Allgemeine Mechanik Musterlo sung 4.

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1 Allgemeine Mechanik Mustelo sung 4. U bung. HS 03 Pof. R. Renne Steuqueschnitt fu abstossende Zentalkaft Betachte die Steuung eines Teilchens de Enegie E > 0 in einem abstossenden Zentalkaftfeld C F x) = 4 x, ) wobei C = const und = x, wie unten abgebildet. i) Beechne den Steuwinkel χ = π θ als Funktion des Stosspaametes b. ii) Leite daaus den diffeentiellen Steuqueschnitt he: C x σ =, Ω πe x x) sinπx) x = χ/π). = min ψ ~b ~e 0 θ θ χ ~e Σ Hinweise: Siehe Kapitel. im Skipt, insbesondee den Abschnitt..4 u be Steubahnen. Nu tzlich sind auch die folgenden Tatsachen: i) R t t = π, ii) x x) = x). Lo sung. De gegebenen Kaft entspicht das Potential V ) = C/ ). i) Nach de Abbildung und Gleichung..0) beta gt allgemein de Steuwinkel χ = π θ, wobei Z bd p θb) =. L.) V )/E b / min

2 In unseem Fall betägt de obige Radikant C/E) + b )/. E veschwindet genau dann, wenn die adiale kinetische Enegie des Teilchens veschwindet, was den Umkehpunkt = min bestimmt: min = C E + b. L.) Somit ist θb) = min bd min / = b min b t. = t }{{ b + C/E) I } =:I L.3) mit de Substitution t := / min. Fü C = 0 ist das Teilchen fei. Die Bahnkuven sind also Geaden, d.h. θ = π/, also I = π/. So egibt sich ) Eb χb) = π θ = π. L.4) Eb + C ii) Es folgt χ b = π E Eb + C ) b 4Eb Eb + C) 3/ σ Ω = b ) χ sinχ) b = = π EC Eb + C) 3/ L.5) b Eb + C) 3/ sinπx) π. L.6) EC Mit x = stimmt dies mit de Behauptung übeein. Eb Eb + C, xx ) = C x) = Eb + C, L.7) Übung. Viialsatz und Wassestoffatom Wi betachten ein System von N Massepunkten, deen Käfte einem Potentialgesetz genügen, m i d x i = iv x,..., x N ). ) Wi wollen in diese Aufgabe den Viialsatz beweisen, de einen Zusammenhang zwischen dem zeitlichen Mittelwet de kinetischen Enegie de Teilchen und dem Kaftfeld hestellt. Diese besagt, dass, sofen alle x i und ẋ i im Velauf de Zeit endlich bleiben, Ēkin = gilt, beziehungsweise fü ein System mit Potentialgesetz wie oben: Ēkin = F i x i 3) i= x i i V, 4) i= wobei de zeitliche Mittelwet definiet ist duch Gehe dazu wie folgt vo: Ē kin = lim T T T E kin t). 5)

3 i) Beweise, dass die kinetische Enegie E kin = N i= m iẋ i die Gleichung E kin = d N ) p i x i + i= x i i V 6) i= efüllt. ii) Zeige den Viialsatz 4) unte de Annahme, dass N i= p i x i fü alle Zeiten beschänkt ist. iii) Betachte nun das Zweiköpepoblem mit eduziete Masse µ und Relativpotential V ) = κ, 7) wobei wi zunächst das Keplepoblem behandeln, fü das κ = GM 0 m ist. Unte Benutzung des 3. Keple schen Gesetzes, Gl...) aus dem Skipt, sowie des Vialsatzes de diekt aus ii) folgt) zeige, dass µ p d + p θ dθ = κ π E. 8) Hiebei wid das Integal einmal entlang de geschlossenen Bahn ausgewetet. Hinweise: ) Benutze Teil ii) um fü dieses Potential den eigentlichen Viialsatz abzuleiten, nämlich Ē kin = Ēpot. 9) ) Beobachte, dass p dx = p d + p θ dθ. 3) Benutze die Ellipseelationen aus dem Skipt, um zu zeigen, dass a = GMm E. iv) Gemäss de Sommefeld schen Quantisieungsbedingung sind die Integale p d = n h, p θ dθ = n θ h 0) quantisiet, wobei h das Plank sche Wikungsquant ist, und n, n θ positive ganze Zahlen sind. Im Fall des Wassestoffatoms ist κ = e. Zeige damit fü das Enegiespektum des Wassestoffatoms wobei = h π. m e e 4 E = n + n θ ), ) 3

4 Lösung. i) E kin = d N ) p i x i + x i i V i= i= d ) = p i x i + p i d ) ) x i + i= }{{} = iv = p i ẋ i = m i ẋ i. i= i= x i i V ii) Da die Summe N i= p i x i fü alle Zeiten beschänkt ist, wissen wi dass i= A R, t : p i t) x i t) A. i= Damit können wi zeigen dass de este Tem null ist, lim T d N ) p i x i = T T i= De zeitliche Mittelwet ist jetzt lim lim N p i T ) x i T ) p i T ) x i T )) T i= ) N p i T ) x i T ) + p i T ) x i T ) T A lim T = 0 i= i= T Ē kin = lim E kin t) T T T N d T T i= }{{} =0 = lim = i= x i i V. p i x i ) + lim T T T x i i V i= L.8) iii) Wi wissen dass T Ēkin = T 0 T E kin = m ẋ ẋ = 0 pdx = p d + p θ dθ, L.9) wobei wi benutzt haben, dass E kin = mẋ ẋ = mẋ dx = p dx ist. Diese Gleichung gilt fü beliebige T ; alledings ist das Linienintegal nu geschlossen, falls T ein Vielfaches de) Peiode ist. Fü das Potential V ) = κ folgt nun aus eq. 0), dass Ē kin = x V = κ = V = Ēpot. L.0) 4

5 Wegen Enegieehaltung gilt also Einsetzen in L.9) füht dann zu p d + E = Ēkin + Ēpot = Ēkin. µ p θ dθ = E T = 4πE GMm a3/, L.) wobei wi nun übe eine Peiode integieen und in de letzten Zeile Gl...) aus dem Skipt das 3. Keple sche Gesetz) benutzt haben. Es bleibt die gosse Halbachse a mit de totalen Enegie zu veknüpfen. An den Extemen de Ellipse ist die adiale Geschwindigkeit ṙ gleich null. Aus Gl...0) im Skipt folgt, dass E = l µ GMm min/max + GMm E min/max l µ E = 0. L.) Andeeseits folgt aus Gl...7) im Skipt, dass Minimum und Maximum geade duch gegeben sind, also ist min = d ɛ, max = d + ɛ min + max = wobei wi d = a ɛ ) benutzt haben. Also gilt L.3) d = a, L.4) ɛ a = GMm E L.5) Einsetzen in Gleichung L.) füht dann zu iv) Folgt duch diektes Einsetzen: p d + p θ dθ = G M m π µ E n + n θ ) h = k e e π me E n m e e 4 = E = n + n θ ). L.6) Übung 3. Gavitationskaft ausgedehnte Köpe Zeige, dass die von einem sphäisch symmetischen Köpe mit Gesamtmasse M ausgehende Gavitationskaft auf einen Massepunkt m de sich aussehalb des Köpes befindet ) gleich ist wie die eine Punktmasse M im Zentum des Köpes. Lösung. Fü sphäisch symmetische Köpe können wi die Masseveteilung als konstant auf Schalen mit Radius betachten, und bezeichnen diese Flächendichte mit σ, sodass die Masse auf eine Schale duch dm = 4π σ L.7) Masse, die sich sphäisch symmetisch veteilt weite weg vom Zentum als de Massepunkt m befindet, hebt sich in ihe Wikung auf m gegenseitig auf dies kann mit eine ähnlichen Rechnung gezeigt weden. 5

6 m R 'd d Abbildung : Skizze zu Masseveteilung gegeben ist. Wi scheiben deshalb das Potential, das von einem Flächenelement ds auf eine solchen Schale ausgeht, als dφ S = Gσ ds R, L.8) wobei G die Gavitationskonstante und R den Abstand des angezogenen Massepunkts vom Flächenelement bezeichnet. Wi wissen weitehin, dass und wegen dem Kosinussatz ds = π sin θ dθ R = [ cos θ + ], L.9) L.0) wobei den Abstand zwischen Zentum de Masseveteilung und angezogenem Massepunkt bezeichnet. Wi wollen im Folgenden eine Integation übe eine Kugelschale vonehmen. Es ist dann alledings nützlich, statt dem Winkel θ die Integationsvaiable zu betachten. Wi können nun beechnen: dr = [ cos θ + ] sin θ dθ = sin θ dθ R L.) L.) Φ S = GdM = GdM π sin θ dθ R 0 R=+ L.3) dr L.4) = GdM R R=+ R= L.5) = GdM. L.6) Damit ist gezeigt, dass das von de Kugelschale ezeugte Potential, das auf einen Massepunkt m wikt, das gleiche ist wie ein Potential ezeugt von einem Massepunkt dm im Zentum des sphäisch symmetischen Köpes. Wenn wi nun übe alle Schalen des Köpes integieen, folgt das gewünschte Resultat fü die Gavitationskaft. 6