Kreis / Kugel - Integration. 5. Kugelsegment 6. Kreiskegel 7. Kugelausschnitt 8. Rotationskörper: Torus

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1 Keis / Kugel - Integation 1. Keis 2. Kugel 3. Keissekto 4. Keissegment 5. Kugelsegment 6. Keiskegel 7. Kugelausschnitt 8. Rotationsköpe: Tous 1. Keis Fomelsammlung - Fläche: A = 2 Integation katesische Koodinaten f(x) ist die Keislinie, also f(x) = 2 x 2 Ohne weitee Heleitung (Fomelsammlung): 2 x 2 dx = (1/2) { x 2 x acsin(x/) } Zuest ein Vieteilkeis Die gesuchte Fläche ist das bestimmte Integal zwischen und. A/4 = 2 x 2 dx = (1/2) { acsin(1) } - (1/2) { acsin() } acsin(1) = /2; acsin() = A/4 = (1/2) 2 /2 = 2 2 Eventuell "leheich" ist A/4 = 2 x 2 dx, also de Vietelkeis "auf de andeen Seite" A/4 = (1/2) { + } - (1/2) { + 2 acsin(-/) } "Voeilig" schließen wi acsin(-1) = 3 /2, weil ja sin(3 /2)=-1. Damit abe A/4 = /4 Wegen de Mehdeutigkeit von acsin(x) muss de Hauptwet - /2 acsin(x) /2 eingesetzt weden! Damit koekt A/4 = -(1/2) 2 (- /2) = 2 /4 Zum gleichen Integal 2 x 2 dx gelangt man auch mit folgende Übelegung: Die Fläche ist als Integal dx dy beechenba, dx dy ist dabei ein diffeentielles Flächenelement. Es sind die geeigneten Integationsgenzen zu finden. Fü einen Vietelkeis geht x von bis. y veläuft dann jeweils in dem zu x gehöenden Intevall. Wegen de Keisbedingung gilt x 2 + y 2 = 2. Fü den Vietelkeis sind nu die positiven y-wete einzusetzen, also y 2 x 2. Damit haben wi das schon Bekannte "neu efunden". An de Stelle x wid ein Balken mit infinitesimale Beite dx und eine Höhe von y-untee Wet bis y-obee Wet an de Stelle x betachtet. 2 x 2 A/4 = dy dx = [ y] 2 x 2 dx = 2 x 2 Fü den Keis ist diese Betachtung natülich übetieben und übeflüsssig! Wichtig ist dies nu, wenn die untee Begenzung de Fläche nicht duch die x-achse gegeben ist. Wi haben die Wahl zwischen dem gewohnten Einfachintegal und einem Doppelintegal, wenn die untee Genze die x-achse ist. Wi weden sehen, dass wi bei de Volumenbeechnung eine analoge Wahl zwischen einem Deifach- und einem Doppelintegal haben, wenn die untee Genze fü z die x,y-ebene ist. Integation Polakoodinaten ; 2 ; Flächenelement da = d d A = 2π d dφ = 2 /2 2 = 2 dx 216, A. Katochwill Keis/Kugel - Integation - Seite 1 von 7

2 2. Kugel Fomelsammlung - Volumen: V = 4π 3 3 Katesische Koodinaten (übe Rotationsköpe) Ein Schnitt duch die Kugel in de x-y-ebene ist ein Keis mit dem Radius. Dafü gilt x 2 + y 2 = 2 (z =). An eine andeen Stelle z, paallel zu x-y-ebene, liegt auch ein Keis vo, mit einem andeen Radius ', abe wi müssen ' nicht beechnen. Die veschiedenen z weden duch die Rotation eeicht. Wenn an eine Stelle x ein Punkt des Keises {mit y = f(x)} komplett um die x-achse gedeht wid, entsteht eine Keisscheibe {in de y-z-ebene}. De Radius dieses Keises ist y = f(x), die umschlossene Fläche " 2 " gleich f 2 (x). Eine infinitesimal dicke Scheibe hat das Volumen f 2 (x) dx. Die Summation diese Scheiben im betachteten Intevall auf de x-achse {Integal de Scheiben} ist das Gesamtvolumen des Rotationsköpes. Fü eine küzee Rechnung wid von bis integiet. Damit entsteht das halbe Kugelvolumen. y = f(x) = 2 x 2. V/2 = π f 2 (x)dx = π ( 2 x 2 ) V = 4 /3 3 dx = π [ 2 x] - π [ x3 Katesische Koodinaten (übe Deifachintegal) 3 ] = 3-3 / 3 = 2 3 /3 Neben de allgemeinen Diskussion als konketes Beispiel eine Achtelkugel. Kugelmittelpunkt sei de Koodinatenuspung. Das gesamte Volumen wid als Summe infinitesimale Blöcke dx dy dz beechnet. Unte "Summe" ist dabei die Integation zu vestehen! (Integal als Genzwet von Obe- und Untesumme) Die zu integieende Funktion ist f(x,y,z). Fü die Beechnung des Volumens de Kugel können wi wie beim Keis innehalb de Kugel übeall f(x,y,z) = 1 setzen. Als estes wählen wi einen bestimmten Ot (x,y) - aus dem gesamten Wetebeeich. Fü die Kugel muss (x,y) im Innen liegen. Duch die Summation übe alle möglichen z entsteht an de Stelle (x,y) ein Quade. Im allgemeinen Fall muss die Summation vom kleinst- zum gößtmöglichen z - an de Stelle (x,y) - velaufen. Fü die 1/8 - Kugel ist die untee Genze die x-y-ebene, z =. Die obee Genze ist de Kugeland. Dafü gilt die Bedingung x 2 + y 2 + z 2 = 2. Allgemein sind die Genzen des Integals sind z 1 (x,y) und z 2 (x,y), fü die 1/8-Kugel und 2 x 2 y 2. Diese Quade weden als zweites fü einen festen x-wet fü alle y addiet. Auch hie sind je nach de Stelle x ein untee und ein obee Wet möglich, allgemein y 1 (x) bis y 2 (x). Fü die Kugel sehen wi in de x-y-ebene x 2 + y 2 = 2 als Bedingung fü das gößtmögliche y zu einem bestimmten x. Die Integalgenzen sind und 2 x 2 216, A. Katochwill Keis/Kugel - Integation - Seite 2 von 7

3 Als letzte Schitt weden die ezeugten Schichten übe alle möglichen x, x 1 bis x 2, summiet. Fü die 1/8-Kugel sind die Genzen und. Damit ehalten wi allgemein die Summe alle Funktionswete im betachteten Volumen. x2 x1 y2(x) y1(x) z2(x,y) z1(x,y) f(x, y, z)dv = ( { f(x, y, z)dz} dy) dx 2 x 2 2 x 2 y 2 (Reihenfolge de Integation "von innen nach außen") Fü die Kugel ist V/8 = dz dy dx Poblemlos ist die Integation übe z: 2 x 2 y 2 Um fü die Integation übe y a 2 x 2 dx = (1/2) { x a 2 x 2 + a 2 acsin(x/a) } anwenden zu können, wid abgeküzt: a 2 = 2 - x 2 dz = 2 x 2 y 2 und x sind bezüglich de Integation übe y Konstanten, können also zusammengefasst weden. a = a 2 a 2 