4 Beschreibung des Run-Tests

Transkript

1 4 Bescheibug des Ru-Tests Die mathematische Gudlage fü dieses Kaitel fidet ma i [6],[8] ud [6]. 4. Was ist ei Ru-Test 4.. Eifühug De Ru-Test ist ei ichtaametische Test (siehe Kaitel 3.6), dem die Azahl de Rus (Iteatioe) i eie Stichobe zugude liegt. Die Ru-Tests köe als Zufälligkeitstests ode als Tests zum Vegleich uabhägige Stichobe beutzt wede. Fü gegebe Wet vo weist ei kleies auf Klumuge ähliche Beobachtuge hi, ei goßes auf eie egelmäßige Wechsel. Die Ru-Theoie sagt: Bei zufällige Reihefolge ist azuehme, dass sich die beide Ausäguge des Mekmals wede gaz egelmäßig abwechsel (viele Rus), och, dass zuest meh die eie da meh die adee Ausägug auftitt (weige Rus). Die Iteatiostheoie (Ru-Theoie) gibt die Wahscheilichkeitsveteilug ud die Momete de zufällige Azahl de Iteatioe i eie mathematische Stichobe vom Umfag ud Testvefahe zu Übeüfug de Hyothese a, dass ei voliegedes -Tuel vo Zahle eie Realisieug eie mathematische Stichobe aus eie vogegebee Gudgesamtheit ist. Im Uteschied zu adee Testvefahe wid bei de Tests de Iteatiostheoie i este Liie die Reihefolge de Beobachtuge de vogegebee Folge (des - Tuels) beücksichtigt. Bei Ru-Tests sid die Objekte icht u Zahle, sode adee Mekmalswete (siehe Eileitug). 4.. Date Fü die Beobachtuge,..., ist jedes Messiveau zugelasse Aahme Diese Dilomabeit liegt ei Sezialfall des Rus mit u zwei Ate vo Symbole (Beobachtuge) zugude (Eileitug, Seite 7). Sei X eie zweiuktveteilte Zufallsgöße mit zwei Mekmalswete ud (,..., ) eie kokete Stichobe aus de zu X gehöede Gudgesamtheit. Es wid u zwische Beobachtuge vom Ty ud uteschiede. 7

2 Falls die Date mehee Ate vo Beobachtuge beihalte, muss ma die Beobachtuge i zwei Kategoie klassifiziee (siehe Kaitel 4.5) Testoblem H : Die Reihefolge de Beobachtuge ist zufällig. 0 Die Alteativhyothese fü eie eiseitige ode zweiseitige Ru-Test, die i igedeie Weise eie systematische Eifluss (bedigt zum Beisiel duch eie bestimmte Fom de Abhägigkeit de Stichobevaiable) auf die Reihefolge de Beobachtuge beihalte, sid icht so sezifiziet, wie das sost bei Testobleme de Fall ist ([6], Seite 8). Lautet die Alteative im eigetliche Sie Nichtzufälligkeit, so ist ei zweiseitige Test zu wähle, bei Aahme eies Teds dagege ei eiseitige Test. Im Falle eies zweiseitige Ru-Tests lautet die Alteativhyothese: H : Die Reihefolge de Mekmalswete ist gegeübe dem, was bei Zufälligkeit zu ewate wäe, veletzt. Im Falle eies eiseitige Ru-Tests komme folgede Fälle als mögliche Alteativhyothese i Fage: a) gleiche Mekmalswete tete zu häufig hiteeiade auf ( Klumugseffekt ), das heißt es gibt zu weige Rus (eiseitige Ru-Test liks), b) die Mekmalswete wechsel zu häufig ( Regelmäßige Wechsel ), das heißt zu viele Rus (eiseitige Ru-Test echts). 8

