3 Die komplexen Zahlen

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1 $Id: komplex.tex,v /11/0 10:10:44 hk Exp $ $Id: folgen.tex,v /11/0 10:1:14 hk Exp $ 3 Die komplexen Zahlen 3.1 Die Gaußsche Zahlenebene Wir wollen jetzt eine exakte mathematische Definition der komplexen Zahlen angeben. Im +3i 3 Diese Definition wird uns zugleich auch ein besseres Verständnis der komplexen Zahlen geben so, dass wir beispielsweise auch leicht sehen können wie man dritte Wurzeln komplexer Zahlen berechnet, was etwa für die Carda- i i no Formel von Interesse ist. Die Grundidee ist Re dabei sehr einfach, wir denken uns die komplexe Zahl a + ib mit a, b R als den Punkt 1 (a, b R der Ebene. Wir führen die komplexen Zahlen dann ein, indem eine Addition und eine Multiplikation von Punkten der Ebene definiert wird. Wir wissen auch bereits wie 3 wir dies tun müssen, Summen und Produkte von Zahlen der Form a + ib haben wir ja bereits oben berechnet, und wir stellen diese Rechnung nun auf den Kopf und verwenden ihr Ergebnis als Definition von Addition und Multiplikation. Wir formulieren das Ergebnis dieser Überlegungen als einen Satz. Satz 3.1 (Konstruktion der komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen sind die Menge C := R R versehen mit der durch die Formeln (a 1, b 1 + (a, b := (a 1 + a, b 1 + b, (a 1, b 1 (a, b := (a 1 a b 1 b, a 1 b + a b 1 für a 1, a, b 1, b R definierten Addition und Multiplikation. Diese erfüllen die in 1.1 aufgelisteten Körperaxiome mit der Null (0, 0 und der Eins (1, 0, wobei additives und multiplikatives Inverses für a, b R durch die Formeln ( a (a, b := ( a, b und (a, b 1 := a + b, b für (a, b (0, 0 a + b gegeben sind. Fassen wir R als die x-achse auf, schreiben also x = (x, 0 für x R, so stimmen reelle und komplexe Addition und Multiplikation auf R überein. Schließlich 9-1

2 erfüllt die imaginäre Einheit i := (0, 1 C die Gleichungen i = 1 und a + ib = (a, b für alle a, b R. Beweis: Wir gehen zunächst die neun Körperaxiome durch und verwenden dabei deren Bezeichnungen aus 1.1. In der Vorlesung hatten wir darauf verzichtet dies alles aufzuschreiben, hier soll aber der vollständige Beweis angegeben werden. (A1 Seien z 1, z, z 3 C und schreibe z j = (a j, b j mit a j, b j R für j = 1,, 3. Dann gilt (z 1 + z + z 3 = ( (a 1, b 1 + (a, b + (a 3, b 3 = (a 1 + a, b 1 + b + (a 3, b 3 = ((a 1 + a + a 3, (b 1 + b + b 3 = (a 1 + (a + a 3, b 1 + (b + b 3 = (a 1, b 1 + (a + a 3, b + b 3 = (a 1, b 1 + ( (a, b + (a 3, b 3 = z 1 + (z + z 3. (A Seien z 1, z C und schreibe z j = (a j, b j mit a j, b j R für j = 1,. Dann gilt z 1 + z = (a 1, b 1 + (a, b = (a 1 + a, b 1 + b = (a + a 1, b + b 1 = (a, b + (a 1, b 1 = z + z 1. (A3 Ist z C so schreibe z = (a, b mit a, b R und erhalte (0, 0 + z = (0, 0 + (a, b = (0 + a, 0 + b = (a, b = z. Damit ist (0, 0 die Null der komplexen Zahlen. (A4 Ist z C so schreibe z = (a, b mit a, b R. Dann ist auch z := ( a, b C und es gilt ( z + z = ( a, b + (a, b = (( a + a, ( b + b = (0, 0, d.h. z = ( a, b ist das additive Inverse von z. (M1 Seien z 1, z, z 3 C und schreibe z j = (a j, b j mit a j, b j R für j = 1,, 3. Dann gilt (z 1 z z 3 = ( (a 1, b 1 (a, b (a 3, b 3 = (a 1 a b 1 b, a 1 b + a b 1 (a 3, b 3 = ((a 1 a b 1 b a 3 (a 1 b + a b 1 b 3, (a 1 a b 1 b b 3 + a 3 (a 1 b + a b 1 = (a 1 a a 3 b 1 b a 3 a 1 b b 3 b 1 a b 3, a 1 a b 3 b 1 b b 3 + a 1 b a 3 + b 1 a a 3 = (a 1 (a a 3 b b 3 b 1 (a b 3 + a 3 b, a 1 (a b 3 + a 3 b + (a a 3 b b 3 b 1 = (a 1, b 1 (a a 3 b b 3, a b 3 + a 3 b = (a 1, b 1 ((a, b (a 3, b 3 = z 1 (z z 3. 9-

