Tag der Mathematik 2019

Transkript

1 Guppenwettbeweb Einzelwettbeweb Mathematische Hüden Aufgaben mit en

2 Aufgabe G mit Aufgabe G a) Fü eine Konsevendose mit einem Lite Inhalt soll möglichst wenig Mateial benötigt weden, d.h. gesucht ist ein Zylinde mit einem Volumen V 0, de eine möglichst kleine Obefläche S hat. Beechnen Sie das Vehältnis de Höhe h zum Radius bei minimale Obefläche. b) Beechnen Sie entspechend h bei einem Kelchglas, d.h. gesucht ist ein Kegel mit dem Volumen V 0, de eine möglichst kleine Mantelfläche S hat. h h π S + h a) Aus V 0 = π h folgt h = V 0 π und somit S = π + πh = π + V 0. Aus S = 4π V 0 = 0 folgt V 0 = π 3. Aus V 0 = π h = π 3 folgt h =. b) Aus V 0 = 3 π h folgt h = 3V 0 π Aus und somit S = π + h = folgt 6 = V 0 π und 3 = 3V 0 π = h. Somit ist h =. S = 4π 3 8V 0 3 = 0 π 4 + V 0 π 4 + V 0. Zentum fü Mathematik Weastaße Bensheim Intenet: tdm@z-f-m.de

3 Aufgabe G mit Aufgabe G Beim Dehen de folgenden Glücksäde escheint jede Sekto mit Wahscheinlichkeit 3. A B C a) Wählen Sie jeweils zwei Glücksäde aus und beechnen Sie die Wahscheinlichkeit, mit de eines gewinnt. Vegleicht man z.b. A mit B, so gewinnt einmal, 6 und C 7 je zweimal, d.h. in 5 von Fällen gewinnt A. Vegleichen Sie entspechend B mit C und C mit A. Beechnen Sie die Gewinnwahscheinlichkeiten bei diesem A B paaweisen Vegleich und tagen Sie diese in das Pfeildiagamm ein. 5 b) Beechnen Sie die Gewinnwahscheinlichkeiten, wenn jedes Glücksad zweimal gedeht wid. Vegleicht man zum Beispiel mit AA Wahscheinlichkeit CC Wahscheinlichkeit so gewinnt AA gegen CC mit de Wahscheinlichkeit ( + ) ( ) ( ) + ( 44 8 ) + AA CC BB ( ) = 44 8 (Unentschieden gab es bei (8,8) und (,)). Vegleichen Sie entspechend CC mit BB und BB mit AA. Beechnen Sie jeweils die Gewinnwahscheinlichkeiten und tagen diese in das Pfeildiagamm ein. Zentum fü Mathematik Weastaße Bensheim Intenet: tdm@z-f-m.de

4 Aufgabe G mit a) Vegleicht man B mit C, so gewinnt keinmal, 5 zweimal und deimal, d.h. in 5 von Fällen gewinnt B. Beim Vegleich von C mit A, gewinnen 3 und 4 jeweils einmal und 8 deimal, d.h. in 5 von Fällen gewinnt C. 5 A C 5 B 5 b) Fü BB egibt sich BB Wahscheinlichkeit Vegleicht man CC mit BB, so ist die Gewinnwahscheinlichkeit von CC + ( + ) ( + + ) ( ) ( ) ( ) 3 + = 4. 8 De Vegleich von BB mit AA egibt die Gewinnwahscheinlichkeit von BB + ( ) ( ) + + = 4. 8 Insgesamt egibt sich also CC 4 8 AA 4 8 BB Zentum fü Mathematik Weastaße Bensheim Intenet: tdm@z-f-m.de

5 Aufgabe G3 mit Aufgabe G3 D Q C a) Zeigen Sie: In einem Rechteck (Seitenlängen a und b) mit den Seitenmitten P und Q wid die Diagonale AC duch DP und BQ in gleichlange Teistücke zelegt. A P B b) In einem Quadat ABCD mit Seitenlänge a und Mittelpunkt M weden die vie Ecken mit den Mittelpunkten de gegenübeliegenden Seiten vebunden. D C P Q a M A a B Daduch entsteht ein Sten und ein Achteck mit Mittelpunkt M. Seien P und Q zwei benachbate Ecken dieses Achtecks. Beechnen Sie MP, MQ und die Fläche F des Achtecks. Zentum fü Mathematik Weastaße Bensheim Intenet: tdm@z-f-m.de

6 Aufgabe G3 mit a). : Im Deieck ABD sind DP und AM Seitenhalbieende. Fü den Schnittpunkt S gilt AS = SM. (Analoge Betachtung von Deieck BCD mit BCD = ABD.). : Im Koodinatensystem liegen AC und DP auf den Geaden y = b a x bzw. y = b a x + b. Diese schneiden sich in S( a 3 b 3 ). D C M S A P B y D C(a b) S A P x b) MQ = MG = a. 4 Im Deieck DEF ist P de Schnittpunkt de Seitenhalbieenden MD und EQ. Also gilt (vgl. a)) D a MP = 3 MD = 3 a a P 45 = 6. E R M F. : F = 8 MQ MP sin 45 = 8 a 4 a 6 G Q = a 6. C. : Die Vieecke MQPR und DEPG sind ähnlich (Steckfakto, Steckzentum P). Aus 6x = a 4 folgt F = 4x = a 6. D 4x x P x x G Q E R M Zentum fü Mathematik Weastaße Bensheim Intenet: tdm@z-f-m.de