3 4. Teststatistik Als Teststatistik betachte wi die Azahl U de Rus i de Reihefolge de Beobachtuge. Um die Veteilug vo U ute H 0 hezuleite, bezeiche die Azahl de Beobachtuge vom Ty ud die vom Ty. 4.. Wahscheilichkeitsveteilug vo U Sei U Gesamtazahl de Rus (beliebige Läge), U = + =, = +, so gilt fü die Veteilug: u u Fomel 4.. P(U) =, wobei u = Falls U (die Gesamtazahl vo Rus) eie geade Zahl ist. + u u u u Fomel 4.. P(U) =, wobei u = Falls U (die Gesamtazahl vo Rus) eie ugeade Zahl ist. Auf de ächste Seite wede die Fomel hegeleitet ud i de ächste Abschitte wede wi mit Hilfe des Mathematica-Pogamms diese Fomel auf ihe Richtigkeit übeüfe. 4.. Ewatugswet de Ru-Veteilug Fomel 4..3 µ = + + = Vaiaz de Ru-Veteilug Fomel 4..4 ( ) ( ) σ = = ( + ) ( + ) ( ) 9

4 4..4 Gahische Dastellug de Ru-Veteilug I diese Dilomabeit wid die Ru-Veteilug mit Balkediagamme ud Teefuktioe dagestellt Abbildug 4.: Balkediagamm fü =8 Abbildug 4.: Teefuktio fü =8 Ma sieht deutlich, dass die Teefuktio bei de Ru-Veteilug icht symmetisch bezüglich µ ist, wie das bei de Nomalveteilug de Fall ist. Die Fom de Ru-Wahscheilichkeitsfuktio hägt vo, abe auch vo ud ab. Nicht u die Gesamtazahl de Objekte =+ hat eie Eifluss auf das Aussehe de Fuktio. Die Abbildug 4.3 zeigt, dass die Teefuktio de Ru- Veteilug mit ==6 adee Fom hat als die mit =0 ud =, obwohl (die Gesamtazahl de Objekte) bei beide gleich ist Abbildug 4.3: Teefuktioe zu Ru-Wahscheilichkeitsveteilug fü =3. Eimal fü ==6, eimal fü =0, =. 30

5 Die ächste Abbilduge zeige die Wahscheilichkeitsfuktioe ud die zugehöige Veteilugsfuktioe fü kleie (=00), mittlee (=500) ud goße Azahl (=000) vo Beobachtuge. I alle dei Fälle ist =. Fall, = Abbildug 4.4 A: Wahscheilichkeitsfuktio fü =00, ==50, = 5, =4,975. µ σ Abbildug 4.4 B: Zugehöige Veteilugsfuktio Fall, = Abbildug 4.5 A: Wahscheilichkeitsfuktio fü =500, ==50, = 5, =,69. µ σ Abbildug 4.5 B: Zugehöige Veteilugsfuktio Fall 3, = Abbildug 4.6 A: Wahscheilichkeitsfuktio fü =000, ==500, = 50, =5,8. µ σ Abbildug 4.6 B: Zugehöige Veteilugsfuktio 3

6 Vegleich de dei Wahscheilichkeitsfuktioe I de Abbildug 4.7 wede alle dei Fuktioe zusammegestellt. Betachtet ma die utee Abbildug, so sieht ma, dass je göße ist, um so flache ist de Kuvevelauf de Wahscheilichkeitsfuktio ud um so iedige liegt das Maximum Abbildug 4.7: Zusammestellug de Teefuktioe zu Ru-Veteilug fü =00, =500, =000 (vo liks betachtet) 3

