Aufgabenblatt zum Seminar 04 PHYS70357 Elektrizitätslehre und Magnetismus (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik)

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1 Aufgabenblatt zum Semina4 PHYS7357 Eletizitätslehe und Magnetismus (Physi, Witschaftsphysi, Physi Lehamt, Nebenfach Physi) Othma Mati, Aufgaben. Das eletostatische Potential hat die Fom eine Gaussschen Glocenuve ϕ(x, y, z) = ϕ e (x +y +z )/ a) Beechnen Sie die Ladungsveteilung ρ el (x, y, z). b) Sizzieen Sie entlang de positiven x-achse die Ladungsveteilung ρ el (x, y, z).. Das eletostatische Potential hat die Fom eine modizieten Loentzuve mit > ϕ(x, y, z) = ϕ + (x +y +z ) / a) Beechnen Sie die Ladungsveteilung ρ el (x, y, z). b) Sizzieen Sie entlang de positiven x-achse die Ladungsveteilung ρ el (x, y, z). 3. Eine Ladung > bendet sich am Symmetiezentum eines egelmässigen platonischen Köpes (Kantenlänge a). Beechnen Sie fü einen Tetaede Hexaede (Wüfel) Otaede Dodeaede jeweils a) den Fluss des eletischen Feldes duch eine Seitenäche und b) das mittlee eletische Feld (gemittelt übe die Seitenäche). 4. identische Kondesatoen mit C = 3 nf sind entlang de Kanten eines Otaedes angeodnet. a) Beechnen Sie die Kapazität entlang eine Raumdiagonale. b) Beechnen Sie die Kapazität zwischen zwei benachbaten Ecen. c) Beechnen Sie die Kapazität zwischen zwei übenächsten Ecen.

2 EM 9, Aufgabenblatt N Ein Plattenondensato (Plattengösse A = cm, Plattenabstand d = 5 µm) ist mit Glimme (elative Dieletiozitätszahl ε = 7) gefüllt. De Kondensato wid auf eine Spannung von V (Eaten Sie, wie die Spannung ezeugt wude?) aufgeladen. a) Wie goss ist das eletische Feld E im Kondensato? b) Wie goss ist die dieletische Veschiebung D im Kondensato? c) Wie goss ist die Ladung P auf den Kondensatoplatten? d) Wie goss ist induziete Ladungsdichte an de Genze des Dieletiums? e) Wie goss ist die Enegiedichte w e im Kondensato? f) Wieviel Enegie ist im Kondensato gespeichet? 6. Ein Koaxialabel besteht aus eine zentalen Ade (Innenleite mit Radius a) und eine von de Ade duch ein Dieletium (elative Dieletizitätszahl ε =.7) getennten oaxialen zylindischen Hülle mit dem Radius b. a) Beechnen Sie allgemein (ohne Einsetzen) die Kapazität po Länge (Kapazitätsbelag) eines solchen Kabels. (Beechnen Sie dazu am Besten die Potentialdieenz zwischen Aussenleite und Innenleite bei gegebene Ladung po Länge) b) Wie goss ist de Kapazitätsbelag, wenn a/b = 3/ ist? 7. Ein Kondensato C = 4 µf wid auf U = V geladen, ein Kondensato C = 4 µf wid auf U = 43 V geladen, und schliesslich wid de Kondensato C 3 = 987 nf auf U 3 = 34 V geladen. Die dei Kondensatoen weden mit de oben angegebenen Polaität in geladenem Zustande paallel geschaltet. Wie goss ist die esultieende Spannung an de Paallelschaltung? (Funen und andee Nebensächlicheiten beim Zusammenschalten weden venachlässigt, bzw. ignoiet!) c 9 Ulm Univesity, Othma Mati

3 3 EM 9, Aufgabenblatt N (Im Semina Minuten) a) Beechnen Sie die Kaft F zwischen zwei Kondensatoplatten de Fläche A = 3 cm im Abstand d = 3 mm, wenn eine Spannung von U = V zwischen den Platten hescht. b) Wie goss muss die mechanische Zugspannung σ sein, damit die Platten in Ruhe sind? c 9 Ulm Univesity, Othma Mati 3

4 EM 9, Aufgabenblatt N. 4 4 Lösungen. Wi vewenden zu Lösung die Poisson-Gleichung ϕ(x, y, z) = ρ el(x, y, z) εε und setzen die gegebene Gleichung ein. Da x, y und z gleichbedeutend sind, setzen wi a = y + z und leiten nu nach x ab. x x ϕ (x, y, z) = ϕ x e (x +a )/ x ϕ e (x +a )/ = x ϕ (x, y, z) = ϕ 4 ( ρ el (x, y, z) = εε = x ϕ e (x +a )/ ϕ e (x +a )/ 4x + ϕ e (x +a )/ = εε ϕ 4 ρ el () = εε ϕ 4 4 ( ) x e (x +y +z )/ x ϕ (x, y, z) + y ϕ (x, y, z) + ( ( x + y + z ) ) 3 e (x +y +z )/ ( ) 3 e / ) z ϕ (x, y, z) ϕ [J/C].* 9 9.* 8.* 7.* 6.* 5.* 4.* 3.*.*.* ϕ ().*.*.* 4.* 6.* 8.*.* 9 [m] ρ el [C/m 3 ] 9.* 8.* 7.* 6.* 5.* 4.* 3.*.*.*.* Beispiel beechnet mit ϕ = nj/c, =.5 nm.*.*.* 4.* 6.* 8.*.* [m] Altenativ ann die Aufgabe mit sphäischen Koodinaten, φ, θ gelöst weden. Vetoen in sphäischen Koodinaten weden als v = e + φ e φ + θ e θ = φ θ geschieben. De Gadient ist dann gad ϕ(, φ, θ) = ϕ (, φ, θ) φ ϕ(,φ,θ) θ ϕ(,φ,θ) sin(φ) = ( ) ( φ ϕ (, φ, θ) e + ρ() ) ϕ (, φ, θ) e φ + ( θ ϕ (, φ, θ) sin (φ) ) e θ 4 c 9 Ulm Univesity, Othma Mati

5 5 EM 9, Aufgabenblatt N Die Divegenz eines Vetofeldes v = v (, φθ) e + v φ (, φθ) e φ + v θ (, φθ) e θ ist div v = ( sin (φ) v (, φθ) (, φ, θ) ) + φ ( sin (φ) v φ(, φθ) (, φ, θ)) + θ (v θ(, φθ) (, φ, θ)) sin (φ) De Laplaceopeato angewandt auf die salae Funtion ϕ(, φ, θ) ist dann ϕ(, φ, θ) = ( ( ( ) ( sin (φ) ϕ (, φ, θ)) + φ sin (φ) φ ϕ (, φ, θ) + θ (sin (φ)) θ ϕ(,φ,θ) sin(φ) )) Wi setzen nun = x + y + z und ehalten ϕ(, φ, θ) = ϕ e / Eingesetzt in ρ el (, φ, θ) = εε ϕ(, φ, θ) ehalten wi 3 sin (φ) e ρ el (e, φ, θ) = εε ϕ + 4 sin (φ) e 4 = εε ϕ 3 4 e. Wi vewenden zu Lösung die Poisson-Gleichung ϕ(x, y, z) = ρ el(x, y, z) εε und setzen die gegebene Gleichung ein. Da x, y und z gleichbedeutend sind, setzen wi a = y + z und leiten nu nach x ab. x ϕ (x, y, z) = ϕ x + (x +a ) / = ϕ (x + a ) (/) x ( + (x +a ) / ) ϕ (x + a ) / x ) x ( + (x +a ) / = ϕ ((x + a ) (/) ) x ( ϕ (x + a ) (/) x + (x +a ) ( / + (x +a ) / ) 3 ϕ (x + a ) (/) + ( ϕ (x + a ) (/) x + (x +a ) ( / + (x +a ) / ) ) ) c 9 Ulm Univesity, Othma Mati 5

6 EM 9, Aufgabenblatt N. 4 6 x ϕ (x, y, z) = ϕ ((x + y + z ) (/) ) x ( ϕ (x + y + z ) (/) x + (x +y +z ) ( / + (x +y +z ) / ) 3 ϕ (x + y + z ) (/) + ( ϕ (x + y + z ) (/) x + (x +y +z ) ( / + (x +y +z ) / ) ) ) ϕ ((x + y + z ) (/) ) x ρ el (x, y, z) = εε ϕ ( + (x +y +z ) /. ϕ (x + y + z ) (/) x ( + (x +y +z ) / ) ) 3 ϕ (x + y + z ) (/) ( + (x +y +z ) / ) + ϕ (x + y + z ) (/) x ( + (x +y +z ) / ) = εε ϕ ( + ) 3 ( ( + ) + ( ) ) ϕ [J/C].* 9 ϕ () 9.* 8.* 7.* 6.* 5.* 4.* 3.*.*.*.*.*.* 4.* 6.* 8.*.* 9 [m] ρ el [C/m 3 ] 9.* 8.* ρ() 7.* 6.* 5.* 4.* 3.*.*.*.*.*.*.* 4.* 6.* 8.*.* [m] Beispiel beechnet mit ϕ = nj/c, =.5 nm Altenative Rechnung mit sphäischen Koodinaten. (siehe auch die Aufgabe ) Das Potential in sphäischen Koodinaten ist ϕ(, φ, θ) = ϕ + / 6 c 9 Ulm Univesity, Othma Mati

7 7 EM 9, Aufgabenblatt N Dann ist ρ el (, φ, θ) = εε ϕ(, φ, θ) und ρ el (, φ, θ) = εε sin (φ) ϕ ( ) sin (φ) + sin (φ) ϕ ( ) 3 sin (φ) ϕ ( ) = εε ϕ ( ) + ( ) εε ϕ = ( ) + ( ) + + = εε ϕ ( ) ( + ) ( + ) + + ( + ) 3. Das Gausssche Gesetz gilt auch, wenn die Obeäche ein egelmässige platonische Köpe ist. Da alle Seitenächen äuivalent sind, ist de Fluss duch eine Seitenäche bei n Flächen Φ(Seitenäche) = Φ(4π) n Wenn A die Fläche eine Seitenäche ist, ist E A = Φ(Seitenäche) A = ε n = nε A Die Paallelomponente von E mittelt sich aus Symmetiegünden weg. Zu Beechnung de Seitenäche eines egelmässigen n-eces vewenden wi aus Bonstein A = ( π 4 na cot n) wobei a die Länge de Seite und π n n-eces ist. Platonische Köpe Anzahl Seiten Fom de Seite A Tetaede 4 gleichseitiges Deiec Hexaede (Wüfel) 6 Quadat a Otaede 8 gleichseitiges Deiec + Dodeaede gleichseitiges Fünfec 5 Iosaede gleichseitiges Deiec de Önungswinel des Deiecs im Zentum des 3 4 a 3 4 a a Die Resultate sind Platonische Köpe Fluss Φ(Seitenäche) Mittlees eletisches Feld E A Tetaede Hexaede (Wüfel) Otaede Dodeaede Iosaede 4ε 6ε 8ε ε ε 4ε 3 = 4 a 3ε a 6ε a 3ε a 5 5(+ 5) ε a 5 3ε a 5a 4 c 9 Ulm Univesity, Othma Mati 7

8 EM 9, Aufgabenblatt N Eigentlich baucht man Kondensatoen (man sollte zählen önnen). a) Hie sind jeweils 4 und 4 Kondensatoen paallel, und die Paallelschaltungen sind in Seie. Die estlichen vie Kondensatoen haben an beiden Enden das gleiche Potential (Symmetie). Also ist C RD = 4C + 4C = C = 46 nf b) Wi betachten zuest den Otaede und das äuivalente Schaltbild dazu C D E F A B Alle nicht beschifteten Kondensatoen haben den Wet C. Aus dem Schaltbild esehen wi, dass wenn wi die Kondensatoen zwischen A und B, bzw. zwischen C und D, duch eine Seienschaltung von jeweils zwei Kondensatoen mit de Gösse C esetzen, dass wi dann in de Mitte des Schaltbildes (vetial) eine Symmetieebene haben. Wi müssen also nu die Hälfte beechnen und dann das Resultat in Seie nehmen. Die Abbildungen zeigen die Symmetieebene und das dazu äuivalente Schaltbild. C C C D C C C D E E F F A C C B Äuipotentialfläche A C C B Wi fassen alle Paallelschaltungen zusammen. C 4C 4C D A 4C 4C B Die Schaltung ist nun einfach genug zum Auösen. C NN = 4C + 4C + C + 4C + 4C + C = 4C + 4C = 4C 5 8 c 9 Ulm Univesity, Othma Mati

9 9 EM 9, Aufgabenblatt N ode c) Dies ist Aufgabe a) C = C = 95. nf 5 5. Die Spannung wude mit eine Gleichichtediode aus Silizium aus de Netzspannung ezeugt. a) Mit E = U/d ist b) Mit D = εε E c) Mit D = Q/A ist E = V/m D = 4.43 µc/m p = DA = nc d) Die induziete Ladung ist (ε )/ε p ode Daaus die Ladungsdichte e) Mit w el = DE beommt man ind = nc σ ind = ind A = µc/m w el = J/m 3 f) Die Enegie ist 6. Aus de Volesung wissen wi E = w el Ad = µj U() = λ ( ) ln πεε a) Die Spannung zwischen Innen und Aussen ist U(a) U(b) = λ ( ) a ln πεε b) Aus C = Q U und mit dem Kapazitätsbelag C l ehalten wi + λ ( ) b ln = λ ln πεε πεε C l = λ U = λ λ πεε ln ( ) = πεε b ln ( ) = pf/m b a a ( ) b a c 9 Ulm Univesity, Othma Mati 9

10 EM 9, Aufgabenblatt N Wi beechnen zuest die Ladungsmengen auf den Kondensatoen aus Q = CU. Q = C U Q = C U Q 3 = C 3 U 3 Q = Q +Q +Q 3 = C U +C U +C 3 U 3 Die neue Kapazität ist Also ist C = C + C + C 3 U = Q C = C U + C U + C 3 U 3 C + C + C 3 4 µf V + 4 µf ( 43 V) nf 34 V = 4 µf + 4 µf nf = V 8. Aus de Volesung: a) Die Kaft ist dann w el = DE = εε E = εε U d b) Hie ist F = w el A = εε A U d = 8.85 pf/m.3 m ( V) =.475 mn (.3 m) σa = F e el A σ = w el = εε U d 8.85 pf/m ( V) (.3 m) = 4.97 mpa c 9 Ulm Univesity, Othma Mati