Das Kollektive Risikomodell II

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1 Semia Vesiheugsisiko ud Rui Pof.D.Haspete Shmidli Das Kollektive Risikomodell II 4.6. Eweiteug de Pae Rekusiosfomel Die (a,b,)-veteilugsklasse. Eie Veteilug gehöt zu (a,b,)klasse,we ihe Wahsheilihkeitsfuktio { } ekusiv duh die Fomel b q a+ q q (4.3) fü,3,4, beehet wede ka,wobei a ud b Kostat sid. Bem: q >. Methode: ull-tukieug Sei{ } eie Wahsheilihkeitsfuktio aus de (a,b,)klasse. Die etspehed p q i de (a,b,)klasse ist q p fü,,3, p. Methode: ull-modifizieug Sei{ } eie Wahsheilihkeitsfuktio aus de (a,b,)klasse. Die etspehed p q i de (a,b,)klasse ist q α p, fü,,3, ud q α mit <α <. p Es gibt vie adee Elemete vo (a,b,)klasse, zwei davo sid Logaithmishe- Veteilug ud eweitete tukieede egative biomialveteilug. Duh die ull-modifizieede Fom vo de beide Veteiluge köe wi die übige zwei Veteiluge estelle,we alle Veteiluge auf positive gazzahl defiiet sid. We die Azhal des Shades zu (a,b,)-veteilugsklasse gehöt ud die Höhe des

2 idividuelle Shades auf atülihe Zahle veteilt ist, da ka ma eie ekusive Fomel fü die Wahsheilihkeitsfuktio des Gesamtshades ableite. Sei b Q q wobei q a+ q fü,,3, Q q q q, + + b Q q + a+ q q+ a q + b q + Q q q q+ a q + q + b q + q aq bq q a+ b q + a q + b q 443 Q Ute Beutzug de Idetität -+ ( ) + a q a q a q 443 a q + aq Q aq + aq Q q ( a+ b) q + aq + ( a+ b) Q Q. Ud PS Q PX P S Q PX P X ( ) ( ) ( ) P S q a+ b q + apx Q PX + a+ b Q PX PX ( ) ( ) q a+ b q PX + apx Q PX PX + a+ b Q PX PX PS PS

3 P q ( a+ b) q P + ap P + ( a+ b) P P S X S X X S (4.4) Die wahsheilihkeitsezeugede Fuktioe vo P ud P sid duh S X k PS gk ud PX f k gegebe. k Die Ableitug ah : P S k gk, P X f ah (4.4) folgt k k k k k gk q ( a+ b) q f + a f k gk + ( a+ b) gk f k k k k k k k gk q ( a+ b) q f + a f k gk + ( a+ b) gk f k k k beide Seite multipliziee mit : Da mahe wi die Koeffizietevegleih: like Seite ist de Koeffiziet vo ehte Seite: de Koeffizie des este Podukts vo gleih de Koeffizie des zweite Podukts vo g gleih q ( a+ b) q f gleih ( ) a f g, fü,,,, de Koeffizie des ditte Podukts vo gleih a+ b f g, fü,,, g q a+ b q f + a f g + a+ b f g ( + ) + + ( ) + ( + ) q a b q f af g a f g a b f g af g q a + b q f + a a + a + b f g b ( af) g q ( a + b) q f + a + f g Da folgt ekusive Fomel fü die Wahsheilihkeitsfuktio des Gesamtshades 3

4 b g q a+ b q f + a+ f ( af ) ( ) g (4.5) fü,,3,... qf Q ( f), f > mit Afagswet g (4.6) q, f ud q > falls q ud f,ist Afagswet P P g X q f Adee Klasse vo Veteiluge Eie Veteilug gehöt zu Shöte Klasse, we ihe Wahsheilihkeitsfuktio { } ekusiv duh die Fomel b p a+ p + p p (4.7) fü,,3, beehet wede ka, wobei a,b ud Kostat sid ud p :. We die Azhal des Shades zu Shöte Klasse gehöt ud die Höhe des idividuelle Shades auf atülihe Zahle veteilt ist, da köe wi wiede eie ekusive Fomel die Wahsheilihkeitsfuktio fü Gesamtshade ableite. Sei b P p wobei p a+ p + p P p p P p +, b P a + p + p b a + p + p fü,,3, a p + b p + p P P 4

5 Ute Beutzug de Idetität -+ a p + a p a p 443 P a p + ap P ap + ap P ap + a+ b+ P (4.8) Ud PS P PX P S P PX P X ( ) ( ) ( ) P S apx P PX + a+ b+ PX P PX PX ( ) PS PS apx P PX P X + a+ b+ PX P PX PX ap P + a + b + P P P (4.9) X S X S X Jetzt defiiee wi die Zufallsvaiable Y als Y X X ( P P P ) Y X X ah (4.9) folgt +,da P P + ( + ) + P S apx P S a b PS P X PS PX PX 4443 ap P + ( a+ b) P P + P P X S S X S Y Die wahsheilihkeitsezeugede Fuktioe vo P Y Y Y P Y ist duh * * gegebe,da ( Y ) ( X X ) f P f * Die Ableitug ah : Die Summefom ist: P P + fü,,, P Y f X 5

6 g a f g a b g k f k k k k k + ( + ) k k * + g k fk k beide Seite multipliziee mit : g a f g a b g k f k k Koeffizietevegleih: k k + ( + ) k k k * + g k fk k like Seite ist de Koeffiziet vo ehte Seite: gleih g de Koeffizie des este Podukts vo gleih ( ) a f g, fü,,,, de Koeffizie des zweite Podukts vo de Koeffizie des ditte Podukts vo gleih gleih a+ b f g, fü,,,, f * g g a f g + a+ b f g + f g * *, fü,,,, afg + a f g + a + b f g + f g af g a f g a b f g f g * Da folgt ekusive Fomel fü die Wahsheilihkeitsfuktio des Gesamtshade b g a f f * af + + g (4.3) fü,,3,... mit Afagswet g P ( f ) 6

7 Diese ekusive Fomel hat eie ahteil, um mit g ehe zu köe muss ma * est { f } beehe. Sei ud uabhägig, i (a,b,)klasse, eie Poissoveteilug ud setze wi 3 + da ist die Veteilug vo 3 i Shöte Klasse. Bew: Fü eie Zufallsvaiable i (a,b,)klasse mit Paamete a α ud b β,da ist die Gleihug (4.5) ist P αp + ( α + β) P ud betahte P α + β P α Aalog fü ~ P( λ ) : P d log P. P d P d λ log P. P d Da fü, So dass, + P P P 3 3 log P log P + log P 3 3 P P 3 P α + β α + β + λ λα + + λ. P P P α α Jetzt betahte wi,dass die Veteilug vo zu Shöte Klasse gehöt, da duh die Gleihug (4.8) folgt P a+ b+. P a Dahe, die Veteilug vo 3 gehöt zu Shöte Klasse,ud die Pametes sid a α, b β + α ud λα. 7

8 Eie Veteilug gehöt zu R Klasse, we ihe Wahsheilihkeitsfuktio k { p} k bi ekusiv duh die Fomel p ai + p i i beehet wede ka, k wobei { },{ b } k ai i i i ( p :,falls <) Kostat ud k eie positive gazezahl sid. 4.7 Vewedug de Rekusiosfomel 4.7. Disketisieugsmethode Um die Rekusiosfomel awede zu köe,esetze wi die stetige Veteilug duh die diskete Veteilug..Methode Sei F eie stetige Veteilug mit F(), die etspehed disketisiete Veteilug mit Wahsheilihkeitsfuktio{ h } ka ma duh estellt wede. Daaus folgt: h F F (4.3) fü,, H h F Fü alle, H F s.d H eie utee Shake vo F ist. Aalog köe wi eie disketisiete Veteilug H % estelle, die eie obee Shake vo F ist. Fü alle : H( ) F( ) H % ( ).Methode Eie alteative Methode ist die Momete de diskete ud stetige Veteilug zu messe. Z.B 8

9 Wi defiiee eie Wahsheilihkeitsfuktio { h } ˆ mit de Veteilugsfuktio Ĥ fü die gilt,dass. Hˆ hˆ F y dy (4.3) + We X~ F ud Y~ Ĥ da gilt: [ ] ( F( y) ) E X + ( F ( y) ) EY [ ] Hˆ dy dy De Ewatugswet bleibt ehalte. Obwohl wi bishe auf gazzahle disketisiee,gilt die Methode auh fü,z,z,,wobei z eie beliebige Zahl ist. Sei Zufallsvaibale S d als eie zusammegesetzte Poisso-Veteilug mit Poisso Paamete λ ud disketisiete Veteilug de Höhe des idividuelle Shades mit Pa( α, k ( α )) ist. Da ist S d diskete Zufallsvaibale dee Wahsheilihkeitsfuktio mit Hilfe de Pae Rekusiosfomel beehet wede ka.die Veteilugsfuktio vo S ka gefude wede sofe gilt,dass ( P S P ks k P Sd k ) Die Qualität diese Appoimatio hägt vo de Wahl vo k ab. Je göße k,desto besse ist die Appoimatio umeishe Awedug umeishe Übelauf iht alle Rekusiosvoshifte sid stabil,d.h de Rudugsfehle köte ah eiige Shitte so göße sei,dass Edegebiss keie Si maht. Die Pae Rekusiosfomel ist fü Poisso od. egative-biomialvteilte 9

