Kardioiden INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. FRIEDRICH W. BUCKEL. Text Nr Stand 11. Mai 2016

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Kardioiden INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. FRIEDRICH W. BUCKEL. Text Nr Stand 11. Mai 2016"

Elvira Grosser
vor 5 Jahren
Abrufe

1 Kadioiden Text N. 5 Stand. Mai 6 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 5 Kadioiden Vowot Die Kadioide ist aus meheen Günden beühmt. Da gibt es zuest die physikalische Escheinung de Katakaustik, die bei de Lichteflexion an eine Zylindefläche entsteht. Dann abe sind diese kuven auch Rollkuven, vegleichba mit den Zykloiden, nu dass hie ein Keis auf einem andeen abollt. Es gibt spannende geometische Heleitungen fü die Gleichungen und natülich allelei Beechnungen, deen Methoden man im Text 5 Diffeentialgeometie findet. Die Integale sind nicht ganz so schwe, wie bei vielen andeen Kuven Inhalt Voschau Geometische Eigenschaft de Kadioide Einfühung de Kadioide als Rollkuve (Epizykloide) 5 Heleitung de Paametegleichungen 6 5 Ableitungen de Kadioiden Punkte mit senkechten Tangenten 7 Punkte mit waagechten Tangenten 8 6 Gleichungen von Kadioiden in Polakoodinaten 9 7 Heleitung de Koodinatengleichung 8 Beechnung de Bogenlänge de Kadioide 9 Beechnung de Fläche im Innen de Kadioide Die Kadioide ist eine spezielle Pascalsche Schnecke

3 5 Kadioiden Die Kadioide (Hezkuve) Voschau Die Gleichungen vaiieen je nach Lage de Kuve. Paametegleichungen: x t x t a cos t cos t ode a cos t sin t a cos t cos t a cos t sin t Oft wid statt a de Fakto a vewendet. Mit Polakoodinaten: x t ode a cos a cos Koodinatengleichung: Beispiele: a cos t cos t a cos t sin t ode (auch mit sin statt cos) (Es ist eine algebaische Kuve. Odnung) x y ax x y a y ode x y ax x y a y, cos cos sin sin

5 Kadioiden Geometische Eigenschaft de Kadioide Diese Kuve ist schon seh lange bekannt: 69 wid sie in einem mathematischen Lexikon von Ockham ewähnt.

wikipedia.og/wiki/kaustik_(optik)) Die Webseite http://www.chemgapedia.de/ genaue http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ph//ep/einfuehung/geooptik/eflexion.

Die Katakaustik ode Hezkuve ist die Einhüllende de eflektieten Lichtstahlen.

4 5 Kadioiden Geometische Eigenschaft de Kadioide Diese Kuve ist schon seh lange bekannt: 69 wid sie in einem mathematischen Lexikon von Ockham ewähnt. Sie titt in de Physik als Katakaustik auf, eine Escheinung, die dann entsteht, wenn sich paalleles Licht in einem Zylinde in einem Zylinde spiegelt. (Abb. von Die Webseite genaue c/de/ph//ep/einfuehung/geooptik/eflexionsgesetz_gekuemmt.vscml.html zeigt diese Konstuktion de Reflexion von Lichtstahlen an einem Keisbogen. Die Katakaustik ode Hezkuve ist die Einhüllende de eflektieten Lichtstahlen. Vewendet man als Reflexions fläche eine Paabel, gehen alle eflektieten Stahlen duch den Bennpunkt: Zu Beechnung des Bennpunkts bei einem sphäischen Spiegel (Keisfom): De paallel zu optischen Achse einfallende Stahl teffe in A auf. De eflektiete Stahl hintelässt dabei einen gleich goßen Winkel. Die Einhüllende diese eflektieten Stahlen ist die Hezkuve.

5 Kadioiden 5 Einfühung de Kuve als Rollkuve Lässt man auf de Außenseite eines gegebenen festen Keises mit Mittelpunkt M und Radius a einen weiteen Keis mit dem gleichen Radius

Eine Kadioide ist also eine spezielle Rollkuve (Epizykloide). De zentale Keis um M hat den Radius a =.

De anfängliche Beühpunkt Po bewegt sich dabei auf de Kadioide, die hie schwaz gestichelt ist. Die Gleichungen de Bahnkuve sind: a cos t cos t x t fü t;.

5 5 Kadioiden 5 Einfühung de Kuve als Rollkuve Lässt man auf de Außenseite eines gegebenen festen Keises mit Mittelpunkt M und Radius a einen weiteen Keis mit dem gleichen Radius abollen und betachtet dabei einen bestimmten Punkt P auf dem abollenden Keis, so bescheibt diese Punkt eine Kadioide. Eine Kadioide ist also eine spezielle Rollkuve (Epizykloide). De zentale Keis um M hat den Radius a =. Ein gleich goße Keis beginnt mit M so den zentalen Keis zu umlaufen, dass M auf dem Keis um M mit Radius a = umläuft. De anfängliche Beühpunkt Po bewegt sich dabei auf de Kadioide, die hie schwaz gestichelt ist. Die Gleichungen de Bahnkuve sind: a cos t cos t x t fü t;. a cos t sin t x x ist die Kuve geschlossen. Man lässt also weg. Da Die Abbildung zeigt die Lage de Punkte in Abhängigkeit von t: Diese Abbildung enthält die Lage von Punkten zu bestimmten t-weten, fene in blau die fünf Extempunkte: Hochpunkt und Tiefpunkt mit waagechte Tangente sowie zwei Rechtspunkte und einen Linkspunkt mit senkechte Tangente. Die Beechnung diese Punkte folgt zwei Seiten späte.

6 5 Kadioiden 6 Heleitung de Paametegleichungen x t De auf de Kadioide laufende Punkt ist P, de sich hie beeits von O aus nach P bewegt hat. Duch das Abollen des äußeen Keises am zentalen Keis um M hat sich de anfängliche Beühpunkt O nach Q bewegt. De Bogen OQ und de Bogen QP sind dahe gleich lang. Beechnung de x-koodinate von P: x OP MNOM PN Die Stecke MN kann man im Deieck MNM mit den Kosinus des Winkels t beechnen: MN MN cos t MN a cos t MM a. a cos t cos t a cos t sin t Die Stecke P N ist gleichlang wie PP, die man im Deieck PP M mit dem Kosinus von beechnen kann: PP cos PP a cos. Das Poblem ist nun de Winkel. a Da wi unsee Winkel im Bogenmaß messen, gilt fü die gleich langen Bögen OQ und QP : OQ a t und QP a, also a t a, woaus folgt t Im Deieck MRM ist die Winkelsumme natülich 8 O bzw. : t, also ist Andeeseits gilt fü und :. t t. Esetzt man hiein, ehält man: Also ist doppelt so goß wie de Umlaufwinkel t bei M. t Zuück zu Beechnung von x: x MNOM PM x a cost a a cost d. h. x a cost a cost Esetzt man cost cos t, folgt: d. h. x acos t a cos t x acost cost x acos t a cos t Beechnung de y-koodinate von P: y PP PN MN MP MN MN sin t MN a sin t MM a M N beechnet man im Deieck MNM : M P beechnet man im Deieck PP M : sin a MP a sin a sint Also ehält man y asint a sint Mit sint sint cost folgt: y asint asint cost y asint cost, was zu beweisen wa. MP

7 5 Kadioiden 7 5 Ableitungen de Gleichungen und Extempunkte cost cost x t a cos t sin t sin t sin t cos t cos t sint cost sint sint sint x t a a sin t cos t cos t costcost cost cost x t a sintsint sin t cos t cos t sin t sin t cos t sin t sin t cos t x t a a sintsint costcost Wo hat die Kuve eine senkechte Tangente? Bedingung: x t abe y t Bedingung: x t sint cost sint sint cost Das Nullpodukt liefet sint t ode ode 5 ode abe Punktkoodinaten und Kontollen: t : 5 t : 5 t : cos t cos t t ode x R y( ) cos cos x cos cos 6 d. h. bei t hat x(t) ein Maximum, also ist R ein Rechtspunkt. x R y( ) cos cos x cos cos 6 5 d. h. bei t hat x(t) ein Maximum, also ist R ein Rechtspunkt. (cos ) cos x O (cos ) sin y() cos cos Also hie keine senkechte Tangente. t : Da fü t = gilt x ist de Uspung ein singuläe Punkt (Spitze). ( cos ) sin (cos ) cos ( ) 8 x L8 y( ) cos cos Also hie eine senkechte Tangente. x cos cos d. h. bei t hat x(t) ein Minimum, also ist L ein Linkspunkt.

8 5 Kadioiden 8 Wo hat die Kuve eine waagechte Tangente? Bedingung: Bedingung: y(t) d. h. cost cost Fomel: cost cos t : Odnen: cos t cos t cos t cos t 8 Quadatische Gleichung fü cos(t): cos(t) cost füht zu cost füht zu t. Punktkoodinaten und Kontollen: t : t : t : cos sin t ode t y t abe x t cos cos x H. Kontolle mit. Kontolle mit yt sint sint : x t sin t sin t : x( ) sin sin y sin sin Maximum d. h. bei t hat x(t) ein Maximum, also ist H ein Hochpunkt. cos sin cos cos x T 8 8 x( ) sin sin y sin sin Minimum d. h. bei t hat x(t) ein Minimum, also ist T ein Tiefpunkt. cos sin cos cos x P x() sin sin y() d. h. fü die Tangentensteigung egibt sich y' unbestimmte Ausduck. x Dann hilft de Satz von de L Hospital weite: y(t) cos t cos t sin t sin t lim lim lim t x t t sin t sin t tcos t cos t (Dabei wude fü den neuen Genzwetbuch Zähle und Nenne getennt abgeleitet, also ohne Vewendung de Quotientenegel). Man ehält daduch die Aussage, dass es im Uspung eine waagechte Tangente ehält. Alledings handelt es sich wede um einen Hochpunkt noch um einen Tiefpunkt, sonden um eine Spitze.

9 5 Kadioiden 9 6 Gleichungen von Kadioiden in Polakoodinaten. Die Polakoodinaten eines Punktes bestehen aus einem Winkel gegen die positive x-achse und dem zugehöigen Radius (Entfenung vom Uspung in Richtung : P. Es ist sin y sin Und cos x cos y x Die Gleichung eine Kadioide lautet bzw. x a cos cos Man ekennt, dass man duch den Ansatz cost cost x t a cos t sin t und y a cos sin a cos beeits eine Gleichung in Polakoodinaten voliegen hat. Meistens lässt man den Steckfakto weg und ehält dann als einfachste Kadioide: acos Möglich ist auch acos Es gibt veschiedene Lagen fü die Kadioide: Abb. : cos, Abb. : cos Abb. : sin Abb. 5: sin

10 5 Kadioiden 7 Heleitung de Koodinatengleichung Ausganggleichung ist x cos : a cos x a a x a ax x y : x y a x y ax x y ax a x y Quadieen: x y ax x y a x a x y x y ax x y a y x y x y ax a y Ode auch so: Geht man aus von a cos, dann folgt: bzw. x y ax x y a y x y x y ax a y

11 5 Kadioiden 8 Beechnung de Bogenlänge de Kadioide Fü die Bogenlänge eine Kuve mit Polakoodinaten kennen wi aus 5 die Fomel s ' d Dazu bauchen wi eine Gleichung de Kadioide mit Polakoodinaten: cos fü ; mit ' sin s cos sin d coscos sin d cos d s cos d. Möglichkeit Substitution: z cos dz z' d sin d Man muss nun sin esetzen: sin cos coscos Die este Klamme ist identisch mit z, fü die. Klamme stellt man z cos um: Das egibt denn sin z z z z cos z dz Das füht dann endlich von () zu dz z z d d z z Noch die Gunzen umechnen: z und z Jetzt kann man endlich einsetzen: / dz z / s cos d z ( z) dz z z z s LE We die Genzen nicht umechnen will, muss ücksubstituieen: s cos... cos. Möglichkeit mit Hilfe de tigonometischen Fomel cos ehält man cos cos. Damit folgt: sin s cos d cos d sin sin LE Allgemein: Umfang U = a bzw. 8a je nach Kuvengleichung. Hinweis: Die allgemeine Kadioide wid noch duch den Fakto a gesteckt: a cos Dann wid die Bogenlänge a-mal so goß:.

12 5 Kadioiden 9 Beechnung de Fläche im Innen de Kadioide Es gilt diese Fomel: Ich vewende diese Gleichung: A d a cos A a cos d a cos cos d Wegen cos cos wid cos cos und dahe folgt sin A a cos cos d a sin A a a a Die Kadioide ist eine spezielle Pascalsche Schnecke. Diese wid im Text 565 bespochen. Deen allgemeine Koodinatengleichung lautet: Fü b = a wid daaus bzw. Und dies ist die Gleichung eine Kadioide. x y ax b x y x y ax a x y x y ax ax ay x y x y ax a x a x x y ax x y a y ay

Ähnliche Dokumente

Asteroiden DEMO. Text Nummer: Stand: 17. April Friedrich Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK.

Asteroiden DEMO. Text Nummer: Stand: 17. April Friedrich Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Asteoiden Text Numme: 55 Stand: 7. Apil 6 INTERNETBIBLITHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 55 Asteoiden Vowot Die Asteoide (Astoide, Stenkuve) ist ein dankbaes Untesuchungsobjekt. Alledings wid man bei de Duchsicht