3.3. Spezielle Verteilungen für mehrstufige Experimente

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1 3.3. Spezielle Veteiluge fü mehstufige Expeimete Baumdiagamme fü mehstufige Expeimete wede bei viele Wiedeholuge schell uübesichtlich. Fü das wiedeholte Ziehe mit ud ohe Zuüclege aus eie Ue, die u zwei Sote vo Kugel ethält, lasse sich abe Veteilugsfomel agebe, die das Baumdiagamm esetze. Wie goß ist die Wahscheilicheit, beim deimalige (zehmalige) Wüfel eimal (zweimal) die sechs zu wüfel? Kombiatoi Kombiatoische Fomel diee dazu, die Zahl de Egebisse ( Kombiatioe de Egebisse de eizele Stufe) bei mehstufige Expeimete zu beeche. Aufgabe zu hypegeometische Veteilug:. 1 ud Allgemeies Zählpizip bei mehstufige Expeimete: Besteht ei Zufallsexpeimet aus voeiade uabhägige Stufe mit jeweils 1,,..., Egebisse, so hat das Gesamtexpeimet 1... ombiiete Egebisse. Spezialfälle: 1. Aus eie Ue mit Kugel wid mal mit Zuüclege gezoge. Da gibt es... veschiedee Egebisse.. Aus eie Ue mit Kugel wid mal ohe Zuüclege gezoge. Da gibt es ( 1)...( + 1) veschiedee Egebisse. 3. Aus eie Ue mit Kugel wede alle Kugel ohe Zuüclege gezoge. Da gibt es ( 1)...1! (lies Faultät) veschiedee Egebisse. Übuge: Aufgabe zu hypegeometische Veteilug:. 3-6 Aufgabe zu hypegeometische Veteilug:. 7 a) ud b) Satz übe die Zahl de Kombiatioe/Teilmege Aus eie Ue mit Kugel wid mal ohe Zuüclege gezoge. Jeweils alle! Egebisse mit gleiche Auswahl abe uteschiedliche Reihefolge de Kugel wede als Kombiatio zusammegefasst Da gibt es ( 1)... ( 1)!! ( )!! mögliche Kombiatioe. Die Zahle (lies aus ) heiße Biomialoeffiziete. Alteative Fomulieug: Es gibt Möglicheite, aus veschiedee Objete Objete auszuwähle. Übuge: Aufgabe zu hypegeometische Veteilug:. 7 c) - g) Das Ziehe ohe Zuüclege ud die hypegeometische Veteilug Aufgabe zu hypegeometische Veteilug:. 8 Satz übe da Ziehe ohe Zuüclege (Hypegeometische Veteilug) Eie Ue ethält Kugel, davo ote ud schwaze. Es wede Kugel ohe Zuüclege gezoge. Die Wahscheilicheit, geau ote Kugel zu ziehe, ist da H, / () mal ot mal schwaz Übuge: Aufgabe zu hypegeometische Veteilug:

2 Das Ziehe mit Zuüclege ud die Biomialveteilug Aufgabe zu Biomialveteilug:. 1 Satz übe da Ziehe mit Zuüclege (Biomialveteilug) Eie Ue ethält Kugel, davo ote ud schwaze. Es wede Kugel mit Zuüclege gezoge. Die Wahscheilicheit, geau ote Kugel zu ziehe, ist da B, / () mit p p q Wahscheilicheit, bei eie Ziehug eie ote Kugel zu ziehe q 1 p Wahscheilicheit, bei eie Ziehug eie schwaze Kugel zu ziehe Eigabe im GTR: z.b. B 00 0,3 (5 X 15) sum(seq(00 C X*0,3^X*0,7^(00 X),X,5,15)) mit sum LIST/MATH/5, seq LIST/OPS/5 ud C MATH/PRB/3 Übuge: Aufgabe zu Biomialveteilug: äheug de hypegeometische Veteilug duch die Biomialveteilug Beeche die Wahscheilicheit fü die Ziehug zweie ote Kugel mit ud ohe Zuüclege aus eie Ue mit a) 5 Kugel, davo 3 ote b) 50 Kugel, davo 30 ote Lösug a) Bei de este Ziehug ist p 5 3 0,6. Bei de zweite Ziehug ist p etwede u och 4 0,5 (falls zuvo eie ote Kugel gezoge wude) ode 4 3 wude). b) Bei de este Ziehug ist p 0,75 (falls zuvo eie schwaze Kugel gezoge ,6. Bei de zweite Ziehug ist p etwede 0,59 (falls zuvo eie ote Kugel gezoge wude) ode 0,61 (falls zuvo eie schwaze Kugel gezoge wude). 49 Ma a also uabhägig vo dem Egebis de este Ziehug auch fü die zweite Ziehug p 0,6 als äheugswet vewede. We fü beide Ziehuge die gleiche Wahscheilicheite gelte, etspicht dies abe dem Ziehe mit Zuüclege ud füht auf die Biomialveteilug. äheug de hypegeometische Veteilug duch die Biomialveteilug Bei viele Wiedeholuge ( 0) lässt sich auch das Ziehe ohe Zuüclege (d.h. die hypegeometische Veteilug) duch die Biomialveteilug aähe. Befide sich ämlich seh viele Kugel i de Ue, so wede die Megevehältisse bzw. Wahscheilicheite duch die Etahme weige Kugel aum geädet. Ma a also bei de., 3., usw. Kugel äheugsweise die gleiche Wahscheilicheite vewede wie bei de este Kugel

