TP2: Elektrodynamik WS Arbeitsblatt 10 21/ Dipole und Multipole in stationären Feldern

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1 TP2: Elektrodynamik WS Arbeitsblatt 10 21/ Dipole und Multipole in stationären Feldern Die Multipolentwicklung ist eine hilfreiche Näherung zur Lösung der Poisson Gleichung, wenn eine gegebenen Ladungsverteilung aus großer Distanz betrachtet wird. Die zwei niedrigsten Ordnungen sind verknüpft mit Mono- und Dipolen. Aufgabe 1: Multipolentwicklung einer Linienladung Ein Kreisring in der x-y-ebene mit Radius R trage eine homogene Linienladung λ. Berechnen Sie die ersten 3 Terme der Multipolentwicklung. a) Die Multipolentwicklung entwickelt den 1/ r r Term in der Berechnungsformel für das elektrische Potential. Entwickeln Sie diese Funktion wie Sie es in der Vorlesung gesehen haben in Ordnungen von ɛ = ((r /r) 2 2r /r cos α) mit α der Winkel zwischen den beiden Vektoren r, r. Schreiben Sie damit das elektrische Potential ϕ in Ordnungen von r /r bis zur 2. Ordnung. b) Bestimmen Sie den Winkel α in einer Form passend zur Einsetzung in die Multipolentwicklung, wie hängt dieser ab von Θ, Θ, Φ, Φ? c) Berechnen Sie die ersten 3 Ordnungen des Potentials. Wie verhält sich das System? (Mono-/Di- /Quadrupol?) Aufgabe 2: Elektrische Dipole Abbildung 1: Form des Dipols In dieser Aufgabe werden die Kräfte betrachtet, die auf einen (konstanten) infinitesimal kleinen Dipol mit Dipolmoment p = qδr wirken, wenn es sich in einem zeitlich unabhängigen externen elektrischen

2 Feld E befindet. Dabei befindet sich eine Ladung des Dipols am Punkt r, während sich der andere am Punkt r + δ r befindet. Die Entwicklung des Feldes bis zur ersten Ordnung kann geschrieben werden als E( r + δ r ) = E( r ) + (δ r ) E( r ). (1) a) Zeigen Sie (1), indem Sie das Feld entwickeln. b) Berechnen Sie die Kraft die auf einen infinitesimalen Dipol wirkt. Nutzen Sie dafür das externe Feld bis zur ersten Ordnung. c) Bringen Sie die Kraft auf die Form F = ( p E), (2) das Sie mit der Identität ( p E) = p ( E) + E ( p) + ( p ) E + ( E ) p (3) erhalten können. Welche Terme sind in dieser Identität 0 und wieso? d) Berechnen Sie das Drehmoment um die Ladung am Ort r. Mit Hilfe der vorherigen Ergebnisse und Angaben sollten Sie in der Lage sein das Drehmoment, in niedrigster Ordnung, wie folgt zu schreiben: N = p E + r F. (4) Welche Bedeutung haben die Terme in (2) und (4)? Wie reagiert der Dipol auf ein externes Feld? e) Unter Benutzung der bisherigen Ergebnisse, betrachten Sie nun die Interaktion zweier Dipole. Ein Dipol fungiere dabei als Quelle des externen Feldes E, während der zweite Dipol mit diesem interagiert: Das Feld eines Dipols kann geschrieben werden als E( r) = 1 [3( p ˆr)ˆr p], (5) 4πɛ 0 r3 das man mithilfe des Potentials wie Sie es in der Vorlesung gesehen haben herleiten könnten (freiwillig: wenn Sie möchten, können Sie auch das Feld versuchen herzuleiten). Berechnen Sie die potentielle Energie eines Dipols mit Hilfe der Ergebnisse von c). Nutzen Sie diesen Ausdruck um die Arbeit zu berechnen, die nötig ist, um zwei Dipole auf den Abstand r 2 r 1 zueinander zu bringen (r i bezeichnet jeweils die Position des i-ten Dipols). Gibt es einen endlichen Abstand, für das die nötige Arbeit minimal wird? Wie würden sich demnach zwei Moleküle mit jeweils einem Dipolmoment zueinander orientieren? Aufgabe 3: Magnetische Multipol-Entwicklung Die Multipol-Entwicklung kann auch auf das magnetische Potential angewandt werden. Die ersten beiden Momente werden nun hergeleitet. Das magnetische Potential, erzeugt durch eine Stromdichte, ist gegeben durch A = µ 0I 4π d 3 r j( r ) r r. (6)

