dom(f) = M und für jedes x M wird das eindeutige Element y N mit (x, y) f mit dem Symbol y = f(x) bezeichnet. Anstelle der Schreibweise f(x) für den Funktionswert von x M unter f finden Sie in der Literatur manchmal auch fx, also ohne die Klammern um das Argument, oder die Postfix Schreibweise xf. Die Schreibweise ohne Klammern ist beispielsweise bei einigen der Grundfunktionen, etwa beim Logarithmus ln oder bei den trigonometrischen Funktionen üblich, also etwa ln x statt ln(x). Man sollte dies aber auf einfache Argumente beschränken, also beispielsweise nicht ln xy da nicht klar ist, ob dies ln(x) y oder ln(xy) meint. Bei den trigonometrischen Funktionen werden Klammern traditionell sehr großzügig weggelassen, so wird etwa sin 2x in den allermeisten Fällen sin(2x) bedeuten und nicht sin(2) x. Weil diese sich in Beispielen am einfachsten behandeln lassen, werden wir sehr häufig durch explizite Zuordnungsvorschriften definierte Funktionen verwenden. Diese Funktionen notieren wir in der folgenden Form f : M N; x f(x), gelesen als f von M nach N, x wird abgebildet auf. Die links und rechts vom Pfeil stehenden Mengen M und N geben den Definitionsbereich der Funktion f beziehungsweise ihr Ziel. Darauf folgt die eigentliche Abbildungsvorschrift. Die Variable x ist hier eine formale Variable, taucht also nur gebunden innerhalb der Funktionsdefinition auf. Rechts vom Abbildungspfeil steht dann die eigentliche Abbildungsvorschrift. Da wir noch reichlich Funktionen sehen werden, beschränken wir uns jetzt auf zwei kleine Beispiele. Zunächst eine Funktion, deren Abbildungsvorschrift eine einfache Formel ist f : R R; x x Es ist also f(x) = x für jedes x R. Auf zwei kleine Details wollen wir noch besonders hinweisen. Zum einen sollten Sie die Formel x nicht mit Funktion f verwechseln, eine Formel kann zur Beschreibung einer Funktion verwendet werden, sie ist aber keine Funktion. Zum anderen muss man auf den Unterschied zwischen f und f(x). Dabei ist f die Funktion selbst, aber f(x) ist, bei gegebenen x M, ein Wert der Funktion, also ein Element von N. Insbesondere ist f streng genommen etwas anderes als f(x). Gelegentlich, vor allen in informellen Kontext, ist es bequem diesen Unterschied zu verwischen, also f(x) für f zu schreiben. Wir kommen zum angekündigten zweiten Beispiel, und in diesem haben wir noch immer eine explizite Zuordnungsvorschrift, diese ist aber schon von etwas komplizier- 4-4

5 terer Natur 0, x = 0 oder x / Q, f : R Q; x 1, x Q und x = p mit teilerfremden p Z, q N\{0}. q q Die Zuordnungsvorschrift ist wie folgt zu lesen: Bei gegebenen x R schaue zunächst ob x = 0 ist oder ob x irrational ist. Wenn ja, ist der Funktionswert f(x) = 0. Andernfalls kann man x = p/q als Bruch mit ganzzahligen Zähler p und von Null verschiedenen, natürlichen Nenner q schreiben, und durch eventuelles Auskürzen können p und q als teilerfremd angenommen werden. Dann sind p und q durch x eindeutig festgelegt, und wir können f(x) := 1/q definieren. Beispielsweise sind f( 2) = 0, f(1) = 1, f(0, 4) = f ( ) 4 = f 10 ( ) 2 = Das zweite Beispiel ist natürlich keine besonders nützliche Funktion, sie dient uns nur als ein Beispiel einer komplizierten Zuordnungsvorschrift und hat keine weitere Bedeutung. Mit Funktionen kann man in gewissen Umfang rechnen indem sie hintereiander ausgeführt werden. Definition 3.3 (Hintereinanderausführung von Funktionen) Seien f : A B, g : B C zwei Funktionen. Die Hintereinanderausführung oder Komposition von f und g ist dann die Funktion g f : A C; x g(f(x)). Ist beispielsweise g durch eine Zuordnungsvorschrift x g(x) gegeben, so ist entsteht die Zuordnungsvorschrift der Hintereinanderausführung g f indem f(x) für x in die Zuordnungsvorschrift eingesetzt wird. Wir behandeln zwei Beispiele: 1. Seien Dann ist für jedes x R f : R R; x x und g : R R; x x 2 + x 2. g f(x) = g(f(x)) = f(x) 2 + f(x) 2 = (x 3 + 1) 2 + (x 3 + 1) 2 = x 6 + 2x x 3 1 = x 6 + 3x Im zweiten Beispiel wollen wir umgekehrt eine gegebene Funktion als Hintereinanderausführung zweier einfacherer Funktionen schreiben. Für jedes x R haben wir das Additionstheorem cos(2x) = 2 cos 2 x 1 4-5

