4.1 Definition. Gegeben: Relation f X Y f heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y, wenn. = y 1. = y 2. xfy 1. xfy 2

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1 4.1 Definition Gegeben: Relation f X Y f heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y, wenn xfy 1 xfy 2 = y 1 = y 2 Y heißt Zielbereich oder Zielmenge von f. Statt (x, y) f oder xfy schreibt man y = f(x). Vollständige Beschreibung von f: f : X Y x f(x)

2 4.3 Beispiel i), ii): Identität, Norm i) Identische Abbildung (Identität) auf der Menge M id M : M M m id M (m) := m ii) Definiere für x = (x 1,..., x N ) Ê N : Ê N Ê x ( N x := i=1 x 2 i ) 1 2 x heißt Betrag oder (euklidische) Norm von x.

3 4.3 Beispiel iii), iv): Signum, ganzzahliger Anteil iii) Signum-Funktion sgn : Ê Ê 1 falls x > 0 sgn(x) := 0 falls x = 0 1 falls x < 0 iv) Der ganzzahlige Anteil : Ê x := max{z z x}. Alternativ: : Ê definiert durch x := min{z x z}..

4 4.3 Beispiel vi): Quadratische Form Die quadratische Form Q A einer (N N)-Matrix A: Q A : Ê N 1 Ê x Q A (x) := x T A x

5 4.3 viii): Determinantenfunktion det : Ê N N Ê Determinante einer (N N)-Matrix A ist induktiv definiert: 1 Ist A = (a 11 ) eine (1 1)-Matrix, so: det(a) := a 11 2 Ist A = (a ij ) i,j=1,...,n eine (N N)-Matrix, so: N det(a) := ( 1) k+1 a 1k det(a 1k ) k=1 A 1k := Matrix A ohne Zeile 1 und Spalte k Alternative Schreibweise: A = det(a)

6 4.4 Definition: Bild, Urbild Seien f : X Y eine Funktion und A X bzw. B Y. a) Das Bild von A unter f ist eine Teilmenge von Y f(a) := {f(a) a A}. Speziell für A = X schreibt man Bild(f) statt f(x) und spricht von dem Bild der Abbildung f. b) Das Urbild von B unter f ist eine Teilmenge von X f 1 (B) := {x X f(x) B}. Speziell: B = {c}, so Isoquante (Niveaulinie) von f f 1 (B) = f 1 ({c}) = {x X f(x)=c} f 1 ({c}) gibt an, welche x X den Funktionswert c liefern.

7 4.9 Definition: Injektivität, Surjektivität Eine Funktion f : X Y heißt injektiv, falls verschiedene Elemente des Definitionsbereichs auf verschiedene Elemente im Zielbereich abgebildet werden u v = f(u) f(v) surjektiv, falls jedes Element der Zielmenge Y als Funktionswert auftritt y Y x X : y=f(x) bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.

8 4.13 Definition: Komposition von Funktionen Die Verkettung (Hintereinanderausführung, Komposition) zweier Funktionen f : X Y und g : Y Z wird mit g f bezeichnet und ist definiert durch g f : X Z x (g f)(x) := g ( f(x) )

9 4.15 Definition: Umkehrfunktion f : X Y heißt invertierbar, wenn g : Y X existiert mit 1) g f = id X 2) f g = id Y g heißt Inverse (Umkehrabbildung, Umkehrfunktion) von f. Schreibweise: g = f 1 Achtung: f 1 1 f Ist nur 1) bzw. 2) erfüllt, so f links- bzw. rechtsinvertierbar

10 4.16 Satz a) f ist injektiv f ist linksinvertierbar b) f ist surjektiv f ist rechtsinvertierbar c) f ist bijektiv f ist invertierbar d) Ist f invertierbar, so ist die inverse Abbildung eindeutig.

11 4.18 Logarithmus: Rechenregeln (L1) log a (u v) = log a (u) + log a (v) (L2) (L3) log a (u x ) = x log a (u) log b (a) log a (u) = log b (u)

12 4.20 Definition: Homogene Funktionen f : Ê N Ê heißt homogen vom Grad r, wenn f(λ x) = λ r f(x) Im Fall r=1 nennt man f linear-homogen.

13 4.22 Definition: Lineare & affine Abbildungen Eine Funktion f : Ê N Ê M heißt linear, wenn f(λ x + µ y) = λ f(x) + µ f(y) Dann existiert eine konstante (M N)-Matrix A, mit Sind f und g linear gilt f(x) = A x Matrix(g f) = Matrix(g) Matrix(f) Die Summe einer linearen Abbildung und einer Konstanten heißt affine Abbildung: f(x) = A x + b

14 4.31 Definition: Konvexe Funktionen Gegeben: Ê N konvex, Funktion f : Ê f konvex, wenn für alle x 2, x 1, λ ]0, 1[ gilt: f ( ) λ x 2 + (1 λ) x 1 λ f(x2 ) + (1 λ) f(x 1 ) f streng konvex, wenn für alle x 2, x 1, λ ]0, 1[ gilt: f ( ) λ x 2 + (1 λ) x 1 < λ f(x2 ) + (1 λ) f(x 1 ) f (streng) konkav, wenn f (streng) konvex ist. Achtung!! Unterscheide Konvexität von Mengen und Funktionen!!

15 4.34 Definition: Folgen Eine Funktion f : Æ Y x f(x) =: f x heißt Folge in Y. Wertetabelle: x f x f 1 f 2 f 3 f 4 f 5... Schreibweise: (f x ) x=1 oder (f x ) x Æ Explizite Definition: Direkte Funktionsvorschrift, z.b. f x := 1 x Implizite (rekursive) Definition Gegeben: f 1,..., f k Rekursionsvorschrift: f n = R(f n 1,..., f n k ) für n > k

16 4.37 Satz: Rentenfaktoren (siehe Aufgabe 4) Für die Größen s l (x) := l 1 k=0 x k und t l (x) := l 1 k=0 s k (x) gilt: s l (x) = { x l 1 x 1 für x 1 l für x=1 t l (x) = s l (x) l x 1 für x 1 ( l 2) für x=1

17 4.38 Satz: Summenformeln Seien (a k ) eine arithmetische und (g k ) eine geometrische Folge. Dann gelten folgende Aussagen: a) b) n a k k=m n k=m n c) a k g k k=m = n+1 m 2 (a m + a n ) g k = g m s n+1 m ( g m+1 g m ) = g n s n+1 m ( g m g m+1 ) = a m g n s n+1 m ( g m g m+1 ) + (a m+1 a m ) g n t n+1 m ( g m g m+1 )

18 Pascalsches Dreieck allgemein k=0 k=1 k=2 k=3 n = ( 0 0 ) n = ( 1 0 ) ( 1 1 ) n = ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 0 0 n = ( 3 0 ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 0 0 n = 4 0 ( 4 0 ) ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 0 n = 5 0 ( 5 0 ) ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 5 5 ) 0 n = 6 6 ( 0 ) ( 6 1 ) ( 6 2 ) ( 6 3 ) ( 6 4 ) ( 6 5 ) ( 6 6 ) 7 n = 7 ( 0 ) ( 7 1 ) ( 7 2 ) ( 7 3 ) ( 7 4 ) ( 7 5 ) ( 7 6 ) ( 7 7 )

19 4.42 Binomischer Satz Für reelle Zahlen a, b und n Æ gilt: (a+b) n = n k=0 ( ) n a n k b k = k n k=0 ( ) n a k b n k k Hierbei ist der Binomialkoeffizient durch für k n ( ) n := k n! k!(n k)! 0 für k>n ( ) n für n, k Æ k 0 definiert