Lineare Algebra. 1. Übungsstunde. Steven Battilana

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1 Lineare Algebra 1. Übungsstunde Steven Battilana September 3, 016

2 1 Komplexe Zahlen In R können wir zusätzlich zur Addition eine weitere Verknüpfung einführen, die komplexe Multiplikation : R R (a, b), (c, d) (ac bd, ad + bc) R. Diese Operation ist assoziativ mit neutralem Element (1, 0). Weiter gilt für (a, b) (0, 0) die Gleichung ( ) a (a, b) a + b, b = (1, 0); (1) a + b das heisst, ( ) a a + b, b R a + b ist zu (a, b) invers. Schliesslich ist die komplexe Multiplikation kommutativ, und es gilt das Distributivgesetz ((a 1, b 1 ) + (a, b )) (c, d) = (a 1, b 1 ) (c, d) + (a, b ) (c, d). Somit bildet R bzgl. Addition und komplexer Muliplikation einen Zahlkörper, den Körper (engl. Field) der komlexen Zahlen C. Wir können den Standardbasisvektor e 1 = (1, 0) R mit der Zahl 1 R identifizieren. Weiter setzen wir e = (0, 1) =: i, die imaginäre Einheit, mit i = ( 1, 0) = 1. Somit hat jedes z = (x, y) C die eindeutige Darstellung (kartesische Form) z = xe 1 + ye = x + iy mit Realteil x = Re(z) und Imaginärteil y = Im(z). Die Konjugation von z = x + iy C sei z = x iy C. Die Konjugation hat die folgenden Eigenschaften: (i) Für alle z = x + iy = (x, y) C = R gilt z z = (x + iy) (x iy) = x i y = x + y = z. (ii) Für alle z 1, z C gilt z 1 + z = z 1 + z ; z 1 z = z 1 z.

3 Definition (Euler Formel). e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Die Polarform von z = x + iy C sei Euler Formel z = re iϕ, z = r(cos ϕ + i sin ϕ), mit r = z, x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. arctan( y ), x > 0 x arctan( y ) + π, x < 0 y 0 x arctan( y ϕ = ) π, x < 0 y < 0 x π, x = 0 y > 0 π, x = 0 y < 0 undefiniert, x = 0 y = 0 Bemerkung (Ausblick). z +1 = 0 ist ein Beispiel für eine in R unlösbare Gleichung, die in C Lösungen hat (nämlich z = ±i). Allgemein gilt der Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom p(z) = z n + a n 1 z n a 0 vom Grad n 1 hat in C eine Nullstelle. Das heisst, C ist im Unterschied zu R algebraisch vollständig. Beispiel 1: 6 + 7i 3 8i = 6 + 7i 3 8i 3 + 8i 3 + 8i Beispiel : = i + 48i + 56i 9 64i = z = 1 + i r = = i + 48i = i 73 ϕ = arctan( 1 1 ) = π 4 z = e i π 4 Beispiel 3: 7e i π 3 π = 7(cos( 3 ) + i sin(π 3 )) = i = i Lineare Gleichungssysteme LGS Der allgemeine Fall hat m lineare Gleichungen, n Unbekannte und stellt ein LGS dar. Falls m > n, dann ist das LGS überbestimmt (numerisch lösbar) m < n, dann ist das LGS unterbestimmt (analytisch lösbar) m = n, sonst (analytisch lösbar) 3

4 Wobei a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b. a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m. Ax = b a 11 a 1 a 1n a 1 a a n x 1 b 1 A =.., x =., b =. x a m1 a m a n b m mn A = Koeffizientenmatrix, x = Unbekanntenvektor, b = Lösungsvektor (RHS) Lösungsansatz: Gauss-Elimination Bemerkung. Für ein LGS gilt jeweils eines der folgenden Punkte: Es besitzt genau eine Lösung, dann nennt man es ein reguläres LGS keine Lösung, dann nennt man es ein singuläres LGS viele Lösungen, dann nennt man es ebenfalls ein singuläres LGS 4

