Gruppentheoretische Methoden in der Physik 1 Prof. Dr. H.-R. Trebin Auszug aus dem Vorlesungsmanuskript, WS 06/07

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1 1 Guppentheoetische Methoden in de Physik 1 Pof. D. H.-R. Tebin Auszug aus dem Volesungsmanuskipt, WS 06/ Die eigentlichen Punktguppen Diese Punktguppen enthalten keine Spiegelungen und keine Invesion. Wi zählen sie hie auf und schilden Relationen zwischen ihen Elementen. Die Beweise und weitee Ausfühungen zu den hie aufgestellten Behauptungen nden sich im Buch von W. Mille, Symmety Goups and thei Applications, Abschnitt 2.4. In Klammen steht jeweils die Hemann-Maugin-Notation. 1. Die zyklischen Dehguppen C n = {c m n m = 0, 1,..., n 1} (= n =< c n >) besitzen eine n-fache Dehachse und sind abelsch. 2. Die Diedeguppen D n (= n22 fü n geade, n2 fü n ungeade) enthalten eine n-fache Hauptachse und n zweifache Achsen senkecht dazu unte gegenseitigen Winkeln π/n, siehe Abbildung 3.1. Abbildung 3.1: Die Diedeguppe D 2 ist die Symmetieguppe des Quades (Ziegelstein). Übe die Geneatoelationen ist die Guppe folgendemaÿen deniet: D n = {c m n ; c 2, c 2,... c n n = c 2 2 = (c n c 2 ) 2 = e} =< c n, c 2 c n >. Die Odnung ist D n = 2n. Die Guppe ist nicht abelsch fü n 3. Sie besitzt (n + 6)/2 Konjugationsklassen fü n geade, (n + 3)/2 fü n ungeade. 3. Die Tetaedeguppe T (= 23) Sie besitzt 4 deizählige Achsen, 3 zweizählige Achsen und läÿt das Tetaede invaiant, siehe Abbildung 3.2. T = {c 3, c 3,... ; c 2, c 2, c 2 c 3 3 = c 2 2 = (c 3 c 2 ) 3 = e}. T = 12. Die Tetaedeguppe hat vie Konjugationsklassen.

2 2 Abbildung 3.2: Die Tetaedeguppe ist die Symmetieguppe des Tetaedes, hie zusammen mit einem Wüfel dagestellt. Abbildung 3.3: Die Oktaedeguppe ist die Symmetieguppe eines Wüfels ode eine egelmäÿigen Bipyamide (Oktaede). 4. Die Oktaedeguppe O(= 432) Sie ist die Symmetieguppe eines Wüfels ode eines egelmäÿigen Oktaedes. Sie besitzt 3 viezählige Achsen, senkecht zueinande, 6 zweizählige Achsen, 4 deizählige Achsen, siehe Abbildung 3.3. O = < c 4, c 2d c 4 4 = c 2 2d = (c 4 c 2d ) 3 = e, c 4 c 2d = c 3 > = < c 4, c 3 c 4 4 = c 3 3 = (c 4 c 3) 2 = e, c 4 c 3 = c 2d >, O = 24, T < O, [O : T ] = 2. Die Oktaedeguppe hat fünf Konjugationsklassen. 5. Die Ikosaedeguppe Y (= 532) ist Symmetieguppe des eguläen Ikosaedes ode Dodekaedes, siehe Abbildung 3.4. Sie besitzt 6 fünfzählige, 10 deizählige, 15 zweizählige Achsen. Y =< c 5, c 2 c 5 5 = c 2 2 = (c 5 c 2 ) 3 = e >, Y = 60, 5 Klassen, T < Y, [Y : T ] = 5.

3 3 Abbildung 3.4: Die Ikosaedeguppe ist Symmetieguppe des Dodekaedes und des Ikosaedes Die uneigentlichen Punktguppen Die uneigentlichen Punktguppen enthalten Invesion, Spiegelungen, Dehspiegelungen ode die Rotoinvesion. Es gibt dei Typen davon. Satz 3.1 Sei G eine endliche Punktguppe und K de Ken des Homomophismus Dann gibt es dei Fälle: 1. G = K, G ist also eigentliche Punktguppe. det : G Z 2 g det g. 2. Wenn G die Invesion enthält, so ist G = K ik. 3. Wenn G K und i G, dann ist G isomoph zu eine eigentlichen Punktguppe G + = K K + mit K + = {ig g G\K}. Daaus folgen zwei Bildungsegeln fü uneigentliche Punktguppen aus eigentlichen: i) Bilde das diekte Podukt aus eine eigentlichen Punktguppe mit C i = {e, i}, i =Invesion. ii) Zelege die eigentliche Punktguppe in Nebenklassen bezüglich eines Nomalteiles N vom Index 2, G = N gn, g N, siehe Fall 3 in Satz 3.1 und fome sie um zu Ĝ = N ign. Folgende Guppen ehält man mit Bildungsegel i): Aus C n wid C nh (n geade) und S 2n (n ungeade). C nh besitzt eine n-fache Dehachse c n und eine Spiegelebene σ h senkecht dazu. C nh = 2n, die Guppe ist abelsch. S 2n = < s 2n >, s n n = σ h, s 2n n = e, S 2n = 2n, n ungeade. Aus D n wid D nh (n geade) und D nd (n ungeade).

4 4 D nh enthält eine hoizontale Spiegelebene, abe auch vetikale, aufgespannt von de Hauptachse und den zweizähligen Dehachsen (c 2d σ h ). D nd besitzt Spiegelebenen als Winkelhalbieende de zweizähligen Dehachsen. Aus T, O, Y weden T h, O h, Y h. Mit Bildungsegel ii) entstehen folgende Guppen: Aus C 2n mit Nomalteile C n ehält man S 2n =< s 2n >, falls n geade ist und C nh, falls n ungeade ist. C 1h = {e, σ h }. Aus D n mit Nomalteile C n ehält man C nv. C nv besitzt neben de n-zähligen Dehachse noch n Spiegelebenen, welche die Dehachse enthalten. Aus D 2n mit Nomalteile D n ehält man D nd, falls n geade ist und D nh, falls n ungeade ist. Aus O mit Nomalteile T wid T d. Am Beispiel von T d sei die Bildungsegel ii) eläutet. Die Ausgangsguppe O besitzt neben de Eins dei viezählige Dehachsen um die Flächennomalen des Wüfels (c 4j, j = x, y, z), die zusammen 12 Guppenelemente ezeugen. Fene gibt es sechs zweizählige Dehachsen c 2k, k = 1,..., 6, die duch gegenübeliegende Kantenmitten laufen, sowie vie deizählige Dehachsen c 3l, l = 1,..., 4 entlang de Raumdiagonalen, die acht Elemente ezeugen. De Nomalteile N = T besteht aus den Elementen {e; c 2 4j, j = x, y, z; c 3l, c 2 3l, l = 1,..., 4}. E enthält nicht die Dehungen um ±90 um die Flächenmitten und die 180 -Dehungen um die Vebindungen de Kantenmitten, welche das Tetaede nu zusammen mit de Invesion invaiant lassen (siehe Fig. 3.2). Nicht alle de so ehaltenen Guppen sind veschieden: Ein Beispiel fü identische Guppen ist C 3h = S 3. Beispiele fü isomophe Guppen sind D n = Cnv C 1h = S2 S 4 = C4 D 2 = C2h C 6 = C3h D 4 = D2d T d = O D6 = D3h = D3d. Eine Liste de Punktguppen ndet sich im Buch von W. Ludwig, C. Falte, Symmeties in Physics auf S Die Doppelguppen Doppelguppen weden in de Quantenmechanik benötigt, wenn Zustände mit ungeadhalbzahligem Dehimpuls (Spinoen) aufteten. Aussagen zu Doppelguppen und ihe Ezeugung Gegeben ist de bekannte Homomophismus p : SU(2) SO(3) (3.1) sowie eine Punktguppe H < SO(3). Die Hebung de Guppe H von SO(3) nach SU(2) heiÿt Doppelguppe: H = p 1 (H) < SU(2). (3.2)

5 5 1 1 Abbildung 3.5: Innee Feiheitsgade sind zum Beispiel Faben ode Spin. Die Fabopeation ändet die Fabe (den Spin). H ist Guppe mit de Multiplikationsegel von SU(2): g, h H gh H, da p(gh) = p(g)p(h) H. e H, da p(e) = e. h H h 1 H, da p(h 1 ) = p(h) 1 H. H = 2 H. Beachte: c(ϕ + 2π) = c(ϕ)ē mit ē = c(2π) SU(2), fü jede Dehachse c(ϕ). Beispiel C 3 = {e, c 3, c 2 3} C 3 = {e, c 3, c 2 3, c 3 3, c 4 3, c 5 3} = {e, c 3, c 2 3, ē, c 3 ē, c 2 3ē}. (3.3) Allgemein gilt : Sei G = {e, g 1, g 2,..., g n 1 }, dann ist Ḡ = {e, g 1, g 2,..., g n 1 ; ē, g 1 ē, g 2 ē,..., g n 1 ē}. Beachte: H H, da SO(3) SU(2). g i und g i ē gehöen i. a. zu veschiedenen Klassen, d. h. wenn K i eine Konjugationsklasse von H ist, so besitzt H Konjugationsklassen K i und K i. Es gibt abe Ausnahmen. Aus eigentlichen Doppelguppen kann man duch Hinzufügen de Invesion die uneigentlichen übe die Regeln (3.3.4i) und (3.3.4ii) bilden Die Fabguppen ode magnetischen Guppen Wi betachten Objekte mit einem disketen inneen Feiheitsgad, z. B. die Faben Schwaz-Weiÿ, ode die Spins,, und eine Opeation, welche den Zustand wechselt, siehe Abbildung 3.5. Bei Spins, d. h. magnetischen Momenten, ist de Zeitumkehopeato, da e die Richtung von Ringstömen umkeht, ebenso bei Geschwindigkeitsfelden. Objekte invaiant unte heiÿen gau, z. B., ode eine Punktladung bei Zeitinvesion (ode ein Otsvekto). Nichtgaue Objekte können so angeodnet sein, daÿ Punktopeationen kombiniet mit das Gesamtsystem invaiant lassen, wie in Abbildung 3.6 dagestellt. σ v = e, σ v C 3v. Die Symmetieguppen heiÿen Fab- ode magnetische Guppen. Zu ihe Stuktu gibt es einen ähnlichen Satz wie bei den uneigentlichen Punktguppen.

6 6 Abbildung 3.6: Die Symmetieguppe eines fabiges Deieck besteht aus Kombination von Punktund Fabopeationen. Satz 3.2 Sei M eine Fabguppe, G eine Punktguppe und die Fabopeation. Wie in Satz 3.1 gibt es dei Möglichkeiten: 1. Bei Fabguppen este At ist M I = G und M I. 2. Fü Fabguppen zweite At (Gauguppen) gilt: M II, M II = G G. 3. Fabguppen ditte At sind die einzigen nichttivialen: Wenn N ein Nomalteile vom Index 2 ist und G = N an, a N, so ist M III = N an, M III. M III ist isomoph zu Punktguppe G = N an.