Die Schwarzschild-Metrik

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1 Die Schwazschild-Metik Semina Mathematische Physik vom 19. Mai 2010 Lauin Ostemann 1 Einleitung Die Schwazschild-Metik in de engl. Liteatu Schwazschild solution) wa die este bekannte analytische Lösung de Einstein-Gleichungen, R µν 1 2 g µνr = κt µν. 1) Sie wude vom deutschen Astonomen und Physike K. Schwazschild kuz nach Einsteins Veöffentlichung - publiziet und stellt die Vakuumlösung T µν = 0) im Außenaum eine sphäisch symmetischen, stationäen Massenveteilung da. 2 Voaussetzungen aus de Diffeentialgeometie Diese Abschnitt soll nu) einen kuzen Abiss übe die zu Beechnung de Schwazschild-Metik notwendigen Objekte aus de Diffeentialgeometie geben und deen Notation einfühen, jedoch keine ausfühlichen Heleitungen und Beweise päsentieen. Als ausfühliche Liteatu lässt sich z.b. [2] heanziehen. 2.1 Metik Die Loentz-Tansfomationen L µ ν Poincaé-Guppe) in de speziellen Relativitätstheoie sind jene Tansfomationen x ) µ = L µ ν x ν, die die Göße ds 2 = dt 2 + d x 2, wobei t R, x R 3, c = 1 und die Vozeichenkonvention in Konguenz mit [1] gewählt ist, invaiant lassen. Mit Hilfe de Minkowski-Metik lässt sich ds 2 als g µν = diag 1, 1, 1, 1) ds 2 = g µν dx µ dx ν schieben. In de speziellen Relativitätstheoie flache Raum) hat die Metik in jedem Punkt des Raumes den selben Wet. Im Falle von gekümmten Geometien kann de lokale Ausduck des metischen Tensos de Metik) g µν von den Raumpunkten abhängen und auch nicht-diagonle Teme haben. 1 Kal Schwazschild * , ), [3]

2 2.2 Chistoffel-Symbole Die Chistoffel-Symbole sind eine Funktion de Ableitungen de Metik und wie folgt definiet: Γ µ κλ = 1 2 gµρ κ g λρ + λ g ρκ ρ g κλ ) = Γ µ λκ. 2) Man füht sie ein, um eine Ableitung D α kovaiante Ableitung) bilden zu können, sodass die Objekte D α A β und D α A β unte allgemeinen Koodinatenwechseln ihe Tensoeigenschaft behalten. 2.3 Riemann- und Ricci-Tenso Aus den Chistoffel-Symbolen und deen Ableitungen lässt sich de Riemann sche Kümmungstenso R µ κλα = λγ µ κα α Γ µ κλ + Γµ λσ Γσ κα Γ µ ασγ σ κλ 3) bilden. Duch Kontaktion lässt sich aus dem Riemann-Tenso de Ricci- Tenso gewinnen, de in den Einstein-Gleichungen auftitt, R µν = R λ µλν. 4) Duch weitee Kontaktion bzw. voiges Index-Ziehen egibt sich de Kümmungsskala R = g µν R µν = R µ µ 5) 3 Heleitung de Schwazschild-Metik Nachdem nun alle benötigten diffeentialgeometischen Objekte kuz beleuchtet wuden, können wi uns an die Beechnung de Schwazschild- Metik wagen. Wi wollen die Metik im Außenaum eine otationssymmetischen, stationäen Massenveteilung beechnen, wählen also Kugelkoodinaten x µ = t,, θ, ϕ). Die postuliete Invaianz unte Raum- und Zeitspiegelung impliziet dann, dass nu die Diagonalteme de Metik von Null veschieden sein düfen Es düfen in den Linienelementen nu quadatische Teme de Koodinaten vokommen, da diese unte Spiegelung x µ x µ invaiant sind). D.h. wi können fü das infinitesimale Linienelement den Ansatz ds 2 = Adt 2 + Bd 2 + C 2 dθ 2 + D 2 sin 2 θdϕ 2 2