3 (M Seien z 1, z C und schreibe z j = (a j, b j mit a j, b j R für j = 1,. Dann gilt z 1 z = (a 1, b 1 (a, b = (a 1 a b 1 b, a 1 b + a b 1 (M3 Ist z C so schreibe z = (a, b mit a, b R und erhalte = (a a 1 b b 1, a b 1 + a 1 b = z z 1. (1, 0 z = (1, 0 (a, b = (1 a 0 b, 1 b + a 0 = (a, b = z. Da auch (1, 0 (0, 0 gilt ist (1, 0 damit die Eins der komplexen Zahlen. (M4 Ist z C mit z (0, 0 so schreibe z = (a, b mit a, b R. Wegen z (0, 0 ist a 0 oder b 0, also a > 0 oder b > 0 und somit a + b > 0, d.h. a + b 0 und z 1 := (a/(a + b, b/(a + b C ist eine wohldefinierte komplexe Zahl. Es gilt ( a z 1 z = a + b, b (a, b a + b ( a = a + b + d.h. z 1 ist das multiplikative Inverse von z. b a + b, ab a + b ab = (1, 0 a + b (D Seien z 1, z, z 3 C und schreibe z j = (a j, b j mit a j, b j R für j = 1,, 3. Dann gilt z 1 (z + z 3 = (a 1, b 1 ((a, b + (a 3, b 3 = (a 1, b 1 (a + a 3, b + b 3 = (a 1 (a + a 3 b 1 (b + b 3, a 1 (b + b 3 + (a + a 3 b 1 = (a 1 a + a 1 a 3 b 1 b b 1 b 3, a 1 b + a 1 b 3 + a b 1 + a 3 b 1 = (a 1 a b 1 b + a 1 a 3 b 1 b 3, a 1 b + a b 1 + a 1 b 3 + a 3 b 1 = (a 1 a b 1 b, a 1 b + a b 1 + (a 1 a 3 b 1 b 3, a 1 b 3 + a 3 b 1 = ( (a 1, b 1 (a, b + ( (a 1, b 1 (a 3, b 3 = z 1 z + z 1 z 3. Damit haben wir alle neun Körperaxiome verifiziert. Für alle x, y R haben wir weiter (x, 0 + (y, 0 = (x + y, 0 und (x, 0 (y, 0 = (xy, 0, also stimmen die reelle und die komplexe Addition und Multiplikation auf den reellen Zahlen überein. Die Aussagen über die imaginäre Einheit ergeben sich durch i = (0, 1 (0, 1 = ( 1, 0 = 1 und a + ib = (a, 0 + (0, 1 (b, 0 = (a, 0 + (0, b = (a, b 9-3

