Abb. 1: Tangentenviereck. 2 Tangentenviereck Ein Viereck mit den Seiten a, b, c, d ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn gilt: a + c = b + d (1)

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1 Hans Walse, [ ] Tangentenvieeck als Gelenkmodell Anegung: W. G., B und Ch. K., B. 1 Das Gelenkmodell Die Abbildung 1 zeigt zwei Positionen eines Gelenkmodells fü ein Tangentenvieeck. Die jeweiligen Inkeise wuden nachtäglich eingezeichnet. Abb. 1: Tangentenvieeck 2 Tangentenvieeck Ein Vieeck mit den Seiten a, b, c, d ist genau dann ein Tangentenvieeck, wenn gilt: a + c = b + d (1) Das kann mit Tangentenabschnitten eingesehen weden. Oft wid de halbe Umfang eine Figu mit s bezeichnet. Im Falle eines Tangentenvieeckes ist dann: a + c = b + d = s (2) Die Bedingung (1) kann auch in de Fom a b + c d = 0 (3) geschieben weden. In Woten: Die altenieende Seitensumme ist null. Eine weitee Fom ist die Diffeenzenfom:

2 Hans Walse: Tangentenvieeck als Gelenkmodell 2 / 12 a b = d c (4) Im Beispiel de Abbildung 1 ist a = 10, b = 8, c = 5 und d = 7. Als Maßeinheit dient de Lochabstand. Ein Vieeck ist duch seine vie Seiten abe noch nicht festgelegt. Zu gegebenen vie Seitenlängen mit de Bedingung (1) gibt es also unendlich viele Tangentenvieecke. Dies legt die Idee des Gelenkmodells nahe dessen Seiten die Bedingung (1) efüllen. In jede Position ehalten wi ein Tangentenvieeck. Die Göße des jeweiligen Inkeises vaiiet abe. 3 Nicht konvexes Tangentenvieeck Die Abbildung 2a zeigt nochmals das Gelenkmodell mit a = 10, b = 8, c = 5 und d = 7, abe die beiden küzesten Seiten sind zusätzlich nach außen velänget. a) b) Abb. 2: Nicht konvex Dieses Gelenkmodell kann in eine nicht konvexe Position gebacht weden (Abb. 2b). Es hat dann imme noch einen Inkeis, de abe teilweise die nun nach innen velaufenden Velängeungen de Seiten beüht. 4 Optimieung 4.1 Sehnenvieeck Man kann sich nun fagen, in welche Position das Tangentenvieeck mit gegebenen Seiten den gößten Inkeis hat. Dies ist gleichbedeutend mit de Fage nach dem gößten Flächeninhalt. Allgemein hat ein beliebiges Vieeck mit gegebenen Seitenlängen den gößten Flächeninhalt in de Position des Sehnenvieeckes (isopeimetisches Poblem fü Vieecke).

3 Hans Walse: Tangentenvieeck als Gelenkmodell 3 / 12 Beweis mit Diffeentialechnung [1], [2]. Ein elementageometische Beweis ist mi nicht bekannt. Somit hat ein Tangentenvieeck dann den gößten Inkeis, wenn es auch ein Sehnenvieeck ist. 4.2 Diffeenzialechnung Wi können die Optimieung des Tangentenvieecks abe auch ohne Bezugnahme auf das Sehnenvieeck beabeiten. Dazu abeiten wi mit den Bezeichnungen de Abbildung 3. D c b + a x c b + a x δ 2 c b a + x d γ 2 C b a + x x α 2 β 2 a x A x a x B Abb. 3: Bezeichnungen Zunächst ist: tan( 2 α ) = x, tan ( β 2 ) = a x, tan ( γ 2 ) = b a+x, tan ( 2 δ ) = c b+a x (5) Die Summe de halben Innenwinkel ist gleich π : actan x ( ) + actan ( ) + actan ( ) + actan ( ) = π (6) a x b a+x c b+a x Diese Gleichung (6) können wi mit CAS (Maple) nach auflösen und ehalten so die Funktion x ( ) deen Maximum wi nach dem üblichen Vefahen finden:

4 Hans Walse: Tangentenvieeck als Gelenkmodell 4 / 12 estat: glg:= actan(/x)+actan(/(a-x))+actan(/(b-a+x))+actan(/(c-b+a-x))=pi; sol:=solve(glg, ): =sol[1]; :=x->sqt(-(a+c)*(a^3-2*a^2*b+a^2*c-2*a^2*x+a*b^2-a*b*c+2*a*b*x- 2*a*c*x+a*x^2+c*x^2))/(a+c): xmax:=solve(diff((x), x)=0, x); max:=simplify((xmax)); Flaechemax:=simplify((a+c)*max); Wi ehalten: Abb. 4: Egebnisse Wegen (1) und (2) ist: x max = a( a b+c) = a+c ad s (7) max = abcd s = ac bd s (8) Fläche max = abcd (9) Mit diesen Angaben ist das optimale Tangentenvieeck mit Zikel und Lineal konstuieba.

5 Hans Walse: Tangentenvieeck als Gelenkmodell 5 / Konstuktion mit Zikel und Lineal Zu gegebenen Seiten a, b, c, d mit de Tangentenvieeckbedingung (1) konstuieen wi zunächst in eine Nebenkonstuktion x max und max und anschließend das optimale Tangentenvieeck. Die Nebenkonstuktionen velaufen in einem Quadat de Seitenlänge s = a + c = b + d. Wi zeichnen dieses Quadat und tagen auf de Deckgeaden die Stecken a und c sowie auf de Bodengeaden die Stecken b und d ab (Abb. 5). Die Abbildung 5a zeigt die Konstuktion von x max mit Hilfe des Stahlensatzes. Die Konstuktionseihenfolge ist: schwaz (gegebene Daten), blau, gün, zyan, ot. Die Abbildung 5b zeigt die Konstuktion von max. Vewendet weden dabei de Höhensatz im echtwinkligen Deieck und de Stahlensatz. Die Daten fü a, b, c, d entspechen dem Modell de Abbildung 1. x max a c a c bd ac max s s s s b d b a) b) Abb. 5: Nebenkonstuktionen d Nun zeichnen wi die Stecke a = AB und unte Vewendung von x max und max den Inkeis (Abb. 6a). Dann können wi zum gesuchten optimalen Tangentenvieeck egänzen (Abb. 6b).

6 Hans Walse: Tangentenvieeck als Gelenkmodell 6 / 12 D c C d b max max A x max a B A x max a B a) b) Abb. 6: Das optimale Tangentenvieeck 4.4 Stülplösung Wi können das Gelenkmodell de Abbildung 1 übe einen Kegel stülpen (Abb. 7). Wenn das Gelenkmodell festsitzt, hat es die optimale Position. Abb. 7: Stülplösung

7 Hans Walse: Tangentenvieeck als Gelenkmodell 7 / 12 5 Sondefälle Das Gelenkmodell de Abbildung 1 kann auf zwei Aten zu einem Deieck gesteckt weden (Abb. 8). Abb. 8: Zum Deieck gesteckt De Inkeis beüht dann die gesteckte Seite genau im gesteckten Eckpunkt also im Gelenkpunkt in welchem die beiden anschließenden Vieeckseiten einen Winkel von 180 einschließen. Dies folgt aus (1) sowie dem Sachvehalt, dass in einem Deieck de Tangentenabschnitt von eine Ecke zum Beühungspunkt des Inkeises gleich de Diffeenz des halben Umfanges und de gegenübeliegenden Seitenlänge ist. Einfache ist eine dynamische Übelegung: Das Gelenkmodell hat ja in jede Position einen Inkeis, also auch bei Annäheung an die Sondefallposition des Deieckes. Die Tangentenabschnitte auf den vom zu steckenden Eckpunkt ausgehenden Seiten gehen dabei gegen Null. Also fallen die beiden auf diesen Seiten liegenden Beühungspunkte zusammen und sind mit dem gesteckten Eckpunkt identisch. Auch die beiden andeen Beühungspunkte des Inkeises mit den Deiecksseiten sind ganzzahlig. Dies folgt tivialeweise aus de Ganzzahligkeit unsees Modells. Wid das Gelenkmodell eines beliebigen Vieecks zum Deieck gesteckt haben wi keinen Beühungspunkt im gesteckten Eckpunkt. Die Abbildung 9 zeigt ein Gegenbeispiel mit a = 10, b = 8, c = 7 und d = 4. Die Bedingung (1) fü das Tangentenvieeck ist veletzt. Die Beühpunkte de Inkeise sind weit daneben.