3 mit A, B, C, D : [0, ] R >0 Funktionen von wählen, wobei wi A) = B) = C) = D) = 1 fü foden. Weit entfent von de Masse, die die gekümmte Metik induziet, soll diese also in die flache Minkowski-Raumzeit übegehen. Die gefodete Rotationssymmetie des Poblems impliziet weites C) = D). Wi wählen nun eine Repaametisieung de Radialkoodinate Mit wid Bd 2 = B = C) womit C 2 = 2. d d = Ct) + Ct) + 2 C) 2 C) dc) d ) 2 dc) d 2 = d Bd 2 und wi ehalten fü das Linienelement von nun an ohne Tilde) ds 2 = Adt 2 + Bd dθ 2 + sin 2 θdϕ 2). Damit lassen sich nun die Chistoffel-Symbole beechnen. Das könnten wi maschinell eledigen, indem wi die Definition de Γ µ κλ von oben anscheiben und diese, nachdem de Ansatz de Metik ja gegeben ist, fü alle µ, κ, λ ausechnen. Seh viele de 4 3 = 64 Eintäge in den Chistoffel-Symbolen sind abe gleich null, dahe entschließen wi uns fü einen andeen Weg: Kennen wi alle Geodäten, paametisiet duch σ, ẍ µ + Γ µ κλẋλ ẋ κ = 0, sind die Chistoffel-Symbole duch diese eindeutig festgelegt. Geodäten sind jene Kuven, die den Raumzeit-Abstand extemal weden lassen. Damit egibt sich die Vaiation zu g µν dx µ dx ν = 0 und wi können fü unseen Fall Aṫ 2 + Bṙ θ2 + sin 2 θ ϕ 2)) = F anschieben. Übe die Eule-Lagange-Gleichungen lassen sich nun jene Kuven Geodäten) finden, die die Vaiation des obigen Ausducks zum Veschwinden bingen. Wi haben also d F ẋ µ = F x µ 6) und µ {0, 1, 2, 3}. De Punkt bezeichnet die Diffeentiation nach σ. 3

4 Fü µ = 0 haben wi damit: d ) 2Aṫ = 0 ẗ + 1 ) A A ṙ ṫ = 0 ẗ + A A ṙṫ = 0 De Stich bezeichnet die Diffeentiation nach. Fü µ = 1: d 2Bṙ) = A ṫ 2 + B ṙ θ2 + sin 2 θ ϕ 2) 2B + 2B ṙ 2 = A ṫ 2 + B ṙ θ2 + sin 2 θ ϕ 2) Fü µ = 2: 0 = + A 2B ṫ2 + B 2B ṙ2 B θ 2 B sin2 θ ϕ 2 d ) 2 2 θ = 2 2 sin θ cos θ ϕ θ + 4ṙ θ = 2 2 sin θ cos θ ϕ 2 θ + 2 ṙ θ sin θ cos θ ϕ 2 = 0 Und fü µ = 3: d 2 2 sin 2 θ ϕ ) = sin 2 θ ) ϕ + 2 ϕ 2ṙ sin 2 θ sin θ cos θ θ ) = 0 ϕ + 2 ṙ ϕ + 2 cot θ θ ϕ = 0 Aus den jeweils letzten Zeilen lassen sich die Chistoffel-Symbole nun duch Koeffizientenvegleich mit de allgemeinen Geodätengleichung emitteln. Dabei ist zu beachten, dass es fü die gemischten Teme ẋ κ ẋ λ ) zwei Chistoffel- Symbole Γ µ κλ und Γµ λκ ) gibt, die den selben Wet haben, weshalb sich die Koeffizienten diese Teme auf die beiden aufteilen. Die Tabelle zeigt alle nichtveschwindenden Chistoffel-Symbole. Alle anden Γ µ κλ sind null. µ κ λ Γ µ κλ A /2A A /2A A /2B B /2B /B /B) sin 2 θ / µ κ λ Γ µ κλ / sin θ cos θ / / cot θ cot θ 4

