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1 $Id: reell.tex,v.0 200//8 0:54:24 hk Exp $ $Id: komplex.tex,v.4 200//9 5:35:32 hk Exp hk $ 4 Die reellen Zahlen 4.4 Potenzen mit rationalen Exponenten In der letzten Sitzung hatten wir reelle Potenzen x a mit positiver Basis x > 0 und rationalen Exponenten a Q definiert. Zu diesem Zweck wurde a als Bruch geschrieben a = p/q mit p, q Z, q und die Potenz x a wurde durch die Formel x a = ( q x) p auf den Wurzelbegriff zurückgeführt. Noch nicht definiert haben wir Potenzen x a mit beliebigen reellen Exponenten a R und positiver Basis x (0, ). Eine Möglichkeit diese Potenzen zu definieren ist zunächst für x > x a := sup{x q q Q, q a} zu setzen und für 0 < x < setzt man dann x a := ((x ) a ) oder gleichwertig x a := inf{x q q Q, q a}. Der Fall x = ist dann ein Sonderfall und man setzt a := für alle a R. Das könnte man zwar alles so tun, und es ergibt auch den korrekten Potenzbegriff, der Nachweis der Potenzrechenregeln ist dann aber unnötig aufwendig. Später in diesem Semester wird sich noch eine bessere Methode zur Definition allgemeiner Potenzen ergeben, und wir verschieben dieses Thema daher auf diesen späteren Zeitpunkt. 5 Die komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen wurden ursprünglich zur Lösung der Gleichung dritten Grades eingeführt. Man kann die allgemeine Gleichung dritten Grades x 3 +ax 2 +bx+c = 0 zunächt analog zur quadratischen Ergänzung auf die Normalform x 3 + px + q = 0 bringen, und für diese Gleichung gibt es eine Lösungsformel, die sogenannte Formel von Cardano. Die volle Cardano-Formel beschreibt alle drei Lösungen der Gleichung x 3 + px + q = 0, aber für unsere Zwecke reicht es die erste, und auch einfachste, dieser drei Lösungen hinzuschreiben. Diese Lösung ist gegeben als 3 D x = 6 3 2p mit D := 08q + 2 2p 3 + 8q 2. D 8-

2 Wir wollen als ein konkretes Beispiel einmal beginnen die Gleichung x x 250 = 0 durchrechnen. Hier ist p = 3/50 und q = /250. Damit wird 2p 3 + 8q 2 = = und wir sehen das es überhaupt keine reelle Wurzel 2p 3 + 8q 2 = 8/62500 gibt. Die komplexen Zahlen entstanden jetzt, indem dieses Problem einfach ignoriert wird, d.h. wir rechnen einfach weiter und erhalten und schließlich 2p3 + 8q 2 = = 32 9 = D = 08q + 2 2p 3 + 8q 2 = = ( + i). Um die Cardano-Formel anzuwenden, muss jetzt als nächster Schritt die dritte Wurzel 3 D berechnet werden. Das werden wir auch tun, aber erst später wenn wir eine Methode zum Berechnen solcher Wurzeln haben. Das Ende dieses Beispiels vertagen wir daher auf etwas später in diesem Kapitel, was wir bisher gesehen haben ist, dass die Cardano Formel auf Wurzeln negativer Zahlen führt und man mit diesen einfach weiterrechnet. Wir wollen also so tun als würde es Wurzeln aus negativen Zahlen geben, und die komplexen Zahlen sind dann das was herauskommt wenn wir zu den reellen Zahlen die Wurzeln negativer Zahlen hinzunehmen und normal rechnen. Das ist natürlich keine mathematische Definition, zu dieser kommen wir erst etwas später. Wir können die Situation gleich ein wenig vereinfachen. Wir brauchen gar keine Wurzeln aus beliebigen negativen Zahlen, eine einzige Wurzel i := reicht bereits aus und dann ist für jedes positive x R auch x = x = x i. Zum Beispiel ist damit im obigen Beispiel D = ( + ) = 54 ( + i). 25 Die Schreibweise i = wird in der Mathematik durchgängig verwendet, in einigen anderen Gebieten finden Sie gelegentlich auch andere Schreibweisen, etwa j statt i in der Elektrotechnik. Was brauchen wir neben i jetzt an weiteren neuen Zahlen? Wenn wir normal rechnen wollen müssen wir insbesondere die Potenzen von i bilden können, und diese ergeben sich als i 2 =, i 3 = i 2 i = i, i 4 = (i 2 ) 2 = ( ) 2 =, i 5 = i 4 i = i,

