Übungen zur Klassischen Physik II (Elektrodynamik) SS 2016

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1 Institut fü Expeimentelle Kenphysik, KIT Übungen zu Klassischen Physik II (Elektodynamik) SS 216 Pof. D. T. Mülle D. F. Hatmann Blatt 3 Beabeitung: D Integation (a) Einfache Ladungsveteilung Q = V Q = ρ = ρ = ρ = ρ ρdv ; dv = dxdydz ; ρ(x, y, z) = ρ (2x 2 + 4yz 3xz) a a a a a a = ρ a 5 2x 2 + 4yz 3xz dxdydz [ 2x 2 z + 2yz xz2 ] a [ 2ax 2 y + a 2 y a2 xy [ 2 3 a2 x 3 + a 4 x 3 4 a3 x 2 ] a ] a dxdy = ρ dx = ρ (b) Kugelsymmetische Ladungsveteilung Gesucht ist die Gesamtladung Q. Bekannt ist: a a a 2x 2 a + 2ya xa2 dxdy 2a 2 x 2 + a a3 x dx Q = V ρdv ; dv = 2 sin θ ddθdφ ; ρ() = k e 2 a 2 = k = k = 2πk π 2π π [ = 4πk a 2 2 e a e 2 a 2 [e 2 a φ sin θ ] 2π 2 sin θ ddθdφ [ e 2 a ( cos θ) ] π ] ddθ = 2πk d = 4πk π e 2 a e 2 a d sin θ ddθ = 2πka

2 2. Potential und Feldstäke Ein elektostatisches Feld wid duch folgende Funktion beschieben: E x = 6xy; E y = 3x 2 3y 2 ; E z = Das Linienintegal ist gegeben duch E(x, y, z) = (6xy, 3x 2 3y 2, ). (a) Das Linienintegal vom Punkt P (,, ) zum Punkt P (x 1, y1, z 1 ) ist dann (i) zunächst entlang dey-achse U i (x 1, y 1, z 1 ) = (x1,y 1,z 1 ) (,,) E(x, y, z)d s = x1 (, 3x 2, ) (1,, )dx+ ode (ii) y1 (6x 1 y, 3x 2 1 3y 2, ) (, 1, )dy = + 3x 2 1y 1 y 3 1 U ii (x 1, y 1, z 1 ) = y1 (, 3y 2, ) (, 1, )dx + x1 y x 2 1y 1 = U i (x 1, y 1, z 1 ) (6xy 1, 3x 2 3y 2 1, ) (1,, )dy = Die Veschiebung hängt offensichtlich nicht vom gewählten Weg ab. d.h. das gegebene Feld ist konsevativ und die geleistete Abeit (hie fü die Veschiebung eine elektischen Ladung) entlang eines geschlossenen Weges ist Null. Dies gilt insbesondee fü das Gavitationsfeld und elektostatische Felde. Daaus folgt auch, dass fü das Wegintegal übe einen geschlossenen Weg Ed s = gilt. Zusammen mit dem Gausschen Flusssatz bildet dies gewissemaßen die Gudnlage de Elektostatik. (b) Mit U(x, y, z) = 3x 2 y y 3 egibt sich fü den Gadienten gad U = U = ( / x, / y, / z)u = (6xy, 3x 2 3y 2, ) = E(x, y, z) (1) 3. Beschleunigte Ladung (a) Die Abeit, die vom elektischen Feld am Elekton beim Duchlaufen de Potentialdiffeenz (Spannung) U veichtet wid, beechnet sich zu W = eu mit e als Elementaladung. Sie geht vollständig in kinetische Enegie des Elektons übe. Diese ist gleich de Diffeenz aus Gesamtenegie E = mc 2 (mit de Impulsmasse m = m / 1 v2 c 2 ) und de Ruheenegie E = m c 2 : Fü v =, 95c ehält man daaus U = 1, 13MV eu = m c (2) 1 v2 c 2

3 (b) Anmekung: Im atomaen Beeich ist die Enegieeinheit Joule unpaktisch. Man benutzt dot Elektonenvolt (ev ). Dies ist die Enegie, welche ein Elekton gewinnt, wenn es die Potentialdiffeenz U = 1V duchlaufen hat. 1ev = C 1V = J Ruheenegie des Potons: MeV kinetische Enegie 1GeV 1GeV =, 938GeV γ 1 β 2 =, β = 1, =.9663 (3) mit γ = 1/, 983 = 1, 66 m = m γ + m = 11, 66m (4) Lösung v =.9963c; m = 11, 66m 4. Schönes Wette (a) Wid de Edköpe als Leite betachtet, liegt eine negative Ladung mit eine Flächenladungsdichte σ = D 1 = ε E 1 = 1, C/m 2 auf seine Obefläche. De elektische Fluss duch Fläche A nimmt mit zunehmende Höhe ab, also anthält die Atmosphäe eine positive Raumladung Q, fü welche ε (E 1 E 2 )A = Q gilt. Esetzt man Q duch die Raumladungsdichte ϱ = dq/dv = const., ehält man Q = ϱ dv = ϱah; ϱ = Q Ah = ε E 1 E 2 h ϱ stellt nu die positive Übeschussladung da. = 1, C/m 3 (5) (b) Bei gleichmässigen veteilten Raumladungen nimmt E linea mit de Höhe z zwischen E 1 und E 2 ab: E = E 1 (E 1 E 2 )z/h Die Potentialdiffeenz (Spannung) betägt. U = z Edz = [ E 1 z E 1 E 2 h ] z 2 h 2 = E 1 + E 2 h = 67kV (6) 2

4 5. Felde Vobemekung: Kaftfluss: Definition eines Maßes f die Zahl de elektischen Feldlinien, die duch ein Flächenelement ds mit dem Flächennomalenvekto gehen: elektische Kaftfluss; GAUSS: dφ el = E d S (7) gesamte Kaftfluss duch eine Fläche S, z.b. Obefläche eines Köpes: Φ el = E ds (8) S Konvention: Flächenvekto ds ist imme nach aussen geichtet. Beispiel: Punktladung Q in de Mitte eine Kugel mit Obefläche S E = 1 Q 4πε ˆ; φ 2 el = 1 ˆ 4πε d S (9) 2 Mit d S und d S = 4π 2 (Kugelsymmetie) folgt S Φ el = Q = 1 ϱdv (1) ɛ ɛ Dies ist ein klassisches Beispiel fü den Satz von Gauß-Ostogadski, de fü beliebige Volumina V mit geschlossene Obefläche S gilt: De elektische Fluss duch eine geschlossene Obefläche hängt wede von de Fom de Obefläche noch von de Ladungsveteilung ab. Allgemein gilt in de Mathematik de Gaußsche Satz fü beliebige Vektofelde : De Fluss eines Vektofeldes duch eine geschlossene Obefläche ist gleich dem Integal de Divegenz des Feldes übe das eingeschlossene Volumen. Φ = A ds = divadv (11) A Anwendung auf das elektische Feld und Vegleich mit obige Fomel egibt dann V V S div E = ϱ ε (12) Die im Raum veteilten Ladungen sind die Quellen (q > ) bzw. Senken (q < ) des elektostatischen Feldes. Beispiele:

5 (Bild 4: Was hineingeht geht auch wiede aus!) Potential und Spannung: Ziel: Definition de Abeit W, de potentiellen Enegie und eines elektostatischen Potentials in Analogie zu Mechanik (s. Physik I). Dot wude die Bewegung eine Masse m in einem Gavitationsfeld beschieben. Dabei galt folgende Vozeichenkonvention: W = F d s > : man gewinnt Enegie (auf Kosten de potentiellen Enegie) W = F d s < : man mu Enegie aufwenden. F das elektostatische Feld gilt: dw = F d s = q Ed s P 2 P 2 W = F d s = q Ed s (13) P 1 P 1 Wie in de Mechanik gilt: konsevatives Kaftfeld Abeitsintegal unabhngig vom Weg jedem Raumpunkt p lässt sich die eindeutig definiete Funktion φ(p ) = Ed s elektostatisches Potential im Punkt P zuodnen. P Die Potentialdiffeenz φ(p 1 ) φ(p 2 ) = P 2 P 1 Ed s heisst elektische Spannung. Zusatz / Zusammenfassung / Vogiff / Was man wissen sollte!!: Das elektostatische Feld kann duch das Vektofeld E(x, y, z) ode quivalent duch die skalae Potentialfunktion φ(x, y, z) beschieben weden. φ(p) = p E d s E = gadφ(x, y, z) = φ (14) Aus div E = ϱ ɛ und div gadφ = φ folgt die Poisson-Gleichung, φ = ϱ ɛ (15) wobei div gad de Laplace-Opeato ist. x 2 y 2 z 2 Damit kann man aus eine vogegebenen Ladungsveteilung ϱ(x, y, z) die Funktionen φ(x, y, z) und E(x, y, z) beechnen. Die Integationskonstanten sind duch Randbedingungen festgelegt. Falls keine Ladungen vohanden sind, geht die Poisson-Gleichung be in die Laplace-Gleichung φ = (16) Definition: Flächen, auf denen φ = const gilt, heissen Äquipotentialflächen. E = gad φ(x, y, z) steht in jedem Punkt p eine Äquipotentialflche senkecht auf

6 diese. Beim Veschieben eine Ladung auf eine Äquipotentialflche wid keine Abeit geleistet. Achtung, beachten sie den Unteschied zwischen Φ und φ, einmal haben sie es mit einem Flächen (d S)- und einmal mit einem Linienelement (Integal) (d s) zu tun. TATSÄCHLICHE LÖSUNG DER AUFGABE: (a) Homogen geladene Fläeche Gauß-Fläche De Symmetie angepasst muss dann eine geeignete Gauss sche Fläche ausgewählt weden, so dass das elektische Feld in jedem Punkt 1. senkecht zu Fläche steht, (hie E senkecht zu A) und 2. sowie identischen Betag besitzt. Aus Symmetiegünden muss das elektische Feld E in beiden Halbäumen vom Betag he gleich und antipaallel sein Fakto 2 Q ɛ Gauss = Φ = A Ed A = 2E z A; (17) mit Q = Aσ folgt E z = σ d2ɛ ; E y = E x =. Fü σ > ist die Richtung wie in de Abbildun; fü σ < zeigt es in die Ebene. (b) Hohlkugel Aufgund de Kugelsymmetie des Poblems wid das Potential lediglich von de adialen Koodinate des im Mittelpunkt de Hohlkugel festgelegten sphäischen Koodinatensystems abhängen. Daaus folgt, dass die elektische Feldstäke nu eine Radialkomponente besitzt. Aus Symmetiegünden muss E adial nach aussen zeigen E ˆ d S ˆ Fü R gilt E d S = fü jede beliebige geschlossene Fläche, da es keine Ladungstäge im inneen jedes R gibt. im Innenaum. E = φ = const. (18) Fü R gilt Q ɛ Gauss = Φ = E ds integiet = 4π 2 E E = Q ˆ (19) 4πɛ 2 (Flächenelement = Kugelschale am Radius() = 4π 2 ) Im Aussenaum wikt die Kugel also wie eine Punktladung!

7 φ() = E d = Q 4πɛ E() = φ() (2) Φ el = E d S (c) geladene Vollkugel Raumladungsdichte ϱ, Ladung: Q = 4 3 πr3 ϱ: Fü R gilt (siehe auch Gavitationsaufgabe Physik I, Mechanik): Mit de Randbedingung φ( ) = (Feie Wahl des Potentialnullpunkts), also Integation von bis E = Q R ˆ φ() = E d = E d E d = 4πɛ R3 R Fü R gilt (siehe oben): Q Gauss = Φ = ɛ E d S = 4π 2 E E = Q ( 3 4πɛ R ) 2 2 2R 2 (21) Q ˆ (22) 4πɛ 2 Mit de Randbedingung φ( ) = (Feie Wahl des Potentialnullpunkts) φ() = E d = Q 4πɛ E() = φ() (23)

8 (d) Unendlich lange Stab Ladung po Längeneinheit λ = πr 2 ϱ = Aϱ; (λ = Q L ) Wiede ist aus symmetiegünden die Feldstäke E in einem Punkt P im Abstand von de Stabachse adial nach aussen geichtet. Fü den elektischen Fluss duch eine zum Stab koaxiale Zylindeobefläche mit Radius und Länge L ehalten wi Fü R: E d S integiet = E 2π L Gauss = ϱπ2 L ɛ (24) (Flächenelement = Zylindemantel am Radius(R) = 2πL) Fü R: Φ el = E = ϱ λ ˆ = ˆ 2ɛ 2πɛ R2 (25) R φ() = Ed = λ ) (1 2 4πɛ R 2 (26) E ds = E 2π L = Q = λ L E ɛ ɛ = λ ˆ (27) 2πɛ Mit de Randbedingung φ(r) = (Feie Wahl des Potentialnullpunkts; waum nicht?)) R φ() = E d = λ ln (28) 2πɛ R

9 (e) Koaxialkabel Fü > R 2 gilt: E d S = E =, φ = const. (29) da die Gesamtladung innehalb des Zylinde mit Radius gleich Null ist. Fü < R 2 gilt: Das feld des äusseen Zylindes ist Null, das des inneen, entspechend dem eben beechneten Stabes. Übungsleite: Fank Hatmann, IEKP, CN, KIT Tel.: ; Mobil - imme Tel.: ab und zu Fank.Hatmann@kit.edu www-ekp.physik.uni-kalsuhe.de/ hatmann/edyn.htm

10 Zusatz 1. Ladung im zentalen elektischen Feld alles ichtig ausse e) 2. Keising (a) (b) E = 1 4πε q 2 E 1 E 2 = q 1 q E = 1 q 4πε E 1 = 2 2 E Die Felde heben sich gegenseitig auf. q 1 q 2 = s 1 s 2 = 1 2 (3) = 2 1 > 1 E 1 > E 2 (31) = 1 E 1 = E 2 (32) (c) Bei eine Kugelschale ist die Ladung popotional zu Göße des Flächenelementes d.h. q 1 q 2 = 2 1 Die Felde heben sich gegenseitig auf. Wenn W mit 1/ statt mit 2 2 1/ 2 vaiiete, so ezeugte s 2 das stäkee Feld und das esultieende Feld wiese von s 2 weg.