y 2 a dy = a 2 y 2 = 1 2 a2 acsin(1) = 1 2 a2 π 2 = (2 - x 2 )/4 Integation übe x: π 4 ( 2 x 2 ) dx = [ π 4 2 x] - [ π 4 dy = 1 2 [y a2 y 2 + a 2 acsin ( y a )] x 3 3 ] = π 4 (3-3 3 ) = π3 6 = V/8 V = 4π 3 3 Niemand behauptet, dass dies ein zweckmäßige Weg zu Beechnung des Kugelvolumens ist! Es sollte nu gezeigt weden, dass dies pinzipiell auch mit katesischen Koodinaten duchfühba ist! Katesische Koodinaten (übe Doppelintegal) Weil die untee Genze von z fü jedes {x,y} z = ist, liegen jeweils Säulen mit de Höhe z = f(x,y) vo. Die Integation übe z ist nicht nötig, es kann diekt z = 2 x 2 y 2 eingesetzt weden und nu ein Doppelintegal (übe x und y, gleich wie vohe) ist zu beechnen. Es ist dies nu ein begiffliche Unteschied, de gesamte Rechenaufwand ist identisch zu vohe! Kugelkoodinaten ; ; 2 ; Volumenelement dv = 2 sin( ) d d d π 2π V = 2 sin(ϑ) d dϑ dφ = 3 /3 - {cos( ) - cos()} 2 = (4 /3) 3 Tivialeweise sind Kugelkoodinaten auch besse geeignet fü Beechnung an eine Kugel! 3.Keissekto α 2 Fomelsammlung - Fläche: A = 2 Radius des Keises Öffnungswinkel des Sektos (im Bogenmaß, "ad"!) Zusammenhang mit dem "Sekto-Beginn" s: = 2 accos( s/) 216, A. Katochwill Keis/Kugel - Integation - Seite 3 von 7

4 Elementae Geometie Keissekto mit dem Winkel : Dessen Fläche ist entspechend dem Winkelanteil ein Anteil de gesamten Keisfläche (Winkel 2 ): A Sekto = ( / 2 ) 2 = 2 / 2 Integation katesisch Umständlich, weil zwei veschiedenatige Flächen voliegen. Ein Deieck und ein Keissegment. Fü das Deieck ist eine Integation übetieben! Sinnvoll: Elementageometie! s in de Sektomitte zwischen dem Uspung und dem Segment Fläche = Länge s halbehöhe y cos( /2) = s/ und sin( /2) = y/ A Deieck = s y = 2 [ cos( /2) sin( /2) ] = 2 [ sin( ) / 2] Die Integation des Keissegments ist unten beschieben. A Segment = 2 ( - sin ) / 2 Damit die Summe A Sekto = 2 /2 Integation Polakoodinaten ; 2 ; Flächenelement da = d d Fü wie beim Vollkeis, fü ein Anteil α A = d dφ = 2 /2 4. Keissegment Fomelsammlung - Fläche: A = 2 ( - sin ) / 2 de Öffnungswinkel des dazugehöenden Keissektos. ist im Bogenmaß ("ad") einzusetzen! Die Vewendung von "ad" ist beim Sinus uneheblich, bei " " abe zwingend notwendig! Wie beim Keissekto de Zusammenhang: = 2 accos( s/) Anmekung Die angegebene Fomel stimmt auch fü Winkel > 9. Am schnellsten einzusehen mit eine kuzen Umfomung. Fü > /2 ist die Fläche dieses Segments "gesamte Keisfläche - Segment fü (2 - )". A = 2-2 /2 { (2 - ) - sin(2 - ) } sin(2 - ) = sin(2 )cos( ) - cos(2 )sin( ) = -sin( ) A = /2-2 sin( )/2 = 2 ( - sin ) / 2 Integation katesisch Wi betachten die obee Hälfte des Segments. Untee Genze = x-achse, obee Genze = f(x) = Keislinie; f(x) = 2 x 2. Fomelsammlung: f(x)dx = (1/2) { x f(x) + 2 acsin( x/ ) } Die gesuchte Fläche ist das bestimmte Integal zwischen s und. s f(x)dx = (1/2) { f() + 2 acsin( / ) } - (1/2) { s f(s) + 2 acsin( s/ ) } f() = { 2-2 } 1/2 = ; acsin( 1) = /2. f(s) und acsin( s/ ) können nicht veeinfacht weden. 216, A. Katochwill Keis/Kugel - Integation - Seite 4 von 7