3 und so weiter. Wir brauchen also nur erste Potenzen von i und betrachten daher Zahlen der Form a + ib mit a, b R. Derartige Zahlen addieren und multiplizieren sich gemäß der Formeln (a + ib ) + (a 2 + ib 2 ) = a + a 2 + i(b + b 2 ), (a + ib ) (a 2 + ib 2 ) = a a 2 + i(a b 2 + a 2 b ) + i 2 b b 2 = a a 2 b b 2 + i(a b 2 + a 2 b ). Insbesondere haben Summen und Produkte von Zahlen der Form a + ib (a, b R) stets wieder diese Form. Dies läßt die Hoffnung zu, dass es für die komplexen Zahlen ausreichen könnte überhaupt nur Zahlen z = a + ib mit a, b R zuzulassen. Das einzige Problem ist, dass es dann nicht unmittelbar klar ist, ob wir die Division immer durchführen können, ob also /(a + ib) auch wieder von der Form a + ib ist. Um diese Frage zu klärenm behandeln wir zunächst ein Beispiel 2 + i = 2 i (2 + i) (2 i) = 2 i 2 2 i = 2 i 2 5 = i. Hier haben wir mit 2 i erweitert um im Nenner die dritte binomische Formel anwenden zu können. Eine analoge Rechnung kann man auch allgemein durchführen, für alle a, b R mit (a, b) (0, 0) ist a + ib = a ib (a + ib) (a ib) = a ib a 2 + b = 2 a a 2 + b 2 + i b a 2 + b 2. Mit diesen Formeln ist festgelegt wie man mit komplexen Zahlen a + ib zu rechnen hat. Es ist nur nicht klar ob das überhaupt funktioniert. Es ist denkbar das man durch konsequente Anwendung der Rechenregeln für die komplexen Zahlen letztlich zu einem Widerspruch gelangt. Für die Anwendung auf die Cardano Formel ist dies völlig belanglos, wie wir noch sehen werden verschwinden in der Cardano Formel am Ende der Rechnung alle komplexen Größen und es bleibt ein reelles Ergebnis übrig. Dass dieses Ergebnis dann tatsächlich eine Lösung der gegebenen Gleichung dritten Grades ist, kann man einfach durch Einsetzen überprüfen, die logische Konsistenz der Rechnung spielt da keine Rolle. Da die komplexen Größen in der der Cardano Formel nur zwischendurch als Zwischenergebnisse auftauchen und am Ende wieder alle weg sind, haben sie in diesem Zusammenhang etwas Geisterhaftes und dies führt zu der Sprechweise von i = als der imaginären Einheit. Die Zahlen iy mit y R werden dann entsprechend imaginär genannt. Wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden, gibt es eine ganz konkrete und explizite Konstruktion der komplexen Zahlen, und an ihnen ist damit nichts mehr imaginär. Die Sprechweise von i als der imaginären Einheit hat damit eigentlich ihre Berechtigung verloren, sie wird aber traditionell weiter verwendet. 8-3

4 5. Die Gaußsche Zahlenebene i Im 3 2 i i Wir wollen jetzt eine exakte mathematische Definition der komplexen Zahlen angeben. Diese Definition wird uns zugleich auch ein besseres Verständnis der komplexen Zahlen geben so, dass wir beispielsweise auch leicht sehen können wie man dritte Wurzeln komplexer Zahlen berechnet, was beispielsweise für die Cardano Formel von Interesse ist. Die Grundidee ist dabei sehr einfach, wir denken uns die komplexe Zahl a + ib mit a, b R als den Punkt (a, b) R 2 der Ebene. Wir führen die komplexen Zahlen dann ein, indem eine Addition und eine Multiplikation von Punkten der Ebene definiert wird. Wir wissen auch bereits wie wir dies tun müssen, Summen und Produkte von Zahlen der Form a + ib haben wir ja bereits oben berechnet, und wir stellen diese Rechnung nun auf den Kopf und verwenden ihr Ergebnis als Definition von Addition und Multiplikation. Satz 5. (Konstruktion der komplexen Zahlen) Die komplexen Zahlen sind die Menge C := R R versehen mit der durch die Formeln (a, b ) + (a 2, b 2 ) := (a + a 2, b + b 2 ), (a, b ) (a 2, b 2 ) := (a a 2 b b 2, a b 2 + a 2 b ) definierten Addition und Multiplikation. Diese erfüllen die in 4 aufgelisteten Körperaxiome, wobei additives und multiplikatives Inverses für a, b R durch die Formeln ( a (a, b) := ( a, b) und (a, b) := a 2 + b, b ) für (a, b) (0, 0) 2 a 2 + b 2 gegeben sind. Fassen wir R als die x-achse auf, schreiben also x = (x, 0) für x R, so stimmen reelle und komplexe Addition und Multiplikation auf R überein. Schließlich erfüllt die imaginäre Einheit i := (0, ) C die Gleichungen i 2 = und a + ib = (a, b) für alle a, b R. Beweis: Wir wollen diesen Beweis hier nur teilweise führen, und auf das etwas langwierige Nachrechnen der neun Körperaxiome verzichten. Dass die reelle Addition und Multiplikation fortgesetzt werden, läßt sich ebenfalls leicht nachrechnen. Die Aussagen über die imaginäre Einheit ergeben sich durch i 2 = (0, ) (0, ) = (, 0) = Re und a + ib = (a, 0) + (0, ) (b, 0) = (a, 0) + (0, b) = (a, b) 8-4

5 für alle a, b R. Wie schon in 4 erwähnt bedeutet die Gültigkeit der neun Körperaxiome das wir mit den komplexen Zahlen bezüglich der Grundrechenarten normal rechnen können, insbesondere haben wir wie bei den reellen Zahlen auch wieder Subtraktion und Division und die Bruchrechenregeln gelten. Es gibt allerdings keine Methode die komplexen Zahlen so anzuordnen, dass die Axiome eines angeordneten Körpers gelten. In der Tat hatten wir in 4 eingesehen, dass diese Axiome implizieren das Quadrate positiv oder Null sind und das negativ ist, da in C aber = i 2 ein Quadrat ist, kann es keine Anordnung geben. Die Addition komplexer Zahlen ist die vertraute Addition von Vektoren in der Ebene, die geometrische Interpretation der Multiplikation ist etwas komplizierter, und wird erst im nächsten Abschnitt behandelt. Wir starten die weitergehende Untersuchung der komplexen Zahlen mit der Formel a + ib = a ib a 2 + b 2 für die multiplikative Inverse einer komplexen Zahl. Sowohl der Zähler als auch der Nenner der rechten Seite dieser Gleichung haben eine geometrische Bedeutung. Definition 5.: Sei z = x + iy mit x, y R eine komplexe Zahl. (a) Die reelle Zahl Re z := x heißt der Realteil von x, er ist die Orthogonalprojektion von z auf die x-achse. (b) Die reelle Zahl Im z := y heißt der Imaginärteil von x, er ist die Orthogonalprojektion von z auf die y-achse. (c) Die komplexe Zahl z := x iy heißt die komplex Konjugierte zu z. Diese ist die Spiegelung von z an der x-achse. (d) Die reelle Zahl z := x 2 + y 2 heißt der Betrag von z. Nach dem Satz des Pythagoras ist z der Abstand des Punktes z der Ebene zum Nullpunkt 0 = (0, 0). b + b2 z + z 2 z=a+ib z=(x,y) b 2 z 2 r y x b z a 2 a a + a 2 z=a ib Addition Konjugation Betrag 8-5

6 Gelegentlich wird die komplex Konjugierte einer Zahl z C auch mit dem Symbol z anstelle von z bezeichnet, diese Schreibweise werden wir in diesem Skript aber nicht verwenden. Mit diesen Bezeichnungen gilt für jedes z C\{0} die Gleichung z = also auch zz = z 2. Trivialerweise gilt diese Gleichung auch für z = 0. Die Grundeigenschaften der komplexen Konjugation werden im folgenden Lemma zusammengestellt: z z 2 Lemma 5.2 (Grundeigenschaften der komplexen Konjugation) Seien z, w C. Dann gelten: (a) Es ist z + w = z + w. (b) Es ist z w = z w. (c) Im Fall z 0 sind z = z z 2 und ( ) = z z. (d) Es sind z = z, z = z und zz = z 2. (e) Es gelten Re(z) = z + z 2 und Im(z) = z z. 2i (f) Genau dann ist z R wenn z = z gilt. Beweis: Wir schreiben z = x + iy und w = u + iv mit x, y, u, v R. (a) Es ist (b) Es ist z + w = (x + u) + i(y + v) = (x + u) i(y + v) = x iy + u iv = z + w. zw = xu yv + i(xv + yu) = xu yv i(xv + yu) = xu + ( y)( v) + i(x( v) + ( y)u) = (x iy) (u iv) = z w. (c) Die erste Gleichung haben wir bereits oben festgehalten, und für die andere Gleichung ergibt sich mit (b) = = z z = z ( ) = z ( ) = z z. (d) Diese Aussagen sind klar, beziehungsweise bereits oben bewiesen. 8-6

