Mögliche Portfolios: Zulässiger Bereich

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1 Mögliche Potfolios: Zulässige Beeich Veeinfachende Annahme: 2 Finanztitel (A und B) Bekannte Infomationen: Ewatete Renditen E( A ) und E( B ) Vaianzen de Renditen Va( A ) und Va( B ) Kovaianz zwischen den Renditen Cov( A, B ) Man kann Potfolios bilden, indem man den Anteil von Finanztitel A, bezeichnet mit α, vaiiet. De Rest, 1 - α, wid in den Finanztitel B investiet. De Ewatungswet und die Vaianz de Rendite jedes so gebildeten Potfolios esultiet automatisch aus den Infomationen übe A und B! 1

2 Mögliche Potfolios: Zulässige Beeich Fü die ewatete Potfolioendite gilt = a + ( 1 a) A B Fü die Vaianz de Potfolioendite gilt = a + (1 a) + 2a(1 a) A B AB Zu eine besseen Veanschaulichung kann man die esultieenden Potfolios in einem zweidimensionalen Koodinatensystem dastellen. Dabei wid üblicheweise das Risiko, in Fom de Standadabweichung, auf de -Achse und die ewatete Rendite auf de y-achse dagestellt. 2

3 Mögliche Potfolios: Zulässige Beeich 3

4 4 Mögliche Potfolios: Zulässige Beeich De Anstieg de ewateten Rendite in Abhängigkeit von Risiko lässt sich leicht beechnen a a = / / AB B A B B A AB B A B A B A a a a a a a ρ ρ ) 2 (1 ) ( ) (1 2 ) (1 ) ( = Setzt man die entsechenden Ableitungen ein, ehält man nach einigen Umfomungsschitten

5 Mögliche Potfolios: Zulässige Beeich Betachten wi nun zwei Sezialfälle: 1. ρ AB = 1 (A und B sind hundetozentig ositiv koeliet) 2. ρ AB = -1 (A und B sind hundetozentig negativ koeliet) Nach dem Einsetzen in den komlizieten Ausduck folgt im Fall 1: = A A B B Falls also die beiden Finanztitel hundetozentig ositiv koeliet sind, bilden die daaus entstehenden Potfolios eine Geade zwischen den Punkten A und B, 5

6 Mögliche Potfolios: Zulässige Beeich Im Fall 2 muss man zwei unteschiedliche Fälle von α untescheiden, um den Anstieg von in Abhängigkeit von zu bestimmen = A B wenn a B + + A B A B = A B wenn a < B + + A B A B Es ist offensichtlich, dass de Anstieg in beiden Fällen konstant ist, jedoch ist e in einem Fall ositiv und im andeen Fall negativ! 6

7 Mögliche Potfolios: Zulässige Beeich 0,02 0,015 E() A B Potfolios 0,02 0,015 E() A B Potfolios 0,01 0,01 0,005 0, ,02 0,04 0,06 0,08 ρ AB = ,02 0,04 0,06 0,08 0,1 ρ AB = -1 Inteessanteweise kann man duch zwei negativ koeliete Finanztitel ein isikoloses Potfolio bilden, falls man den Anteil α in geeignete Weise wählt. 7

8 Mögliche Potfolios: Zulässige Beeich Üblicheweise gilt: -1 < ρ AB < 1 Dahe bilden die möglichen Potfolios eine ähnliche Fom wie: 8

9 Mögliche Potfolios: Zulässige Beeich Zulässige Beeich (feasible set) bei dei Finanztiteln 9

10 Minimum-Vaianz-Kuve und Effizienzkuve De zulässige Beeich bildet den Ausgangsunkt fü die otimale Investitionsentscheidung! Annahme: die einzigen Entscheidungskiteien eines jeden Investos sind die ewatete Rendite und das Risiko in Fom von Standadabweichung. Da man im allgemeinen volle Infomiebakeit, Rationalität und Risikoavesion alle Investoen annimmt, können aus dem (jedem Investo bekannten) zulässigen Beeich einige Potfolios ausgeschlossen weden. Dies füht zu Minimum-Vaianz-Kuve und dann zu Effizienzkuve! 10

11 Minimum-Vaianz-Kuve und Effizienzkuve MV-Kuve Effizienzkuve 11

12 Minimum-Vaianz-Kuve und Effizienzkuve Wie soll man nun analytisch die Punkte auf de MV-Kuve und anschließend auf de Effizienzkuve finden? Otimieungsoblem zu lösen! Im Gunde gibt es zwei mögliche Vogehensweisen: 1. von divesen Punkten (Konstanten) auf de y-achse (-Achse) angente an den zulässigen Beeich bilden. Die angentialunkte liegen nämlich auf de MV-Kuve. 2. imme einen Wet fü die ewatete Rendite des gesuchten Potfolios fiieen und anschließend unte diese Nebenbedingung die Vaianz minimieen. 12

13 Minimum-Vaianz-Kuve und Effizienzkuve Im Fall 1 ist folgendes Poblem zu lösen ma ( c ) S Vekto von Anteilen des Potfolios Vekto von ewateten Renditen de Finanztitel Vekto von Einsen S Vaianz-Kovaianz-Mati de Renditen Es wid nun fü jedes beliebige c ein angential-potfolio * gesucht. 13

14 Minimum-Vaianz-Kuve und Effizienzkuve Angenommen de Wet θ ist de otimale Wet des Maimieungs- Poblems. Dann lässt sich das Poblem folgendemaßen scheiben: ma { } { ( R c ) = θ ma S} Leitet man nach ab und setzt man die beiden Ausdücke gleich Null R c = S * = S 1 ( R c ) Da jedoch nicht beachtet wude, dass die Summe de Anteile gleich 1 sein muss, ist noch eine Nomieung duchzufühen! 14

15 15 Minimum-Vaianz-Kuve und Effizienzkuve Angenommen y* wäe das nomiete otimale Potfolio, dann gilt wobei Hätte man die Nomieung diekt miteinbezogen, könnte man das otimale Potfolio, beeits nomiet, emitteln ) ( 1 * 1 = c R S y λ * * 1 m i i = = = λ ) ( )] ( [ * = c R S c R S

16 Minimum-Vaianz-Kuve und Effizienzkuve Fü jeden konstanten Wet c ehält man also ein Potfolio, welches auf de MV-Kuve liegt. Muss man das Vefahen unendlich wiedeholen, um die gesamte MV-Kuve zu emitteln? => Nein! Denn es gilt das sog. wo Fund heoem, welches besagt MVset wenn = a + (1 a) MVset , MVset Das heißt, jedes Potfolio, das auf de MV-Kuve liegt, kann als eine lineae Kombination von zwei andeen Potfolios, die auf de MV- Kuve liegen, gebildet weden. 16

17 Minimum-Vaianz-Kuve und Effizienzkuve In dem Altenativfall (Fall 2) besteht folgendes Otimieungsoblem ˆ { } S s. t. = ˆ 1 min = Dabei ist ein konstante Wet de ewateten Rendite. Die entsechende Lagange-Funktion ist dann L, λ, λ ) = S λ ( ˆ) λ ( 1) ( 2 Diffeenziet man L nach den Entscheidungsvaiablen, setzt man jede Gleichung gleich Null und löst anschließend das Gleichungssystem, kann man das otimale Potfolio * emitteln! 17

18 Minimum-Vaianz-Kuve und Effizienzkuve Wie kommt man zu Effizienzkuve, nachdem man die MV-Kuve emittelt hat? Man schließt einfach Potfolios aus, deen ewatete Rendite unte de ewateten Rendite des sog. Minimum-Vaianz-Potfolios liegt. Das MV-Potfolio ist das Potfolio mit de kleinst möglichen Vaianz! Um es zu emitteln, liegt also folgendes Otimieungsoblem vo Dahe muss gelten { S} s. t. 1 min = min L = S λ( 1) 18

19 Minimum-Vaianz-Kuve und Effizienzkuve Nach dem Diffeenzieen de Lagange-Funktion kommt man zu folgenden notwendigen Bedingungen (necessay conditions) L = S λ = 0 L = 1 = 0 λ Nach einigen Umfomungen esultiet daaus 1 1 * = ( S ) S 1 De Vekto * eäsentiet das Potfolio mit de minimalen Vaianz! 19

20 Einfühung eines isikolosen Finanztitels Angenommen auf dem Makt gibt es die Möglichkeit, das Geld isikolos anzulegen. In de Realität weden etwa Saeinlagen bei eine Bank (dezeit ehe diskutabel!) ode Staatsanleihen entsechend angesehen. De isikolose Finanztitel vefügt übe eine Rendite von f. Die Vaianz diese Rendite betägt selbstveständlich 0. Sonst wäe de itel nicht als isikolos zu betachten! Fü ein Potfolio, welches mit α an dem isikolosen itel und mit dem Rest an einem volatilen Finanztitel beteiligt ist, gilt = a f + ( 1 a) und = (1 a) i i 20

21 Einfühung eines isikolosen Finanztitels Die Potfolios, die duch die Vaiieung von α entstehen, bilden eine Geade, die den isikolosen Finanztitel (0, f ) mit dem andeen Finanztitel ( i, i ) vebindet. 21

22 Kaitalmaktlinie (CML) und Maktotfolio Konsequenzen Eweiteung des zulässigen Beeichs um die Potfolios, die duch die Einbeziehung von dem isikolosen Finanztitel entstehen. Die angente von dem isikolosen Finanztitel an den usünglichen zulässigen Beeich wid zu neuen Effizienzkuve. De angentialunkt wid als Maktotfolio M bezeichnet. Die Effizienzkuve, d.h. die Vebindungsgeade zwischen dem isikolosen itel und dem Maktotfolio wid als Kaitalmaktlinie (CML) bezeichnet. 22

23 Kaitalmaktlinie (CML) und Maktotfolio 23

24 Kaitalmaktlinie (CML) und Maktotfolio Außedem folgt aus de Einfühung des isikolosen Finanztitels und den folgenden Annahmen: alle Maktteilnehme sind voll infomiet alle Maktteilnehme sind ational und isikoaves alle Maktteilnehme ziehen bei ihe Investitionsentscheidung nu zwei Kiteien in Betacht: Ewatungswet und Standadabweichung de Rendite ihe Investition folgende Aussage: Alle Maktteilnehme investieen in ein Potfolio, welches auf de CML liegt, d.h. eine lineae Kombination zwischen dem Maktotfolio (welches fü alle gleich ist) und dem isikolosen itel dastellt. 24

25 Kaitalmaktlinie (CML) und Maktotfolio Um die CML zu emitteln, muss zuest das Maktotfolio gefunden weden. Wie soll man dies angehen? Da das Maktotfolio eigentlich ein angentialotfolio an den zulässigen Beeich dastellt, ausgehend von dem konstanten Punkt (0, f), liegt es gleichzeitig auf de MV-Kuve. Dahe kann man das beeits bei de Suche de MV-Kuve vogestellte Vefahen (Fall 1) anwenden, um das Maktotfolio zu emitteln! Dahe muss fü das Maktotfolio gelten M * = [ S 1 ( R f )] 1 S 1 ( R f ) 25

26 Kaitalmaktlinie (CML) und Maktotfolio Falls M bekannt ist, kann man leicht M, die ewatete Rendite des Maktotfolios, sowie ihe Vaianz, M2 emitteln. Die CML ist gegeben duch = f + M M f Dieses Vehältnis gilt fü alle Potfolios P, welche auf de CML liegen. De Anstieg de CML, wid auch als die Shae-Ratio (des Maktes) bezeichnet. Gundsätzlich kann die Shae-Ratio als de Peis fü die Übenahme von eine Einheit von Risiko inteetiet weden. 26

27 Kaitalmaktlinie (CML) und Maktotfolio Im Gunde kann man fü jeden einzelnen Finanztitel bzw. fü jedes beliebige Potfolio die koesondieende Shae-Ratio emitteln s i = i i f Je höhe die Shae-Ratio, desto höhe die Komensation von eine Einheit Risiko (in Fom von Standadabweichung de Rendite) duch die zusätzliche ewatete Rendite. Falls alle Annahmen efüllt sind, und ein eindeutiges otimales Maktotfolio voliegt, vefügt es sowie alle andeen Potfolios auf de CML übe die höchste Shae-Ratio! 27