Der Kreis und die Kreisteile

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1 De Keis und die Keisteile Schüle messen zu Hause Umfang und Duchmesse von unden Gegenständen: Gegenstand Umfang (U) Duchmesse (d) u d 38 CD 38 cm 1 cm = 3, ,5l-Glas cm 7 cm = 3, Mülleime 63 cm 0 cm 63 = 3, 15 0 Keksdose 79 cm 5 cm 79 = 3, 16 5 Pingels-Dose cm 7,5 cm = 3, 7,5 5,1 Fischfutte 5,1 cm 8 cm = 3, Keiszahl 3, Duchschnitt (Mittelwet): (3,16 + 3,3 + 3,15 + 3,16 + 3, + 3,1) : 6 = 3,1 MERKE: u Die Zahl Pi ist de Quotient aus Keisumfang und Keisduchmesse: = d Sie egibt geundet: 3, In Wiklichkeit ist die Zahl Pi unendlich lang und wiedeholt sich nicht in ihe Ziffenfolge, es ist also eine iationale Zahl. Umfang (u) des Keises Umfang: u = u = d Umfang ausgedückt mit dem Duchmesse d des Keises. d u = u = Umfang ausgedückt mit dem Radius des Keises. Übepüfe die in de Tabelle angegebenen Beispiele mit Hilfe de neu gelenten Fomel fü den Umfang eines Keises. We hat am genauesten gemessen? CD: u = 1 u = 37,7 cm Glas: u = 7 u =,0 cm Mülleime: u = 0 u = 6,8 cm Keksdose: u = 5 u = 78,5 cm u = 7,5 Pingels-Dose: u = 3,6 cm Fischfutte-Büchse: u = 8 u = 5,1 cm Mülleime, CD und Fischfutte-Dose wuden am genauesten gemessen! Seite 1 von 17

2 Infos zu Zahl Pi ( 3, ) Die Entwicklungsgeschichte de Zahl (aus Wikipedia.de): Wie die Bibel im esten Buch de Könige, Kapitel 7, Ves 3 beichtet, sollte ein undes Becken umspannt weden: Hieauf fetigte e ein keisundes Becken an, das von einem Rand bis zum andeen 10 Ellen maß..., eine Schnu von 30 Ellen umspannte es. = Fehle: % Genaue waen die ngaben in Ägypten. Das älteste bekannte Rechenbuch de Welt, das Rechenbuch des hmes (auch Papyus Rhind, 17. Jahhundet v. Ch.), nennt den Wet (16/9). = Fehle: % ls Näheung fü benutzten die Babylonie 3+1/8. = Fehle: % In Indien benutzte man in den Sulbasutas, den Schnuegeln zu Konstuktion von ltäen, den Wet (6/15). = Fehle: % chimedes von Syakus (um 87 v. Ch. bis 1 v. Ch.) wa ein antike giechische Mathematike, Physike und Ingenieu. E kam zu de fü die damalige Zeit äußest bedeutsamen bschätzung, dass das gesuchte Vehältnis etwas kleine als die Zahl sein müsse, jedoch göße als und benannte den Buch fü = Fehle: % Zu Chongzhi (30 501) beechnete fü die Keiszahl die esten 7 Dezimalstellen exakt. E kannte auch den fast genauso guten Näheungsbuch 355/113. = Fehle: % Handweke benutzten in Zeiten vo Rechenschiebe und Taschenechne die Näheung /7 und beechneten damit vieles im Kopf. De Fehle gegenübe betägt etwa 0,0 %. = Fehle: % De dezeitige gültige Rekod de Beechnung von wid duch Yasumasa Kanada auf einem HIT- CHI-Supecompute mit (1, Billionen) Stellen gehalten. n de Nachkommastelle von findet man laut Yasumasa Kanada wiede die Folge Benutzt man die Computeschift ial in de Schiftgöße 10, so passen auf eine DIN Seite ca. 90 x 65 = 5850 Ziffen. Wie viele doppelseitig beduckte DIN Seiten wüde man zum usducken de Zahl benötigen? nzahl de Seiten: Seite von 17

