Standardbeispiele der Quantenmechanik
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- Henriette Keller
- vor 5 Jahren
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1 Standadbeispiele de Quantenmechanik Visualisieung von Zuständen im Potenzialkasten hamonischen Oszillato Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 1
2 Gundlagen de Quantenmechanik De Zustand eines physikalischen Systems wid beschieben duch eine Zustandsfunktion t. Jede physikalischen Göße entspicht ein Opeato z. B.: h h Impuls: = p Enegie: = E i i t Hat eine physikalische Göße den schafen Wet a dann ist eine Eigenfunktion des entspechenden Opeatos A mit Eigenwet a In allen andeen Fällen lässt sich als Übelageung Summe von Eigenfunktionen k scheiben: = Σ c k k Eigenfunktionen sind othogonal: i* k = 0 wenn i k = * kann man als Dichteveteilung intepetieen Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie
3 Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 3 Schödingegleichung 1. zeitabhängige Schödingegleichung:. zeitunabhängige Schödingegl. stationäe Zustände E = const.: entspicht de klassischen Gleichung: E kin E pot = E = t i z y V z y m h h p /m Potenzial Enegie = E z y V z y m h Zustandsfunktionen sind Lösungen de Schödingegleichung
4 Ziel Visualisieen von = * fü veschiedene Beispiele: - 1-dimensionales Kastenpotenzial: V - -dim. Kastenpotenzial: V y 0 = 0 = 0 0 a sonst a 0 sonst y b - Vaiationen Potenzialkasten mit Delta-Funktion Potenzialstufe veändeliche Beite - Vegleich mit hamonischem Oszillato - Molekülschwingungen Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 4
5 Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 5 1-dimensionale Potenzialkasten aus Randbedingungen 0 = a = 0 und Nomieung = sonst 0 0 a V = E V m h mit Schödingegleichung: Eigenzustände: t ie n e a n a h = π sin Enegieeigenwete: n ma E n = h π = * ist zeitunabhängig stationä
6 1-dimensionale Potenzialkasten n = 1 n = n = 3 Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 6
7 Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 7 -dimensionale Potenzialkasten = sonst b y a y V Eigenzustände: = y b l a n ab y l n π π sin sin Enegieeigenwete: = b l a n m E l n h π Im symmetischen Potenzialkasten a = b ist E ik = E ki Entatung Applet: Enegien
8 Applet: Zustände -dimensionale Potenzialkasten n = 1 l = 1 n = l = 1 Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 8
9 Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 9 Übelagete Zustände 1 und Lösungen de Schödingegleichung = c 1 1 c ebenfalls Lösung c 1 c = 1 wg. Nomieung oszilliet wenn E 1 E h 1 1 E E = ω mit und t ie e t h = ϕ t ie e t h = ϕ folgt sin t c c c c t ω ϕ ϕ ϕ ϕ = sin 1t B A ω ξ ξ = Schwingtem
10 Übelagete Zustände Video: 1-dim. Potenzialkasten Übelageung 1 50% Video: -dim. Potenzialkasten Übelageung % Video: -dim. Potenzialkasten Übelageung /10 Video: -dim. Potenzialkasten Übelageung /09 Video: -dim. Potenzialkasten Übelageung /08 Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 10
11 Übegänge zwischen Zuständen Übegang von Zustand 1 in Zustand : aus = c 1 1 c wid = c 1 t 1 c t wobei c 1 t: 1 0 wähend c t: 0 1 c 1 c = 1 In den folgenden Videos macht de Schwingtem ξ sinω t wähend des Übegangs 6 Schwingungen. Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 11
12 Applet: Übegänge Übegänge zwischen Zuständen Video: -dim. Potenzialkasten Übegang 11 1 Video: Übegang Video: Übegang 1 3 Video: Übegang Video: Übegang dim. Potenzialkasten Schwingtem % Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 1
13 Applet: Deltapotenzial Delta-Potenzial im Potenzialkasten In de Mitte des Potenzialkastens wid ein Delta-Potenzial veändeliche Höhe eingefügt: - geade Lösungen Nullstelle im Zentum bleiben unveändet Video: 1-dim. Potenzialkasten Delta-Funktion bei QZ - ungeade Lösungen: in de Mitte nimmt mit wachsendem Delta-Potenzial ab. veschwindet fü Delta-Potenzial Video: 1-dim. Potenzialkasten Delta-Funktion bei QZ1 Video: 1-dim. Potenzialkasten Delta-Funktion bei QZ3 Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 13
14 Applet: Potenzialstufe Potenzialstufe im Potenzialkasten In de Mitte des Potenzialkastens wid eine Potenzial-Stufe veändeliche Beite und Höhe eingefügt: - Potenzialstufe feste Beite wid ehöht: Dichtefunktion kann am Anfang soga ansteigen wid abe schließlich nach außen gedängt Video: 1-dim. Potenzialkasten Stufenhöhe 0 50 bei QZ1 Video: 1-dim. Potenzialkasten Stufenhöhe bei QZ3 - Potenzialstufe feste Höhe wid vebeitet: Dichtefunktion wid nach außen gedängt schwappt abe schließlich nach innen Video: 1-dim. Potenzialkasten Stufenbeite bei QZ1 Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 14
15 Applet: Vebeiteung Vebeiteung des Potenzialkastens De Potenzialkasten kann schlagatig ode langsam adiabatisch vebeitet weden: - plötzliche Vebeiteung: System beginnt zu schwingen Video: -dim. Potenzialkasten schlagatig bei QZ11 Video: -dim. Potenzialkasten schlagatig bei QZ31 - adiabatische Vebeiteung: Dichtefunktion fließt auseinande Video: -dim. Potenzialkasten adiabatisch bei QZ3 Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 15
16 Vegleich mit hamonischem Oszillato V V D mω = = mω A mω B y = y bzw. Eigenzustände: ie t γ h Ψ n = α H n β e e H n : Hemite-Polynome Enegieeigenwete: E n = hω n 05 bzw. E n = hω n 05 hω l l A B 05 Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 16
17 Vegleich mit hamonischem Oszillato n = 01 n = 0 3 l = 0 1 Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 17
18 Vegleich mit hamonischem Oszillato Video: -dim. hamonische Oszillato Übegang Video: -dim. Potenzialkasten Übegang 11 Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 18
19 Molekülschwingungen N-atomiges Molekül in de Ebene: N Feiheitsgade davon N-3 Schwingungsfeiheitsgade Tanslation 1 Rotation -atomiges Molekül: 1 Nomalschwingung 3-atomiges Molekül: 3 Nomalschwingungen linea gewinkelt Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 19
20 Applet: Molekülschwingung Molekülschwingungen klassisch: - Molekülschwingungen: Übelageung de Nomalschwingungen Nomalschwingung: alle Kene schwingen hamonisch mit gleiche Fequenz und Phase quantenmechanisch: - man ehält Kendichtefunktionen wegen Oszillatopotenzial wiede Hemite-Polynome - die klassischen Schwingungen entspechen stationäen Kendichtefunktionen - nu bei Übelageungen / Übegängen ehält man quantenmechanisch Oszillationen 1. Nomalschw.. Nomalschw. 3. Nomalschw. Gundzustand 3. Nomalschw. Standadbeispiele de Quantenmechanik Folie 0
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Elektodynamik FSU Jena - SS 7 Klausu - Lösungen Stilianos Louca 9. Febua 8 Aufgabe Seien Φ und E jeweils das elektostatische Potential bzw. elektische Feld. Die Kugel Ladungsdichte ρ befinde sich im Uspung.
1 Umkehrfunktionen und implizite Funktionen
$Id: impliit.tex,v 1.6 2012/10/30 14:00:59 hk Exp $ 1 Umkehfunktionen und impliite Funktionen 1.1 De Umkehsat Am Ende de letten Situng hatten wi alle Vobeeitungen um Beweis des Umkehsates abgeschlossen,
Quantenmechanik eines Teilchens in drei Dimensionen
Kapitel 5 Quantenmechanik eines Teilchens in dei Dimensionen 5.1 Schödinge Gleichung im Zentalpotential Ausgangspunkt ist die stationäe Schödinge Gleichung in dei Dimensionen, H ψ() = 2 2m 2 + V () ψ()
A A Konservative Kräfte und Potential /mewae/scr/kap2 14s
2.4 Konsevative Käfte und Potential /mewae/sc/kap2 4s3 29-0-0 Einige Begiffe: Begiff des Kaftfeldes: Def.: Kaftfeld: von Kaft-Wikung efüllte Raum. Dastellung: F ( ) z.b. Gavitation: 2. Masse m 2 in Umgebung
Parametergleichung der Geraden durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor u r t R heisst Parameter
8 3. Dastellung de Geaden im Raum 3.1. Paametegleichung de Geaden Die naheliegende Vemutung, dass eine Geade des Raumes duch eine Gleichung de Fom ax + by + cz +d 0 beschieben weden kann ist falsch (siehe
7 Trigonometrie. 7.1 Definition am Einheitskreis. Workshops zur Aufarbeitung des Schulstoffs Sommersemester TRIGONOMETRIE
7 Tigonometie Wi beschäftigen uns hie mit de ebenen Tigonometie, dabei geht es hauptsächlich um die geometische Untesuchung von Deiecken in de Ebene. Ein wichtiges Hilfsmittel dafü sind die Winkelfunktionen
EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler
6.Volesung 6. Volesung EP I) Mechanik. Kinematik. Dynamik 3. a) Abeit b) Enegie (Wiedeholung): Enegie- und Impulsehaltung c) Stöße 4. Stae Köpe a) Dehmoment b) Schwepunkt Vesuche: Hüpfende Stahlkugel Veküztes
T T T T. Wärmeleitung. Zwei Reservoirs mit unterschiedlicher Temperatur werden in Kontakt gebracht. Die Gesamtentropien ändert sich wie: T 1 T 2
Wämeleitung Zwei Resevois mit unteschieliche empeatu ween in Kontakt gebacht. Die Gesamtentopien änet sich wie: S S + 1 S 1 Die Äneung e Entopie S 1 ist Q S 1 integieen liefet: C m 1 ΔS1 C C ln 1 m 1 m
Ruhende Flüssigkeiten (Hydrostatik)
Ruhende lüssigkeiten (Hydostatik) lüssigkeitsshihten sind fei gegeneinande veshiebba. Keine Rükstellkäfte bei Sheung, Tosion; Reibungskäfte möglih. Nu Volumenändeung liefet Rükstellkaft. Unte Duk p efolgt
6.Vorlesung 6. Vorlesung EP b) Energie (Fortsetzung): Energie- und Impulserhaltung c) Stöße 4. Starre Körper a) Drehmoment b) Schwerpunkt Versuche:
6. Volesung EP I) Mechanik. Kinematik. Dynamik 3. a) Abeit b) Enegie (Fotsetzung): Enegie- und Impulsehaltung c) Stöße 4. Stae Köpe a) Dehmoment b) Schwepunkt 6.Volesung Vesuche: Hüpfende Stahlkugel Veküztes
Mathematische Hilfsmittel der Physik Rechen-Test I. Markieren Sie die richtige(n) Lösung(en):
Technische Betiebswitschaft Gundlagen de Physik D. Banget Mat.-N.: Mathematische Hilfsmittel de Physik Rechen-Test I Makieen Sie die ichtige(n) Lösung(en):. Geben Sie jeweils den Wahheitswet (w fü wah;
1. Übungsblatt zur Theoretischen Physik I im SS16: Mechanik & Spezielle Relativitätstheorie. Newtonsche Mechanik
1. Übungsblatt zu Theoetischen Physik I im SS16: Mechanik & Spezielle elativitätstheoie Newtonsche Mechanik Aufgabe 1 Abhängigkeit physikalische Gesetze von de Zeitdefinition Eine wesentliche Gundlage
γ Zerfälle und innere Konversion
Zefäe und innee Konvesion Enegieabgabe u Eeichen eines enegetisch günstigeen Zustands Schaenode Voesung 6: Kene -Zefa: E E E : Diskete -Linien i Enegiespektu Innee Konvesion seten: Aufenthatswahscheinichkeit
Mathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften II
Technische Univesität München SS 29 Fakultät fü Mathematik Pof. D. J. Edenhofe Dipl.-Ing. W. Schult Übung 8 Lösungsvoschlag Mathematische Behandlung de Natu- und Witschaftswissenschaften II Aufgabe T 2
Inertialsysteme. Physikalische Vorgänge kann man von verschiedenen Standpunkten aus beobachten.
Inetialsysteme Physikalische Vogänge kann man on eschiedenen Standpunkten aus beobachten. Koodinatensysteme mit gegeneinande eschobenem Uspung sind gleichbeechtigt. Inetialsysteme Gadlinig-gleichfömig
12. Berechnung reeller Integrale mit dem Residuensatz
72 Andeas Gathmann 2. Beechnung eelle Integale mit dem esiduensatz Wi haben geade gesehen, dass man mit Hilfe des esiduensatzes nahezu beliebige geschlossene komplexe Kuvenintegale beechnen kann. In diesem
Übungen zur Physik 1 - Wintersemester 2012/2013. Serie Oktober 2012 Vorzurechnen bis zum 9. November
Seie 3 29. Oktobe 2012 Vozuechnen bis zum 9. Novembe Aufgabe 1: Zwei Schwimme spingen nacheinande vom Zehn-Mete-Tum ins Becken. De este Schwimme lässt sich vom Rand des Spungbetts senkecht heuntefallen,
Bei der Wärmeübertragung kann man drei Transportvorgänge voneinander unterscheiden:
6 ämeübetagung Bei de ämeübetagung kann man dei Tanspotvogänge voneinande untescheiden: ämeleitung ämeübegang / onvektion ämestahlung De ämetanspot duch Leitung ode onvektion benötigt einen stofflichen
8 Strömende Flüssigkeiten und Gase
8 Stömende Flüssigkeiten und Gase Gleiche Physik fü beide Phasen abe ρ fl >> ρ g, κ fl
GMFH - Gesellschaft für Mathematik an Schweizer Fachhochschulen SMHES - Société pour les Mathématiques dans les Hautes Ecoles Spécialisées suisses
GMFH - Gesellschaft fü Mathematik an Schweize Fachhochschulen SMHES - Société pou les Mathématiques dans les Hautes Ecoles Spécialisées suisses Mathematik-Refeenzaufgaben zum Rahmenlehplan fü die Beufsmatuität
Wichtige Begriffe dieser Vorlesung:
Wichtige Begiffe diese Volesung: Impuls Abeit, Enegie, kinetische Enegie Ehaltungssätze: - Impulsehaltung - Enegieehaltung Die Newtonschen Gundgesetze 1. Newtonsches Axiom (Tägheitspinzip) Ein Köpe, de
1. Emission und Absorption von Quanten (Licht etc.),
Kapitel 4 Störungstheorie zeitabhängiger Prozesse Die meisten physikalischen Übergänge sind nicht stationär, sondern laufen in einem endlichen Zeitintervall ab, d.h. man muß die zeitabhängige Schrödinger
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Dirac-Gleichung und relativistische Effekte in der Atomphysik
Diac-Gleichung und elativistische Effekte in de Atomphysik D. Robet Löw Univesität Stuttgat Diac-Gleichung des feien Teilchens i t Ψ HΨ Da de Hamiltonopeato de Schödingegleichung keine elativistischen
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SPEZIELLE FUNKTIONEN 3. Übungseinheit 1 Übesicht In de (theoetischen) Physi weden zu Veeinfachung de Foulieungen oft spezielle Funtionen bzw. Sätze von Funtionen eingesetzt. Beispiele: Γ- Funtion Kugelflächenfuntion
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Entwicklung eines Vefahens u Alignieung des ATLAS-Myonspektometes mit Spuen Jens Schmale, S. Bethke, J. Dubbet, O. Kotne, S. Kotov, H. Koha Max-Planck-Institut fü Physik 8.3.2007 MPI München ATLAS Impulsmessung
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Theoretische Physik II: Quantenmechanik Hans-Werner Hammer Marcel Schmidt (mschmidt@theorie.ikp.physik.tu-darmstadt.de) Wintersemester 2016/17 Probeklausur 12./13. Januar 2017 Name: Matrikelnummer: Studiengang: