Klassifizierung der Verteilungen. Streuung der diskreten Verteilung

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1 Wichtigste Verteiluge der Biostatisti Disrete Zur Erierug Klassifizierug der Verteiluge Kotiuierliche Disrete Gleichverteilug Kotiuierliche Gleichverteilug Biomialverteilug Normalverteilug Poisso Verteilug Chi-Quadrat Verteilug... t-verteilug (Studet-Verteilug)... disrete Zufallsgröße otiuierliche Zufallsgröße zb: zb: Azahl der Krae, Blutdruc, Augezahl der Würfel Körerhöhe,... László Smeller / Disrete Gleichverteilug Streuug der disrete Verteilug Zur Erierug P() Wahrscheilicheitsverteilug /6 5 6 Es sei X eie disrete Zufallsgröße mit Werte x,x,... ud mit Erwartugswert μ. Da et ma die Zahl Var( X ) ( xi i μ) P( x ) i Lagearameter der disrete Verteiluge: Erwartugswert (μ) x μ als Variaz vo X, ihre Wurzel als (theoretische) Streuug (σ). s σ Stadardabweichug theoretische Streuug

2 Erwartugswert ud Streuug der Gleichverteilug x i,,, P(x i )/ ( + ) + ( ) μ xip xi i i i i i σ zb: Würfel: 6 μ,5 σ 5/,9.. σ,7.. Erwartugswert Wert was mit größte Wahrscheilicheit vorommt! Biomialverteilug (Eiführug mit Beisiel) Blutgrueexerimet: Geoty: Wahrscheilicheit: Pheoty Wahrscheilicheit: I A I A, / I A i, / A / I A i? I A i Nee wir als Erfolg (E) we das Kid eie Glutgrue vo hat ud Miserfolg (Ē) we seie Blutgrue icht ist. (E)/ (Ē)/ (E)+(Ē) Die Familie hat Kider. Was ist die Wahrscheilicheit, dass Kider die Blutgrue habe? ii A, / ii / / Für (),75(Ē) (),5(E) Für (),75, (),75,5+,5,75.75 (),5,5.65 Für [Hausaufgabe!!!] (,565+,75+,65) Allgemei: Sei: (E) (Ē) Erfolge i Exerimete Wie viele Reihefolge gibt es? Biomialverteilug: Beroulli-Exerimet Ei Zufallsexerimet wird -mal wiederholt. ( Stufe) Das Exerimet hat zwei mögliche Ausfälle: E (Erfolg) Ē (Mißerfolg) Die Wahrscheilicheit für E ist: P(E), für P(Ē), +. Die Wahrscheilicheit für das Eitrete des betrachtete Ereigisses E ist i jedem Eizelversuch gleich. I jedem Eizelversuch ist das Ergebis uabhägig vo de Ergebisse aller adere Versuche. zb: 7-maliges Werfe eies Würfels: {,,, 6,,, } E etsricht Augezahl 6. /6 7 zb: 6% der Patiete habe Grie. Heute omme Patiete.,6

3 ... Biomialverteilug: Defiitio Biomialverteilug: Wahrscheilicheit daß wir bei eiem -mal wiederholte Exerimet (-stufige Beroulli Exeriet) geau -mal Erfolg habe, als Futio vo. P Biomialverteilug ud das Beroulli-Exerimet Kombiatori: Solle Objete i beliebiger Reihefolge aus Objete ausgewählt werde, ergebe sich: ( )... ( + )!...!( )! Möglicheite, wobei!... (-). (Kombiatio aus Elemete zur Klasse ohe Widerholug) zb: E ĒĒ ĒE Ē ĒĒE!!!,75,5,5 Biomialverteilug der Blutgrueexerimet,75,5,5 / / ( E) Biomialverteilug

4 Biomialverteilug: Beisiel des Müzeexerimetes Biomialverteilug: Beisiel des Würfelexerimetes Zwei Müzeexerimete: E (Erfolg) etsricht Zahl / / / / () ( ) () Für / vereifacht sich: + + Drei Würfelexerimete E (Erfolg) etsricht Augezahl 6. E Ē Ē ĒE Ē Ē Ē E Ē E E E Ē E E E Ē /6 5/6 ()() ()() ()() ()() Biomialverteilug Poisso Verteilug: Defiitio λ λ λ e! Es ist eie gute Näherug für großes ud leies Schätzug der selteer Ereigisse < / / > / rechtsschief symmetrisch lisschief zb: Die Wahrscheilicheit dass de Postma ei Hud i beißt, sei,/jahre. Wie groß ist die Wahrscheilicheit dass er währed 5 Jahre,, -mal gebisse wird? Die Wahrscheilicheit dass ei zerfallsfähiger I Atom i eier Seude zerfällt beträgt 6. Wie groß ist die Wahrscheilicheit das i eie Seude,,, aus der 7 Atome zerfalle?

5 Poisso Verteilug: Beisiel Die Wahrscheilicheit dass de Postma ei Hud i eiem Jahr beißt, sei,. Wie groß ist die Wahrscheilicheit dass er währed 5 Jahre,, 5-mal gebisse wird? λ, 5 Die Wahrscheilicheit dass de Postma ei Hud i eiem Moat beißt, sei,. Wie groß ist die Wahrscheilicheit dass er währed 5 Jahre (5x Moate),, -mal gebisse wird? λ, 5 Die Wahrscheilicheit dass de Postma ei Hud i eiem Tag beißt, sei,. Wie groß ist die Wahrscheilicheit dass er währed 5 Jahre (5x6595 Tage),, 95-mal gebisse wird? Poisso Verteilug: Beisiel Die Wahrscheilicheit dass de Postma ei Hud beißt, ist,/jahre. Wie groß ist die Wahrscheilicheit dass er währed 5 Jahre,, -mal gebisse wird? Biomialverteilug λ λ λ e e!! e e!.98 e e.9! 9 e e.! 9 e e,! 7 e e.68! Poisso Verteilug λ Erwartugswert ud Streuug der Biomialverteilug Erwartugswert: μ Tritt ei bestimmtes Ergebis mit Wahrscheilicheit ei, so habe wir bei -maliger Widerholug etwa solcher Ereigisse zu erwarte. Theoretische Streuug: σ ( ) zb: Drei Würfelexerimete: /6 μ/ σ

6 Erwartugswert ud Streuug der Poisso-Verteilug Erwartugswert: Variaz: Theoretische Streuug: σ μλ Var(X)λ Eie Verteilug, wo der Erwartugswert ud die Streuug icht uabhägig sid! λ Geometrische Verteilug Mit welcher Wahrscheilicheit tritt ei Erfolg i eier Serie vo Beroulli- Exerimete bei de -te Widerholug zum erste Mal ei. Beisiel.: Ei Eheaar wollte eie Kabe habe. Mit welcher Wahrscheilicheit wir der erste Kabe der -te id sei? Beisiel.: Bei eier i-vitro Fertilisatio sei die Wahrscheilicheit des Erfolges (d.h. Schwagerschaft) /. Mit welcher Wahrscheilicheit brauche wir, Versuche bis ei Schwagerschaft eitritt? P( ) P() Geometrische Folge Kummulative Wahrscheilicheitsverteiluge Wahrscheilicheitsverteilug Kummulative Wahrscheilicheitsverteilug Biomialverteilug I eiem Dorf lebe Eiwoher. Eie Kraheit ommt mit eier Wahrsceilicheit vo, vor. (Uabhagigeit!) Azahl der Eiwoher mit dieser Kraheit.