4 für alle a, b R. Wie schon in 1 erwähnt bedeutet die Gültigkeit der neun Körperaxiome das wir mit den komplexen Zahlen bezüglich der Grundrechenarten normal rechnen können, insbesondere haben wir wie bei den reellen Zahlen auch wieder Subtraktion und Division und die Bruchrechenregeln gelten. Es gibt allerdings keine Methode die komplexen Zahlen so anzuordnen, dass die Axiome eines angeordneten Körpers gelten. In der Tat hatten wir in 1 eingesehen, dass diese Axiome implizieren das Quadrate positiv oder Null sind und das 1 negativ ist, da in C aber 1 = i ein Quadrat ist, kann es keine Anordnung geben. Die Addition komplexer Zahlen ist die vertraute Addition von Vektoren in der Ebene, die geometrische Interpretation der Multiplikation ist etwas komplizierter, und wird erst im nächsten Abschnitt behandelt. Wir starten die weitergehende Untersuchung der komplexen Zahlen mit der Formel 1 a + ib = a ib a + b für das multiplikative Inverse einer komplexen Zahl. Sowohl der Zähler als auch der Nenner der rechten Seite dieser Gleichung haben eine geometrische Bedeutung. Definition 3.1: Sei z = x + iy mit x, y R eine komplexe Zahl. (a Die reelle Zahl Re z := x heißt der Realteil von z, er ist die Orthogonalprojektion von z auf die x-achse. (b Die reelle Zahl Im z := y heißt der Imaginärteil von z, er ist die Orthogonalprojektion von z auf die y-achse. (c Die komplexe Zahl z := x iy heißt die komplex Konjugierte zu z. Diese ist die Spiegelung von z an der x-achse. (d Die reelle Zahl z := x + y heißt der Betrag von z. Nach dem Satz des Pythagoras ist z der Abstand des Punktes z der Ebene zum Nullpunkt 0 = (0, 0. b 1 + b z 1 + z z=a+ib z=(x,y b z r y x b 1 z 1 a a 1 a 1 + a z=a ib Addition Konjugation Betrag 9-4

5 Gelegentlich wird die komplex Konjugierte einer Zahl z C auch mit dem Symbol z anstelle von z bezeichnet, diese Schreibweise werden wir in diesem Skript aber nicht verwenden. Mit diesen Bezeichnungen gilt für jedes z C\{0} die Gleichung 1 z = also auch zz = z. Trivialerweise gilt diese Gleichung auch für z = 0. Die Grundeigenschaften der komplexen Konjugation werden im folgenden Lemma zusammengestellt: z z Lemma 3. (Grundeigenschaften der komplexen Konjugation Seien z, w C. Dann gelten: (a Es ist z + w = z + w. (b Es ist z w = z w. (c Im Fall z 0 sind 1 z = z z und ( 1 = 1 z z. (d Es sind z = z, z = z und zz = z. (e Es gelten Re(z = z + z und Im(z = z z. i (f Genau dann ist z R wenn z = z gilt. Beweis: Wir schreiben z = x + iy und w = u + iv mit x, y, u, v R. (a Es ist (b Es ist z + w = (x + u + i(y + v = (x + u i(y + v = x iy + u iv = z + w. zw = xu yv + i(xv + yu = xu yv i(xv + yu = xu + ( y( v + i(x( v + ( yu = (x iy (u iv = z w. (c Die erste Gleichung haben wir bereits oben festgehalten, und für die andere Gleichung ergibt sich mit (b 1 = 1 = z 1 z = z ( 1 = z ( 1 = 1 z z. (d Diese Aussagen sind klar, beziehungsweise bereits oben bewiesen. 9-5

6 (e Es gelten z + z = x und z z = iy. (f Klar. Für reelles z stimmt der komplexe Betrag z mit dem reellen Betrag überin, und wir wollen jetzt einsehen, dass der komplexe Betrag dieselben Eigenschaften wie der reelle Betrag hat. Lemma 3.3 (Grundeigenschaften des komplexen Betrags Seien z, w C. Dann gelten: (a Es ist max{ Re z, Im z } z max{ Re z, Im z }. (b Es gilt zw = z w. (c Es gilt die Dreiecksungleichung z + w z + w. (d Es gilt z w z w. (e Es gilt z w z w. Beweis: (a Schreibe z = x + iy mit x, y R und setze M := max{ Re z, Im z } = max{ x, y }. Wegen x = x x + y = z und y = y x + y = z ist dann M z. Weiter haben wir (b Nach Lemma.(b gilt z = x + y = x + y M + M = M. zw = zwzw = zzww = zz ww = z w. (c Es gilt nach Lemma.(a,b,d,e und Teil (a,b z + w = (z + w (z + w = (z + w (z + w = zz + zw + zw + ww = z + zw + zw + w = z + Re(zw + w z + Re(zw + w z + zw + w = z + z w + w = z + z w + w also auch z + w z + w. (d,e Analog zu 1.Lemma. = ( z + w, 9-6

