Abiturprüfung Physik 2016 (Nordrhein-Westfalen) Leistungskurs Aufgabe 1: Induktion bei der Torlinientechnik

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1 Abitupüfung Physik 2016 (Nodhein-Westfalen) Leistungskus Aufgabe 1: Induktion bei de Tolinientechnik Im Fußball sogen egelmäßig umstittene Entscheidungen übe zu Unecht gegebene bzw. nicht gegebene Toe fü Diskussionen. Technische Hilfsmittel, die übepüfen, ob de Ball die Tolinie vollständig, d. h. mit vollem Duchmesse, übequet hat ode nicht, weden als Tolinientechnik bezeichnet (siehe Abbildung 1). In den letzten Jahen wuden unteschiedliche Systeme de Tolinientechnik entwickelt. Mehee von ihnen nutzen Magnetfelde, um die Position des Balles zu bestimmen. Abb. 1: De Schiedsichte kann auf To entscheiden, obwohl de Ball vom Tohüte vedeckt wid. Faunhofe IIS In einem einfachen Modellvesuch soll ein mögliches System dagestellt weden, das sich Magnetfelde zunutze macht (siehe Abbildung 2). Hiebei dient eine Spule mit goßem Duchmesse als To und eine Spule mit deutlich kleineem Duchmesse als Ball. Die Spulen weden im Folgenden de Einfachheit halbe als Tospule bzw. Ballspule bezeichnet. Außedem befindet sich eine Hall- Sonde in einige Entfenung hinte de Tospule, um die Position de Ballspule elativ zu Tolinie zu bestimmen. Zu Anzeige de Entscheidung Ball im To bzw. Ball nicht im To wid ein Voltmete vewendet. LK

2 Abb. 2: Aufbau des Modellvesuchs 1.1 Die Hall-Sonde misst die Stäke B des magnetischen Feldes indiekt übe die sogenannte Hall-Spannung UH (siehe Abbildung 3). Abb. 3: Skizze eine Hall-Sonde Bescheiben Sie den Aufbau de Hall-Sonde. Eläuten Sie ihe Funktionsweise. Zeigen Sie mithilfe eines geeigneten Kaftansatzes, dass sich die HallSpannung UH popotional zu Feldstäke B vehält. LK P.

3 1.2 Das Magnetfeld de Tospule ist stak inhomogen. Dies hat paktische Bedeutung fü den Modellvesuch, da die von de Stomstäke I in de Tospule abhängige Stäke B I des magnetischen Feldes hinte de Tospule stak abfällt. Entlang de in Abbildung 4 dagestellten x-achse (Symmetieachse) gilt: μ 2 0 nt I R B(x) I = 3 2 (R2+ x 2) 2 7 Vs Am Dabei ist μ = π die magnetische Feldkonstante, n T die Anzahl de Windungen, R de Radius und x de Abstand von de Spulenmitte. De zugehöige Gaph ist in Abbildung 5 dagestellt. Hiebei ist die vetikale Achse in de Einheit des maximalen Wetes B I (0) skaliet. Abb. 4: Skizze de Tospule Abb. 5: Stäke B I des magnetischen Feldes entlang de Symmetieachse (Die t-achse wid in Teilaufgabe 1.3 d benötigt.) LK

4 Zu expeimentellen Bestimmung de Feldstäke B I wid die Hall-Spannung duch das Betiebsgeät de Hall-Sonde zunächst vestäkt. Die vestäkte Hall-Spannung U H wid dann zu Anzeige gebacht. Um sie in die Feldstäke B I umechnen zu können, misst man Wete fü U H in de Mitte de Tospule (x = 0) in Abhängigkeit von de Stomstäke I (siehe Tabelle 1). De Spulenadius betägt R = 20,0 cm, die Spule hat n T = 154 Windungen. I (in A) 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 U H (in V) 0,00 0,45 0,94 1,45 1,98 2,39 B I (0) (in mt) Tab. 1 a) Zeigen Sie mithilfe de gegebenen Gleichung fü B I (x), dass die Stäke des magnetischen Feldes in de Spulenmitte duch die Gleichung μ0 nt I B(0) I = 2R gegeben ist. b) Beechnen Sie mithilfe de Gleichung aus Teilaufgabe 1.2 a die Wete fü B I (0) in Tabelle 1 in Abhängigkeit von de Stomstäke I. Bestimmen Sie anhand eine gafischen Auswetung den Popotionalitätsfakto c fü den Zusammenhang B = c U H bei de hie vewendeten Hall-Sonde. c) Zeigen Sie echneisch, dass die Feldstäke B I fü x = 2R wenige als 9 % de Feldstäke in de Spulenmitte betägt. 14 P. 1.3 In einem Gedankenexpeiment ist das von de Tospule ezeugte Magnetfeld zunächst zeitlich konstant. Die Ballspule wid mit offenen Anschlüssen mit konstante Geschwindigkeit v, wie in Abbildung 6 dagestellt, auf die Tospule zu und duch sie hinduch bewegt. Abb. 6: Bewegungsichtung de Ballspule a) Begünden Sie, dass zwischen den offenen Anschlüssen de Ballspule eine Spannung U messba ist. LK

5 Lösungen zu Aufgabe 1 Vobemekung: In diese Aufgabe geht es um die elektomagnetische Induktion, wie sie auftitt, wenn sich ein von eine Induktionsspule wahgenommenes Magnetfeld zeitlich ode auch äumlich ändet. De duchgehende Kontext ist de de Tolinientechnik: Hie stand längee Zeit in de Diskussion, übe elektische Spulen in de Ballhülle, in denen Induktionswikungen bei geeigneten äußeen Magnetfelden aufteten, die Position des Balles vo allem bei Toentscheidungen objektiv zu egistieen, um den Schiedsichten eine weitee Hilfe fü ihe Entscheidung zu geben. 1.1 a) Aufbau de Sonde Die Hall-Sonde besteht aus einem Plättchen aus einem Halbleitemateial, das de Länge nach von einem elektischen Stom duchflossen wid. An de obeen und unteen Seite des Plättchens befinden sich zwei elektische Kontakte bzw. Anschlüsse, übe die eine Spannung gemessen wid. Funktionsweise Zu Messung de Stäke eines magnetischen Feldes bingt man das Hall- Plättchen so in das Feld, dass de Stom duch die Hall-Sonde senkecht zum Magnetfeld veläuft. Duch eine Ladungsveschiebung innehalb des Plättchens lässt sich dann die sog. Hall-Spannung U H zwischen de obeen und unteen Seite des Plättchens messen. Popotionalität zwischen Hall-Spannung und magnetische Feldstäke De Kaftansatz kann mithilfe eine Egänzung in de Skizze auf dem Aufgabenblatt eläutet weden: Die Loentzkaft F L sogt fü eine Veschiebung de Elektonen nach unten, sodass sich oben ein Elektonenmangel und unten ein Elektonenübeschuss bildet. Es entsteht daduch ein elektisches Feld E. Elektonen weden nu solange nach unten veschoben, bis die duch das Abb. 10 elektische Feld E hevogeufene elektische Feldkaft F el und die Loentzkaft F L ein Käftegleichgewicht bilden, das sich betagsmäßig in de folgenden Weise dastellen lässt: FL= Fel Nach Einsetzen de zugehöigen Kaftteme und Umstellen ehält man UH e v B= e E e v B= e UH = v d B d und damit die gesuchte die Popotionalität U H B. LK

6 1.2 a) Einsetzen von x = 0 in die gegebene Gleichung liefet die Magnetfeldstäke in de Spulenmitte: μ nt I R μ0 nt I R μ0 nt I B(0) I = = = (R + 0 ) 2 2 R 2R b) Duch Einsetzen de gegebenen Wete in die Gleichung aus Teilaufgabe 1.2 a egeben sich fü B I (0) die Wete in de ditten Zeile: I (in A) 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 U H (in V) 0,00 0,45 0,94 1,45 1,98 2,39 B I (0) (in mt) 0,00 0,48 0,97 1,45 1,94 2,42 Tägt man B I (0) gegen U H auf, egibt sich das Diagamm echts. Duch Bestimmung de Steigung ehält man fü die Popotionalitätskonstante den Wet: mt c= 1 V Abb. 11 c) Das Vehältnis von B I (2R) zu B I (0) ist: B(2R) 3 I R 1 = = = 0,0894 = 8,94 % 3 3 B(0) I (R 2+ (2R) 2) Also betägt die Feldstäke fü x = 2R wenige als 9 % de Feldstäke in de Spulenmitte. 1.3 a) Entstehung de Spannung U Wie in Abbildung 5 ekennba, ist das von de Tospule ezeugte Magnetfeld äumlich seh inhomogen. Bewegt sich die offene Ballspule duch dieses inhomogene Magnetfeld, ändet sich in jede Windung ständig de Teil des Magnetfeldes, de diese Windung duchsetzt. Damit ändet sich de magnetische Fluss Φ in de Ballspule zeitlich. Nach dem Induktionsgesetz wid an den offenen Enden die Spannung U = Φ je Windung induziet. Man kann veeinfacht auch übe die gesamte Ballspule gemittelt (statt einzeln übe jede ihe Windungen) agumentieen: Die Ballspule bewegt sich in einem seh inhomogenen Magnetfeld, sodass daduch in ih eine Spannung induziet wid. LK

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