3 Ewatugswet ud Vaiaz Aufgabe zu Biomialveteilug. 11 Wahscheilicheitsfutio ud Veteilugsfutio eie Zufallvaiable X Gegebe sei eie Zufallsvaiable X,die jedem Egebis ω 1, ω,... eie eelle Zahl X(ω 1 ), X(ω ),.. zuodet. Die Wahscheilicheitsfutio f gibt fü jedes R die zugehöige Wahscheilicheit f() P(X ) a. Die Veteilugsfutio F gibt fü jedes R die zugehöige Wahscheilicheit F() P(X ) a. Übuge: Aufgabe zu Biomialveteilug. 1 ud 13 Aufgabe zu Biomialveteilug. 14 Ewatugswet, Vaiaz ud Stadadabweichug De Ewatugswet μ E(X) eie Zufallsvaiable X ist de mit de etspechede Wahscheilicheite P(ω i ) gewichtete Mittelwet alle mögliche Wete X(ω i ): E(X) X(ω 1 )P(ω 1 ) + X(ω )P(ω ) +... Die Vaiaz V(X) E((X μ) ) ist ei Maß fü die mittlee quadatische Abweichug vom Mittelwet. Die Stadadabweichug σ Übuge: Aufgabe zu Biomialveteilug. 15 ud 16 V(X) ist ei Maß fü die mittlee Abweichug vom Mittelwet Ewatugswet ud Stadadabweichug de Biomialveteilug Ist eie Zufallsvaiable biomialveteilt mit P(X ) B p (), so gilt: Ewatugswet μ p Wet mit de gößte Wahscheilicheit Maximum de Wahscheilicheitsfutio bei μ Stadadabweichug σ p q mittlee Steuug um de Ewatugswet Wedepute de Wahscheilicheitsfutio bei μ ± σ Beweis: De Beweis veeifacht sich sta duch die Vewedug de Lieaität des Ewatugswetes: Fü zwei Zufallsvaiable X ud Y sowie eelle Zahle a ud b gilt ämlixh E(aX + by) (ax(ω 1 ) + by(ω 1 ))P(ω 1 ) + a(x(ω 1 )P(ω 1 ) + ) + b(y(ω 1 )P(ω 1 ) + ) ae(x) + be(y). Sei X i 1, we die i-te Kugel ot ist ud X i 0, we sie schwaz ist. De Ewatugswet fü diese Zufallsvaiable ist da E(X i ) X i ()P() + X i (s)p(s) 1p + 0(1 p) p. Außedem gilt X X 1 + X + X ud dahe etspeched E(X) E(X 1 ) + + E(X ) p. Weite gilt E(X ) E((X X ) ) X 1 ()X 1 ()P() + + X ()X ()P(,) + X 1 ()X ()P(,) + + X 1 ()X () P(,) Summade p 1 Summade p + X ()X 1 ()P(,) + + X ()X () P(,) 1 Summade p + X ()X 1 ()P(,) + + X ()X 1 () P(,) Summe 1 Summade p ud damit p + ( 1)p V(X) E((X μ) ) E((X p) ) E(X px + (p) ) E(X ) p(e(x) + (p) p + ( 1)p (p) + (p) p p p(1 p) pq. 3

4 B 50 0,4 () mit μ 0 ud σ 3,46 Maximum bei 0 mit B 50 0,4 (0) 11,45 % Wedepute bei 17 mit B 50 0,4 (17) 8,07 % ud 3 mit B 50 0,4 (3) 7,78 %: 0,14 0,1 0,1 0,08 0,06 0,04 P(X) 0, σ μ σ Übuge: Aufgabe zu Biomialveteilug. 17 ud äheug de Biomialveteilug duch die omalveteilug Aufgabe zu omalveteilug ud Hypothesetests. 1 ud Loale Gezwetsatz vo de Moive ud Laplace Fü goße lässt sich die Biomialveteilug duch eie geeiget veschobee ud gestecte omalveteilug 1 1 Φ () e aähe: lim B 1 p(). Faustegel: Die äheug ist auseiched geau, we pq > 9 ist. EIstelluge im GTR: X MI μ σ, X MAX μ + σ, Y MI 0, Y MAX P(X μ) B 50 0,4 () mit μ 0 ud σ 3,46 B 50 0,4 () 1 0 3, , ,14 P(X) 0,1 0,1 0,08 0,06 0,04 0, Übuge: Aufgabe zu omalveteilug ud Hypothesetests

5 Hypothesetests Aufgabe zu omalveteilug ud Hypothesetests. 6 Hypothesetest 1. Möchte ma Aussage übe Wahscheilicheite bei z.b. Kude (Kaufetscheidug), Wähle (Wahletscheidug), Podute (Ausschussateil) ode Mediamete (Wiugsateil) gewie, so muss ma sich auf die Utesuchug eie Stichpobe ode Statisti vo begeztem Umfag beschäe.. Ma geht vo de Hypothese aus, dass das zu utesuchede Eeigis mit de Wahscheilicheit p 1 eititt. Häufig wid eie Gegehypothese ode Alteative mit de Wahscheilicheit p ebefalls utesucht. 3. Die Aufgabe des Statisties besteht dai, eie veüftige Etscheidugsgeze festzulege: Titt das Eeigis i weige ode meh als vo Fälle ei, so wid die Hypothese ageomme, asoste wid sie abgeleht bzw. die Alteative ageomme. 4. Dabei öe zwei Ate vo Fehletscheiduge auftete: Fehle 1. At: Die Hypothese wid abgeleht, obwohl sie efüllt ist. Risio 1. At (Sigifiaziveau, Itumswahscheilicheit) α Wahscheilicheit fü Fehle 1. At Fehle. At: Die Hypothese wid ageomme, obwohl sie icht efüllt ist. Risio. At β Wahscheilicheit fü Fehle. At Übuge: Aufgabe zu omalveteilug ud Hypothesetests