7 Sind z, w C, so zeigt die Interpretation der komplexen Addition als Vektoraddition, dass es, abgesehen von Randfällen, ein Dreieck mit den Seitenlängen z, w und z +w gibt. Die Dreiecksungleichung für den Betrag wird dann zur geometrischen Dreiecksungleichung das in einem Dreieck jede Seite höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten ist. Mit Hilfe des komplexen Betrages können wir nun auch definieren wann eine Menge komplexer Zahlen beschränkt sein soll. In 1 hatten wir eine Menge M R beschränkt genannt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist, da es auf den komplexen Zahlen keine Anordnung gibt übertragen sich diese beiden Begriffe aber nicht auf die komplexe Situation. Allerdings hatten wir eingesehen, dass M genau dann beschränkt ist wenn es eine Zahl c 0 mit x c für alle x M gibt. Letztere Beschreibung kann man leicht auf C erweitern. Definition 3. (Beschränkte Mengen in C Eine Menge M C heißt beschränkt wenn es eine reelle Zahl c R mit c 0 und z c für alle z M gibt. Insbesondere ist eine Teilmenge M R genau dann als Teilmenge von R beschränkt wenn sie als Teilmenge von C beschränkt ist. Da der komplexe Betrag der Abstand zum Nullpunkt ist, kann man alternativ auch sagen, dass eine Teilmenge M C genau dann beschränkt ist, wenn sie Teilmenge eines ausreichend grossen Kreises ist. Weiter behaupten wir das eine komplexe Menge M C genau dann beschränkt ist, wenn die reellen Mengen Re(M := {Re z z M} und Im(M := {Im z z M} beschränkt sind. Ist nämlich M C beschränkt, so gibt es ein c 0 mit z c für alle z M und mit Lemma 3.(a folgt auch Re z z c und Im z z c für alle z M. Sind umgekehrt Re(M und Im(M beschränkt, so gibt es Konstanten c 1, c 0 mit Re z c 1 und Im z c für alle z M. Ist also so ist nach Lemma 3.(a auch c := max{c 1, c } 0, z max{ Re z, Im z } max{c 1, c } = c für alle z M. Wenn man will kann man dies alles auch in geometrischer Sprache begründen, dass M beschränkt ist bedeutet das M in einem Kreis enthalten ist, und das die Realund die Imaginärteile der Elemente von M jeweils beschränkt sind bedeutet das M in einem Rechteck enthalten ist. Damit ist die Beschränktheitsaussage ebenfalls klar, denn jeder Kreis ist in einem ausreichend großen Rechteck enthalten und umgekehrt ist jedes Rechteck in einem geeigneten Kreis enthalten. 9-7

8 3. Die komplexe Multiplikation Wir haben bereits gesehen das die komplexe Addition einfach die gewöhnliche Addition von Vektoren im Parallelogram ist, dagegen ist die komplexe Multiplikation y durch eine Formel gegeben der man ihre geometrische Bedeutung nicht direkt ansieht. Dies liegt im wesentlichen z=re r φ e φ daran das die bisher verwendeten cartesischen Koordinaten der Ebene zur Beschreibung der komplexen Multipli- φ x kation nicht gut geeignet sind, wesentlich günstiger ist es die sogenannten Polarkoordinaten zu verwenden. Angenommen wir haben einen Punkt z C = R der Ebene. Dann können wir die Lage von z beschreiben indem wir zum einen den Abstand r 0 von z zum Nullpunkt und zum anderen den Winkel φ den z mit der x-achse bildet angeben. Man nennt r und φ die Polarkoordinaten der komplexen Zahl z. Zum besseren Verständnis der Polarkoordinaten betrachten wir für jedes φ R den Punkt e(φ C auf dem Einheitskreis, also dem Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt 0, der mit der x-achse den Winkel φ bildet. Betrachten wir das nebenstehende Bild, so ergibt sich der e( 1 y Punkt e(φ explizit als e(φ = (cos φ, sin φ = cos φ + i sin φ. Die komplexe Zahl z C zu den gegebenen Polarkoordinaten r, φ ist dann z = re(φ. Beachte das die erste Polarkoordinate r wegen re(φ = r e(φ = r immer als der Betrag von z eindeutig festgelegt ist, der Winkel φ aber nicht. Man kann zu φ noch beliebige Vielfache von π, also von 360 im Gradmaß, hinzuaddieren ohne das sich z ändert. Um ein eindeutiges φ zu kriegen muss man die erlaubten Winkel auf ein Intervall der Länge π einschränken. Für r = 0 ist φ sogar völlig willkürlich. Schauen wir uns einmal drei kleine Beispiele an. 1. Sei z = i. Der Abstand zu 0 ist r = i = 1, und da i im oberen Teil der y- Achse liegt, ist der Winkel zur x-achse gleich 90, beziehungsweise φ = π/. Also i = 1 e(π/ in Polarkoordinaten.. Die komplexe Zahl z = 1 + i hat als Abstand zum Nullpunkt r = 1 + i = =. Außerdem liegt z auf der Winkelhalbierenden im ersten Quadranten, unser Winkel ist also φ = π/4. Polarkoordinaten sind damit 1 + i = e(π/ x