8 Hans Walse: Tangentenvieeck als Gelenkmodell 8 / 12 Abb. 9: Gegenbeispiel. Kein Tangentenvieeck 6 Kein übeschlagendes Tangentenvieeck Die Abbildung 10 zeigt ein übeschlagenes Vieeck. Das Gelenkmodell in de Foto (Abb. 10b) ist alledings kein Tangentenvieeck, sonden das schon einmal (Abb. 9) vewendete Gegenbeispiel mit a = 10, b = 8, c = 7 und d = 4, wo die Bedingung (1) veletzt ist. C A a 1 c 1 b d c 2 a 2 B D a) b) Abb. 10: Übeschlagenes Vieeck. Kein Tangentenvieeck Tatsächlich gibt es kein übeschlagenes Vieeck, das die Bedingung (1) fü ein Tangentenvieeck efüllt. Fü den Beweis abeiten wi mit den Bezeichnungen de Abbildung 10a. Aus de Deiecksungleichung fü die beiden Deiecke mit dem Keuzungspunkt als einem gemeinsamen Eckpunkt egibt sich:

9 Hans Walse: Tangentenvieeck als Gelenkmodell 9 / 12 a 2 + c 1 > b a 1 + c 2 > d a + c > b + d (10) Das widespicht de Bedingung (1). Auf diesen Sachvehalt ist de Auto gestoßen, als e vesuchte, aus dem Gelenkmodell fü das Tangentenvieeck de Abbildung 1 ein übeschlagenes Vieeck zu machen. Dabei fand e auch die folgende Klappvieeckeigenschaft. 7 Klappvieeck Das Gelenkmodell eines Tangentenvieeckes lässt sich zusammenklappen wie ein Taschenmesse (Abb. 11). Das zusammengeklappte Vieeck ist so lang wie die längste Vieeckseite. Abb. 11: Klappvieeck Genau die Tangentenvieecke sind Klappvieecke. Dies folgt aus (4) und de Stuktu des zusammengeklappten Modells. Fü den Fall des Rhombus funktioniet das Zusammenklappen nu, wenn wi die Gelenkbeite venachlässigen. 8 Plattdücken eines geschlossenen Bandes Wi bauen nun ein Gelenkmodell eines Tangentenvieeckes auf de Basis des Klappvieeckes. Dazu kleben wi einen Papiesteifen zu einem geschlossenen Band zusammen (Abb. 12). Dieses Band dücken wi nun flach und zwa so, dass insgesamt vie Faltlinien que zum Steifen entstehen. Damit egibt sich ein Gelenkmodell eines Tangentenvieeckes, weil sich die Bedingung (4) von selbe einstellt. Die Papiesteifen haben eine Tendenz, sich nicht im Sinne des Efindes zu kümmen.

10 Hans Walse: Tangentenvieeck als Gelenkmodell 10 / 12 Abb. 12: Flachdücken des geschlossenen Bandes 9 Modell aus Katonsteifen Die Abbildung 13 zeigt eine weitee At eines Gelenkmodells fü ein Tangentenvieeck, inspiiet duch das Modell de Abbildung 12. Dazu schneiden wi von einem ehe staken Katon zwei gleich beite und gleich lange Steifen ab, den einen fü a + c und den andeen fü b + d. Diese Steifen zeschneiden wi beliebig in je zwei Teile und ehalten so die Seiten a, b, c, d. Die Gelenke bauen wi mit beidseitig angebachten Klebebänden. Abb. 13: Gelenkmodelle aus Katonsteifen Dieses Modell lässt sich auch im Fall des Rhombus zusammenklappen. Einigemaßen wenigstens.

11 Hans Walse: Tangentenvieeck als Gelenkmodell 11 / Idealisieen und venachlässigen Mathematike sind goß im Venachlässigen und Idealisieen. Die Stecken im Gelenkmodell sind keine idealen Stecken. Sie haben eine gewisse Beite. Diese Beite wude etwa in de Abbildung 10a gegenübe dem ealen Modell de Abbildung 10b schlicht venachlässigt. In Beispiel de Abbildung 1 wude die Beite de Lochsteifen nicht venachlässigt. De Inkeis wude nicht fü das ideale Vieeck gezeichnet, sonden fü das Innenpofil (was die Fenstebaue das Licht nennen). Nun ist es alledings so, dass das keine Rolle spielt, solange die Steckenbeite (gedacht als Steifenbeite) übeall die gleiche ist (Abb. 14). Das Innenpofil, das ideale Tangentenvieeck und auch das Außenpofil haben je einen Inkeis. Diese dei Inkeise haben dasselbe Zentum, ihe Radien diffeieen um die halbe Steifenbeite. In de Abbildung 14a sind die Ecken auf Gehung gezeichnet. Bei den meisten Metallbaukästen sind sie und (Abb. 14b). Das hat abe keinen Einfluss auf den Inkeis des Außenpofils. a) b) Abb. 14: Tangentenvieeck mit Steifenbeite Nebenbemekung: Wi können die analoge Fage fü Sehnenvieecke stellen. Da in einem Sehnenvieeck die Summe gegenübeliegende Winkel je 180 ist, die Winkel bei Paallelsteifen sich abe nicht änden, sind sowohl Innenpofil wie auch Außenpofil je ein Sehnenvieeck. Wo liegen die Zenten de Umkeise? 11 Technisches Wie ältee Semeste schon lange festgestellt haben, sind die Gelenkmodelle de Abbildungen aus Lochsteifen aus Goßvates Metallbaukasten gebaut. Fü die Gelenke wude alledings systemwidig mit Mustetütenklammen geabeitet. Das macht die Modelle zwa etwas wacklig, dafü tagen die Gelenke nu wenig auf. Geht man im Modell de Abbildung 1 im positiven Sinn heum stellt man fest dass das jeweils folgende Lochband an dei Gelenkpunkten übe das vohegehende gelegt ist. Wi haben also deimal auf. Am vieten Gelenkpunkt geht es dann stak hinunte. De Niveauunteschied wude beim vieten Gelenkpunkt mit meheen Untelagscheiben kompensiet. Vom ästhetischen Standpunkt aus ist das unbefiedigend. Die Lösung

12 Hans Walse: Tangentenvieeck als Gelenkmodell 12 / 12 auf-ab-auf-ab wäe viel ausgeglichene. Dann hätte abe das Klappvieeck (Abb. 11) nicht funktioniet. Ein topologisches Poblem. 12 Das Pappelpoblem und eine didaktische Fage Bei Metallbaukästen weden die Lochbände nach de Lochzahl klassifiziet. In unseem Kontext ist abe die Anzahl de Lochabstände elevant. Diese ist um 1 kleine als die Lochzahl. Alledings macht es bei de Bedingung (1) nichts aus, wenn wi fälschlicheweise mit de Lochzahl abeiten. Die Fehle kompensieen sich. Die oben skizziete Poblematik taucht in vielen Beispielen im Unteicht auf. Oft ist es abe so, dass de Fehle sich nicht ausgleicht. Das klassische und abgegiffene Beispiel dazu ist die Fage nach de Länge eine Pappelallee, wenn die Anzahl de Pappeln und de Pappelabstand gegeben sind. Im Unteicht habe ich diesen Poblemkeis etwas ionisch jeweils als Pappelpoblem bezeichnet. Mit dem Efolg, dass eine Schülein an de mündlichen Matuitätspüfung in einem kombinatoischen Poblem leise lächelnd sagte es handle sich hie um das Pappelpoblem. Keine Pappel weit und beit. Die Pappelaufgabe soll siche nicht als Sachpoblem ode als authentische Modellieungsaufgabe behandelt weden. Es geht daum, einem oft auftetenden Abzählpoblem eine Ikone zu geben. Wenn Sie in Ihem Leben in n Wohnungen gelebt haben, wie oft sind Sie dann umgezogen? Websites [1] Flächenoptimieung im Vieeck: [2] Isopeimetische Vieecke mit gegebenen Seitenlängen: