Messung von Kapazitäten Auf- und Entladungen von Kondensatoren

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1 8.. Guppe Maximilian Kauet Hendik Heißelmann Messung von Kapazitäten Auf- und Entladungen von Kondensatoen

2 Inhalt: Einleitung Vesuchduchfühung. Bestimmung des Eingangswidestandes eines Oszillogaphen. Bestimmung de Kapazität eines Koaxialkabels.3 Kapazität eines Plattenkondensatos.4 Phasenveschiebung zwischen Stom und Spannung im RC-Glied Liteatu: H.Helmes, Skipt zum Anfängepaktikum, Apil

3 Einleitung Befinden sich zwei elektische Leite in einem nicht zu goßen Abstand voneinande, so bilden sie einen Kondensato. Ein mögliche Kondensato ist ein Plattenkondensato. Hiebei befinden sich Zwei Metallplatten de Fläche A im Abstand d voneinande. Weden diese Platten aufgeladen, ist die Kapazität C des Kondensatos gleich dem Quotienten aus de Ladung Q und dem Momentanen Spannungsabfall U. Befindet sich nichts zwischen den Platten ist die Kapazität nu duch die geometische Anodnung bestimmt, C ε A/ d. Das ist einleuchtend, weil CQ/U und EU/d wobei E das elektische Feld zischen den Platten ist. Setz man die. in die. Gleichung ein egibt sich: CQ/Ed. Ehöht sich das el. Feld ode de Plattenabstand, dann sinkt die Kapazität, die Spannung wid göße. Befindet sich nun abe im Kondensato ein Isolato, diese wid als Dielektikum bezeichnet, so veändet sich die Kapazität des Kondensatos. Die Atome ode Moleküle des Dielektikums können sich zwa nicht bewegen, alledings können sich die Ladungen innehalb eines Atoms etwas velagen. De positiv geladene Ken in Richtung de negativ geladenen Platte und die Elektonen in Richtung de Positiven. Es entsteht ein kleines Elektisches Feld innehalb des Atoms. Da sich die Atome nun gleich ausichten, aufgund de Kondensatoladung summieen sich deen Felde und es entsteht ein E-Feld das dem E- Feld de Platten entgegengesetzt ist(vgl. G). Das gesamte elektische Feld wid also schwäche, woduch auch die Spannung geinge wid und somit die Kapazität göße wid. Will man die Gesamtkapazität eines Systems bestimmen, wendet man die Kichhoffschen Gesetze an. Es egibt sich fü eine Reihenschaltung von Kondensatoen: n C i C i Fü die Paallelschaltung hingegen: C n C i i. Das Aufladen und das Entladen an Kondensatoen benötigt eine gewisse Zeit, da Ladungen zu bzw. abfließen müssen. Betachten wi zunächst die Entladung genaue. Anstatt de Ladungsabnahme kann auch die Spannungsabnahme beobachtet weden, es ist RC U ( t) U e. Die Halbwetszeit, das ist die Zeit in de die Spannung auf die Hälfte gesunken ist, also de Kondensato sich halb entladen hat ist gegeben duch die Gleichung C. De Aufladevogang hingegen wid duch die Funktion U(t) U ln R e wobei RCτ die Zeit ist zu de die Ladung auf das /e fache abgesunken ist. t RC,

4 In G sind die beiden Funktionen skizziet. Aufgund diese tägen Auf- und Entladevogänge lässt sich auch ekläen, dass fü Fequenzen von nahezu Null Q CU gilt, da die Ladungstäge eine seh lange Zeit zum Aufladen des Kondensatos haben, bevo die Spannung umgepolt wid. Bei nahezu unendlich goßen Fequenzen ist die Zeit zum laden de Kondensatos nahezu Null und somit befinden sich nahezu keine Ladungen auf den Platten.. Bestimmung des Eingangswidestandes eines Oszillogaphen Mit Hilfe eine Entladekuve eines Kondensatos soll de Eingangswidestand R eines Oszillogaphen bestimmt weden. Aufbau: Ein Kondensato mit de Kapazität C,53µ F ±, µ F wid an ein Netzgeät mit de Ausgangsspannung von U5V und an einen Oszillogaphen angeschlossen(vgl. G 3..) Duchfühung: Zunächst wid de Kondensato übe das Netzgeät aufgeladen, danach wid das Netzgeät abgekoppelt. Es kommt übe den Eingangswidestand des Oszillogaphen zu Entladung des Kondensatos. Nun wid die Halbwetszeit fü den Entladevogang duch eine Stoppuh gemessen. Anzahl /s 7,5 ±, 7,4 ±, 3 7,39 ±, 4 7,38 ±, 5 7,48 ±, b 3..:Halbwetszeiten des Entladevogangs Auswetung: Um den Eingangswidestand zu bestimmen wid zunächst de Mittelwet τ bestimmt sowie die Standadabweichung des Mittelwetes σ m. τ 7,43 σ m σ 3 N,33*. Dazu kommt de Messfehle de Stoppuh. Also egibt sich fü die Halbwetszeit: 7,43s ±,33* 3 s