7 4.3 Heleitug de Fomel fü die Ru-Wahscheilichkeitsveteilug I eie Folge mit zwei Ate vo Beobachtuge ist: Fall a) = + b) = + Fall =. Im este Fall muss die Folge mit dem Ru de Objekte vom Ty (ode vom Ty ) afage ud ede, im zweite Fall fägt die Reihe mit dem Ru de Objekte vom Ty a, edet abe mit dem Ru de Objekte vom Ty, ode umgekeht. Die Azahl de uteschiedliche Pemutatioe ist fü de Ru de Objekte vom Ty gleich!!!...! ud etseched fü de Ru de Objekte vom Ty gleich!.!!...! Falls H 0 wah ist, ka agumetiet wede, dass die Aodugsmöglichkeite (Pemutatioe) fü Wete de Objekte vom Ty ud Wete de Objekte vom Ty gleich wahscheilich sid. Es ist kla, dass es geau + Aoduge gibt. Um P(U) zu fide, ist es otwedig, alle Aoduge mit geau U Rus zu zähle. Ageomme, U ist geade, sage wi U=u, da muss es u Rus de Objekte vom Ty ud u Rus de Objekte vom Ty gebe. Um u Aoduge de Objekte vom Ty zu bekomme, müsse die Objekte vom Ty i u-gue geteilt wede. Wi köe diese u-gue ode Rus bilde, idem wi de Teile u i die -Räume (Abstäde zwische de Wete de Objekte vom Ty ) eisetze, abe icht meh als eie Teile o Zwischeaum. Wi köe diese u -Teile i die -Räume auf Ate latziee. Etseched köe wi die u u Rus fü die Objekte vom Ty kostuiee, auf u Ate. Jede bestimmte Aodug de u Rus de Objekte vom Ty ka mit igedeie Aodug de u Rus de Objekte vom Ty kombiiet wede. Außedem ka de este Ru i de kombiiete Aodug etwede de Ru de Objekte vom Ty ode sei. Folglich, gibt es eie Gesamtazahl vo Rus habe, = +. u u Aoduge, die geau U=u 33

8 Es folgt fü geade Azahl vo Rus: PU u PU u u u ( ) ( ) = = = = (siehe Fomel 4..). Etseched folgt fü eie ugeade Azahl vo : PU u PU u u u u u ( ) ( ) = = = = + (siehe Fomel 4..). Ageomme, wi iteessiee us u fü die Azahl de Rus de Objekte (Elemete) vom Ty, gleichgültig, ob =, = ode = ist. Wi wähle die Rus vo Elemete des Tys aus, idem wi vo de Zwischeäume auswähle. Jetzt sid die Zwischeäume vo ud ach, sowie zwische de Elemete des Tys fü die Besetzug de Elemete des Tys vohade, da die Azahl de Rus vo Elemete des Tys icht festgelegt ist. Deswege gibt es Räume, die fü das Platziee de -Rus beutzt wede. Sie köe auf Ate latziet wede. De Rest de Heleitug ist aalog zu dem, was vohe beschiebe wude Es folgt, die Wahscheilichkeit dafü, dass es geau Rus de Elemete des Tys gibt, ist: P ( ) = + = + +. Ma ka leicht ekee, dass es sich hie um eie hyegeometische Veteilug hadelt. Die Faktoe de obee Ebee im Nee sid gleich de Summe de Faktoe de obee Ebee im Zähle. Etseched das gleiche gilt fü die Faktoe de utee Ebee. Betachte wi u die Fomel fü die Wahscheilichkeitsfuktio de hyegeometische Veteilug: fx M x N M x N ( )= (siehe Fomel 3.3.) 34

9 Es ist tatsächlich die Wahscheilichkeit, dass vo de + Zelle, die vo Elemete des Tys belegt sid, + lee bleibe. Das heißt, sie wede die -Rus icht beihalte. Schlussfolgeug Usee Veteilug lässt sich duch die hyegeometische Veteilug aähe, diese aoximiet duch die Biomialveteilug. Fü seh goße Wete vo lässt sich die Biomialveteilug duch die Nomalveteilug aähe. 4.4 Testozedue Bei eie vogegebee Itumswahscheilichkeit folgedemaße aussehe: α wüde die Testozedu Ist keie Richtug de Abweichug de Zufälligkeit ausgezeichet (zweiseitige Ru- Test), so wid die Nullhyothese abgeleht, we die beobachtete Azahl vo Rus beob < α ode beob > α ist. Die vohe festgesetzte Richtug de Abweichug vo de Zufälligkeit (eiseitige Ru-Test) ka hiweise auf: a) zu weig Rus (eiseitige Test liks), das heißt H wid abgeleht, we 0 beob < α ist, b) zu viele Rus (eiseitige Test echts), das heißt H 0 wid abgeleht, we beob > αist. 35