5 Gegeben: (für m < n m = n) a 11 a 1 a 1n a 1 a a n b 1 A =.., b =. b a m1 a m a m mn Gesucht: x 1 x =. 1. Stelle die erweiterte Koeffizientenmatrix auf a 11 a 1n b 1... = ( A b ). a m1 a mn b m x n. Bringe ( A b ) durch Operationen der Art (I), (II), (III) in folgende Form (Zeilenstufenform, d.h. es muss nicht umbedingt die Einheitsmatrix ergeben!): 1 0 x ( 1 x ), wobei 1 = Einheitsmatrix 0 1 x n (I) Zeilen vertauschen (II) Addition/Subtraktion von einer Zeile (Gleichung) zu einer anderen (III) Ver-k-fachen einer Zeile (Gleichung) mit k R \ {0} 3. Am besten geht das, wenn ihr das folgende Verhltnis bildet (dies werden wir später nochmals brauchen!) l ij := a i1 a jj und dies folgend nutzt x 1 x x 3 RHS (i) ( a 11 a 1 a 13 b 1 ) (ii) a 1 a a 3 b (iii) a 31 a 3 a 33 b 3 (ii) l 1 (i) a 11 a 1 a 13 b 1 a 1 l 1 a 11 a l 1 a 1 a 3 l 1 a 13 b l 1 b 1 a 31 a 3 a 33 b 3 5

6 (iii) l 31 (i) Beispiel 4: a 11 a 1 a 13 b 1 a 11 a 1 a 13 b 1 0 ã ã 3 b 0 ã ã 3 b... a 31 l 31 a 11 a 3 l 31 a 1 a 33 l 31 a 13 b l 31 b 1 0 ã 3 ã 33 b x 1 x x 3 = 4x 1 x + x 3 = 8x 1 4x + 6x 3 = 6 (iii) l 31 (i) (ii) l 1 (i) (ii) (iii) l 3 (ii) (i) ( ) 1 (ii) (i) =: ( ) In der 3. Zeile gibt es nur Nullen viele Lösungen. Mit Rückwärtseinsetzen erhalten wir von der. Zeile: x 3 = 1 Mit Rückwärtseinsetzen erhalten wir von der 1. Zeile: x 1 1 x = 0 x 1 = 1 x Wähle z.b. x = t als freien Parameter 1 t L = t 1 t R Bemerkung. Falls wir statt ( ) z.b erhalten hätten, gäbe es keine Lösung, weil in der 3. Zeile 0 = steht, was bekanntlich einen Widerspruch darstellt. 6

7 Beispiel 5: Für welche Werte von a R besitzt das folgende homogene lineare Gleichungssystem eine nichttriviale (von 0 verschiedene) Lösung? x 1 x 3 = x 1 + ax x 3 = 0 a x 1 + ax 10x 3 = 0 a 1 0 a a 10 0 Lösung: a 1 0 a 1 a a 10 0 a a (iii) l 31 (i) 0 a 3 0 a a Fall: x 3 0 Die 3. Zeile gibt uns (iii) l 3 (ii) a 3 a a a a 4 (ii) l 1 (i) (a 4)x 3 = 0 a 4 = 0 a = ± Wir wählen x 3 =: s, s R \ {0} als freien Parameter. Mit Rückwärtseinsetzen erhalten wir von der. Zeile ax 3s = 0 ax = 3s x = 3s a Mit Rückwärtseinsetzen erhalten wir von der 1. Zeile x 1 s = 0 x 1 = s Somit sind wir bereits bei der Lösung von diesem Fall angelangt: s L = s R \ {0}, a = ± 3s a s. Fall: x 3 = 0 Somit macht die 3. Zeile keine Aussage über a. Also müssen wir auf die. Zeile ausweichen. ax 3x 3 = 0 ax 3 0 = 0 ax = 0 a = 0 x = 0 (a) a = 0, x 0: Wir wählen x = t, t R \ {0} als freien Parameter. Mit Rückwärtseinsetzen erhalten wir von der 1. Zeile x 1 = 0. Somit erhalten wir die Lösung: 0 L = t 0 t R \ {0}, a = 0 (b) x = 0: Somit folgt aus der 1. Zeile: x 1 = 0 0 Dieser Fall liefert nur die triviale Lösung 0 und kann ausgeschlossen werden. 0 Insgesamt folgt also, dass wir für a {, 0, } nichttriviale Lösungen erhalten. 7

8 3 MATLAB Wenn ihr eine Funktion habt, aber nicht sicher seid, was es als Input benötigt oder was es zurück gibt könnt ihr das wie folgt herausfinden: Im Matlab Command Window mit: help <name> oder doc <name> Sonst könnt ihr auch Google benutzen. Beispiel 6: Lucas-Zahlen Definition, n = 0 L n := 1, n = 1 L n 1 + L n, n > 1 So erhalten wir die Folge:, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 9, 47, 76, 13,... Aufgabe Schreibe eine Matlab-Funktion lucas(n), die zu einer gegebenen positiven ganzen Zahl n die Lucas-Zahlen L 0,..., L n berechnet. Beispiel 7: Schreibe eine Matlab-Funktion drawcircle(c,r), welche einen Kreis mit Radius r und dem Zentrum C = (C(1), C()) zeichnet. Funktionsaufruf: drawcircle([7,3], 4). 8