5 7,43s Nun ist R ln * C ln *,53* Fehlefotpflanzungsgesetz: 6 F,8M Ω. De Fehle egibt sich duch das σ R δr δr * + * C * + * C δ δc ln C ln C. 5 Eingesetzt egibt sich fü σ,6*. R Also ist de Eingangswidestand R,8M Ω ±,6* 5.. Bestimmung de Kapazität eines Koaxialkabels Um Entladevogänge beobachten zu können, die seh schnell ablaufen, kann man den Kondensato peiodisch aufladen, indem man ihn an einen Funktionsgeneato anschließt, de eine Rechteckspannung liefet. Die Gesamtkapazität egibt sich nun aus de Summe de einzelnen Kapazitäten de Messgeäte und de Vekabelung. Ist diese Kapazität bekannt kann eine weitee Kapazität, die an das System angeschlossen wid übe die Halbwetszeit bestimmt weden, sofen auch de Entladewidestand bekannt ist. Aufbau: Ein Kondensato wid paallel zu einem Funktionsgeneato und einem Oszillogaphen geschaltet(g3..) Duchfühung: De Funktionsgeneato wid auf eine Fequenz von khz bei eine Amplitude von einem Volt. Zunächst wid de Widestand am Funktionsgeneato gemessen, e betägt 45 Ω und mit de Widestandsdekade wid noch ein Widestand von 955 Ω hinzugeschaltet so dass man auf einen Gesamtwidestand R G von k Ω kommt. Nachdem die Halbwetszeit des Systems ohne zusätzliche Kondensatoen gemessen wude, wid ein Koaxialkabel veschiedene Länge, zwischen und 5 m, paallel hinzugefügt und die geändete Halbwetszeit bestimmt. Dies geschieht übe einen digitalen Speicheoszillogaphen. Mit Hilfe de Spannungscuso wid bestimmt wann die Spannung auf die Hälfte abgesunken ist und mit den Zeitcuso wid dann die Halbwetszeit abgelesen. Länge/m /ns ±, 3,3 35 3,5 46 4,4 49 5,5 59 b.3.. Halbwetszeiten des gesamt Systems

6 Auswetung: Wie in 3. wid auch hie de Mittelwet gebildet und zwa bezogen auf einen Mete. Als Messgenauigkeit wid de Gößtfehle von ns angenommen, fü den Widestand ein Fehle von %. Zuvo wid jedoch die Halbwetszeit A de Anodnung ohne zusätzliche Koaxialkabel abgezogen. Außedem wid die Halbwetzeit bezogen auf einen Mete beechnet. Länge/m /ns ± /ns m, 4 37,,3 8 88,7 3,5 9 95, 4,4 3 79, 5,5 4 83, b.3..: Auswetung von b 3.. Gemittelt egibt sich fü die Anodnung mit m Koaxialkabel eine Halbwetszeit von 96,7ns. Fü die Kapazität de Koaxialkabel egibt sich: C 96,7ns:(ln* Ω )39pF/m ln R G δc δc nach dem Fehlefotpflanzungsgesetz σ c σ + σ R 4,49* δ δr Also ist C39pF/m ± 4,49* die Kapazität eines m langen Koaxialkabels. Diese Wet liegt echt deutlich übe dem Sollwet von pf, möglicheweise ehöhen die Stecke die Kapazität, ode duch Veuneinigungen hat sich de Widestand und damit die Kapazität ehöht..3 Kapazität eines Plattenkondensatos Vesuchsaufbau: Duch einen Funktionsgeneato wid eine Spannung an einen Plattenkondensato angelegt. De Abstand de Messingplatten betägt d,6 ±,5 mm, ihe Fläche betägt A,4m ± mm. Neben dem Plattenkondensato wid auch eine Widestandsdekade in den Stomkeis eingebaut, mit deen Hilfe wi die Kapazität des Systems bestimmen. Mit einem digitalen Speicheoszillogaphen wid de Auf- und Entladevogang des Kondensatos aufgezeichnet.

