Abbildung 9: zweiatomiges Molekül mit Bindungselektron. 2 e e e H

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1 Physik de kondensieten Mateie WS 00/ c) Kovalente Kopplung Bei de kovalenten Kopplung handelt es sich um die Elektonenpaabildung zwischen nicht voll besetzten Obitalen. Zu Veanschaulichung diese Wechselwikung in eine einfachen Modellübelegung betachten wi das einfache Modell eines zweiatomigen Moleküls mit einem Bindungselekton (siehe Abbildung 9). Abbildung 9: zweiatomiges Molekül mit Bindungselekton De entspechende Hamiltonopeato hat die Fom: e e e H m 4 0A 4 0B 4 0AB (.5) Die Beechnung de Wellenfunktion, die die Schödingegleichung H E löst, ist seh kompliziet. Wi finden eine Näheungslösung duch eine spezielle Übelageung de Wellenfunktionen de isolieten Atome zu zwei neuen Wellenfunktionen Die Enegie diese Zustände beechnet sich mittels 0A 0B (.6) E * H d d (.7) (Die auf diese Weise beechnete Enegie kann nu göße sein als die wikliche Gundzustandsenegie). Lösen von (.7) liefet E E0 C D S (.8) mit den Abküzungen * A Bd (Übelappungsintegal) S

2 Physik de kondensieten Mateie WS 00/ D C e * A e 4 0 B A d * A Bd (Austauschintegal) 40A Die beiden Obitale de Wassestoffatome kombinieen zu zwei Obitalen unteschiedliche Enegie: A A B höhee Enegie + fü S A B niedigee Enegie - fü Die symmetische Wellenfunktion füht somit zu eine Absenkung de Enegie (bindend) und die antisymmetische Wellenfunktion zu eine Ehöhung de Enegie (antibindend). Abbildung 0: Links: Antisymmetische (oben) und symmetische (unten) Wellenfunktion; Mitte: Veanschaulichung de entspechenden Dichteveteilungen des Elektons; Rechts: Die Enegie des Wassestoff-Molekülions fü bindenden und antibindenden (lockenden) Zustand in Abhängigkeit des Kenabstands. Quelle: Haken, Wolf, Atom- und Quantenphysik Die Bindung manifestiet sich in eine Ehöhung de Elektonendichte zwischen den Atomen (siehe Abbildung 0). Das bindende Obital kann maximal zwei Elektonen aufnehmen. Diese einfache quantenmechanische Modellechnung zeigt beeits die wesentlichen Eigenschaften: Enegieabsenkung (=Bindung) setzt einen Übelapp de uspünglichen Obitale voaus (S 0, D 0). Kovalente Bindungen sind geometisch geichtet. Ihe Anzahl wid duch die Quantenmechanik festgelegt (Peiodensystem).

3 Physik de kondensieten Mateie WS 00/ d) Ionische Bindung Abbildung : Aufspaltung de Enegieniveaus Abbildung : Einfache Ionenkistalle: a) NaCl-Stuktu und b) CsCl-Stuktuj. Quelle: Ibach, Lüth, 009, Festköpephysik Zwei wichtige Begiffe im Zusammenhang mit de ionischen Bindung sind die Ionisieungsenegie und die Elektonenaffinität. Die Ionisieungsenegie I.E. gibt die Enegie an, die benötigt wid, um ein Elekton von einem neutalen Atom zu entfenen, z.b.: Na 5,4eV Na e Die Elektonenaffinität E.A. gibt die Enegie an, die gewonnen wid, wenn einem neutalen Atom ein zusätzliches Elekton hinzugefügt wid. Beispielsweise, z.b.: Cl e Cl 3,7eV Die Bildung de fü ein Molekül efodelichen Ionen aus den neutalen Komponenten efodet also Enegie, im aktuellen Beispiel: E= I.E.- E.A.=,43eV Deshalb ist das Molekül einzeln nicht unbedingt stabil, wohl abe im Kistallveband, da zusätzlich die Bindungsenegie 3

