5.3 Die hypergeometrische Verteilung

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "5.3 Die hypergeometrische Verteilung"

Transkript

1 5.3 Die hypegeometische Veteilung Das Unenmodell fü die hypegeometische Veteilung ist die Ziehung ohne Zuücklegen. Die Une enthalte n Kugeln, davon s schwaze und w n s weiße. De Anteil p : s n de schwazen Kugeln sei bekannt und o. B. d. A. p > 1. (De Fall p 1 ist uninteessant, de Fall p < 1 symmetisch zum esten.) In de Anwendung auf die lineae Kyptoanalyse weden die Kugeln alle möglichen Klatexte sein und die Ziehung die Auswetung eine lineaen Relation fü einen bekannten Klatext. Es weden Kugeln zufällig gezogen ( n). Die Wahscheinlichkeit, dabei genau ν weiße Kugeln zu ziehen, ist ) Die Funktion q (s) (ν) ( s w ν)( ν ( n ). q (s) : Z R heißt die hypegeometische Veteilung (zu den Paameten n, s und ). Dabei ist q (s) (ν) 0 fü ν < 0 und fü ν >. Die Wahscheinlichkeit, dass meh schwaze als weiße Kugeln gezogen weden, ist 1 ν0 q(s) (ν), wenn ungeade, 1 (ν) + 1 q(s) ), wenn geade, ν0 q(s) ( wenn im Falle des Gleichstands zufällig mit Wahscheinlichkeit jeweils 1 fü schwaz ode weiß entschieden wid. Im uninteessanten Fall p 1 sind offensichtlich alle p(s) 1. Hilfssatz 1 Es gilt: (i) 1 p. (ii) (iii) 3 s(s 1) n(n 1) 1 (falls [ w 1). 3 s n (iv) 4 3 (falls w ). (v) 1 fü > w. Beweis. (i) ist tivial. ] (falls w ). 63

2 (ii) Da bei jeweils eine weißen und schwazen Kugel zufällig entschieden wid, ist de Zähle gleich ( ) s + 1 ( )( ) s w s(s 1) s(n s) s(n 1) +, 1 1 de Nenne gleich n(n 1), de Quotient s(n 1) n(n 1) p. (iii) Hie ist de Zähle ( ) ( ) s s + (n s) 3 s(s 1)(s ) + 3s(s 1)(n s) 6 s(s 1) [s + 3 (n s)] 6 s(s 1) [3 (n ) (s )]. 6 De Nenne ist 1 6 n(n 1)(n ), also hat p(s) 3 den behaupteten Wet. (iv) Die Rechnung wid weggelassen, da im nächsten Hilfssatz eine allgemeinee Aussage bewiesen wid. (v) folgt, weil dann auf jeden Fall meh schwaze Kugeln gezogen weden. Hilfssatz Ist geade und w, so +1 > p(s) 1. Beweis. Sei (ν) ( ) n (s) q (ν) de Zähle von q (s) (ν) und B (s) ( ) n (s) p de Zähle von. Beim Übegang von nach + 1 wid die Mehheitsentscheidung schwaz nach + 1 Zügen in B(s) +1 Fällen getoffen. Daunte sind: 1 ν0 A(s) (ν) Fälle, in denen beeits nach Zügen mindestens + 1 schwaze Kugeln gezogen woden waen. Fü die ( + 1)-te Kugel gibt es noch n Möglichkeiten, die abe alle an de Entscheidung nichts änden. Wi haben hie also 1 X 1 (n ) ν0 Fälle, in denen schwaz enschieden wid. (ν) 64

3 ( ) Fälle, bei denen nach Zügen genau schwaze Kugeln gezogen woden waen. Von den n Möglichkeiten fü die ( + 1)-te Kugel sind s schwaz und fühen zu Entscheidung schwaz, w weiß und fühen zu Entscheidung weiß. Es kommen also X (s ) A(s) ( ) Fälle hinzu, in denen schwaz enschieden wid. In den übigen Fällen liegen nach Zügen höchstens 1 schwaze Kugeln vo, und die ( + 1)-te Kugel kann somit die Entscheidung fü weiß nicht änden. Da von den gezählten Fällen jeweils + 1 dieselbe Menge von gezogenen Kugeln egeben, ist B (s) (X 1 + X ) n (ν) + s n A(s) ( ). ν0 Fü den Koeffizienten des letzten Tems gilt s n > 1 s > n s > n. (Da w, ist < n.) Also folgt B (s) +1 > n + 1 B(s) und somit de este Teil de Behauptung. Etwas kompliziete ist de Übegang von 1 nach. Die Entscheidung schwaz wid nach Zügen in B(s) Fällen getoffen. Daunte sind ν0 A(s) 1 Fälle, wo nach 1 Zügen mindestens + 1 schwaze Kugeln gezogen woden waen. Die n +1 Möglichkeiten fü die -te Kugel änden die Entscheidung nicht. Es gibt hie also Y 1 (n + 1) ν0 Fälle, in denen schwaz entschieden wid. 1 1 ( 1) Fälle, wo nach 1 Zügen genau schwaze Kugeln gezogen woden waen. Die n + 1 Möglichkeiten fü die -te Kugel zefallen in 65

4 s schwaze, die zu de Entscheidung schwaz fühen; hie gibt es also Y (s ) A(s) 1 ( 1) zusätzliche Fälle. w +1 weiße, wo die Entscheidung mit jeweils de Wahscheinlichkeit 1 zufällig getoffen wid; es kommen also Fälle hinzu. Y 3 1 (w + 1 ) A(s) 1 ( 1) 1 ( ) Fälle, wo nach 1 Zügen genau 1 schwaze Kugeln gezogen woden waen. Die n + 1 Möglichkeiten fü die -te Kugel zefallen in s + 1 schwaze, wo die Entscheidung zufällig mit jeweils de Wahscheinlichkeit 1 getoffen wid es kommen also Fälle hinzu, Y 4 1 (s + 1 ) A(s) 1 ( ) w weiße, in denen die Entscheidung bei weiß bleibt. In den übigen Fällen, wo nach 1 Zügen höchstens schwaze Kugeln gezogen woden waen, bleibt die Entscheidung ebenfalls bei weiß. Da jeweils de gezählten Fälle dieselbe Menge von gezogenen Kugeln egeben, gilt B (s) 1 (Y 1 + Y + Y 3 + Y 4 ) n + 1 ν (s + w ) A(s) 1 ( 1) + 1 (s + 1) A(s) 1 ( ) Da s + w n w, ist de Koeffizient des mittleen Tems gleich s + w n w (n + 1) 1 (w + 1). Also ist B (s) n ν0 1 1 (w + 1) ( s )( w 1 66 ) + 1 (s + 1) ( s 1 )( w ).