3 Infos zu Zahl Pi ( 3, ) Lösungen Die Entwicklungsgeschichte de Zahl (aus Wikipedia.de): Wie die Bibel im esten Buch de Könige, Kapitel 7, Ves 3 beichtet, sollte ein undes Becken umspannt weden: Hieauf fetigte e ein keisundes Becken an, das von einem Rand bis zum andeen 10 Ellen maß..., eine Schnu von 30 Ellen umspannte es. = 3 Fehle:,5% Genaue waen die ngaben in Ägypten. Das älteste bekannte Rechenbuch de Welt, das Rechenbuch des hmes (auch Papyus Rhind, 17. Jahhundet v. Ch.), nennt den Wet (16/9). = 3, Fehle: 0,6% ls Näheung fü benutzten die Babylonie 3+1/8. = 3,15 Fehle: 0,53% In Indien benutzte man in den Sulbasutas, den Schnuegeln zu Konstuktion von eligiösen ltäen, den Wet (6/15). = 3,00 Fehle:,366% chimedes von Syakus (um 87 v. Ch. bis 1 v. Ch.) wa ein antike giechische Mathematike, Physike und Ingenieu. E kam zu de fü die damalige Zeit äußest bedeutsamen bschätzung, dass das gesuchte Vehältnis etwas kleine als die Zahl sein müsse, jedoch göße als und benannte den Buch fü = 3, Fehle: 0,00135% Zu Chongzhi (30 501) beechnete fü die Keiszahl die esten 7 Dezimalstellen exakt. E kannte auch den fast genauso guten Näheungsbuch 355/113. = 3,11599 Fehle: 0, % Handweke benutzten in Zeiten vo Rechenschiebe und Taschenechne die Näheung /7 und beechneten damit vieles im Kopf. De Fehle gegenübe betägt etwa 0,0 %. = 3, Fehle: 0,00% De dezeitige gültige Rekod de Beechnung von wid duch Yasumasa Kanada auf einem HIT- CHI-Supecompute mit (1, Billionen) Stellen gehalten. n de Nachkommastelle von findet man laut Yasumasa Kanada wiede die Folge Benutzt man die Computeschift ial in de Schiftgöße 10, so passen auf eine DIN Seite ca. 90 x 65 = 5850 Ziffen. Wie viele doppelseitig beduckte DIN Seiten wüde man zum usducken de Zahl benötigen? nzahl de Seiten (doppelt beduckt): Seite 3 von 17

4 Flächeninhalt () des Keises ufgabe: Zeichne einen Keis mit = cm und teile ihn in acht gleich goße Teile Legt man jetzt die einzelnen Teile in folgende t und Weise aneinande, so ehält man in etwa die Fom eines Rechtecks u 1/U u = R 1 = u 1 1 = = = Die Fomel fü den Flächeninhalt () eines Keises ausgedückt mit seinem Radius () lautet also: = Die Fomel fü den Flächeninhalt () eines Keises ausgedückt mit seinem Duchmesse (d) lautet: d = d = Seite von 17

5 ufgabe: Löse die Flächenfomel nach de Vaiable bzw. d auf. d = = = = d d = = = d Beispiele: 1.) Ein Keis besitzt einen Flächeninhalt () von 50 cm. Wie goß ist sein Radius () und sein Duchmesse (d)? Wie goß ist sein Umfang (u)?.) Ein Keis besitzt einen Flächeninhalt () von 1 m. Wie goß ist sein Radius () und sein Duchmesse (d)? Wie goß ist sein Umfang (u)? 3.) Ein Keis besitzt einen Umfang (u) von 1 m. Wie goß ist sein Radius () und sein Duchmesse (d)? Wie goß ist sein Flächeninhalt ()? zu 1.) = zu.) = zu 3.) u = 50 = = 100 = = = = = = = cm = 56, cm = 15,9 cm d = 8 cm d = 11,8 cm d = 31,8 cm u = 5,1 cm u = 35, cm = 79,3 cm Seite 5 von 17

6 De Flächeninhalt des Keisinges ufgabe: Um einen keisfömigen Gatenteich mit einem Radius von m soll ein Weg mit 1 m Beite angelegt weden. a.) Wie goß ist die Fläche des Weges? b.) Notiee eine Fomel fü diese Fläche. zu a.) KR = a i KR KR = 5 = 8,7 m a i M zu b.) KR a i = ( a ) KR = i ufgabe: Löse die Fomel fü den Keising nach de Vaiablen fü den äußeen Keisadius ( a ) und fü den inneen Keisadius ( i ) auf: KR = a i KR = a i ( ) ( ) = = KR a i KR a i KR KR a = + = KR a i i a a i = KR a = i KR = i KR i + = a Seite 6 von 17