7 Aufgabe G4 mit Aufgabe G4 Axel, Bet und Cal wollen von ihem Haus zu eine km entfenten Hütte gelangen. Sie haben nu ein Fahad mit Gepäcktäge. Axel fäht mit dem Fahad, die beiden andeen gehen ode sitzen auf dem Gepäcktäge. Fäht Axel allein mit dem Fahad, kann e 5km/h schnell fahen. Sitzt jemand auf dem Gepäcktäge, kann e nu km/h schnell fahen. Zu Fuß gehen sie mit eine Geschwindigkeit von 3km/h. Wähend Cal zunächst zu Fuß geht, fäht Axel mit Bet auf dem Gepäcktäge vom Haus bis zu eine Stelle, wo e ihn ablädt und diese dann zu Fuß weitegeht. Anschließend fäht Axel allein zuück bis e auf Cal tifft. Cal setzt sich auf den Gepäcktäge und beide fahen zusammen zu Hütte. Alle dei kommen gleichzeitig an de Hütte an. Wie lange bauchen sie zu Hütte? Im Weg-Zeit-Diagamm sind die Geschwindigkeiten eingetagen und die Entfenungen a und b von de Hütte, wo die Wechsel stattfinden. Fü die Zeiten gilt T Cal = a 3 + a T Bet = b + b 3 T Axel = b + b a 5 + a Aus T Cal = T Bet folgt a + b =. Aus T Axel = T Cal folgt 8a = 3b. Haus Weg b a Hütte Also ist a = 3, b = 8 und die benötigte Zeit a + a = = 5 Stunden bzw. 00 Minuten. Zeit Zentum fü Mathematik Weastaße Bensheim Intenet: tdm@z-f-m.de

8 Aufgabe E mit Aufgabe E Seien a und b, a < b, positive eelle Zahlen. In einem Halbkeis mit Duchmesse a + b und Mittelpunkt M sind die Punkte P,Q,R und S eingezeichnet. P Q S a R M b Beechnen Sie MR, RQ, MP, PR und PS. Aus de Zeichnung egibt sich folgende Ungleichung: RQ > MP > PR > PS. Welche Ungleichung egibt sich daaus fü a und b? MR = a + b a = b a RQ = (a ) ( ) + b b a a + b MQ + MR = + = MP = a + b PR = ab Aus PR = PS MP folgt PS = PR MP Hieaus folgt fü a < b die Ungleichung a + b = ab = a+b. a + b > a + b > ab > +. a b Zentum fü Mathematik Weastaße Bensheim Intenet: tdm@z-f-m.de

9 Aufgabe E mit Aufgabe E Eine Goßmutte sagt: Meine Tochte und mein Enkelkind weden im Jah 0 so alt wie die Quesumme ihes Gebutsjahes. Wie alt sind die beiden? Das Gebutsjah liegt entwede vo 000 (i) ode nach (ii). (i) Aus bc b + c = 0 folgt 0b + c b + c = und somit b + c = 0. Also ist b = und c = 5, d.h. die Tochte wude 5 geboen und ist 4 Jahe alt. (ii) Aus abc + + a + b + c = 0 folgt 00a + 0b + c + + a + b + c = und somit 0a + b + c = 7. Also ist a = 0, b = und c = 3. Das Enkelkind wude 03 geboen und ist 6 Jahe alt. Zentum fü Mathematik Weastaße Bensheim Intenet: tdm@z-f-m.de

10 Aufgabe E3 mit Aufgabe E3 Gegeben ist ein Quadat mit dem Umkeisadius. In einem de Keisabschnitte ist ein Quadat mit de Seite s eingezeichnet. Beechnen Sie s in Abhängigkeit von und das Vehältnis de beiden Quadatflächen. s s s ( ( Aus + s) + s ) = folgt 5s + s 4 = 0 und somit auch (5s )(s + ) = 0. Also ist s = und das gesuchte Vehältnis = 5, d.h. das goße Quadat 5 s ist 5 mal so goß wie das kleine Quadat. Zentum fü Mathematik Weastaße Bensheim Intenet: tdm@z-f-m.de

11 Aufgabe E4 mit Aufgabe E4 Gegeben ist ein Keis mit Radius und d <. De Keis wid duch Halbkeise in vie Figuen unteteilt. a) Beechnen Sie die Fläche F de gau hintelegten Figu in Abhängigkeit von d und. d F b) Beechnen Sie das Vehältnis, wenn die d vie Figuen inhaltsgleich sind, d.h. wenn F ein Vietel de Keisfläche ist. a) F = π b) Aus π 4 ( d ) ( + π d+ ) ( π ( d + d ) = π folgt ( 4 d ) = πd 4 (d + ). ) = 0 und (wegen > 0) = 5+. d d d Zentum fü Mathematik Weastaße Bensheim Intenet: tdm@z-f-m.de