5 Die beiden letzten Teme heben sich weg, und es bleibt B (s) n + 1 B (s) 1. Daaus folgt de zweite Teil de Behauptung. Damit ist insbesondee gezeigt: Satz 3 Die Wahscheinlichkeit w+1 1. Wenn die Quotienten wächst mit monoton von 1 p bis s n, w n (n )s,, n (n )w n hineichend goß sind (Fishes Faustegel sagt: 5 eicht), kann man die hypegeometische Veteilung duch die Nomalveteilung appoximieen; das bedeutet insbesondee x ν0 q (s) (ν) Φ( x µ σ ) 1 x µ σ e t / dt, π wobei µ de Mittelwet und σ die Vaianz de hypegeometischen Veteilung (zu den Paameten n, s und ) und Φ die Veteilungsfunktion de Nomalveteilung ist. Fü Mittelwet und Vaianz gilt Hilfssatz 3 µ w n, σ (n ) w(n w) n. (n 1) Beweis. Bei eine zufälligen Stichpobenziehung von Kugeln de Reihe nach sei X k : Ω R eine Zufallsvaiable, die 0 ist, wenn die k-te Kugel schwaz ist, und 1, wenn sie weiß ist. Dann ist S X X : Ω R eine Zufallsvaiable, die die Anzahl de weißen Kugeln in de Stichpobenziehung angibt. Es ist µ E(S) de Ewatungswet und σ Va(S) die Vaianz diese Zufallsvaiablen. Kla ist E(X k ) w w n also E(S) n. Fü die Beechnung de Vaianz bemeken wi zuest, dass Xk X k, also Va(X k ) E(Xk ) E(X k) w n w w(n w) n n. 67

6 Da X j X k (ω) 1 X j (ω) 1 und X k (ω) 1, ist die Wahscheinlichkeit dafü w(w 1) n(n 1), de Ewatungswet also E(X jx k ) w(w 1) n(n 1). Dahe ist die Covaianz w(w 1) Cov(X j, X k ) E(X j X k ) E(X j )E(X k ) n(n 1) w n Die Vaianz von S ist also Va(S) Va(X k ) + k1 wie behauptet. w(n(w 1) w(n 1)) n (n 1) 1 j<k w(n w) n + ( 1) w(n w) n [n ], (n 1) Cov(X j, X k ) w(w n) n (n 1). w(w n) w(n w) n (n 1) n [ 1 1 ] n 1 Satz 4 (Asymptotische Veteilung) Die Wahscheinlichkeit, meh schwaze Kugeln zu ziehen, ist 1 π λ e t / dt mit λ (p 1), wenn p 1, n und nicht zu klein. [Nach Fishes Faustegel eicht 10 n 10 fü p 1.] Beweis. Die obee Genze des Integals ist fü x zu beechnen: x µ σ ( w n ) n n 1 (n w) n 1 (n )w(n w) (n )w(n w) n 1 s w n 1 n sw p 1 n p(1 p) 1 p 1 λ, 1 4 wie behauptet. 68

5 Kryptoanalyse von Bitblock-Chiffren

5 Kryptoanalyse von Bitblock-Chiffren 5 Kyptoanalyse von Bitblock-Chiffen Fü die Kyptoanalyse von Bitblock-Chiffen sind folgende allgemeine Ansätze bekannt: 1. Exhaustion = vollständige Schlüsselsuche. Sie wid duch Wahl eine genügend goßen

Mehr

( ) Parameters α. Links: α < 1. Mitte: α = 1 (Exponentialverteilung). Rechts: α > 1.

( ) Parameters α. Links: α < 1. Mitte: α = 1 (Exponentialverteilung). Rechts: α > 1. KAPITEL 8 Wichtige statistische Veteilungen In diesem Kapitel weden wi die wichtigsten statistischen Veteilungsfamilien einfühen Zu diesen zählen neben de Nomalveteilung die folgenden Veteilungsfamilien:

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 9. r/2 für 0 r < 1, F X (r) = 3/5 für 1 r < 2, (3 r + 1)/10 für 2 r < 3, 1 für 3 r.

Ü b u n g s b l a t t 9. r/2 für 0 r < 1, F X (r) = 3/5 für 1 r < 2, (3 r + 1)/10 für 2 r < 3, 1 für 3 r. Einfühung in die Stochastik Sommesemeste 07 D Walte Oevel 4 6 007 Ü b u n g s b l a t t 9 Mit und gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten vewendet weden Lösungen von -Aufgaben sind

Mehr

Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt)

Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) 6 Diskete Wahscheinlichkeitsäume Inhaltsvezeichnis (Ausschnitt) 6 Diskete Wahscheinlichkeitsäume Laplacesche Wahscheinlichkeitsäume Kombinatoik Allgemeine diskete Wahscheinlichkeitsäume Deskiptive Statistik

Mehr

Pfadwahrscheinlichkeiten

Pfadwahrscheinlichkeiten Pfadahscheinlichkeiten Zei Kugeln eden nacheinande ohne Zuücklegen gezogen. Mit elche Wahscheinlichkeit ist die zeite Kugel schaz? Die Menge alle Elementaeeignisse ist Ω = {(s,s); (s,); (,s); (,)} Jedem

Mehr

Lösungen. Mathematik ISME Matura Gegeben ist die Funktionsschar f a (x) = ax e a2 x 2, wobei x R und a > 0 ist. 12 Punkte Vorerst sei a = 2.