7 Fläche und Umfang von Keis und Keising Bestimme den Flächeninhalt () und den Umfang (u) de folgenden Figuen. Benutze dazu die angegebenen Wete in de Zeichnung (angegeben in cm) und fühe danach die Beechnungen im Hausheft aus ,8, Seite 7 von 17

8 Fläche und Umfang von Keis und Keising (Lösungen) Figu 1: Figu : u = 11+ 7,85 u = 7 + 7,85 u = 18,85 cm u = 1,85 cm = ,8 = 6 + 9,8 =,8 cm = 15,8 cm Figu 3: Figu : u =,7 + 5, u = 1,6 + 5,6 u = 1,3 cm u = 18, cm = 3, , = 1, = 3,77 cm = 0,57 cm Figu 5: Figu 6: 16 1,56 + 3,1 ( 1 ) u = 1,5 + + = ,56 + 9, u = 9, + 6,3 + = + = 37,98 cm u = 19,7 cm = 6,8 = 17,7 cm Seite 8 von 17

9 Keissekto und Keisbogen In de echts abgebildeten Zeichnung sieht man einen Keis mit dem Radius = cm und einen Keissekto (S1) mit dem Mittelpunktswinkel α = 30 und einen Keissekto (S) mit dem Mittelpunktswinkel α = 10. Das Teil de Keislinie, das den Sekto begenzt, bezeichnet man als Bogen (b1 und b). 1.) Beechne die Fläche ( α ) des Keissektos S1..) Beechne die Länge (b α ) des Bogens b1. b1 S1 30 S 10 b 3.) Beechne die Fläche ( α ) des Keissektos S..) Beechne die Länge (b α ) des Bogens b. 5.) Vesuche eine Fomel zu finden, die die Fläche ( α ) eines Sektos bei beliebigem Mittelpunktswinkel α angibt. und: 6.) Vesuche eine Fomel zu finden, die die Länge (b α ) eines Bogens bei beliebigem Mittelpunktswinkel α angibt. Bitte diesen Teil ins Mekheft einkleben! Vesuche nun mit Hilfe de gefundenen Fomeln folgende ufgaben zu lösen: 1.) In einen Keis mit = 5 cm ist ein Sekto mit dem Mittelpunktswinkel α = 75 eingetagen. a.) Beechne die Fläche ( α ) dieses Sektos. b.) Beechne die Länge (b α ) des Bogens..) In einen Keis mit = 7 cm ist ein Sekto mit de Bogenlänge b α =,5 cm eingetagen. a.) Wie goß ist de Mittelpunktswinkel (α) und die Fläche ( α ) dieses Sektos? b.) Wie viel Pozent de Keisfläche entspicht diese Sektofläche? 3.) In einen Keis mit = 6 cm ist ein Sekto mit de Fläche α = 5 cm eingetagen. a.) Wie goß ist de Mittelpunktswinkel (α) und die Länge (b α ) des zugehöigen Bogens? b.) Wie viel Pozent des Keisumfangs entspicht die Bogenlänge?.) De Flächeninhalt ( α ) eines Keissektos entspicht 19% de Keisfläche () eines Keises mit dem Radius = 15 cm. a.) Wie goß ist de Flächeninhalt ( α ) dieses Sektos? b.) Wie lang ist de zu diesem Sekto gehöige Bogen? c.) Wie goß ist de zugehöige Mittelpunktswinkel α? Seite 9 von 17

10 Keissekto und Keisbogen (Lösungen) In de echts abgebildeten Zeichnung sieht man einen Keis mit dem Radius = cm und einen Keissekto (S1) mit dem Mittelpunktswinkel α = 30 und einen Keissekto (S) mit dem Mittelpunktswinkel α = 10. Das Teil de Keislinie, das den Sekto begenzt, bezeichnet man als Bogen (b1 und b). 1.) Beechne die Fläche ( α ) des Keissektos S1..) Beechne die Länge (b α ) des Bogens b1. b1 S1 30 S 10 b 3.) Beechne die Fläche ( α ) des Keissektos S..) Beechne die Länge (b α ) des Bogens b. 5.) Vesuche eine Fomel zu finden, die die Fläche ( α ) eines Sektos bei beliebigem Mittelpunktswinkel α angibt. α S α S α = = S = K und 6.) Vesuche eine Fomel zu finden, die die Länge (b α ) eines Bogens bei beliebigem Mittelpunktswinkel α angibt. α b α b = = b = α = α u K Bitte diesen Teil ins Mekheft einkleben! zu 1.) α a.) 75 5 α 75 5 b.) b = b = S = S = S = 16,36 b = 6,5 cm cm zu.) α b,5 a.) b = α = α = 7 α 0,6 7 S = S = S = 8, 75 cm S 100 8, b.) p = p = p = 5,68% 153,9 K α = 0,6 Seite 10 von 17