6 und hier kommt auf der rechten Seite nur noch cos x aber kein isoliertes x vor. Man kann also für x R stets cos(2x) = T 2 (cos x) mit dem Polynom T 2 (x) = 2x 2 1 schreiben. Ist also f : R R; x cos(2x), so ist f = T 2 cos. Ebenso ist für jedes x R auch cos(3x) = 4 cos 3 x 3 cos x = T 3 (cos x) mit T 3 (x) = 4x 3 3x, d.h. die Funktion f : R R; x cos(3x) ist eine Hintereinanderausführung f = T 3 cos. Wir wollen noch ein wichtiges Lemma über die Hintereinanderausführung von Funktionen festhalten. Lemma 3.1 (Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung) Seien f : A B, g : B C und h : C D drei Funktionen. Dann gilt (h g) f = h (g f). Beweis: Beachte das zwei Funktionen offenbar genau dann gleich sind, wenn sie denselben Definitionsbereich haben und jedes Element dieses Definitionsbereichs auf denselben Wert abbilden. Wir haben und für jedes x A gilt dom((h g) f) = A = dom(g f) = dom(h (g f)) (h g) f(x) = h g(f(x)) = h(g(f(x))) = h(g f(x)) = h (g f)(x). Aus dem Assoziativgesetz folgt, dass man auch beliebig lange Ketten von Hintereinanderausführungen beliebig umklammern kann ohne die Gesamtfunktion zu ändern, d.h. man kann die Klammern auch einfach weglassen, da sie sowieso keinen Einfluss auf das Ergebnis haben. Als letztes Thema in diesem Kapitel steuern wir jetzt den Begriff einer Umkehrfunktion an. Haben wir eine Funktion y = f(x), so soll die Umkehrfunktion zu f umgekehrt aus dem Wert y das Argument x ermitteln. Das ist natürlich nicht immer möglich. Was immer möglich ist, ist die Bildung der sogenannten Urbildmengen unter einer Funktion. Definition 3.4: Seien f : M N eine Funktion und B N eine Teilmenge. Dann heißt die Menge f 1 (B) := {x M f(x) B} das Urbild von B unter f. 4-6

7 Beachte das hierdurch keine Funktion f 1 : N M definiert wird, anstelle dessen wird jeder Teilmenge von N eine Teilmenge von M zugeordnet. Für y schreibt man oft f 1 (y) := f 1 ({y}) = {x M f(x) {y}} = {x M f(x) = y}, aber dies ordnet y eben kein Element von M zu, ist also keine Umkehrfunktion. Wir besprechen zwei kleine Beispiele. Zunächst betrachte die Funktion f : R R; x x 2, und wir wollen einige Urbildmengen berechnen. Es sind f 1 (1) = {x R x 2 = 1} = { 1, 1}, f 1 (0) = {x R x 2 = 0} = {0}, f 1 ( 1) = {x R x 2 = 1} =. Als Urbilder einzelner Elemente können also einelementige, zweielementige und die leere Teilmenge von R vorkommen. Als ein zweites Beispiel betrachten wir die Sinusfunktion Dann ist beispielsweise sin : R R. sin 1 (0) = {x R sin x = 0} = {0, ±π, ±2π, ±3π,...} = {nπ n Z}, wobei wir für die Argumente der trigonometrischen Funktionen wie immer das Bogenmaß verwenden. Ein etwa komplizierteres Beispiel ist das Urbild sin 1 (R 0 ) = {x R sin x 0} = [0, π] [2π, 3π] [ 2π, π], für das Sie sich am besten einmal den Sinus hinmalen. Dabei steht [0, π] = {x R 0 x π} für die Menge aller reellen Zahlen zwischen Null und π, und entsprechend sind die Mengen [2π, 3π] und [ 2π, π] zu interpretieren. Wie schon bemerkt ist under momentanes Ziel die Behandlung der Umkehrfunktionen. Die Funktion f : M N hat eine Umkehrfunktion wenn die Urbildmengen f 1 (y) für jedes y N einelementig sind, oder äquivalent wenn jede Gleichung f(x) = y mit y N eine eindeutige Lösung x M hat. Es stellt sich als sinnvoll heraus neben dieser Eigenschaft auch noch diejenigen Funktionen zu betrachten, für die f(x) = y für jedes y N mindestens eine, beziehungsweise höchstens eine, Lösung hat. Definition 3.5 (Injektive und surjektive Funktionen) Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt die Funktion f (a) injektiv wenn es für jedes y N höchstens ein x M mit f(x) = y gibt. (b) surjektiv wenn es für jedes y N stets ein x M mit f(x) = y gibt. 4-7