7 (e) Es gelten (f) Klar. z + z = 2x und z z = 2iy. Als nächsten Schritt können wir dann die Eigenschaften des komplexen Betrags herleiten. Lemma 5.3 (Grundeigenschaften des komplexen Betrags) Seien z, w C. Dann gelten: (a) Es ist max{ Re z, Im z } z 2 max{ Re z, Im z }. (b) Es gilt zw = z w. (c) Es gilt die Dreiecksungleichung z + w z + w. (d) Es gilt z w z w. (e) Es gilt z w z w. Beweis: (a) Schreibe z = x + iy mit x, y R und setze M := max{ Re z, Im z } = max{ x, y }. Wegen x = x 2 x 2 + y 2 = z und y = y 2 x 2 + y 2 = z ist dann M z. Weiter haben wir (b) Nach Lemma 2.(b) gilt z = x 2 + y 2 = x 2 + y 2 M 2 + M 2 = 2M. zw = zwzw = zzww = zz ww = z w. (c) Es gilt nach Lemma 2.(a,b,d,e) und Teil (a,b) z + w 2 = (z + w) (z + w) = (z + w) (z + w) = zz + zw + zw + ww = z 2 + zw + zw + w 2 = z Re(zw) + w 2 z Re(zw) + w 2 z zw + w 2 = z z w + w 2 = z z w + w 2 also auch z + w z + w. (d,e) Analog zu 4.Lemma. = ( z + w ) 2, Sind z, w C, so zeigt die Interpretation der komplexen Addition als Vektoraddition, dass es ein Dreieck mit den Seitenlängen z, w und z + w gibt. Die Dreiecksungleichung für den Betrag wird dann zur geometrischen Dreiecksungleichung das in einem Dreieck jede Seite höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seitenlängen ist. 8-7

8 5.2 Die komplexe Multiplikation Zum besseren Verständnis der Multiplikation betrachten wir für jedes φ R den Punkt e(φ) C auf dem Einheitskreis, also dem Kreis mit Radius und Mittelpunkt 0, der mit der x-achse den Winkel φ bildet. Betrachten wir das nebenstehende Bild, so ergibt sich der Punkt e(φ) explizit als x y e( ) e(φ) = (cos φ, sin φ) = cos φ + i sin φ. Für alle φ, ψ R ergeben die Additionstheoreme von Sinus und Cosinus dann e(φ) e(ψ) = (cos φ + i sin φ) (cos ψ + i sin ψ) = cos φ cos ψ sin φ sin ψ + i (sin φ cos ψ + cos φ sin ψ) = cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ) = e(φ + ψ), d.h. bei Multiplikation komplexer Zahlen auf dem Einheitskreis müssen nur die beiden Winkel φ, ψ miteinander addiert werden. Für Punkte auf dem Einheitskreis ist die komplexe Multiplikation also dasselbe wie die Addition von Winkeln. Um diese Beobachtung auf alle komplexen Zahlen y auszudehnen, führen wir jetzt die sogenannten Polarkoordinaten ein. Gegeben sei eine komplexe Zahl z C und z=re r φ e φ wir nehmen erst einmal z 0 an. Die erste Polarkoordinate von z ist dann der Abstand r von z zum Nullpunkt, φ x und wir wissen bereits das dies gerade der Betrag von z ist, also r = z. Nun betrachten wir den Schnittpunkt der von Null ausgehenden Halbgeraden in Richtung z mit dem Einheitskreis, als Formel ist dieser einfach gegeben als z/r = z/ z. Die zweite Polarkoordinate von z ist der Winkel φ den diese Halbgerade mit der x-achse hat, also z = e(φ) = z = re(φ). r Haben wir umgekehrt eine Zahl r 0 und einen Winkel φ R gegeben, so können wir die komplexe Zahl z := re(φ) mit den Polarkoordinaten r, φ bilden. Beachte das die erste Polarkoordinate r immer als der Betrag von z eindeutig festgelegt ist, der Winkel φ aber nicht. Man kann zu φ noch beliebige Vielfache von 2π, also von 360 im Gradmaß, hinzuaddieren ohne das sich z ändert. Um ein eindeutiges φ zu kriegen muss man die erlaubten Winkel auf ein Intervall der Länge 2π einschränken. Für z = 0 ist φ sogar völlig willkürlich. Schauen wir uns einmal drei kleine Beispiele an. 8-8

9 . Sei z = i. Der Abstand zu 0 ist r = i =, und da i im oberen Teil der y- Achse liegt, ist der Winkel zur x-achse gleich 90, beziehungsweise φ = π/2. Also i = e(π/2) in Polarkoordinaten. 2. Die komplexe Zahl z = + i hat als Abstand zum Nullpunkt r = + i = = 2. Außerdem liegt z auf der Winkelhalbierenden im ersten Quadranten, unser Winkel ist also φ = π/4. Polarkoordinaten sind damit + i = 2 e(π/4). 3. Nehme jetzt z = i. Es ist r = i =. Was als Winkel genommen wird, ist nicht mehr so eindeutig. Laufen wir im Gegenuhrzeigersinn um den Einheitskreis, so durchqueren wir drei volle Quadranten, also φ = 3π/2. Laufen wir dagegen im Uhrzeigersinn um den Kreis, so wird φ = π/2. Diese beiden Winkel unterscheiden sich gerade um 2π. Welchen Winkel man als die Polarkoordinate ansieht hängt von der gewählten Normierung ab und ist damit letztlich willkürlich. 8-9