11 zu 3.) α S 5 a.) S = α = α = 6 α 79,58 6 b = b = b = 8,33 cm b 100 8, b.) p = p = u 37,7 p =, 1% K α = 79,58 zu.) a.) = = 15 K K 706,86 19 Pw = Pw = S = 13,3 cm 100 b u 13,3 15 = = = b = 17,91 cm u 706,86 S S K b.) b b K K K K = 706,86 cm α b 17,91 c. ) b = α = α = α = 68, 1 15 Seite 11 von 17

12 Fläche und Umfang von Keisteilen 1.) Beechne von nachfolgenden Figuen den Flächeninhalt () und den Umfang (u) (Maße in cm): gotische Spitzbogen (Kichenfenste) ) Die Fläche eines Keisabschnitts ( s ) (Keissegment) lässt sich aus de Diffeenz von Sektofläche ( α ) und Deiecksfläche ( D ) bestimmen (Maße in cm): Seite 1 von 17

13 Blatt: Keissekto und Keisbogen Teil 1 zu 1.) a = Keissekto und Keisbogen (Lösungen) α a = 30 a =,19 cm S 1 =,19 cm α zu.) b a = 30 b a = = b a =,09 cm 6 b 1 =,09 cm zu 3.) a = α a = 10 a = 19,55 cm S = 19,55 cm α zu.) b a = 10 b a = b a = 9,77 cm b = 9,77 cm zu 5.) a = α und a = bα zu 6.) b a = α ode b a = α Blatt Keissekto und Keisbogen Teil α zu 1.) a.) α = α = 5 75 α = 16,36 cm b.) b α = α 5 75 b α = b α = 6,5 cm zu.) a.) α = b α / α = b α / : ( ) α = bα α = α,5 7 α = α = 0,6 7 α = 0,6 o α = 8,75 cm b.) 8, = 5,68 % Seite 13 von 17

14 zu 3.) a.) Die Sektofläche entspicht 5,68 % de Keisfläche. α = α / α = α / :( ) α = α 5 α = 6 α = 79,58 o b α = α 6 79,58 b α = b α = 8,33 cm b.) 8, =,1 % 6 Die Bogenlänge entspicht,1 % des Keisumfangs. zu.) a.) = ges. 100 % 706,86 cm 15 = ges. 19 % 13,30 cm 706,86 cm = ges. De Flächeninhalt des Sektos betägt 13,30 cm. b b.) α = α / α = b α / : α = b α 13,30 = 17,91 cm 15 De zu dem Sekto gehöige Bogen ist 17,91 cm lang. α c.) α = / α = α / : ( ) α 13,30 = α ( ) (15 ) De Mittelpunktswinkel α ist 68, o goß. = 68, o zu 5.) a.) bα = α / b α = α / : b α = α bα 50 = 8 = 1,5 cm De Radius ist 1,5 cm goß. α = b α / α = b α / : ( ) b α = α 8 α = 1,5 α = 36,37 o De Mittelpunktswinkel ist 36,67 o goß. Seite 1 von 17

15 Keis und Geade ufgabe: Zeichne einen Keis mit = cm. Zeichne eine Geade (s), die den Keis in Punkten schneidet, eine Geade (p), die den Keis in keinem Punkt schneidet und eine Geade (t), die den Keis in einem Punkt beüht. p s M P t MERKE: Ein Keis und eine Geade können folgende dei Positionen zueinande einnehmen: 1.) Die Geade schneidet den Keis in Punkten (Sekante)..) Die Geade schneidet den Keis in keinem Punkt (Passante). 3.) Die Geade beüht den Keis in einem Punkt (Tangente). Diese Tangente bildet mit ihem Beühadius MP einen echten Winkel. Tangentenkonstuktionen: 1.) Zeichne einen Keis mit = 3,5 cm. Makiee einen Punkt auf de Keislinie. Zeichne die Tangente t, die den Keis im Punkt beüht..) Zeichne einen Keis mit dem = 3,5 cm. Makiee einen Punkt P außehalb des Keises. Konstuiee duch P die Tangenten an den Keis. zu 1.) t M Seite 15 von 17