10 Shadezahl stabil, edoh iht fü Biomialveteilug. umeishe Utelauf We de Afagswet eie Rekusive Beehug so klei ist,dass diese vom Compute als ull aufgefasst wid,so wüde die Rekusiosvoshift est g liefe,ud da g, usw. Um dieses Poblem zu vemeide,ka ma eie willkülihe Wet (ZB: g ) g setze,ud ehet ekusiv weite. Diese willkülihe Wet ka duh geeigete Skalieug ehalte wede.(zb: duh fahe Kalkulatio mit g ) 4.8 Appoimative Beehug de Gesamtshadeveteilug 4.8. Die omal-appoimatio We wi de Ewatugswet ud die Vaiaz vo S kee, appoimiee wi die Veteilug vo S duh die omalveteilug mit gleihe Ewatugswet ud gleihe Vaiaz. Bsp: S hat eie zusammegesetze Poissoveteilug mit Poisso Paamete λ ud de Höhe des idividuelle Shades,die Logomalveteilug mit Ewatugswet ud Vaiaz.5 ist. Wi suhe de Wet mit P(S ).95 Beh: (a) 8.3we λ (b) 6. we λ Bew: E[ S] ist ( λ,.5 λ ). λ ud Va [ S].5λ,da die appoimiete Veteilug vo S Daduh, P λ S P Z wobei Z (,)..5λ Mit Hilfe die Tabelle vo stadad omalveteilug wisse wi P(Z.645).95

11 λ λ λ, 8.3 ud λ, 6. Voteile: -weig Ifomatioe -eifahe Awedug -agemessee Aäheug we die Shadezahl seh goß ist ahteile: - P(S<) > -die Appoimatiosveteilug ist symmetish, higege ist die ehte Veteilug omaleweise vezet. -die Appoimatio eigt dazu de tail zu uteshätze Die veshobee Gamma- Appoimatio Eie Shwähe vo omal-appoimatio ist,dass sie auf de este zwei Momete vo S basiet. Die veshobee Gamma-Appoimatio bewältigt diese ahteil, idem sie auf de este dei Momete vo S basiet. Die Veteilug vo S wid duh die Veteilug vo Y+k appoimet,wobei Y~ γ ( αβ, ) ud k kostat ist. Die paametes α, β ud k wede duh folgede Gleihuge bestimmt. [ ] Sk S (4.33) α [ ] V S E[ S] α β (4.34) α + k (4.35) β Bsp: die Vaiable S hat gleihe Voaussetzug wie obige Beispiel,u vewedet ma die veshobee Gamma-Appoimatio ud bestimmt. Beh: (a) 9.59 we λ

12 (b) 7.7 we λ Bew;. Shitt: Zuest bestimme wi dei Momet vo Logomalveteilug m ep{ μ σ } +, m {.5 ep μ + σ } s.d μ.458 ud.957 σ folgt m 9 3 { μ σ } ep ah (4.33) gilt : λm ( λm ) 3 3 4λm α α m 3 3 α m ah (4.34) gilt : λm β β m 3 α ah (4.35) gilt : λm + k s.d β m λ α β λ 3 k m m m We λ,α.56, β.3 ud k., setze SY+k, Y γ (α, β ) ud ehalte wi P ( S P Y k),da ka ma duh eie Softwae (ZB: speadsheets) die ivese vo Gammaveteilug beehe. P ( Y 7.59).95 folgt 9.59 We λ,α 5.6, β.3 ud k.,da P ( Y 7.7) Voteile: -beahtet die Vezeug vo die Veteilug vo S. -eifah zu implemetieede Aäheug -hevoagede Appoimatio. ahteile: -meh Ifomatio als omal-appoimatio. -P(S<)