9 3. Nehme jetzt z = i. Es ist r = i = 1. Was als Winkel genommen wird, ist nicht mehr so eindeutig. Laufen wir im Gegenuhrzeigersinn um den Einheitskreis, so durchqueren wir drei volle Quadranten, also φ = 3π/. Laufen wir dagegen im Uhrzeigersinn um den Kreis, so wird φ = π/. Diese beiden Winkel unterscheiden sich gerade um π. Welchen Winkel man als die Polarkoordinate ansieht hängt von der gewählten Normierung ab und ist damit letztlich willkürlich. Die zweite Polarkoordinate φ wird oft auch als das Argument der komplexen Zahl z bezeichnet, und mit dem Symbol φ = arg z notiert. Wie schon bemerkt ist das Argument nur bis auf Vielfache von π festgelegt und für z = 0 ist es sogar völlig beliebig. Um eine gewisse Eindeutigkeit zu erhalten schränken wir uns auf Winkel φ mit φ < π ein, also π < φ < π. Wegen e(π = cos π + i sin π = 1 werden dann die positiven Vielfachen von 1 ausgeschlossen. Definition 3.3 (Hauptwert des Arguments Die geschlitzte komplexe Ebene ist die Menge C := C\R 0 und für z C bezeichnen wir das Argument φ von z mit φ < π als den Hauptwert von arg z. Die hierdurch definierte Funktion heißt der Hauptzweig des Arguments. arg : C ( π, π Für z C haben wir also eindeutig festgelegte Polarkoordinaten r = z, φ = arg z wenn wir immer den Hauptwert des Arguments verwenden. Diese Wahl ist natürlich nicht die einzig mögliche, in vielen Zusammenhängen, wie beispielsweise im nächsten Abschnitt, ist die Normierung 0 φ < π passender. Für den Moment wollen wir aber den Hauptwert verwenden. Haben wir die komplexe Zahl z = x + iy mit x, y R in cartesischen Koordinaten gegeben, so ist die Berechnung der Polarkoordinaten r, φ im Prinzip nicht schwer, es gilt aber einige Fälle zu unterscheiden. Die erste Polarkoordinate ist unproblematisch r = z = x + y. Zur Berechnung von φ haben wir verschiedene Gleichungen zur Auswahl cos φ = x r, sin φ = y r und im Fall x 0 auch tan φ = sin φ cos φ = y x. Wir nehmen z C an und wollen für φ den Hauptwert des Arguments verwenden, also φ < π. Das Problem ist das wir nicht einfach irgendeine der trigonometrischen Arcus Funktionen verwenden können, da diese die zugehörige trigonometrische Funktion immer nur auf einem bestimmten Intervall der Länge π umkehren. In der Vorlesung hatten wir nur den Weg über den Cosinus besprochen, hier gehen wir der Reihe nach alle möglichen Berechnungsmethoden durch. 9-9