Lösungen. Mathematik ISME Matura Gegeben ist die Funktionsschar f a (x) = ax e a2 x 2, wobei x R und a > 0 ist. 12 Punkte Vorerst sei a = 2. Mathematik ISME Matua 5. Gegeen ist die Funktionsscha f a ( = a e a, woei R und a > ist. Punkte Voest sei a =. (a Beechnen Sie i. die Nullstelle ii. die Gleichung de Asymptote fü iii. die Etema iv. die

Mehr

Stochastik: Nutzung sozialer Netzwerke

Stochastik: Nutzung sozialer Netzwerke Stochastik: Nutzung soziale Netzweke Die Nutzung von sozialen Netzweken wid imme beliebte. Dabei nutzen imme meh Jugendliche veschiedene soziale Netzweke. Es wid davon ausgegangen, dass 30 % alle Jugendlichen

Mehr

Geometrie der Cartan schen Ableitung

Geometrie der Cartan schen Ableitung Geoetie de Catan schen Ableitung - - Notation Sei + Sei + Wi bezeichnen it ( L den Vektoau alle fach ultilineaen Abbildungen f : -al 2 Wi bezeichnen it S die Guppe alle Peutationen σ : {,, } {,, } Des

Mehr

3.3. Spezielle Verteilungen für mehrstufige Experimente

3.3. Spezielle Verteilungen für mehrstufige Experimente 3.3. Spezielle Veteiluge fü mehstufige Expeimete Baumdiagamme fü mehstufige Expeimete wede bei viele Wiedeholuge schell uübesichtlich. Fü das wiedeholte Ziehe mit ud ohe Zuüclege aus eie Ue, die u zwei

Mehr

12. Berechnung reeller Integrale mit dem Residuensatz

12. Berechnung reeller Integrale mit dem Residuensatz 72 Andeas Gathmann 2. Beechnung eelle Integale mit dem esiduensatz Wi haben geade gesehen, dass man mit Hilfe des esiduensatzes nahezu beliebige geschlossene komplexe Kuvenintegale beechnen kann. In diesem

Mehr

Aufgaben zur Bestimmung des Tangentenwinkels von Spiralen

Aufgaben zur Bestimmung des Tangentenwinkels von Spiralen Aufgabenblatt-Spialen Tangentenwinkel.doc 1 Aufgaben zu Bestimmung des Tangentenwinkels von Spialen Gegeben ist die Spiale mit de Gleichung = 0,5 φ, φ im Bogenmaß. (a) Geben Sie die Gleichung fü Winkel

Mehr

Computer-Graphik II. Kompexität des Ray-Tracings. G. Zachmann Clausthal University, Germany cg.in.tu-clausthal.de

Computer-Graphik II. Kompexität des Ray-Tracings. G. Zachmann Clausthal University, Germany cg.in.tu-clausthal.de lausthal ompute-aphik II Komplexität des Ray-Tacings. Zachmann lausthal Univesity, emany cg.in.tu-clausthal.de Die theoetische Komplexität des Ray-Tacings Definition: das abstakte Ray-Tacing Poblem (ARTP)

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 15 DER KREIS

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 15 DER KREIS ARBEITSBLATT 15 DER KREIS Zunächst einmal wollen wi uns übelegen, was man mathematisch unte einem Keis vesteht. Definition: Ein Keis ist die Menge alle Punkte, die von einem gegebenen Punkt ( Keismittelpunkt)

Mehr

Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 9. Bisher bekannte Zahlenmengen: a b = a b. Die üblichen Rechengesetze gelten unverändert.

Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 9. Bisher bekannte Zahlenmengen: a b = a b. Die üblichen Rechengesetze gelten unverändert. Gundwissen Mathematik Jahgangsstufe I. Reelle Zahlen Eweiteung des Zahlenbeeichs Bishe bekannte Zahlenmengen: Jedes Element a aus N, Z, Q Q ist dastellba duch a= p q mit p Z und q N. Zahlen, die nicht

Mehr

Abstandsbestimmungen

Abstandsbestimmungen Abstandsbestimmungen A) Vektoechnungsmethoden (mit Skalapodukt): ) Abstand eines Punktes P von eine Ebene IE im Raum (eine Geade g in de Ebene ): Anmekung: fü Geaden im Raum funktioniet diese Vektomethode

Mehr

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen Lagebeziehungen zwischen Geaden und Ebenen. Lagebeziehungen zwischen Geaden g a Gegeben seien zwei Geaden zu g µ b () Man untesucht zuest die Richtungsvektoen a, b auf lineae Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit

Mehr

Kapitel 13. Das Wasserstoff-Atom Energiewerte des Wasserstoff-Atoms durch Kastenpotential-Näherung

Kapitel 13. Das Wasserstoff-Atom Energiewerte des Wasserstoff-Atoms durch Kastenpotential-Näherung Kapitel 13 Das Wassestoff-Atom 13.1 negiewete des Wassestoff-Atoms duch Kastenpotential-Näheung Das gobe Atommodell des im Potentialtopf eingespeten Atoms vemag in qualitative Weise das Aufteten von Linienspekten

Mehr

Zentrale Klausur 2015 Aufbau der Prüfungsaufgaben

Zentrale Klausur 2015 Aufbau der Prüfungsaufgaben Zentale Klausu 2015 Aufbau de Püfungsaufgaben Die Zentale Klausu 2015 wid umfassen: hilfsmittelfeie Aufgaben zu Analysis und Stochastik eine Analysisaufgabe mit einem außemathematischen Kontextbezug eine

Mehr

Mesonen aus leichten Quarks

Mesonen aus leichten Quarks ene und Teilchen Modene Epeimentalphyik III Voleung 4 MICHAEL FEINDT INSTITUT FÜR EXPERIMENTELLE ERNPHYSI Meonen au leichten Quak IT Univeität de Lande Baden-Wüttembeg und nationale Fochungzentum in de

Mehr

Mathematik für Ingenieure 2

Mathematik für Ingenieure 2 Mathematik fü Ingenieue Doppelintegale THE SERVICES Mathematik PROVIDER fü Ingenieue DIE - Doppelintegale Anschauung des Integals ingenieusmäßige Intepetation des bestimmten Integals Das bestimmte Integal

Mehr

Seminarvortrag Differentialgeometrie: Rotationsflächen konstanter Gaußscher

Seminarvortrag Differentialgeometrie: Rotationsflächen konstanter Gaußscher Seminavotag Diffeentialgeometie: Rotationsflächen konstante Gaußsche Kümmung Paul Ebeman, Jens Köne, Mata Vitalis 1. Juni 22 Inhaltsvezeichnis Vobemekung 2 1 Einfühung 2 2 Este Fundamentalfom 2 3 Vetägliche

Mehr

Der Lagrange- Formalismus

Der Lagrange- Formalismus Kapitel 8 De Lagange- Fomalismus 8.1 Eule-Lagange-Gleichung In de Quantenmechanik benutzt man oft den Hamilton-Opeato, um ein System zu bescheiben. Es ist abe auch möglich den Lagange- Fomalismus zu vewenden.

Mehr

Über eine ziemlich allgemeine Zahlenfolge und eine ziemlich allgemeine Funktion

Über eine ziemlich allgemeine Zahlenfolge und eine ziemlich allgemeine Funktion Übe eine ziemlich allgemeine Zahlenfolge und eine ziemlich allgemeine Funktion Beat Jaggi, beat.jaggi@phben.ch Abstact Ausgehend von einem veallgemeineten Mittelwet wid eine Zahlenfolge definiet, die eine

Mehr

Wie lange dauert es (im Mittel), bis...?

Wie lange dauert es (im Mittel), bis...? Wie lange dauet es (im Mittel, bis? Teilnehme: Valentin Bonje Thomas Dittma Heniette Kisten Max Lindne Anton Pusch Fabian Schiemann Maximilian Steppe Alexeij Wad Alma Wettig mit tatkäftige Untestützung

Mehr

Bogenweichen. Entstehung von Außen- und Innenbogenweichen aus einer einfachen Weiche

Bogenweichen. Entstehung von Außen- und Innenbogenweichen aus einer einfachen Weiche Technische Univesität Desden Faultät Veehswissenschaften "Fiedich List" Pof. f. Gestaltung v. Bahnanlagen Bogenweichen Pof. Fengle A 9 Vesion 1-1 Gundlagen Die feizügige Anodnung von Weichen in einem Gleisplan

Mehr

Flächenberechnungen 2b

Flächenberechnungen 2b Flächenbeechnungen b Teil b: Flächenbeechnungen mit Integal (Fotsetzung) Datei N. 8 Juni Fiedich Buckel Intenatsgymnasium Schloß Togelow Inhalt Datei 8. Rechtecksmethoden. Ein estes goßes Beispiel. Heleitung

Mehr

Testen von Hypothesen eine Anwendung der Binomialverteilung

Testen von Hypothesen eine Anwendung der Binomialverteilung Hebet Saube - Hebet.Saube@t-online.de.5.998 Testen von Hypothesen eine Anwendung de Binomialveteilung I. Einseitige Test eine Hypothese Von einem Wüfel wid vemutet, daß e öftes die Sechs liefet, als es

Mehr

Newtons Problem des minimalen Widerstands

Newtons Problem des minimalen Widerstands Newtons Poblem des minimalen Widestands Newton-Poblem (685: Wie muss ein sich in eine Flüssigkeit mit konstante Geschwindigkeit bewegende Köe aussehen, damit e, bei vogegebenem maximalen Queschnitt einen

Mehr

Titrationskurven in der Chemie

Titrationskurven in der Chemie RS 1..004 Titationskuven.mcd Titationskuven in de Chemie In de Chemie wid de sauee bzw. de basische Chaakte eine wässigen Lösung mit Hilfe des ph-wetes beschieben. In jede wässigen Lösung gilt: [H O] +.

Mehr

Dr. Jan Friedrich Nr L 2

Dr. Jan Friedrich Nr L 2 Übungen zu Expeimentalphysik 4 - Lösungsvoschläge Pof. S. Paul Sommesemeste 5 D. Jan Fiedich N. 4 9.5.5 Email Jan.Fiedich@ph.tum.de Telefon 89/89-1586 Physik Depatment E18, Raum 3564 http://www.e18.physik.tu-muenchen.de/teaching/phys4/

Mehr

Aufgaben zur Vorbereitung Technik

Aufgaben zur Vorbereitung Technik Aufgaben zu Vobeeitung Technik Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite Test Anhand des ausgegebenen Tests können Sie selbständig emitteln, wo Ihe Schwächen und Lücken liegen. Die Aufgaben sollen soweit wie

Mehr

Wintersemester 2012/2013 Prof. Dr. Stefan Müller AG Computergraphik km 2 0,1571 0, km 2. r d. 4πI

Wintersemester 2012/2013 Prof. Dr. Stefan Müller AG Computergraphik km 2 0,1571 0, km 2. r d. 4πI 1. Übungsblatt zu Volesung CV-Integation (Lösung) ufgabe 1: Kugelobefläche ufgabe : Raumwinkel 15 43 Wintesemeste 1/13 Pof.. Stefan Mülle G Computegaphik sinθ θ ϕ 43 [ ϕ] 6 ---------- [ cosθ] 18 35 6 35

Mehr

7 Trigonometrie. 7.1 Definition am Einheitskreis. Workshops zur Aufarbeitung des Schulstoffs Sommersemester TRIGONOMETRIE

7 Trigonometrie. 7.1 Definition am Einheitskreis. Workshops zur Aufarbeitung des Schulstoffs Sommersemester TRIGONOMETRIE 7 Tigonometie Wi beschäftigen uns hie mit de ebenen Tigonometie, dabei geht es hauptsächlich um die geometische Untesuchung von Deiecken in de Ebene. Ein wichtiges Hilfsmittel dafü sind die Winkelfunktionen

Mehr

Aufgabe S 1 (4 Punkte)

Aufgabe S 1 (4 Punkte) Aufgabe S 1 (4 Punkte) In ein gleichschenklig-echtwinkliges Deieck mit Kathetenlänge 2 weden zwei Quadate so einbeschieben, dass a) beim esten Quadat eine Seite auf de Hypotenuse liegt und b) beim zweiten

Mehr

3 Das kanonische und das großkanonische Ensemble

3 Das kanonische und das großkanonische Ensemble 3 Das kanonische und das goßkanonische Ensemble 3. Definition kanonisches Ensemble Wie in de Themodynamik entspechen die Bedingungen des abgeschlossenen Systems, nämlich vogegebene E, V und N, nicht de

Mehr

Übungsaufgaben zum Prüfungsteil 1 Lineare Algebra /Analytische Geometrie

Übungsaufgaben zum Prüfungsteil 1 Lineare Algebra /Analytische Geometrie Übungsaufgaben zum Püfungsteil Lineae Algeba /Analytische Geometie Aufgabe Von de Ebene E ist folgende Paametefom gegeben: 3 E: x= 4 + 0 + s 3 ;,s 0 3 4 a) Duch geeignete Wahl de Paamete und s ehält man

Mehr

Klassische Mechanik - Ferienkurs. Sommersemester 2011, Prof. Metzler

Klassische Mechanik - Ferienkurs. Sommersemester 2011, Prof. Metzler Klassische Mechanik - Feienkus Sommesemeste 2011, Pof. Metzle 1 Inhaltsvezeichnis 1 Kelegesetze 3 2 Zweiköeoblem 3 3 Zentalkäfte 4 4 Bewegungen im konsevativen Zentalkaftfeld 5 5 Lenzsche Vekto 7 6 Effektives

Mehr

Integralrechnung III.Teil

Integralrechnung III.Teil Inegalechnung III.eil 1 Inegalechnung III.eil ngewande Mahemaik GM Wolgang Kugle Inegalechnung III.eil Inhalsvezeichnis 1. Mielwee peiodische Signale 1.1 Deiniion des aihmeischen Mielwees 1. Deiniion des

Mehr

2.12 Dreieckskonstruktionen

2.12 Dreieckskonstruktionen .1 Deieckskonstuktionen 53.1 Deieckskonstuktionen.1.1 B aus a, b und c. Keis um mit Radius b 3. Keis um B mit Radius a 4. Schnittpunkt de Keise ist Bemekung: Es entstehen zwei konguente B..1. B aus α,

Mehr

Teilbereich 5: Exponential Funktionen 1. Grundkursniveau. Hier eine Musteraufgabe mit Lösung Auf CD alles komplett. Datei Nr

Teilbereich 5: Exponential Funktionen 1. Grundkursniveau. Hier eine Musteraufgabe mit Lösung Auf CD alles komplett. Datei Nr Püfungsaufgaben Mündliches Abitu Analysis Teilbeeich 5: Eponential Funktionen Gundkusniveau Hie eine Musteaufgabe mit Lösung Auf CD alles komplett Datei N. 495 Fiedich Buckel Oktobe 003 INTERNETBIBLIOTHEK

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2013/14 Blatt

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2013/14 Blatt Übungen zu Ingenieu-Mathematik III WS 3/4 Blatt 7..4 Aufgabe 38: Betachten Sie eine Ellipse (in de Ebene) mit den Halbachsen a und b und bestimmen Sie die Kümmung in den Scheitelpunkten. Lösung:Eine Paametisieung

Mehr

κ Κα π Κ α α Κ Α

κ Κα π Κ α α Κ Α κ Κα π Κ α α Κ Α Ζ Μ Κ κ Ε Φ π Α Γ Κ Μ Ν Ξ λ Γ Ξ Ν Μ Ν Ξ Ξ Τ κ ζ Ν Ν ψ Υ α α α Κ α π α ψ Κ α α α α α Α Κ Ε α α α α α α α Α α α α α η Ε α α α Ξ α α Γ Α Κ Κ Κ Ε λ Ε Ν Ε θ Ξ κ Ε Ν Κ Μ Ν Τ μ Υ Γ φ Ε Κ Τ θ

Mehr

Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am

Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am U Gaz, Institut fü Regelungs- und Automatisieungstechnik 1 Schiftliche Püfung aus Regelungstechnik am 21.10.2004 Name / Voname(n): Kenn-Mat.N.: BONUSPUNKE aus Computeechenübung SS2003: BONUSPUNKE aus Computeechenübung

Mehr

Tutoriumsaufgaben. 1. Aufgabe. Die Eulerschen Formeln für Geschwindigkeiten und Beschleunigungen auf einem Starrkörper lauten:

Tutoriumsaufgaben. 1. Aufgabe. Die Eulerschen Formeln für Geschwindigkeiten und Beschleunigungen auf einem Starrkörper lauten: Technische Univesität elin Fakultät V Institut fü Mechanik Fachgebiet fü Kontinuumsmechanik und Mateialtheoie Seketaiat MS 2, Einsteinufe 5, 10587 elin 9. Übungsblatt-Lösungen Staköpekinematik I SS 2016

Mehr

STUDIENPRÜFUNGSARBEIT RATIONELLE ENERGIEWANDLUNG. Spule mit Eisenkern. Abgabedatum: Teilnehmer: Ludwik Anton

STUDIENPRÜFUNGSARBEIT RATIONELLE ENERGIEWANDLUNG. Spule mit Eisenkern. Abgabedatum: Teilnehmer: Ludwik Anton STUDIENPRÜFUNGSARBEIT RATIONELLE ENERGIEWANDLUNG Spule mit Eisenken Abgabedatum: 4.6.7 Teilnehme: Ludwik Anton 676 - - Aufgabe ist es, eine velustbehaftete Spule mit Eisenken (Skizze) zu untesuchen. Dies

Mehr

Wasserstoff mit SO(4)-Symmetrie

Wasserstoff mit SO(4)-Symmetrie Wassestoff mit SO(4)-Symmetie von Eduad Belsch Univesität Hambug 0. Dezembe 0 Inhaltsvezeichnis Einleitung Runge-Lenz-Vekto. klassisch......................................... quantenmechanisch..................................

Mehr

Physikspezifische mathematische Methoden: Anwendungen der Differentialrechnung

Physikspezifische mathematische Methoden: Anwendungen der Differentialrechnung Phsikspeifische mathematische Methoden: Anwendngen de Diffeentialechnng 23. Mai 2013 Inhalt 1 Kvendiskssion 2 1.1 Nllstellen............................... 2 1.2 Extemwete.............................

Mehr

Abituraufgabe Stochastik: Fliesenproduktion

Abituraufgabe Stochastik: Fliesenproduktion Abituaufgabe Stochastik: Fliesenpoduktion Eine Fima stellt mit zwei veschiedenen Maschinen A und B Bodenfliesen aus Keamik he. Damit eine Fliese als 1. Wahl gilt, muss sie stenge Qualitätsnomen efüllen.

Mehr

Klausur zur Vorlesung Stochastik II

Klausur zur Vorlesung Stochastik II Institut für Mathematische Stochastik WS 24/25 Universität Karlsruhe 7. März 25 Priv-Doz. Dr. D. Kadelka Klausur zur Vorlesung Stochastik II Dauer: 9 Minuten Name: Vorname: Matrikelnummer: Diese Klausur

Mehr

Streuung elastische Streuung am Nukleon quasielastische Streuung

Streuung elastische Streuung am Nukleon quasielastische Streuung Kene und Teilchen Modene Expeimentalphysik III Volesung 6 MICHAEL FEINDT INSTITUT FÜR EXPERIMENTELLE KERNPHYSIK Steuung elastische Steuung am Nukleon quasielastische Steuung KIT Univesität des Landes Baden-Wüttembeg

Mehr

Übungsaufgaben zum Thema Kreisbewegung Lösungen

Übungsaufgaben zum Thema Kreisbewegung Lösungen Übungsaufgaben zum Thema Keisbewegung Lösungen 1. Ein Käfe (m = 1 g) otiet windgeschützt auf de Flügelspitze eine Windkaftanlage. Die Rotoen de Anlage haben einen Duchmesse von 30 m und benötigen fü eine

Mehr

Lösungen zu delta 9 neu

Lösungen zu delta 9 neu Lösungen zu delta 9 neu Kann ich das noch? Lösungen zu den Seiten 7 und 8. a) L = { 0} b) L = {6} c) L = {} d) L = { } e) L = { } f) L = g) L = {} h) L = {}. a) Fuchtjoghut b) Eckenanzahl Anzahl de c)

Mehr

9.2. Bereichsintegrale und Volumina

9.2. Bereichsintegrale und Volumina 9.. Beeichsintegale und Volumina Beeichsintegale Rein fomal kann man Integale übe einem (meßbaen) Beeich B bilden, indem man eine möglicheweise auf einem gößeen Beeich definiete Funktion f mit de chaakteistischen

Mehr

Gruppentheoretische Methoden in der Physik 1 Prof. Dr. H.-R. Trebin Auszug aus dem Vorlesungsmanuskript, WS 06/07

Gruppentheoretische Methoden in der Physik 1 Prof. Dr. H.-R. Trebin Auszug aus dem Vorlesungsmanuskript, WS 06/07 1 Guppentheoetische Methoden in de Physik 1 Pof. D. H.-R. Tebin Auszug aus dem Volesungsmanuskipt, WS 06/07 3.3.3 Die eigentlichen Punktguppen Diese Punktguppen enthalten keine Spiegelungen und keine Invesion.