12 Aufgabe H mit Aufgabe H Scheiben Sie 0 im 8e-System, d.h. beechnen Sie a,b,c und d in 0 0 = abcd 8. 0 = = ( ) = = ( ) = = Zentum fü Mathematik Weastaße Bensheim Intenet: tdm@z-f-m.de

13 Aufgabe H mit Aufgabe H Dei gleichgoße Röhen mit Radius sollen duch eine Schnu zusammen gebunden weden. Beechnen Sie die Länge s de Schnu. s = 3 ( ) + π 3 = (3 + π) 60 0 Zentum fü Mathematik Weastaße Bensheim Intenet: tdm@z-f-m.de

14 Aufgabe H3 mit Aufgabe H3 In einem Vietelkeis (Radius ) begenzen zwei Halbkeise (Radius ) die Gebiete A und B. Zeigen Sie, dass die Flächen gleich goß sind. A B B = π 4 π ( ) + A = A Zentum fü Mathematik Weastaße Bensheim Intenet: tdm@z-f-m.de

15 Aufgabe H4 mit Aufgabe H4 In eine Schulklasse mit m Schülen und w Schüleinnen wid ein Test geschieben. Dabei haben die Schüle einen Mittelwet von 70 Punkten und die Schüleinnen einen Mittelwet von Punkten. De Mittelwet de ganzen Klasse betägt 86 Punkte. Beechnen Sie m w. Die m Schüle eeichten zusammen 70m Punkte. Die w Schüleinnen eeichten zusammen w Punkte. Die gesamte Klasse ehielt 86(m + w) Punkte. Aus 70m + w = 86(m + w) folgt m = 3. w 8 Zentum fü Mathematik Weastaße Bensheim Intenet: tdm@z-f-m.de

16 Aufgabe H5 mit Aufgabe H5 Fü welche x bzw.y gilt a) log 3 x = log x (Zehnelogaithmus) b) y+ = y a) Aus log 3 x = log x folgt 3 ( log x ) = log x und somit log x = 3 ode log x = 0. Also x = ode x = 0. b) Aus y+ = y folgt 4 ( y ) = y und somit 0 = 4( y ) y + = (4 y )( y ). Also y = ode 4 y = und somit y = ode y =. Zentum fü Mathematik Weastaße Bensheim Intenet: tdm@z-f-m.de

17 Aufgabe H6 mit Aufgabe H6 Gegeben ist ein egelmäßiges Sechseck ABCDEF im Koodinatensystem mit A(0 0) und C(7 ). Beechnen Sie die Fläche des Sechsecks. E D Sei die Seitenlänge des Sechsecks. Dann ist AC = 3. Aus AC = 7 + = 50 = ( 3) folgt = 50 3 und fü die Fläche = 5 3. F C A B Zentum fü Mathematik Weastaße Bensheim Intenet: tdm@z-f-m.de

18 Aufgabe H7 mit Aufgabe H7 Die Veknüpfung von Paaen eelle Zahlen wid definiet duch (a,b) (c,d) = (ad + bc,bd) Beechnen Sie (,) (3,4) (5,6) (7,8). (,) (3,4) (5,6) (7,8) = (0,8) (8,48) = (36,384) Deutet man die Zahlenpaae als Buchzahlen, so ist die Veknüpfung die Addition von Büchen: Dann gilt a b + c d ad + bc =. bd = = = 7 4. Zentum fü Mathematik Weastaße Bensheim Intenet: tdm@z-f-m.de

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20 : Es gibt die folgenden 0 Möglichkeiten, dei absteigende Augenzahlen zu wüfeln:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. Also egibt sich = Altenativ egibt sich die Anzahl de Möglichkeiten auch daaus, auf wie viele Aten man dei Wüfel aus auswählen kann. Die absteigend angeodneten Wüfel sind dann mögliche Vaianten. Somit egeben sich ( ) 6 = = 0 Möglichkeiten. Fü vie absteigende Augenzahlen gibt es somit ( ) 6 4 = = Möglichkeiten. Die Wahscheinlichkeit ist hie also 5 = 5 = Es gibt ( ( 6 6 3) 6 4) = 0 5 = 05 Möglichkeiten, bei vie Wüfen dei absteigende Augenzahlen und dann eine nicht meh absteigende Augenzahl zu wüfeln. Es egibt sich also als Wahscheinlichkeit 05 = = Pe sage/python-pogamm mit folgende Ausgabe: Anzahl de Wüfe, Wahscheinlichkeit fü genau so viele Wüfe, Wahscheinlichkeit fü mindestens so viele Wüfe. fo i in ange (, 8): pint i, (binomial (6, i-) * 6 - binomial (6, i)) / 6^i, \ binomial (6, i-) / 6^(i-) 0 7/ 3 35/08 5/ 4 35/43 5/54 5 7/648 5/ /46656 /6 7 /46656 /46656