3 a) Bestimmen Sie die Multipolentwicklung des magnetischen Potentials bis zur 1. Ordnung, indem Sie 1/ r r erneut entwickeln. Schreiben Sie dieses mal die erste Ordnung als Skalarprodukt zweier Vektoren und rechnen Sie in kartesischen Koordinaten. (1/ r 2 r 2 = 1/r 1/r 3 r r) b) Betrachten Sie zunächst den Term der Ordnung 1/r und berechnen Sie ihn. Was können Sie über diesen Aussagen? Verglichen mit der elektrischen Multipolentwicklung: Welche Art von Multipolterm ist diese Ordnung? Ist das Ergebnis daher zu erwarten? c) Betrachten Sie nun den anderen Term. Ziel ist es, diesen Term auf die folgende Form zu bringen: A( r) = µ 0 m r 4π r 3 mit dem magnetischen Dipolmoment m = 1 d 3 r r j( r). 2 (7) (8) Um dieses Ergebnis zu erhalten benötigen wir eine Identität, die Sie nun herleiten sollen. Leiten Sie d 3 rx j j i ( r) = d 3 rx i j j ( r) (9) her. Tipp: Es gilt für ein stationäres Feld allgemein (wieso?) (x j j) = i i (x j j i ) = j j + x j j = j j. (10) Demnach gilt für ein Volumenintegral mit einer beliebigen Funktion f(r): d 3 r [ (x j j( r ))]f( r ) = d 3 r j j ( r )f( r ). (11) Nutzen Sie partielle Integration und setzen Sie eine passende Funktion f( r) ein, die Randterme verschwinden dabei. d) Leiten Sie nun (7) mithilfe von (9) her. Eine Vektoridentität für ( r j) r ist dafür noch hilfreich. e) Vergleichen Sie das magnetische Dipolmoment und Potential mit den elektrischen. Aufgabe 4: Magnetischer Dipol Aus der vorherigen Aufgabe kennen Sie nun die Entwicklung des magnetischen Vektorpotentials bis zur ersten Ordnung. Die nullte Ordnung verschwand, da es keine Monopole gibt (vgl. Maxwell Gl.). In dieser Aufgabe wird nun der Dipolanteil des Potentials (7) genauer betrachtet. a) Berechnen Sie das magnetische Feld des Dipols mithilfe der Lösung des Potentials aus der vorherigen Aufgabe. Vereinfachen Sie den Ausdruck der Art ( A B) mithilfe einer Vektoridentität. Wandeln Sie das Feld soweit um, um B = µ 0 ˆr(ˆr m) m 4π r 3 zu erreichen. Vergleichen sie dieses Feld mit dem des elektrischen Dipols. Tipp: Rechnen Sie in kartesischen Koordinaten. (12)

4 b) Die Kraft auf ein Objekt, das eine Stromdichte j trägt und sich in einem externen Feld B befindet, kann berechnet werden via F = d 3 j B. (13) Berechnen Sie die Kraft die auf einen Dipol in einem externen langsam veränderlichen Feld wirkt und erhalten Sie F = ( m B). (14) Nutzen Sie dafür die Entwicklung des langsam veränderlichen Feldes das Sie aus Aufgabe 2 kennen bis zur 1. Ordnung. Betrachten Sie erneut die beiden Terme getrennt. Was ergibt die niedrigste Ordnung? Betrachten Sie das Integral für die höhere Ordnung komponentenweise und nutzen Sie die Tatsache aus, dass sie in Aufgabe 3 effektiv berechnet haben, dass für einen Dipol allgemein gilt d 3 r j j r lc l = ( m C) j (15) l für alle nicht vom Integral abhängigen Vektoren C. Wie sieht das Potential für den Dipol aus? Das Verhalten von magnetischen Dipolen in externen Feldern spielte eine wichtige Rolle in dem 1921 durchgeführten Stern-Gerlach Experiment, das gezeigt hatte, dass Atome einen intrinsischen quantisierten Drehimpuls besitzen(der quantenmechanische Spin). c) Das magnetische Drehmoment kann allgemein berechnet werden via N = d 3 r r [( j( r ) B( r )]. (16) Zeigen Sie, dass das Drehmoment, das auf den magnetischen Dipol wirkt, geschrieben werden kann als N = m B( r). (17) Nutzen Sie wieder die Entwicklung des B-Feldes, nur bis zur 0. Ordnung dieses mal, und nutzen Sie die Vektoridentität um das doppelte Kreuzprodukt in Skalarprodukte umzuwandeln und nutzen Sie die gleiche Identität welche Sie in der vorigen Teilaufgabe nutzen mussten. d) Analog zu Aufgabe 2 betrachten Sie nun die Interaktion zweier magnetischer Dipole. Der Einfachheit halber betrachten Sie jeweils einen Kreis mit Radius a als Stromschleife. Der Strom fließe ausschließlich am Rand um den Kreis. Das Dipolmoment das sich dann ergibt ist in diesem Fall m = I a (18) mit a = πa 2 der gewichtete Normalvektor der Kreisfläche. Ein Dipol fungiere wieder als Quelle des externen Magnetfeldes, während der andere Dipol sich in diesem Feld orientiert. Analysieren Sie qualitativ das Verhalten des zweiten Dipols anhand der potentiellen Energie und des Drehmoments. Wie werden Sie sich orientieren, wann ziehen Sie sich an?

5 e) Berechnen Sie das gesamte magnetische Dipolmoment einer Konfiguration von N Punktteilchen, wobei das i-te Teilchen eine Masse m i, Ladung q i und Geschwindigkeit v i besitzt. Unter der Annahme, dass alle Teilchen das gleiche Ladungs/Massenverhältnis besitzen, zeigen Sie, dass das komplette magnetische Moment proportional zum gesamten Drehimpuls des Systems ist. Diese Verbindung bleibt selbst in der Quantenmechanik erhalten, z.b. bei der Berechnung des magnetischen Moments von Elektronen eines Atoms.