Mehr

Das Ski-Rental-Problem

Das Ski-Rental-Problem Da Ski-Rental-Poblem (Voläufige Veion, 15. Mai 212) Pof. D. Hanno Lefmann Fakultät fü Infomatik, TU Chemnitz, D-917 Chemnitz, Gemany lefmann@infomatik.tu-chemnitz.de 1 Da Ski-Rental-Poblem Bei dem Ski-Rental-Poblem

Mehr

Klausur zur Vorlesung Stochastik II

Klausur zur Vorlesung Stochastik II Institut für Stochastik WS 007/008 Universität Karlsruhe. 0. 008 r. B. Klar Klausur zur Vorlesung Stochastik II Muster-Lösung auer: 90 Minuten Name: Vorname: Matrikelnummer: iese Klausur hat bestanden,

Mehr

p und n können bezüglich der starken WW als die beiden Isospin-Zustände eines Teilchens (Nukleon) mit Isospin I=1/2 aufgefasst werden:

p und n können bezüglich der starken WW als die beiden Isospin-Zustände eines Teilchens (Nukleon) mit Isospin I=1/2 aufgefasst werden: 4. sospin 4. Histoisch: sospin-konzept fü Haonen Fü Nukleonen p un n finet man: () Masse nahe beieinane m p 98. MeV m n 99.6 MeV () Kenkaft (stake WW) invaiant unte p n p un n können bezüglich e staken

Mehr

Abiturprüfung Physik, Grundkurs

Abiturprüfung Physik, Grundkurs Seite 1 von 10 Abitupüfung 2011 Physik, Gundkus Aufgabenstellung: Aufgabe 1: Definition und Messung de Feldstäke B (auch Flussdichte genannt) magnetische Felde kontaktlose Messung goße Stöme 1.1 Die Abbildung

Mehr

Vorlesung 4b. Die Varianz

Vorlesung 4b. Die Varianz Vorlesung 4b Die Varianz 1 X sei reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert µ. Die Varianz von X ist definiert als Var X := E[(X µ) 2 ], die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsvariablen

Mehr

7 Trigonometrie. 7.1 Defintion am Einheitskreis. Workshops zur Aufarbeitung des Schulsto s Wintersemester 2014/15 7 TRIGONOMETRIE

7 Trigonometrie. 7.1 Defintion am Einheitskreis. Workshops zur Aufarbeitung des Schulsto s Wintersemester 2014/15 7 TRIGONOMETRIE 7 Tigonometie Wi beschäftigen uns hie mit de ebenen Tigonometie, dabei geht es hauptsächlich um die geometische Untesuchung von Deiecken in de Ebene. Ein wichtiges Hilfsmittel dafü sind die Winkelfunktionen

Mehr

Übungen zur Kursvorlesung Physik II (Elektrodynamik) Sommersemester 2008

Übungen zur Kursvorlesung Physik II (Elektrodynamik) Sommersemester 2008 Übungsblatt 4 zu Physik II Von Patik Hlobil (38654), Leonhad Doeflinge (496) Übungen zu Kusvolesung Physik II (Elektodynamik) Sommesemeste8 Übungsblatt N. 4 Aufgabe 3: Feldstäke im Innen eines Ladungsinges

Mehr

Shift-Invarianz, periodische Funktionen, diskreter Logarithmus, hi

Shift-Invarianz, periodische Funktionen, diskreter Logarithmus, hi Shift-Invaianz, peiodische Funktionen, diskete Logaithmus, hidden-subgoup-poblem Infomation und Codieung 2 SS 200 22. Juni 200 Shift-Invaianz de Fouie-Tansfomation f (y) = 2π f (x) e iyx dx Ist (T z f

Mehr

(Newton II). Aus der Sicht eines mitbeschleunigten Beobachters liest sich diese Gleichung:

(Newton II). Aus der Sicht eines mitbeschleunigten Beobachters liest sich diese Gleichung: f) Scheinkäfte.f) Scheinkäfte Tägheitskäfte in beschleunigten Systemen, z.b. im anfahenden ode bemsenden Auto ode in de Kuve ( Zentifugalkaft ). In nicht beschleunigten Systemen ( Inetialsysteme ) gibt

Mehr

Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am

Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am U Gaz, Institut Regelungs- und Automatisieungstechnik 1 Schiftliche Püfung aus Regelungstechnik am 0.10.008 Name / Voname(n): Matikel-Numme: Bonuspunkte aus den MALAB-Übungen: O ja O nein 1 3 4 eeichbae

Mehr

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Kombinatorik. Dr. Thomas Zehrt. Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Kombinatorik. Dr. Thomas Zehrt. Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Kombinatorik Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente 2 Teil 1 Endliche Mengen Eine endliche Menge M ist eine Menge,

Mehr

Die Hohman-Transferbahn

Die Hohman-Transferbahn Die Hohman-Tansfebahn Wie bingt man einen Satelliten von eine ednahen auf die geostationäe Umlaufbahn? Die Idee: De geingste Enegieaufwand egibt sich, wenn de Satellit den Wechsel de Umlaufbahnen auf eine

Mehr

1 Lineare Bewegung der Körper

1 Lineare Bewegung der Körper Lineae Bewegung de Köpe.3 Regentopfen und Fallschimspinge (v 0 (t) = g v(t)) In beiden Fällen handelt es sich um Objekte, die aus goßen Höhen fallen und von dem duchfallennen Medium (Luft) gebemst weden.

