1 Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeit

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1 Wahrscheilicheitsrechug ud Statisti - Formelsammlug (Revisio : powered by LATEX Seite 1 vo 11 1 Ereigisse ud ihre Wahrscheilicheit 1.1 Kombiatori Sachs S. 66 Art der Auswahl bzw. Zusammestellug Azahl der Möglicheite vo aus Elemete ohe Wiederholuge mit Wiederholuge ( ( Permutatioe P =!( = P ( =!! Kombiatioe Variatioe C ( V ( = ( =! ( C ( V ( = ( + 1 = ( mit TR: Cr(, E Kombiat(, De Permutatioe: Gegebe seie verschiedee Objete. Da gibt es! verschiedee Reihefolge i dee ma diese Objete aorde a. z.b.: x, y, z; x, z, y; z, y, x;... Kombiatio: Gegebe seie verschiedee Objete. Da gibt es ( Möglicheite, daraus Objete auszuwähle, we es icht auf die Reihefolge aommt. z.b.: Wie viele verschiedee Möglicheite hat ma beim Lotto, 6 Zahle aus 49 auszuwähle? Variatio et ma eie Auswahl vo Elemete aus verschiedee Elemete uter Beachtug der Reihefolge 1. Wahrscheilicheit Wertebereich: 0 P (A Recheregel omplemetär Ereigis: P (Ā = P (Ω \ A = 1 P (A Sicheres Ereigis: P (Ω = 1 umögliches Ereigis: P ( = 0 Differez der Ereigisse A ud B: P (A \ B = P (A P (A B Vereiigug zweier Ereigisse: P (A B = P (A + P (B P (A B 1.3 Laplace-Ereigisse Sript S. 9 Sachs S. 79 I eiem edliche Wahrscheilicheitsraum Ω habe alle Elemetarereigisse die gleiche Wahrscheilicheit. P (A = A Ω 1.4 Uabhägige Ereigise Sript S. 1 Sachs S. 83 Uabhägige Ereigisse A ud B liege vor, we: P (A B = P (A ud P (B A = P (B erfüllt ist. Für sie gilt P (A B = P (AP (B Die Tatsache, dass A eigetrete ist, hat eie Eifluss auf die Wahrscheilicheit vo B. 1.5 Bedigte Wahrscheilicheit Sript S. 19 Sachs S. 85 Die Wahrscheilicheit für das Eitrete des Ereigisses A uter der Bedigug, dass das Ereigis B bereits eigetrete ist. P (A B = P (A B P (B P (A P (B = = P (A P (B }{{} ur we uabhägig 1.6 Satz vo Bayes Sript S. 6 Sachs S. 89 P (B A = P (A B P (B P (A 1.7 Totale Wahrscheilicheit Sript S. 6 Sachs S. 88 P (A = N P (A G i P (G i i=1 F. Brau, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. Arold, S. Ferretti 0. Jauar 009

2 Wahrscheilicheitsrechug ud Statisti - Formelsammlug (Revisio : powered by LATEX Seite vo 11 Erwartugswert ud Variaz.1 Erwartugswert Sript S. 45 Sachs S. 101 Sei X eie Futio auf Ω, ud lasse sich Ω i edlich viele Ereigisse, auf dee X(ω ostat ist, A i zerlege, da ist der Erwartugswert vo X Erwartugswert = W ert W ahrscheilicheit E(X = X(A i i=0 }{{} Wert P (A i }{{} W eit.1.1 Recheregel E(X + Y = E(X + E(Y E(λX + µ = λ E(X + µ E(XY = E(X E(Y λ, µ R we X,Y uabhägig sid. Variaz Sript S. 53 Sachs S. 106 var(x = σ = E[(X E(X ] = E(X E(X..1 Kovariaz Sachs S. 49 cov(x, Y = E(XY E(XE(Y = 0 }{{} falls X,Y uabhägig.. Recheregel var(λx = λ var(x λ, µ R var(x 1 + X + {... + X var(x var(x + var(y (X,Y uabh. var(x + Y = var(x + var(y + cov(x, Y (X,Y abhägig var(xy = var(y var(x + var(y E(X + var(xe(y.3 Erwartugswert ud Variaz des arithmetische Mittels Sript S. 58 Es sei eie folge vo uabhägige Zufallsvariable X 1, X,..., X mit gleichem Erwartugswert µ ud gleicher Variaz σ gegebe. Mittelwert: M = X1+...+X Erwartugswert: E(X = E(M Variaz: var(m = 1 var(x.4 Regressio Sript S. 60 Sachs S. 60, 141 Allgemei: X,Y Zufallsvariable Gesucht: Regressiosgerade y = ax + b mit mi. Fehler Fehler: E(Y (ax + b = 0 Regressiosoeffiziet r r ist ei Mass für die Qualität der Regressio (stadardisiert r cov(x, Y = var(xvar(y Mittlerer quadratischer Fehler = var(y (1 r cov(x, Y = var(y (1 var(xvar(y Berechug mit Tascherecher (TI-89, V-00 Vorbereitug: {x 1,..., x } l1; {y 1,..., y } l; LiReg l1,l Azeige vo Werte mit ShowStat Azeige des Graphs mit reqeq(x y1(x; NewPlot 1,1,l1,l Vorgehe: mit Fehlerberechug 1. Tabelle mit beate Werte aufstelle: x x y y xy 1 x 1 x 1 y 1 y1 x 1 y x y y y x y x x y y x y E x x y y. Variaze, Kovariaz bereche: var(x = E(X E (X var(y = E(Y E (Y cov(x, Y = E(XY E(XE(Y x y 3. Koeffiziete ud Fehler der Gerade bereche: a = cov(x, Y cov(x, Y = var(y (1 var(x var(xvar(y b = E(Y ae(x 4. Gerade: y = ax + b.5 Satz vo Tschebyscheff Sript S. 57 P ( X E(X > ε var(x ε Wahrscheilicheit, dass X um mehr als ε vom Erwartugswert E(X abweicht. F. Brau, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. Arold, S. Ferretti 0. Jauar 009