10 4.4. Die exakte Auswetug de dem Ru-Test zugude liegede Wahscheilichkeitsveteilug Bei dem eiseitige ud zweiseitige Ru-Test wid die exakte Itumswahscheilichkeit α beechet, mit welche die Nullhyothese zuguste de gestellte Alteativhyothese abgeleht wid. Eie bestimmte Azahl vo Rus, ades gesagt: die Azahl de beobachtete Rus, fü welche die Itumswahscheilichkeit bestimmt wede soll, wid mit beob bezeichet. Zweiseitige Ru-Test Im Falle eies zweiseitige Tests gibt es folgede Möglichkeite de Beechug vo alha: Um zu etscheide, ob wi zuest liks ode echts aufsummiee, lege wi zuest als Richtwet de Ewatugswet µ (Fomel 4..3) fest. <<< Fälle fü beob < µ >>> Fall A Ist de Wet vo beob kleie als de Ewatugswet Wahscheilichkeite liks auf. Ist die beechete Summe ist die Beechug beedet ud es gilt: beob Fomel 4.4. α= PU ( = ). Ist dagege beob = = PU ( = ) < 0,5 habe wi de Fall A. Es gilt: µ, da summiee wi die beob = PU ( = ) < 0,5, da PU ( = ) 0,5, da eche wi die Wete vo P(U=) echts zusamme ud es ka zwei weitee Fälle gebe. Ist = beob Fomel 4.4. α = PU ( = ). = beob Fü eie schelle Ablauf wid im Pogamm die folgede Fomel beutzt, die äquivalet zu Fomel 4.4. ist. 36

11 beob Fomel 4.4.(P) α = ( - P( U = ) + P(U=beob) ). Ist = P( U = ) 0,5, da habe wi de Fall 3 A. Es gilt: Fomel α =. = beob De Fall 3A wolle wi gahisch veaschauliche Abbildug 4.8: Balkediagamm - Wahscheilichkeitsveteilug fü =6 Es liegt hie folgede Wahscheilichkeitsveteilug vo: fü =, P(U=)=0, fü =3, P(U=3)=0,35 fü =4, P(U=4)=0,5 fü =5, P(U=5)=0,5 fü =6, P(U=6)=0,05. Es soll α fü beob=3 bestimmt wede. De Wet vo beob=3 ist kleie als de Ewatugswet (=4), totzdem ist die Summe beob = göße als 0,5. 3 PU ( = ) = PU ( = ) = 0,55 = Wi beeche die Wahscheilichkeite u auf de adee Seite PU ( = ) = PU ( = ) =(0,35+0,5+0,5+0,05)=0,8 > 0,5 = beob 6 = 3 ud stelle fest, dass auch diese Summe göße als 0,5 ist. Daaus folgt: α = (siehe Fomel 4.4.3). 37

12 <<< Fälle fü beob µ >>> Fall B Ist de Wet vo beob göße gleich dem Ewatugswet, da summiee wi die Wahscheilichkeite echts auf. Ist die Summe Beechug beedet ud es gilt: PU ( = ) = beob < 0,5, da ist die α= P( U= ) = beob (ach de Fomel 4.4.). Ist dagege = beob PU ( = ) 0,5, da eche wi die Wete vo P(U=) liks zusamme ud es ka zwei weitee Fälle gebe. Ist beob = P( U = ) < 0,5 habe wi de Fall B ud es gilt: beob α = P( U = ) (ach de Fomel 4.4.) = ode fü de schelle Pogammablauf: Fomel 4.4.(P) α = ( - PU ( = ) + P(U=beob) ) = beob Ist dagege beob = PU ( = ) 0,5 habe wi de Fall 3 B ud es gilt: α = (siehe Fomel 4.4.3). 38

13 Eiseitige Ru-Test Wie die Abbildug 4.9 zeigt, wede bei liksseitige Ru-Tests die Balke liks aufsummiet (z.b. fü beob=8). I de Zeichug sid das die duchummeiete Balke. Die Abbildug 4.0 veaschaulicht de echtsseitige Test (fü beob=) Abbildug 4.9: Wahscheilichkeitsveteilug, =8, beob=8 (liksseitige Test) Abbildug 4.0: Wahscheilichkeitsveteilug, =8, beob= (echtsseitige Test) Im Falle eies eiseitige Tests gelte folgede Fomel: Die Itumswahscheilichkeit α ist gleich Fomel ud beob α= P( U= ) = fü de liksseitige Test Fomel α= P( U= ) = beob fü de echtsseitige Test. Diese exakte Test (zweiseitige ud eiseitige) emöglicht das Hautogamm diese Dilomabeit (siehe Pogammbescheibug im Kaitel 5.7 ud Notebook im Kaitel 7..9). 39

14 4.4. Aoximatio de Ru-Veteilug duch die Nomalveteilug Fü seh goße Wete vo köe die Quatile de stadadisiete Nomalveteilug geomme wede, da die Ru-Veteilug i diesem Fall gut duch die Nomalveteilug (mit dem Ewatugswet 4..3 ud de Vaiaz 4..4) aoximiet wid. De kitische Wet z ist damit: Fomel z = µ = σ + ( ) ( ) + + ( + ) Damit fällt die Etscheidug fü die Nullhyothese ach dem folgede Kiteium: µ σ < z H α 0 µ σ z α H mitrisikoα wobei z α das Quatil de Nomalveteilug ist. I diese Dilomabeit wid gezeigt, wie gut die Aäheug mit de Nomalveteilug fü veschiedee Wete vo ist. Zahleiche Gahike fü kleie ud goße zeige i de ächste Kaitel die Aoximatio de Ru-Veteilug duch die Nomalveteilug. Die zwei utee Abbilduge zeige allgemei, dass fü goße die Näheug duch die Nomalveteilug viel besse ist als fü gaz kleie. (ote Liie - Kuve de Nomalveteilug, schwaze Liie - Kuve de Ru-Veteilug) Abbildug 4.:Aoximatio de Ru-Veteilug Abbildug 4.:Aoximatio de Ru-Veteilug duch die Nomalveteilug fü =8 duch die Nomalveteilug fü =500 Vegleicht ma u die beide Abbilduge, so eket ma leicht, dass die Kuve de Ru-Veteilug i de echte Abbildug (fü goße ) ähe a de Kuve de Nomalveteilug etlag läuft als bei de like Abbildug (fü kleie ). 40

15 4.5 Testmethode I diesem Kaitel wede zum eie die Klassifizieugsmethode fü de Zufälligkeitstest vogestellt. Zum adee wid de Test zum Vegleich uabhägige Stichobe beschiebe Klassifizieugsmethode fü de Zufälligkeitstest Da die meiste Date icht u zwei Ate vo Beobachtuge habe, ist eie Klassifizieug otwedig. Machmal ka ma die Testdate gleich i zwei Kategoie uteteile, zum Beisiel die Sielkate i ote ud schwaze Kate, die Kide i Mädche ud Jugs usw. (siehe Beisiele aus de Eileitug). Meistes ist abe eie komlizietee Methode efodelich. Eiige vo ihe, die fü diese Dilomabeit efodelich sid, wede i diesem Kaitel vogestellt. Die beide Methode sid alledigs u bei quatitative Date azuwede. Die folgede Klassifizieugsmethode wede duch die Mathematica- Hilfsogamme utestützt. Rus u ad dow -Methode I de Reihe wid jede Beobachtug mit de umittelba folgede Beobachtug vegliche. Ist die ächste Beobachtug göße, begit ei u u (Asteigug), ist sie kleie, ei u dow (Absteigug). Zu weige Asteiguge ud Absteiguge deute auf eie Ted hi. Da mache ebeeiade stehede Zahle i usee Exemel gleich sid, müsse wi de us u ad dow - Test auf zwei Ate duchfühe. Im este Test etsteht die Folge folgedemaße: Nächste Zahl Voheige Zahl 0 Nächste Zahl > Voheige Zahl Im zweite Test bekommt das achfolgede Elemet, das mit dem voige gleich ist, eie Eis ud icht eie Null wie im este Test. Nächste Zahl < Voheige Zahl 0 Nächste Zahl Voheige Zahl 4