10 1. Der Weg über x/r = cos φ. Der Arcus Cosinus kehrt den Cosinus zwischen 0 und π um, er kann also unverändert für z in einem der ersten beiden Quadranten, d.h. für y 0 verwendet werden. Dort ist dann φ = arccos(x/r. In den anderen beiden Quadranten ist y < 0 also π < φ < 0. Damit ist 0 < φ < π und cos( φ = cos φ = x/r also φ = arccos(x/r und somit φ = arccos(x/r. Insgesamt ist damit ( x φ = sign(y arccos = r { arccos(x/r, y 0, arccos(x/r, y < 0. Beachte das diese Formel auch für y = 0 funktioniert da wegen z C dann x > 0 und φ = 0 ist.. Der Weg über y/r = sin φ. Der Arcus Sinus kehrt den Sinus zwischen π/ und π/ um, er kann also unverändert für z im ersten und im vierten Quadranten verwendet werden, d.h. für x 0. Dort ist dann φ = arcsin(y/r. Nun sei z im zweiten Quadranten, also π/ < φ < π. Dann ist π φ (0, π/ mit sin(π φ = sin φ = y ( y ( y r = π φ = arcsin = φ = π arcsin. r r Ist z im verbleibenden dritten Quadranten, so haben wir π < φ < π/ also ist (φ + π ( π/, 0 mit sin( (φ + π = sin(φ + π = sin φ = y ( y r = (φ + π = arcsin ( r ( y = φ = π + arcsin. r Insgesamt ist damit arcsin(y/r, x 0, φ = π arcsin(y/r, x < 0, y > 0, (π + arcsin(y/r, x, y < Der Weg über tan φ = y/x. Der Arcus Tangens kehrt den Tangens zwischen π/ und π/ unter Ausschluß der Grenzen um, also für x > 0. Dort ist dann φ = arctan(y/x. Im zweiten Quadranten unter Ausschluß der y-achse ist π/ < φ < π und somit φ π ( π/, 0 mit tan(φ π = tan φ = y ( y ( y x = φ π = arctan = φ = π + arctan. x x Im dritten Quadranten haben wir schließlich π < φ < π/ also 0 < φ + π < π/ und tan(φ + π = tan φ = y ( y ( y x = φ + π = arctan = φ = arctan π. x x 9-10

11 Insgesamt ist damit arctan(y/x, x > 0, π/, x = 0, y > 0, φ = π + arctan(y/x, x < 0, y > 0, π/, x = 0, y < 0, arctan(y/x π, x, y < 0. Für Punkte auf der negativen x-achse, also x < 0, y = 0, ist kein Hauptwert des Arguments festgelegt, wenn man will kann man für diese φ = π setzen. Dies ist auch das Ergebnis das sich mit der ersten Formel ergibt, denn dann ist arccos(x/r = arccos( 1 = π. Wählen wir eine andere Normierung des Arguments so ergeben sich auch andere Formeln. Eine oft verwendete alternative Normierung für die Werte φ des Arguments ist wie schon erwähnt 0 φ < π. In dieser Normierung unterscheidet sich das Argument φ vom Hauptwert nur im dritten und vierten Quadranten also für y < 0. Dort muss π zum Hauptwert addiert werden. In der Arcus Cosinus Formulierung ist damit beispielsweise { arccos(x/r, y 0, φ = π arccos(x/r, y < 0. Entsprechend ergeben sich auch Formeln über den Arcus Sinus beziehungsweise über den Arcus Tangens. Nun können wir die Polarkoordinaten zur Beschreibung der komplexen Multiplikation einsetzen. Gegeben seien zwei komplexe Zahlen z, w C die wir in Polarkoordinaten als z = re(φ und w = se(ψ schreiben. Dann wird z w = rs e(φ e(ψ, und wegen e(φ e(ψ = e(φ e(ψ = 1 liegt e(φe(ψ wieder auf dem Einheitskreis kann also als e(φe(ψ = e(θ für einen geeigneten Winkel θ R geschrieben werden. Das Produkt z w hat dann die Polarkoordinaten zw = z w = rs und θ. Zur Berechnung von θ verwenden wir die trigonometrischen Additionstheoreme sin(φ + ψ = sin φ cos ψ + cos φ sin ψ und cos(φ + ψ = cos φ cos ψ sin φ sin ψ und berechnen e(φ e(ψ = (cos φ + i sin φ (cos ψ + i sin ψ = cos φ cos ψ sin φ sin ψ + i (sin φ cos ψ + cos φ sin ψ = cos(φ + ψ + i sin(φ + ψ = e(φ + ψ, wir können also θ = φ + ψ verwenden. Insgesamt hat die komplexe Multiplikation in Polarkoordinaten damit die Form (re(φ (se(ψ = rs e(φ + ψ für alle r, s R 0, φ, ψ R, d.h. bei der komplexen Multiplikation werden die Längen miteinander multipliziert und die Winkel addiert. 9-11