5 Die gesamte Segmentfläche ist das Doppelte: A Segment = 2 /2 - { s f(s) + 2 acsin( s/ ) } Das ist eine Fomel, die nicht meh den Winkel benutzt. Vegleich: Umechnung in die Fomel mit Zu s f(s): Es ist s = cos( /2) s f(s) = cos( /2) { 2-2 cos 2 ( /2)} 1/2 = cos( /2) sin( /2) = 2 /2 sin( ). Zu acsin(s/): Es gilt acsin(x) = /2 - accos(x) und es ist s/ = cos( /2) / = cos( /2) accos( cos(x) ) = x (Funktion / Umkehfunktion) Damit acsin(s/) = /2 - /2 Zusammengefasst: 2 /2-2 /2 sin( ) - 2 /2 + 2 /2 A Segment = 2 ( - sin ) / 2 identisch zu Voigem Integation Polakoodinaten ; 2 ; Flächenelement da = d d Wi echnen wiede mit de obeen Segmenthälfte (ab = ). Zu leichteen Lesbakeit "R" fü den Keisadius! (In de Endfomel wiede das übliche "") Fü küzee Fomeln in de Heleitung hie fü den halben Öffnungswinkel! = /2! (Am Ende wiede fü den ganzen Öffnungswinkel eingesetzt.) Die obee Genze ist tivial, fü den Winkel und R fü, ebenso die untee Genze fü. Die untee Genze fü hängt abe vom Winkel ab! De Segmentbeginn ist also nicht meh ein feste Wet, wie in einem katesischen System! Nach dem "goßen Deieck" ist cos( ) = s/r. Fü > ist untee Genze bei R' und cos( ) = s/r' R' = s/cos( ) = R cos( )/cos( ) (Kontolle: Fü = ist untee Integationsgenze R' = R cos( ) = s. Fü = ist R' = R.) β R Intgal = Fläche de Segmenthälfte A/2 = d dφ R cos(β)/cos (φ) R Innees Integal: d R cos(β)/cos (φ) β Äußees Integal: R 2 /2 dφ - R 2 /2 cos 2 ( ) β 1 cos 2 (φ) = R 2 /2 - R 2 /2 cos 2 ( )/cos 2 ( ) β 1 cos 2 (φ) dφ = [tan (φ)] β = tan( ) R 2 /2 - R 2 /2 cos 2 ( ) sin( )/cos( ) = R 2 /2 - R 2 sin( ) cos( )/2 sin( ) cos( ) = sin(2 )/2 = sin( )/2 R 2 /2 = R 2 ( /2)/2 = R 2 /4 A/2 = R 2 { - sin( )}/4 Wiede "" anstelle von "R": A Segment = 2 { - sin( )} / 2 dφ 216, A. Katochwill Keis/Kugel - Integation - Seite 5 von 7

6 5. Kugelsegment de Höhe h Fomelsammlung - Volumen: V = π 3 h2 (3 - h) Katesische Koodinaten (übe Rotationsköpe) y = f(x) = 2 x 2. V = π f 2 h (x)dx = π ( 2 x 2 ) h dx = π [ 2 x] h = h - π π 3 {3-3 2 h + 3 h 2 - h 3 } = = h 2 - π 3 h3 = π 3 h2 (3 - h) Fage zu Anwendbakeit de Fomel fü das Kugelsegment - π [ x3 ] = 3 h Ist die Fomel V = π 3 h2 (3 - h) anwendba fü alle Höhen eine Halbkugel? h = V = "Null-Segment" h = V = 2π 3 3 ichtige Wet fü Halbkugel h = /2 V = 2π zwischen Weten fü h = und h = 16 Gültig fü ganze Kugel? h = 2 V = 4π 3 3 auch ichtig h = 3/2 V = 2π das müsste gleich sein "ganze Kugel - Segment fü /2": 2π 3 3 { } = 2π Die Fomel ist fü alle h 2 anwendba. 