Vorkurs Mathematik Übungen zu Kurven im R n

Transkript

1 Vorkurs Mathematik Übungen zu urven im R n Als bekannt setzen wir die folgende Berechnung voraus: Sei f : [a, b] R eine urve im R. Die Länge L der urve berechnet sich durch L b a f t dt urven in R Aufgabe. : f : [, π] R cost sint ft cost sint. Berechnen Sie die Länge der urve.. Zeichnen Sie für t und t π/ die erste Ableitung Geschwindigkeitsvektor und die zweite Ableitung Beschleuningungsvektor in eine Skizze ein. Aufgabe. : f : [, π] R cost sint. Berechnen Sie die Länge der urve. cost ft sint. Zeichnen Sie für t π/4 die erste Ableitung Geschwindigkeitsvektor und die zweite Ableitung Beschleuningungsvektor in eine Skizze ein.. Berechnen Sie für t die erste und zweite Ableitung. Hinweis: verwenden Sie in Teil die Additionstheoreme cost + sint sowie cost sint sint bzw. 4 cost sint sint.

2 Aufgabe. Logspirale: f : [, π] R e t cost e t sint ft e t cost e t sint. Berechnen Sie die Länge der urve.. Zeichnen Sie für t und die erste Ableitung Geschwindigkeitsvektor und die zweite Ableitung Beschleuningungsvektor in eine Skizze ein. Bemerkung: Die x-achse in der Zeichnung ist nicht maßstabsgetreu!. Jacobi-Matrix Aufgabe. Berechnen Sie die Jacobi-Matrix der Abbildung f : r, φ, θ r cosθ cosφ r cosθ sinφ r sinθ. Dies ist die Abbildung, die einen Punkt gegeben in ugel-oordinaten als r, φ, θ abbildet auf die zugehörigen kartesischen oordinaten x, y, z. Dabei ist r, φ [, π] und θ [ π, π].. Zeigen Sie, dass Punkte der Form, φ, auf einen reis abgebildet werden setzten Sie r und θ ein.. Zeigen Sie, dass Punkte der Form, φ, θ auf eine ugel abgebildet werden berechnen Sie f, φ, θ. Zusatzaufgabe Aufgabe. Wegintegrale: : [, π] R t cost t sint ft t cost t sint. Berechnen Sie das Wegintegral x + y ds Hinweis: Beachten Sie, dass hier t t gilt, weil t aus t [, π]. 4 Lösungen Lösung für Aufgabe. Es ergibt sich für die urve f : [, π] R : cost ft f sint t sint cost f t cost sint

3 f f f und f π f π f π Damit folgt f x cost + sint und es gilt: Länge der urve π dt [t] π t π Lösung für Aufgabe. Es ergibt sich für die urve f : [, π] R : ft cos t sin t f t sint cos t cost sin t f t cos t + 6 cost sin t sin t + 6 cos t sint f f f und Damit folgt f x f π f π f π 9 sin t cos 4 t + 9 sin 4 t cos t 9 sin t cos t cos t + sin t sint cost. } {{ } Beachten Sie: die Wurzel aus sin t cos t ist nicht sint cost, da letztere Funktion negative Werte annehmen kann! Für alle Zahlen y gilt stets y y, zum Beispiel für y gilt 9 y. auch für Funktionen y fx die Regel fx fx. Zu Berechnen ist also das Integral π cosx sinx dx Wenn Sie die Betragsstriche vergessen haben, so erhalten Sie π cosx sinx dx. π Der Term sint cost ändert auf [, π] sein Vorzeichen bei, π und π nämlich an den Nullstellen von cost und sint. Man muss also für die entstehenden vier Bereiche eigentlich vier Integrale berechnen: π/ cost sintdt, π cost sintdt, π/ cost sintdt, π cost sintdt. π/ π π/

4 Diese Integrale entsprechen jeweils einem Bogen der Asteroid-urve zwischen den oordinatenachsen. Da alle diese Bögen gleich lang sind, genügt es, die Länge des ersten Bogens zu berechnen, und diese mal 4 zu nehmen. π/ [ Länge der urve 4 cost sintdt 4 sin t ] π t 4 sin π 4 6 Lösung für Aufgabe. Es ergibt sich für die urve f : [, π] R : e ft t cost e t f e t t sint + e t cost sint e t cost + e t f e t t sint sint e t cost f Damit folgt f x f f e t cost sint + e t cost + sint e t cost cost sint + sint + cost + cost sint + sint e t cost + sint e t e t Die letzte Gleichung verwendet, dass e t > für alle t R gilt. Integrieren liefert: π [ ] Länge der urve e t π dt e t e π e e π t Bemerkung: Die Skizze in der Aufgabenstellung ist nicht maßstabsgetreu. Lösung für Aufgabe. Es ergibt sich für die urve ϕ : [, π] R : t cost ϕt ϕ t t sint ϕ x cost t sint + t cost + sint cost t sint t cost + sint cost t cost sint + t sint + t cost +t cost sint + sint + t cost + + t sint + t cost + sint + t Wir setzen die urve ϕt in die zu integrierende Funktion fx, y x + y ein und erhalten: fϕt t cost + t sint t cost + sint t t Wir erhalten also das integral: π π fx, yds fϕt ϕ t dt t + t dt 4

5 Da t im Integral zwischen und π läuft, gilt t und damit t t. Zum Lösen des Integals verwenden wir die einfache Subsitution da für gt + t gilt: g t t. Integrieren liefert: fx, yds π π π [ t + t dt t + t dt t + t dt + t ] tπ t + π + π.9495 Man beachte, dass dabei die Integrationsregel x n dx n+ xn+ zum Einsatz kommt. Für n ist diese Regel recht geläufig, sie gint aber auch für Wurzeln wie x x. Es gilt also x dx + x + x. 5