12 3.3 Komplexe Wurzeln Zur Behandlung von Wurzeln ist es am bequemsten die eben eingeführten Polarkoordinaten zu verwenden. Angenommen wir haben eine komplexe Zahl a C und einen Exponenten n N mit n 1 gegeben, und wollen n a berechnen, etwas genauer formuliert wollen wir also die Gleichung z n = a nach z C auflösen. Da es für a = 0 nur die eindeutige Lösung z = 0 gibt, können wir uns auf den Fall a 0 beschränken. Wir schreiben a in Polarkoordinaten a = re(φ, die wir hier auf 0 φ < π normieren. Machen wir für z in Polarkoordinaten den Ansatz z = se(ψ mit s > 0, 0 ψ < π, so wird unsere Gleichung zu z n = (se(ψ n = s n e(nψ! = re(φ. Dies gibt zum einen die Bedingung s n = r, der Betrag von z ist also als s = n r eindeutig festgelegt. Es verbleibt e(nψ = e(φ. Hier führt die Mehrdeutigkeit des Arguments zu einer kleinen Komplikation, wir wissen nur das sich nψ und φ um ein ganzzahliges Vielfaches von π unterscheiden müssen, und wegen 0 nψ < nπ führt dies auf nψ = φ + πk = ψ = φ n + k π mit k N, 0 k < n. n Damit haben wir genau n verschiedene komplexe Wurzeln von z = re(φ nämlich { ( {w C w n = z} = n φ re n + k π } k N, 0 k < n. n Ein besonders wichtiger Spezialfall liegt vor wenn a = 1 ist, wenn wir also die n-ten Wurzeln der Eins bestimmen wollen. Definition 3.4 (Einheitswurzeln Sei n N mit n 1. Eine komplexe Zahl z C heißt eine n-te Einheitswurzel wenn z n = 1 ist. Ist in unserer Rechnung a = 1, so sind die Polarkoordinaten gegeben als r = 1 und φ = 0, also ergibt sich die Menge E n der n-ten Einheitswurzeln als { ( πk E n = e k N, 0 k < n}, n und somit liegen die n-ten Einheitswurzeln alle auf dem Einheitskreis und bilden die Ecken eines regulären n-ecks, dies ist ein n-eck in dem alle Seitenlängen und alle Innenwinkel gleich sind. Wir fassen diese Überlegungen und einige unmittelbare Folgerungen jetzt in einem Satz zusammen. Satz 3.4 (Komplexe Wurzeln Sei n N mit n 1 und setze ζ := e ( π = cos π n n + i sin π n. 9-1

13 Dann bildet die Menge E n der n-ten Einheitswurzeln ein in den Einheitskreis eingeschriebenes reguläres n-eck und es gilt E n = {ζ k k N, 0 k < n}. Ist 0 a C eine beliebige komplexe Zahl, so hat a in C genau n verschiedene n-te Wurzeln, die alle den Abstand n a vom Nullpunkt haben und die Ecken eines regulären n-ecks bilden. Ist a = re(φ mit r, φ R, r > 0 so ist n re(φ/n eine n-te Wurzel von a. Ist w eine beliebige n-te Wurzel von a, so ist {z C z n = a} = {ζ k w k N, 0 k < n}. Beweis: Für jedes k N mit 0 k < n haben wir ( ( πk e = e k π ( k π = e = ζ k, n n n und damit ist die Aussage über die Einheitswurzeln bewiesen. Sei jetzte a C\{0}. Wir haben oben bereits alles bis auf die letzte Aussage über die n-ten Wurzeln von a eingesehen. Ist w C mit w n = a, so ist insbesondere w 0 und für jedes z C bestehen damit die Äquivalenzen ( z n z n = a z n = w n z = 1 w w E n (k N, 0 k < n : z w = ζk. Die restlichen Aussagen haben wir bereits oben eingesehen. Die Einheitswurzeln spielen also so in etwa die Rolle von Vorzeichen n-ter Wurzeln. Hat man eine Quadratwurzel a, so sind die beiden möglichen Quadratwurzeln die beiden Werte ± a. Hat man dagegen eine n-te Wurzel n a, so ergeben sich die anderen n-ten Wurzeln durch Multiplikation mit den n-ten Einheitswurzeln. Zur exakten, also nicht numerischen, Auswertung komplexer Wurzeln ist es hilfreich möglichst viele Werte der trigomometrischen Funktionen zu kennen, und dies wollen wir hier etwas ausführlicher als in der Vorlesung beschreiben. Zunächst haben wir die Grundwerte φ cos φ sin φ tan φ π/6 3/ 1/ 1/ 3 π/5 (1 + 5/4 (5 5/4 5 5 π/4 1/ 1/ 1 π/3 1/ 3/ 3 π/ 0 1 π