6. Keiskegel mit Radius (Gundfläche) und Höhe h Fomelsammlung - Volumen: V = 2 πh Katesische Koodinaten (übe Rotationsköpe) Keis in de Höhe x von de Kegelspitze aus: "Stahlensatz": / h = tan( ) und K / x = tan( ) K = x / h Damit diffeentielles Volumenelement dv = K 2 πdx h V = 2 K πdx h = x2 2 π h 2 3 dx = 2 π 3h 2 {h3-3 } = 2 πh 3 {Elementageometie: V = 1 3 Gundfläche Höhe = h} Falls x von de Gundfläche aus angesetzt wid, ist K = (h-x) / h = (1 - x/h). Die Integation enthält dann 2 weitee Teme, die sich küzen. 216, A. Katochwill Keis/Kugel - Integation - Seite 6 von 7

7 7. Kugelausschnitt (zu Kugel mit Radius ) mit Segmenthöhe h Fomelsammlung - Volumen: V = 2π 3 2 h Ausschnitt = Segment de Höhe h + Keiskegel mit Höhe ( - h) und Radius in diese Höhe ( K ) Fü den Keiskegel gilt K 2 + ( - h) 2 = 2 K 2 = h - h 2 = 2h - h 2 "Richtige" Wete eingesetzt in die Fomel fü den Keiskegel 2 πh 3 : V = 1 3 (2h - h2 ) ( - h) = π 3 {22 h - 2h 2 - h 2 + h 3 } Gesamtvolumen des Ausschnitts (Summe Segment + Keiskegel): V = π 3 h2 (3 - h) + π 3 {22 h - 3h 2 + h 3 } = π 3 {3h2 + h h - 3h 2 - h 3 } = 2π 3 2 h 8. Beispiel fü Rotationsköpe: Tous Ein "Keising" mit dem Radius im Abstand R Nach de "Guldinschen Regel" ist das Volumen: Fläche de ezeugenden Figu (Keis mit Radius ) x Umfang des Keises, de duch Rotation des Schwepunkts de Figu eeicht wid. De Schwepunkt de Figu "Keis" ist de Mittelpunkt des Keises. Damit V(Tous) = 2 x 2 R = 2 2 R 2 Altenativ kann man sich den Tous duchschnitten und aufgeklappt vostellen. Es entsteht ein Zylinde mit de Gundfläche 2 und de Höhe 2 R. Mit de Integalechnung wid das Volumen des Rotationsköpes übe V = (f(x)) 2 dx a beechnet. Dabei wid y = f(x) in einem Vollkeis um die x-achse gedeht. In V 1 wid die Fläche zwischen x-achse und dem obeen Rand betachtet, in V 2 die Fläche zwischen x-achse und unteem Rand. Um eine einfache Fomel fü die Keislinie einzusetzen, wid de Keis symmetisch auf de x-achse angeodnet. Das Volumen des gedehten Keises ist die Diffeenz de Integale V 1 - V 2. V 1 = + + (R + 2 x 2 ) 2 dx; V 2 = (R 2 x 2 ) 2 dx { R 2 + 2R 2 x x 2 } - { R 2-2R 2 x x 2 } = 4R 2 x 2 V = V 1 - V 2 = 4 R + 2 x 2 dx Fomelsammlung: a 2 x 2 dx = (1/2) { x a 2 x 2 + a 2 acsin(x/a) } + 2 x 2 dx = 1 [x 2 2 x acsin ( x )] + = = 1 { acsin(1) - (-) - 2 acsin(-1) } = { π - (- π ) }= V = 4 R = 2 2 R 2 b 216, A. Katochwill Keis/Kugel - Integation - Seite 7 von 7

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