8 (c) bijektiv wenn f injektiv und surjektiv ist, d.h. für jedes y N gibt es genau ein x M mit f(x) = y. In (b) ist mit ein dabei mindestens ein gemeint, dies ist die in der Mathematik übliche Konvention das man sich bei solchen Zahlangaben immer implizit ein mindestens dazu denken muss. Andernfalls würde man von genau einem sprechen. Die Injektivitätsbedingung läßt sich noch auf verschiedene Arten umformulieren, beispielsweise f : M N injektiv (x 1, x 2 M) : f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. In der Tat, dass f(x) = y für jedes y N höchstens eine Lösung x M hat, bedeutet das je zwei Lösungen von f(x) = y gleich sind, d.h. für jedes y N und alle x 1, x 2 M mit f(x 1 ) = f(x 2 ) = y ist x 1 = x 2. Dass dies für jedes y N so ist, ist dann gerade die Gültigkeit der obigen Aussage. Manchmal ist es bequemer die gleichwertige Formulierung f : M N injektiv (x 1, x 2 M) : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) zu verwenden. Wir kommen zu ein paar Beispielen. 1. Sei f : R R; x x 2. Diese Funktion ist nicht surjektiv, denn für jedes x R ist f(x) = x 2 0, also insbesondere f(x) 1. Damit hat die Gleichung f(x) = 1 keine Lösung x R und f ist nicht surjektiv. Außerdem ist f auch nicht injektiv, denn es ist beispielsweise f( 1) = ( 1) 2 = 1 = 1 2 = f(1). 2. Nun betrachten wir die ähnliche Situation f : R R 0 ; x x 2, und diesmal ist f surjektiv. Denn ist y R 0, also y R mit y 0, so haben wir eine Wurzel x := y mit f(x) = x 2 = y. Allerdings ist f weiterhin nicht injektiv. 3. Nun sei f : R 0 R; x x 2, d.h. diesmal betrachten wir nur nichtnegative Argumente. Wie im ersten Beispiel ist f dann nicht surjektiv. Diesmal ist f aber injektiv. Seien nämlich x 1, x 2 R 0 mit f(x 1 ) = f(x 2 ) gegeben, also x 2 1 = x 2 2. Dann ist x 2 = ±x 1 und wegen x 1, x 2 0 muss sogar x 1 = x 2 sein. 4-8

9 4. Schließlich sei f : R 0 R 0 ; x x 2. Genau wie im zweiten und dritten Beispiel folgt dann das f surjektiv und injektiv ist, also insgesamt bijektiv ist. Diese vier Beispiele zeigen uns zum einen das es für Surjektivität und Injektivität ganz entscheidend auf den Definitionsbereich und die Zielmenge einer Funktion ankommt. Außerdem liefern sie uns Beispiele für weder injektive noch surjektive, für injektive aber nicht surjektive, für surjektive aber nicht injektive und für surjektive und injektive Funktionen. Wir behandeln noch ein allerletztes Beispiel, nämlich die Funktion f : R\{ 1} R\{1}; x x 1 x + 1. Beachte das für x R mit x 1 stets x 1 x + 1 also f(x) 1 ist, es handelt sich also wirklich um eine Abbildung zwischen den angegebenen Mengen. Wir wollen uns überlegen ob f surjektiv, injektiv oder gar bijektiv ist. Bei solchen durch Formeln gegebene Funktionen kann man dies oft durch direkte Rechnung entscheiden. Wir müssen y R mit y 1 betrachten und uns das Lösungsverhalten der Gleichung für x R\{ 1} anschauen. Es ist y = x 1 x + 1 y = f(x) = x 1 x + 1 xy + y = x 1 x(y 1) = y 1 = (y + 1), und wegen y 1 hat diese Gleichung die eindeutige Lösung x = 1 + y 1 y wobei wegen y + 1 y 1 auch (1 + y)/(1 y) 1 ist. Damit hat unsere Gleichung eine eindeutige Lösung x R\{ 1} und die Funktion f ist somit bijektiv. 4-9