16 zu.) Thaleskeis übe de Stecke MP t1 P 90 1 MT M t 90 Seite 16 von 17

17 Keis und Keisteile 1.) Eine Raumstation umkeist die Ede (Edadius 6378 km) in 00 km Höhe. Eine Edumkeisung dauet 90 Minuten. a.) Welche Entfenung legt die Raumstation bei einem Edumlauf zuück? b.) Welche Entfenung legt sie in 1 Stunde zuück, mit welche Geschwindigkeit fliegt sie also?.) In einem Pak befindet sich eine keisfömige Rasenfläche mit 10 m Duchmesse. a.) De Rasen soll gedüngt weden. uf de Vepackung steht: 10 kg fü 300 m. Wie viel kg weden fü die Rasenfläche benötigt. b.) Um die Rasenfläche soll ein 75 cm beite Weg angelegt weden. Hiezu weden Pflastesteine bestellt, die 5 po m kosten. Wie teue wid de Weg, wenn 16% Mehwetsteue hinzukommen? 3.) Nach nebenstehende Zeichnung soll eine Laufbahn mit de Beite 8 m estellt weden. a.) Was kostet die Hestellung de Laufbahn bei einem Quadatmetepeis von 75? b.) Im Innenaum soll Rasen gesät weden; das kostet 15 po m. Beechne den Gesamtpeis de Spotanlage. 90m 100m.) us einem quadatischen Wachstuch von 1, m Kantenlänge wid eine unde Tischdecke mit maximale Göße heausgeschnitten. Wie goß wid sie und wie viel Pozent betägt de bfall? 5.) De goße Zeige eine Tumuh ist 1,5 m lang, de kleine 1,1 m lang. a.) Beechne den Weg, den die Zeigespitzen in eine Stunde, an einem Tag, in einem Jah zuücklegen. b.) Beechne die Fläche des Sektos, den de goße (kleine) Zeige in 10 (5) Minuten übestichen hat. 6.) Das Rad eines ICE hat einen Duchmesse von 95 cm. a.) Wie viele Umdehungen kommen auf 1 km Fahstecke? b.) Wie oft deht sich das Rad auf dem Weg von Hannove nach München (65 km)? c.) Wie oft deht es sich in 1 Sekunde bei eine Geschwindigkeit von km/h? 7.) Eine Eisenbahnkuve hat einen Innenadius von 130 m. Sie vebindet zwei geadlinige Bahnstecken und umspannt dabei einen Mittelpunktswinkel von 15. Wie viel Mete Schiene weden fü das Kuvengleis benötigt (Spuweite 135 mm)? Skizze mit Bemaßung anfetigen! 8.) De Scheibenwische eines PKW macht usschläge von 10. De wischende Gummi ist 50 cm lang und sein untees Ende 0 cm vom Dehpunkt entfent. Wie goß ist die Fläche, die de Wische übesteicht? (Skizze mit Bemaßung anfetigen!) 9.) Das Pendel eine Standuh übesteicht einen usschlagwinkel von 1. Dabei legt die Spitze des Pendels jeweils eine Stecke von 7,1 cm zuück. Beechne die Länge des Pendels. 10.) Eine Pizza mittlee Göße hat einen Duchmesse von etwa 6 cm. Eine goße Pizza dagegen hat einen Duchmesse von etwa 36 cm. Um wie viel Pozent ist die Fläche de zweiten Pizza göße? Lösungen: 1.) a.) 1330,793 km b.) 7553,86 km/h.) a.) 78,5m,618 kg b.) 5,33m 13,3 3.) a.) 063,01m ,75 b.) 15361,73m 30.5, ,70.) a.) 1,m 1,13m 1,53% 5.) a.) (1,5m) 9,m 6,08m 8.559,35m (1,1m) 0,58m 13,9 m 5080,8m b.) 1,18m,95m 0,05m 0,13m 6.) a.),98m 335,57 U b.) 16.,95 U c.) 16,78 U 7.) 683,m 686,57m 5370,01m 8.) 5986,58cm 88,69cm 597,79cm 0,55m 9.) 19,8cm 10.) 530,93cm 1017,88cm 91,7% Seite 17 von 17