4 Physik de kondensieten Mateie WS 00/ ij e ij Be (.9) 4 0 ij epuls. Anteil gewonnen wid, falls ungleichnamige Ionen miteinande wechselwiken. Die gesamte Bindungsenegie eines Ions im Kistallveband egibt sich duch Summation: i i`j Fü eine übesichtliche Dastellung weden die auftetenden Abstände auf den Abstand nächste Nachban nomiet: ij ij p ij p ij ist hiebei spezifisch fü die jeweilige Stuktu. So lautet die Enegie fü alle Atome: N N e U i Be 40 ij pij ij A ij (.0) Hiebei taucht die, fü eine gegebene Kistallstuktu chaakteistische Madelung-Konstante auf: A p (.0 ) i j ij Diese betägt fü die in Abbildung gezeigten Stuktuen: A,748 NaCl A,763 CsCl In den letzten Tem von Gl..0 fließen aufgund de kuzeichweitigen Wechselwikung lediglich die nächsten Nachban ein. Wi scheiben also fü die Bindungsenegie eines Ionenkistalls: N Ae U B ze 40 (.) mit de Koodinationszahl z. De Gad des Ionenchaaktes eine Bindung lässt sich nach Pauling/Milikan abschätzen duch die Diffeenz de Elektonegativitäten (vgl. Tabelle ): := 0,84 I.E.+E.A. 4

5 Physik de kondensieten Mateie WS 00/ Tabelle : Die Elektonegativitäten einige Elemente (nach Pauling). Quelle: Ibach, Lüth, 009, Festköpephysik e) Metallische Bindung Als letztes betachten wi die metallische Bindung. Diese ist daduch gekennzeichnet, dass die Zustände de einzelnen Elektonen so stak übelappen, dass sich sogenannte Elektonenbände ausbilden. Die typisch metallischen Eigenschaften wie Glanz ode elektische Leitfähigkeit lassen sich alle auf die Bildung diese Elektonenbände zuückfühen. In Abbildung 3 sind die Zustände im Metall schematisch dagestellt. Nach de Heisenbegschen Unschäfeelation haben die delokalisieten Elektonen mit goße Wellenlänge eine geingee Enegie als die lokalisieten Elektonen in de Nähe de Kene. Abbildung 3: metallische Zustände Die metallische Bindung ist geometisch ungeichtet. Sie ist ein koopeatives Phänomen zwischen allen beteiligten Atomen. Somit eignet sich ein eines Paabindungsmodell nicht fü eine Bescheibung. Eine bauchbae Bescheibung, die auch in modenen numeischen Simulationen vewendet wid, liefet z.b. das Embedded Atom Potential, bei dem positive Atomümpfe, die sich voneinande Abstoßen in einem negativen Elektonengelee schwimmen. Folglich setzt sich die Gesamtenegie aus einem anziehenden Beitag aufgund de Einbettung und einem abstoßenden Beitag zusammen. ui F i ij ij ` (.) jì 5

6 Physik de kondensieten Mateie WS 00/ Hiebei bezeichnet F eine Einbettungsfunktion. Diese ist abhängig von de Elektonendichte ρ am Ot des betachteten Atoms. De zweite Summand efasst die paaweise abstoßende Wechselwikung. Die Elektonendichte selbst egibt sich wiede duch Summation aus den Elektonendichten alle Nachbaatome (vegleiche Abbildung 4): i f ij (. ) j Abbildung 4: Veanschaulichung Embedded Atom Potential. Kistallstuktuen und ihe Bescheibung Hat die Natu eine lokal enegetisch günstige Anodnung gefunden, wid diese peiodisch wiedeholt, um einen Zustand geingste Gesamtenegie zu eeichen. Aus diesem Gund ist de enegetische Gundzustand eine Substanz also paktisch imme de Kistall. Tanslationssymmetie Die peiodische Anodnung eines Kistalls gehocht eine Tanslationssymmetie. Diese wid mit Hilfe von dei Tanslationsvektoen beschieben: T : ha kb lc; h, k, l (.) hkl Jede Veschiebung Thkl übefüht das unendlich ausgedehnte Raumgitte in sich selbst (Symmetieopeation). a, b, c sind die (nicht eindeutigen) Basisvektoen des Otsaumes (siehe Abbildung 5). Abbildung 5: D Raumgitte mit veschiedenen Basisvektoen 6