14 Diese Werte dürften Sie auch in Ihrer Formelsammlung finden. Man kann sie alle geometrisch über die Definition der trigonometrischen Funktionen über rechtwinklige Dreiecke begründen, der Winkel π/5 ist aber schon etwas trickreicher und hängt mit der Konstruktion des regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal zusammen. Eine exakte Herleitung auf der Basis unserer Axiome ist uns an dieser Stelle sowieso nicht möglich da wir noch keine analytische Definition der trigonometrischen Funktionen haben. Eine solche folgt erst später in diesem Semester und in 1.3 werden wir die Werte in der Tabelle alle beweisen können. Daher akzeptieren wir die obige Tabelle an dieser Stelle erst einmal. Weitere Werte kann man dann über Periodizitätseigenschaften und die Additionstheoreme berechnen. Oft nützlich sind insbesondere die Halbierungsformeln, an die wir uns jetzt kurz erinnern wollen. Wir starten mit dem Additionstheorem cos(x = cos x sin x = cos x 1 = 1 sin x. Setzen wir hier x/ statt x ein, so wird diese Formel zu ( x ( x cos x = cos 1 = 1 sin. Für π x π ist π/ x/ π/ also cos(x/ 0 und somit ( x ( x 1 + cos x cos = cos = ( π x π. Mit dem Sinus können wir ähnlich rechnen. Für 0 x π ist 0 x/ π also sin(x/ 0. Damit ist ( x 1 cos x sin =. Ist schließlich 0 x < π, so ist ( x tan = sin ( x 1 cos x cos ( = x 1 + cos x = (1 cos x (1 + cos x 1 cos = x (1 + cos x (1 + cos x sin x = (1 + cos x = sin x 1 + cos x. Erweitert man mit 1 cos x statt mit 1 + cos x, so ergibt sich für 0 < x < π die alternative Formel ( x tan = 1 cos x sin x. Zum Beispiel sind ( π 1 cos(π/6 sin = = =, 4 4 ( π 1 + cos(π/6 + cos = = =, 4 4 ( π tan = 1 1 cos(π/6 = 3. sin(π/6 9-14

15 Mit all diesen Formeln ausgestattet kehren wir jetzt zu unserem Eingangsbeispiel x x 1 50 = 0 zurück. Dies hatten wir bereits vollständig gerechnet es blieb aber die Frage offen wie man die dritte Wurzel i findet. Dies können wir jetzt leicht sehen, die Polarkoordinaten von 1 + i sind r = und φ = π/4, also 3 ( 6 π ( ( π 1 + i = e = 1 1/6 cos 1 = 1/6 ( und wir haben die Wurzel berechnet. ( π + i sin i 4 = 4/3 ( i( 3 1, 4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen Nachdem wir in den ersten drei Kapiteln alle für uns nötigen Grundlagen behandelt haben, beginnen wir jetzt mit der sogenannten Analysis. Als Startpunkt verwenden wir dabei die gleich zu definierenden Folgen, diese werden sich dann als das zentrale technische Hilfsmittel für den Analysis-Teil dieses Semesters herausstellen. Weshalb Folgen überhaupt von Interesse sein sollten ist leider nicht unmittelbar zu sehen, sie sind auch erst recht spät in der Entwicklung der Theorie aufgetaucht. In der nächsten Sitzung werden wir den Begriff des Grenzwerts einer Folge einführen und stellen die Anmerkungen zur Motivation des Folgenbegriffs noch bis dahin zurück. Definition 4.1: Eine Folge in einer Menge M ist eine Abbildung a : N M. Dabei nennen wir a n := a(n für n N das n-te Folgenglied. Wir schreiben eine Folge meist nicht in Funktionsschreibweise sondern verwenden Namen wie (a n n N oder alternativ (a n n 0. Etwas allgemeiner betrachten wir auch Folgen mit anderen Startwerten als Null, d.h. ist n 0 N so ist eine Folge mit dem Startwert n 0 eine Abbildung a : {n N n n 0 } M, üblicherweise geschrieben als (a n n n0. Um die Notation nicht zu überladen sprechen wir meist einfach von Folgen (a n n N, implizit sind damit aber auch immer Folgen mit beliebigen Startwert gemeint auch wenn wir dies nicht extra hinschreiben. 9-15