Mehr

Experimentalphysik II (Kip SS 2007)

Experimentalphysik II (Kip SS 2007) Epeimentalphysik II (Kip SS 7) Zusatzvolesungen: Z- Ein- und mehdimensionale Integation Z- Gadient, Divegenz und Rotation Z-3 Gaußsche und Stokessche Integalsatz Z-4 Kontinuitätsgleichung Z-5 Elektomagnetische

Mehr

Von Kepler zu Hamilton und Newton

Von Kepler zu Hamilton und Newton Von Kele zu Hamilton und Newton Eine seh elegante Vaiante von 3 Kele egeben 1 Newton 1. Das este Kele sche Gesetz 2. Das zweite Kele sche Gesetz 3. Die Bahngeschwindigkeit v und de Hodogah 4. Die Beschleunigung

Mehr

Wiederholung: elektronische Eigenschaften

Wiederholung: elektronische Eigenschaften Wiedeholung: elektonische igenschaten Die igenschaten des elektonischen Systems eines Mateiales haben inluss au: + Leitähigkeit + Optische igenschaten + Magnetische igenschaten + Adsoption und Adhäsion

Mehr

Kepler sche Bahnelemente

Kepler sche Bahnelemente Keple sche Bahnelemente Siegfied Eggl In de Dynamischen Astonomie ist es üblich, das Vehalten von gavitativ inteagieenden Köpen nicht im katesischen Koodinatensystem zu studieen, sonden die Entwicklung

Mehr

TEIL 1 Untersuchung des Grundbereichs 2)

TEIL 1 Untersuchung des Grundbereichs 2) Matin ock, Düppenweilestaße 6, 66763 Dillingen / Saa lementa-physikalische Stuktu Wassestoff-Molek Molekülionlion ( + ) ) kläung ung des Velaufs de Gesamtenegie (( Ges fü den Σ g Zustand des -Molekülsls

Mehr

Die Maxwell'sche Geschwindigkeitsverteilung von Gasen

Die Maxwell'sche Geschwindigkeitsverteilung von Gasen HTBLA Neufelen Die Maxwell'sche Geschwinigkeitsveteilung Seite n Pete Fische pe.fische@atn.nu Die Maxwell'sche Geschwinigkeitsveteilung n Gasen Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichwoten: Exponentialfunktion,

Mehr

Kreis / Kugel - Integration. 5. Kugelsegment 6. Kreiskegel 7. Kugelausschnitt 8. Rotationskörper: Torus

Kreis / Kugel - Integration. 5. Kugelsegment 6. Kreiskegel 7. Kugelausschnitt 8. Rotationskörper: Torus Keis / Kugel - Integation 1. Keis 2. Kugel 3. Keissekto 4. Keissegment 5. Kugelsegment 6. Keiskegel 7. Kugelausschnitt 8. Rotationsköpe: Tous 1. Keis Fomelsammlung - Fläche: A = 2 Integation katesische

Mehr

Integration von Ortsgrößen zu Bereichsgrößen

Integration von Ortsgrößen zu Bereichsgrößen Integation von Otsgößen zu Beeichsgößen 1 Integation von Otsgößen zu Beeichsgößen Stömungen sind Bewegungen von Teilchen innehalb von Stoffen. Ihe wesentlichen Gesetzmäßigkeiten gehen aus Zusammenhängen

Mehr

Die verallgemeinerte Lognormalverteilung

Die verallgemeinerte Lognormalverteilung Univesität Dotmund Fachbeeich Statistik Diplomabeit Die veallgemeinete Lognomalveteilung Stefanie Chistina Scheid Beteue: Pof. D. Walte Käme Dotmund im Novembe 2 2 Inhaltsvezeichnis Symbole und Def initionen

Mehr

Der elektrische Dipol Sind zwei unterschiedliche Ladungen in einem Abstand d angeordnet, dann liegt ein elektrischer Dipol vor.

Der elektrische Dipol Sind zwei unterschiedliche Ladungen in einem Abstand d angeordnet, dann liegt ein elektrischer Dipol vor. De elektische Dipol Sind zwei unteschiedliche Ladungen in einem Abstand d angeodnet, dann liegt ein elektische Dipol vo. +q d q Man definiet das Dipolmoment: p q d Das Diplomoment ist ein Vekto, de entlang

Mehr

Die Schrödingergleichung für das Elektron im Wasserstoffatom lautet Op2 e2 Or. mit

Die Schrödingergleichung für das Elektron im Wasserstoffatom lautet Op2 e2 Or. mit 4 Stak-Effekt Als Anwendung de Stöungstheoie behandeln wi ein Wassestoffatom in einem elektischen Feld. Fü den nichtentateten Gundzustand des Atoms füht dies zum quadatischen Stak-Effekt, fü die entateten

Mehr

Aufgabe 1: LKW. Aufgabe 2: Drachenviereck

Aufgabe 1: LKW. Aufgabe 2: Drachenviereck Aufgabe 1: LKW Ein LKW soll duch einen Tunnel mit halbkeisfömigem Queschnitt fahen. Die zweispuige Fahbahn ist insgesamt 6 m beit; auf beiden Seiten befindet sich ein Randsteifen von je 2 m Beite. Wie

Mehr

Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 4. Übung

Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 4. Übung FKULTÄT FÜR MTHEMTIK Pof. D. Patizio Neff Chistia Thiel 05.11.013 Lösugsvoschlag zu de Hausaufgabe de 4. Übug ufgabe 1: 6 Pute I eiem Lad ist jede Stadt mit jede adee duch geau eie Staße vebude, wobei

Mehr

Forschungsstatistik I

Forschungsstatistik I Pschologie Pof. D. G. Meihadt 6. Stock, TB II R. 06-206 (Pesike) R. 06-321 (Meihadt) Spechstude jedezeit ach Veeibaug Foschugsstatistik I D. Malte Pesike pesike@ui-maiz.de http://psmet03.sowi.ui-maiz.de/

Mehr

F63 Gitterenergie von festem Argon

F63 Gitterenergie von festem Argon 1 F63 Gitteenegie von festem Agon 1. Einleitung Die Sublimationsenthalpie von festem Agon kann aus de Dampfduckkuve bestimmt weden. Dazu vewendet man die Clausius-Clapeyon-Gleichung. Wenn außedem noch

Mehr

1 Stochastische Konvergenz 2

1 Stochastische Konvergenz 2 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere

Mehr

SS 2017 Torsten Schreiber

SS 2017 Torsten Schreiber SS 7 Tosten Scheibe 7 Eine Mati ist eine Kombination aus eine bestimmten nzahl von, die in Zeilen und Spalten unteteilt sind, die das eine Mati bestimmen, wobei jede die jede Komponente duch die zugehöige

Mehr

Klausur 2 Kurs 12PH4 Physik

Klausur 2 Kurs 12PH4 Physik 2014-12-16 Klausu 2 Kus 12PH4 Physik Lösung 1 Teffen Elektonen mit goße Geschwindigkeit auf eine Gafitfolie und dann auf einen Leuchtschim, so sieht man auf dem Leuchtschim nicht nu einen hellen Punkt,

Mehr

Wasserstoff-Atom Lösung der radialen SGL

Wasserstoff-Atom Lösung der radialen SGL Wassestoff-Atom Lösung de adialen SGL Die adiale SGL des H-Atoms lautet: d R d + dr d + ηr + α R ( + 1) R = mit μee η= μ Ze α= e 4 πε Lösungsansatz: 1) Auffinden de Lösung fü (Asymptotische Lösung: R ())

Mehr

Übungen zur Physik II (Elektrodynamik) SS Übungsblatt Bearbeitung bis Mi

Übungen zur Physik II (Elektrodynamik) SS Übungsblatt Bearbeitung bis Mi Übungen zu Physik II (Eektodynamik) SS 5. Übungsbatt 3.6.5 eabeitung bis Mi. 6.7.5 Aufgabe. Loentzkaft (+4) Ein Stab mit de Masse m und dem Ohmschen Widestand kann sich eibungsfei auf zwei paaeen Schienen

Mehr

HöMa III Zusammenfassung

HöMa III Zusammenfassung HöMa III Zusammenfassung Volesung Pof. Behmelmans, WS 201112, zusammengefasst von Matin Gitzan Gebietsintegale Gebietsintegale sind Integale übe Funktionen, die von meheen Paameten abhängen und bei denen

Mehr

Kerne und Teilchen. Kernkraft. Moderne Experimentalphysik III Vorlesung 16. MICHAEL FEINDT INSTITUT FÜR EXPERIMENTELLE KERNPHYSIK

Kerne und Teilchen. Kernkraft. Moderne Experimentalphysik III Vorlesung 16.  MICHAEL FEINDT INSTITUT FÜR EXPERIMENTELLE KERNPHYSIK Kene und Teilchen Modene Expeimentalphysik III Volesung 16 MICHAEL FEINDT INSTITUT FÜ EXPEIMENTELLE KENPHYSIK Kenkaft KIT Univesität des Landes Baden-Wüttembeg und nationales Foschungszentum in de Helmholtz-Gemeinschaft

Mehr

Berechnung der vorhandenen Masse von Biogas in Biogasanlagen zur Prüfung der Anwendung der StörfallV

Berechnung der vorhandenen Masse von Biogas in Biogasanlagen zur Prüfung der Anwendung der StörfallV Beechnung de vohandenen Masse von Biogas in Biogasanlagen zu Püfung de Anwendung de StöfallV 1. Gundlagen Zu Püfung de Anwendbakeit de StöfallV auf Betiebsbeeiche, die Biogasanlagen enthalten, muss das

Mehr

Lösung: 1. Für das Volumen gilt die Formel: V = r 2. π. h = 1000 [cm 3 ]. 2. Für die Oberfläche gilt die Formel: O = 2. r 2. π + 2. r. π. h.

Lösung: 1. Für das Volumen gilt die Formel: V = r 2. π. h = 1000 [cm 3 ]. 2. Für die Oberfläche gilt die Formel: O = 2. r 2. π + 2. r. π. h. Analysis Anwendungen Wi 1. Das Konsevendosen-Poblem Ein Konsevendosenhestelle will zylindische Dosen mit einem Inhalt von einem Lite, das sind 1000 cm 3, hestellen und dabei möglichst wenig Mateial vebauchen.

Mehr

Inhalt der Vorlesung A1

Inhalt der Vorlesung A1 PHYSIK A S 03/4 Inhalt de Volesung A. Einfühung Methode de Physik Physikalische Gößen Übesicht übe die vogesehenen Theenbeeiche. Teilchen A. Einzelne Teilchen Bescheibung von Teilchenbewegung Kineatik:

Mehr

Scheinklausur zur Vorlesung Stochastik II

Scheinklausur zur Vorlesung Stochastik II Institut für Mathematische Stochastik WS 2007/2008 Universität Karlsruhe 25. 02. 2008 Dr. B. Klar Scheinklausur zur Vorlesung Stochastik II Muster-Lösung Dauer: 90 Minuten Name: Vorname: Matrikelnummer:

Mehr

Kerne sind stark gebundene Systeme aus farbneutralen Nukleonen:

Kerne sind stark gebundene Systeme aus farbneutralen Nukleonen: X. Kenphysik. ukleonen und Kenkaft Kene sind stak gebundene Systeme aus fabneutalen ukleonen: Impuls de ukleonen aufgund Unschäfeelationen elativ goß (s. späte). Bild feie ukleonen in einem effektiven

Mehr

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Stochastik Marco Boßle Jörg Hörner Mathematik Online Frühjahr 2011 PV-Kurs HM 3 Stochastik 1-1 Zusammenfassung Wahrscheinlichkeitsraum (WR): Menge der Elementarereignisse

Mehr

1 Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren

1 Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren. Definition Ist X X,...,X p ein p-dimensionaler Zufallsvektor mit E X j < für alle j, so heißt

Mehr

Ebene und räumliche Koordinatentransformationen

Ebene und räumliche Koordinatentransformationen Inhalte Mathematische Gundlagen Koodinatensysteme Ebene und äumliche Koodinatentansfomationen Zentalpespektive HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 1 Veschiebung (Tanslation)

Mehr

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert 2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert Bisher: Zufallsexperimente beschrieben durch W-Räume (Ω, A, P) Häufig interessiert nur eine zufällige Größe X = X(ω), die vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments

Mehr

6 Die Gesetze von Kepler

6 Die Gesetze von Kepler 6 DIE GESETE VON KEPER 1 6 Die Gesetze von Kele Wi nehmen an, dass de entalköe (Sonne) eine seh viel gössee Masse M besitzt als de Planet mit de Masse m, so dass de Schweunkt in gute Näheung im entum de

Mehr

Klausur Strömungsmechanik I (Bachelor) & Technische Strömungslehre (Diplom)

Klausur Strömungsmechanik I (Bachelor) & Technische Strömungslehre (Diplom) ...... (Name, Mat.-N, Unteschift) Klausu Stömungsmechanik I (Bachelo) & Technische Stömungslehe (Diplom) 1. Aufgabe (9 Punkte) 03.08.2012 Duch ein Leck füllt sich de Ballasttank (Volumen V B ) eines U-Boots

Mehr