Skript Montag Stetigkeit, Funktionengrenzwerte, Ableitung und Taylorentwicklung

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1 Skipt Montag Stetigkeit, Funktionengenzwete, Ableitung und Tayloentwicklung Jonas Habel, Floian Kollmannsbege 18. Mäz Beweistechniken Beginnen wi mit zwei häufigen Beweistechniken. (a) : (A B) ( B A) (b) : B ( B C) wobei C eine beliebige falsche Aussage ist. Beispiele: zu(a) Behauptung: x 2 ungeade x ungeade. Hie ist (x 2 ungeade) Aussage A und (x ungeade) Aussage B Beweis: x geade. Dann ist x = 2 a fü eine ganze Zahl a. x 2 = (2a) 2 = 2(2a 2 ) ist eine geade Zahl. Hie ist (x geade) B und (x 2 geade) A. zu(b) Behauptung: x, y R dann gilt (x y) (x y), Die Aussage B ist hie (x y) (x y) Beweis: Angenommen es gelte B: (x < y) (x > y) (x y < 0) (x y > 0) was ein Wiedespuch dazu ist das jede Zahl in R entwede positiv, negativ ode 0 ist. 2 Sujektiv, Injektiv, Bijektiv Definition: Seinen M,N zwei Mengen und f : M N f heißt sujektiv f(m) = N y N x M : f(x) = y Auf jedes Element de Bildmenge wid abgebildet. 1

2 f heißt injektiv: x 1, x 2 M : f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 Es gibt fü jeden Punkt a in N maximal einen Punkt b in M mit f(b) = a. f heißt bijektiv f ist sujektiv und injektiv. Fü jeden Punkt a in N gibt es genau ein b in M mit f(b) = a. 3 Vollständige Induktion Sei A(n) eine Aussage fü eine Menge von Objekten, wobei die Menge die Göße n hat. Das kann zum Beispiel eine Fomel ode eine Chaakteisieung sein. Beim Beweis pe Induktion vesucht man die Aussagen mit eine Kette von Folgeungen zu zeigen. ( Das das imme klappt und anwendba ist wid hiebei axiomatisch festgelegt Peano Axiome. Vostellung A(0) A(1)... A(n) A(n + 1)... Ein Induktionsbeweis besteht aus 3 Dingen: I.A. Induktionsanfang: De Anfang de Kette I.B. Die Aussage die bei de Induktion gezeigt weden soll. Es ist hilfeich beim Beweis sich das noch ein mal aufzuscheiben. I.S. Hie wid die Aussage gezeigt. Funktioniet in de Regel indem man mit eine Seite anfängt, dann diese solange umfomt bis man die Induktionsbehauptung benutzen kann, und dann nachdem man die Induktionsbehauptung hegenommen hat, zu andeen Seite umfomt. Manchmal muss man die Induktionsbehauptung auch öftes benutzen. Beispiel: zu zeigen I.A. I.B. 1 1 = 1(1 + 1)( ) I.S. zu zeigen n+1 n+1 (n + 1)(n + 2)(2(n + 1) + 1) k 2 +(n+1) 2 I.B. = +(n+1) 2 = + (n + 1)2 (n + 1)(n(2n + 1) + (n + 1)) Wi echnen nach n(2n+1)+(n+1) = 2n 2 +n+n+ (n+2)(2(n+1)+1) = (n+2)(2n+3) = 2n 2 +3n+4n+ Also gilt (n+1)(n(2n+1)+(n+1)) = (n+1)(n+2)(2(n+1)+1) und damit ist de Beweis abgeschlossen. = 2

3 4 Obee und untee Schanke, Maximum und Minimum Sei (M, <) eine geodnete Menge, N M Definition: x M ist eine obee Schanke von N, falls y x y N x M ist eine untee Schanke von N, falls y x y N Falls eine obee Schanke existiet heißt N nach oben beschänkt, falls eine untee Schnake exisitet heißt N nach unten beschänkt Definition: x M heißt Maximum von N M : x N y x y N x M heißt Minimum von N M : x N y x y N Bemekung: Ein Maximum ode Minimum muss es nicht imme geben (a,b) a, b R 4.1 Supemum und Infimum Sei (M, <) eine geodnete Menge, N M Definition Eine obee Schanke s von N mit de Eigenschaft dass (x M obee Schanke an N) s x heißt Supemum (kleinste obee Schanke) von N. Eine untee Schanke s von N mit de Eigenschaft dass (x M untee Schanke an N) s x heißt Infimum (gößte untee Schanke) von N. Bemekung: Infimum, Maximum, Supemum, Minimum sind eindeutig. Bemekung: Falls sup N existiet und sup N N, dann ist sup N = max N. Falls inf N existiet und inf N N dann ist inf N = min N. 4.2 Supemum Infimum eine Funktion f : B M eine Funktion wobei (M, <) eine geodnete Menge ist, dann max supf(x) = sup f(b) inf f(x) = inf f(b) f(x) und minf(x) sind analog definiet Falls supf(x) = maxf(x) dann nimmt f auf B ih Maximum an. Analog fü min, inf. Vogehen finde Supemum bzw Infimum und schaue ob es in de Menge liegt. 3

4 5 Monotone Funktionen f:m N, (M, <), (N, <) geodnete Mengen. Definition: f heißt steng monoton wachsend x < y f(x) < f(y) (1) steng monoton fallend x < y f(x) > f(y) (2) monoton wachsend x < y f(x) f(y) (3) monoton fallend x < y f(x) f(y) (4) Lemma: f steng monoton wachsend ode fallend injektiv. Beweis: B A wobei hie A (steng monoton wachsend) und B (injektiv) ist. Wi betachten hie nu den Fall steng monoton wachsend, fü steng monoton wachsend geht de Beweis analog. Sei f nicht injektiv, d.h. x, y : x y und f(x) = f(y). M geodnet x < y f(x) < f(y) x > y f(x) > f(y) da f steng monoton steigend ist. In beiden Fällen ist f(x) f(y), was ein Widespuch zu uspünglichen Annahme ist. Damit muss, falls f steng monoton wachsend ist, f auch injektiv sein. Logik: fange mit B an und nehme an das A gilt. Daaus egibt sich ein Widespuch, da abe B gilt, muss B A gelten, was äquivalent zu A B ist. (5) Poladastellung und Polakoodinaten von komplexen Zahlen Alle komplexen Zahlen z C, z 0 lassen sich eindeutig scheiben als z = e iφ mit (0, ) und φ [0, 2π), wobei = z und φ = ag(z) die Phase ist. Man beachte e i(φ+2π) = e iφ. Wie findet man nun φ? Es gilt z = a + ib = e iφ = (cos(φ) + i sin(φ)) 1 (a + ib) = cos(φ) + i sin(φ) Es gilt fü z 1 = z 2, z 1, z 2 C also gilt Re(z 1 ) = Re(z 2 ) Im(z 1 ) = Im(z 2 ) a = cos(φ) 4

5 b = sin(φ) Man löst dieses Gleichungssystem nach φ, wobei man eine Tabelle mit den wichtigsten Weten von Sinus und Kosinus vewenden kann. Genauso kann man als Ansatz benutzen das gilt tan(φ) = sin(φ) = b cos(φ) a = b falls a 0. Hiebei muss man beachten das die Umkehfunktion des Tangens nu nach [ π, π ] abbildet und man falls die komplexe Zahl nicht a 2 2 im esten Quadanten liegt man gegebenenfalls zum ehaltenen Winkel noch ±π addieen muss..1 Einheitswuzel Sei n N, z C Definition: w C ist die nte komplexe Wuzel von z C falls w n = z gilt. Sei z in de Fom z = e iφ dann ist w k = n e i( φ n +k 2π n ) wobei k = 0, 1,..., n 1.2 Hauptzweig Definition: Die Abbildung n : C C heißt Hauptzweig de komplexen nten Wuzel und es gilt z n z e i ag(z) n = w 0 5