5 Wi fühen nun die Göße g = 2 sin θ AB als Wuzel aus g = detg) de Metik ein und beobachten nämlich und wobei β log g = Γ µ µβ, 1 log g = Γ µ µ1 = A 2A + B 2B + 2 = log 2 sin θ AB) = A B + AB ) 2 AB 2 log g = Γ µ µ2 = cot θ = θ log sin θ = 1 Θ sin θ) cos θ = cot θ, sin θ 1 x > 0 Θx) = 1 x < 0. 0 x = 0 Als nächstes kümmen wi uns um eine Veeinfachung de Einstein-Gleichungen im Vakuumfall T µν = 0). Dazu multiplizieen wi diese mit de invesen Metik und ehalten g R µν µν 1 ) 2 Rg µν = κg µν T µν. Daaus egibt sich mit g µν R µν = R und g µν g µν = t1 4 = 4 R = κt µ µ bzw. R µν = κ T µν 1 ) 2 g µνtα α und im Vakuumffall R µν = 0. Nun scheiben wi den Ricci-Tenso als Kontaktion des Riemann-Tensos an und ehalten R µν = R λ µλν = λγ λ µν ν Γ λ µλ + Γλ λσ Γσ µν Γ λ νσγ σ µλ = µ ν log g + λ Γ λ µν Γ σ λµ Γλ σν + Γ σ µν σ log g 5

6 Fü µ = ν = 0 ehalten wi damit fü µ = ν = 1 analog R 00 = 1 Γ Γ 1 00Γ Γ log g ) A = A 2 2B 2AB + A A 2B 2A + B 2B + 2 ) ) = 1 A A B 2B 2B A 2 2A + 2A = 0, Aus ehalten wi und damit R 11 = 1 2 log g + 1 Γ 1 11 Γ 0 01Γ 0 01 Γ 1 11Γ 1 11 Γ 2 21Γ 2 21 Γ 3 31Γ Γ log g ) = 1 A + A B 2A 2B + A 2 2A + 2AB = 0 B ) A 2B R A R 11 = 2 + AB = 0 B 2 B AB) = 0 AB = const., wobei de Wet de Konstante übe die Fodeung A) = B) = 1 fü bestimmt wid, womit wi B = 1 A fü den Zusammenhang zwischen A und B feststellen. Nun betachten wi R µν fü µ = ν = 2: R 22 = 2 2 log g + 1 Γ Γ 1 22Γ 2 12 Γ 3 32Γ Γ log g ) 2 = θ cot θ + B B cot2 θ ) 2 B + AB) = 0 2AB Mit AB) = 0 von oben wid diese Ausduck zu B ) = θ cot θ + cot 2 θ ) = 1 6

7 Duch Integation ehalten wi B = s s ist die Integationskonstante)und damit fü A und B A = 1 s B = 1 ) s 1. Nun können wi die Schwazschild-Metik als ds 2 = 1 ) s dt d dθ 2 + sin θdϕ 2) 1 s anscheiben, wobei sich die Integationskonstante übe die Fodeung, dass die das 00-Element de Metik im Fenfeld in das klassische Gavitationspotential übegehen soll, bestimmen lässt. Die Konstante wid dann als Schwazschild-Radius bezeichnet. In weitee Folge kann man duch geschickte Koodinatentansfomationen die Singulaität an de Stelle = s in de Metik heben. Die Schwazschild-Metik kann vewendet weden um die Lichtablenkung im Gavitationsfeld ode die Peiheldehung des Meku zu betachten. Liteatu [1] G. t Hooft, An Intoduction to Geneal Relativity Utecht, 1998) [2] E. Keyszig, Diffeentialgeometie Leipzig, 1957) [3] 7