7 Duchfühung: Zuest bestimmen wi den Innenwidestand des Oszillogaphen, um anschließend die Widestandsdekade so einzustellen, dass sich fü das System ohne Kondensato ein Gesamtwidestand von R G kω egibt. Nachdem de Plattenkondensato an den Oszillogaphen angeschlossen wude, wid duch den Funktionsgeneato eine Rechteckspannung mit eine Fequenz von etwa khz angelegt. Mittels de Zeitcusobestimmen wi die Halbwetszeit fü die Kondensatoentladung. Im zweiten eil des Vesuches wollen wi die elative Dielektizitätskonstante ε fü eine PVC-Platte mit de Fläche A,3985m² ± mm² bestimmen. Hiezu bingen wi das Dielektikum zwischen die Kondensatoplatten und messen eneut die Halbwetszeit de Entladung. Auswetung: a) Um aus de Halbwetszeit des Kondensatos ohne Dielektikum die Kapazität des Kondensatos zu emitteln, bestimmen wi die Kapazität des gesamten Systems und ziehen davon die Kapazität des Systems ohne den Kondensato ab, da die Gesetze fü die Zusammenschaltung mehee Kondensatoen gelten. Halbwetszeit: 34 ns ± ns Daaus egibt sich als Kapazität: C ln R G C mit 7ns C 45, 5pF ln kω Dann ist 34ns C C 45, 7 pf ln kω Als Standadabweichung des Wetes ehält man nach Fehlefotpflanzungsgesetz σ g, Wi können nun diesen Wet mit dem aus de heoie beechneten Wet vegleichen. Fü die Kapazität eines Plattenkondensatos gilt A C ε ε ; wobei A die Fläche de Platten und d ih Abstand ist. d ε ist eine Popotionalitätskonstante, die von de Lichtgeschwindigkeit und de magnetischen Feldkonstante abhängt: ε 8,854 c µ As Vm

8 ε ist die Dielektizitätszahl. Sie ist fü jedes Dielektikum mateialspezifisch und betägt fü Luft bei Nomalbedingungen,576. Fü die Kapazität des Kondensatos egibt sich so,4m² As,4m² C ε ε 8,854,576, 5pF.,6m Vm,6m Als Standadabweichung egibt sich σ g 6, b) Aus de Halbwetszeit fü den Kondensato mit Dielektikum lässt sich zunächst die Kapazität de Anodnung bestimmen und anschließend auch die elative Dielektizitätszahl ε. Als Kapazität egibt sich fü 4ns C ln R Daaus ehalten wi fü ε C 346, 5 PVC G pf C PVC d ε ε A APVC C + ε ( ε ) d PVC ( C PVC C) + ε,6m (346,5 pf 45,7 pf) +,4579 As 8,854,3985m² Vm.4 Phasenveschiebung zwischen Stom und Spannung im RC-Glied Vesuchsaufbau: An einen Funktionsgeneato, de eine Sinusspannung ezeugt, weden eine Kondensato und ein Widestand in Reihe angeschlossen. Mit dem esten Kanal des Oszillogaphen wid die Spannung übe de Reihenschaltung gemessen. Mit dem zweiten Kanal wid die am Widestand abfallende Spannung gemessen, da diese in Phase mit dem Stom I veläuft und da de Stom nicht diekt zu messen ist. Duchfühung: Die Fequenz de anliegenden Sinusspannung wid vaiiet. Mittels de Zeitcuso des Oszillogaphen messen wi die Zeitdiffeenz zwischen den Nullduchläufen de beiden anliegenden Signale. Aus diesen Diffeenzen emitteln wi echneisch den Phasenwinkel, um den die Signale gegeneinande veschoben sind.

9 Auswetung: Fequenz ω [khz] Zeitdiffeenz [µs] Phasenveschiebung θ, ,6, 46 89,45 5, 37 67, ,6,33 5, 38,6 3,,6 9, 4,65,44,7 5,3,9 6,9,4 8,64 ab.3.4: Phasenveschiebung am RC-Glied Mit de Gleichung ω/ ehält man die Peiodendaue de anliegenden Schwingung. Hieaus lässt sich duch 36 θ die Phasenveschiebung beechnen (vgl. ab.3.4.). Die theoetischen Wete lassen sich duch actan θ beechnen. ωrc Die Wete fü die expeimentell bestimmten und die beechneten Phasenveschiebungen stellen wi gaphisch da, indem wi den Phasenwinkel θ übe de Fequenz ω auftagen. Es ist eindeutig ekennba, dass die Phasenveschiebung bei ansteigende Fequenz sinkt, wie in Abb.3.4 dagestellt. Wollte man die Phasenveschiebung zwischen de Spannung am Kondensato und dem Stom I messen, so müsste man das Signal fü den esten Kanal des Oszillogaphen nu am Kondensato anstatt übe de gesamten Reihenschaltung messen. Diese Phasenveschiebung entspäche de Addition de Phasenveschiebung de Spannung am Kondensato gegenübe de Ausgangsspannung und de Veschiebung des Stomes gegenübe de Ausgangsspannung, da die Spannung am Kondensato de Ausgangsspannung hintehe hinkt, wähend de Stom ih voaus eilt.