16 Diese Vogehesweise wid beim Teste de Schwakuge de Teibstoffeise, Wähugsschwakuge, sowie beim Teste de Zufallszahle eigesetzt (siehe Kaitel 6., 6.3 ud 6.4). Das Klassifiziee vo Beobachtuge ach diese Methode eleichtet das Pogamm us_u_ad_dow_test (siehe Kaitel 5.6. ud 7..7). Methode de geade ud ugeade Zahle Nach diese Methode etsteht die Folge de Eise ud Nulle folgedeweise: Eie geade Zahl bekommt 0 Eie ugeade Zahl bekommt So etstadee Zahlefolge wede auf Zufälligkeit mit dem zweiseitige Ru-Test getestet. Ei Beisiel dazu fidet ma im Kaitel 6.4 bei de Zufallszahle. Das Klassifiziee vo Beobachtuge ach diese Methode macht das Pogamm geade_ugeade_test möglich (siehe Kaitel 5.6. ud 7..8) Zweistichobe-Poblem fü uabhägige Stichobe Wi habe de Ru-Test beeits als eie Test auf Zufälligkeit keegelet. E lässt sich auch fü das Zweistichobe-Poblem fomuliee. Das Zweistichobe-Poblem ka wie folgt beschiebe wede: Es seie zwei uabhägige Stichobevaiable x,..., x m ud y,..., y aus eie Gudgesamtheit mit ubekate (stetige) Veteilugsfuktioe F ud G. De Test soll zeige, dass die beide Stichobe de gleiche Gudgesamtheit etstamme. Die Hyothese beziehe sich auf de Vegleich de beide zugudeliegede Veteiluge des Mekmals. Die aametische Tests (z.b. de t-test) utesuche, ob die Veteilugsfuktioe de beide Stichobe sich duch die Ewatugswete ode Vaiaze utescheide. De ichtaametische Ru-Test üft, ob die aus beide kombiiete ud geodete Stichobe ei bestimmtes Muste hat. Ist die Reihefolge de beide Beobachtuge (z.b. Köegöße de Mädche ud Juge) zufällig, da etstamme die beide Stichobe de gleiche Gudgesamtheit. Piziiell wede hie zwei Mekmale X ud Y uteschiede, dee Veteiluge vegliche wede. Um die Veteiluge miteiade vegleiche zu köe, müsse die Mekmale X ud Y sivoll vegleichbae Göße dastelle. Meist stelle X ud Y dasselbe Mekmal da, alledigs gemesse ute veschiedee Bediguge. 4

17 Ei Beisiel: Im Rahme eie mediziische Utesuchug a Schulafäge solle i eie Goßstadt die Köegöße de 6jähige Mädche ud Juge miteiade vegliche wede. Die Fage ist: Liegt bezüglich de Köegöße bei de Mädche ud Juge dieselbe Veteilug vo? Date Die Beobachtuge x,..., x m ud y,..., y, wobei die Stichobeumfäge uteschiedlich sei köe. Die Stichobevaiable sid uabhägig. Testoblem H : F(z) =G(z) fü alle z 0 H : F(z) G(z) fü midestes ei z R R Teststatistik Wi bilde aus de beide Stichobe die kombiiete, aufsteiged (ode absteiged) sotiete Stichobe ud kezeiche mit 0 bzw., ob es sich jeweils um eie x i - Wet ode eie y - Wet hadelt. j Als Teststatistik wähle wi die Azahl beob de Rus i de kombiiete, geodete Stichobe. ZWEISEITIGER TEST Ute de Nullhyothese ist zu ewate, dass die Eise ud Nulle gut gemischt sid, das heißt icht zu viele Rus ud icht zu weige Rus. Mit adee Wote, die Reihefolge de Beobachtuge aus beide Stichobe ist zufällig. EINSEITIGER TEST Bei bestimmte Zweistichobe-Pobleme ist auch ei eiseitige Test agebacht (siehe Kaitel 6.5). I diesem Fall laute die Alteativhyothese (ach 4..4): a) gleiche Mekmalswete tete zu häufig hiteeiade auf, das heißt, es gibt zu weige Rus, Klumugseffekt - fü de liksseitige Ru-Test, b) die Mekmalswete wechsel zu häufig, das heißt zu viele Rus, Regelmäßige Wechsel - fü de echtsseitige Ru-Test. 43