3 Wahrscheilicheitsrechug ud Statisti - Formelsammlug (Revisio : powered by LATEX Seite 3 vo 11 3 Wahrscheilicheitsverteilug 3.1 Verteilugsfutio Sript S. 69 Sachs S. 93 (disret, 97 (otiuierlich disret otiuierlich P (X x = F (x = x p P (X x = F (x = = P (X > x = 1 P (X x P (X > x = 1 P (X x P (a X b = F (b F (a = Eigeschafte b =a x ϕ( xd x p P (a X b = F (b F (a = b a ϕ( xd x D(F = R W(F [0, 1] F ( = 0 F ( = 1 F (x ist mooto steiged 3. Wahrscheilicheitsdichte Sachs S. 97 ϕ(x = F (x Bei Sprugstelle vo F(x: ϕ(x = Dirac mit Gewichtug der Sprughöhe Dichtefutio oder Wahrscheilicheitsdichte 3..1 Erwartugswert E(X = x ϕ(xdx E(X = x ϕ(xdx E(X N = x N ϕ(xdx 3.3 Recheregel für ϕ ud F Sript S. 8 Gegebe: X, Y Zufallsvariable ϕ X, ϕ Y beat Verteilugsfutio: Dichte: F X+a (x = F X (x a ϕ X+a (x = ϕ X (x a F λx (x = F X ( x λ ϕ λx(x = ϕ X ( x λ 1 λ F X+Y (x = F X ϕ Y (y = F Y ϕ X (x ϕ X+Y (x = ϕ X ϕ Y (x F X (x = F X(x F X (x = F X ( x ϕ X (x = xϕ X(x ϕ X (x = 1 x 1 ϕ X ( x Algorithmus Bsp. 1. Defiitio vo F awede: F λx (x = P (λx x }{{}. Bedigug * umforme: P (X x λ = F X( x λ d 3. für Dichte: dx ϕ λx (x = d dx F λx(x = d dx F X( x λ = ϕ X( x λ 1 λ 3.3. Maximalwert eies Itervalls Sript S. 15 X 1,... X i sid auf dem Itervall [0, l] mit F X (x verteilt M=max{X 1,..., X i } F M (x = F X (x 3.4 Normalverteilug Sript S. 93 Sachs S. 10 Viele leie, uabhägige Zufallsvariable sammel sich zu eier ormalverteilte Zufallsvariable. ϕ(x = 1 πσ e (x µ σ = N(µ; σ x F (x = 1 πσ e ( x µ σ Stadardisierug Erwartugswert: E(X = µ (=0 bei Stadardormalver. Variaz : var(x = σ (=1 bei Stadardormalver. x = X µ σ x aus Tabelle Dichtefutio (obe ud Verteilugsfutio (ute der Normalverteilug. 68% der Werte liege im Itervall [µ σ, µ + σ], 95% i [µ σ, µ + σ], 99.7% i [µ 3σ, µ + 3σ] F. Brau, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. Arold, S. Ferretti 0. Jauar 009

4 Wahrscheilicheitsrechug ud Statisti - Formelsammlug (Revisio : powered by LATEX Seite 4 vo Zetraler Grezwertsatz Sript S. 99 Sachs S. 17 X 1, X,..., X sid lauter idetisch verteilte (icht otwedig ormalverteilt! uabhägige Zufallsvariable mit demselbe Erwartugswert µ ud derselbe Variaz σ. Da hat die Summe (S = i=1 X i de Erwartugswert µ ud die Variaz σ. Die damit verbudee stadardisierte (E(X = 0, var(x = 1 Variable Z ist somit wie folgt defiiert: Z = S µ σ = X µ σ/ Für strebt die Verteilug vo Z gege die Stadardormalverteilug. 3.6 Expoetialverteilug Sript S. 88 Zur Ermittlug der Dauer vo zufällige Zeititervalle ohe Gedächis (W eit, dass X i der ächste Miute defet geht = cost.. Beispiele : Lebesdauer vo Atome beim radioative Zerfall Lebesdauer vo Bauteile, Maschie & Geräte (MTBF - Mea Time Before Failure = 1 λ Dichtefutio ud Verteilugsfutio { λe λx x 0 ϕ(x = 0 x < 0 { 1 e λx x 0 F (x = 0 x < 0 Erwartugswert ud Variaz E(X = 1 λ var(x = 1 λ Dichtefutio (obe ud Verteilugsfutio (ute der Expoetialverteilug. 3.7 Hypergeometrische Verteilug Sript S. 11 Sachs S. 117 Ist die Wahrscheilicheit dass i eier m Elemete umfassede Stichprobe aus eier Grudgesamtheit vo Elemete, vo dee r eie spezielle Eigeschaft besitze, Elemete mit der Eigeschaft ( zu fide sid. r r p( = P (X = = ( m ( für 0 r ud m Erwartugswert: E(X = m r r( r( m Variaz: var(x = m ( 1 Beispiel: Lotto, = 45 Zahle, ( r = 6 (die gezogee Zahle, m = 6 (meie Zahle 6 39 P (X = 4 = P (EiV ierer = 4( = ( 45 6 F. Brau, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. Arold, S. Ferretti 0. Jauar 009

5 Wahrscheilicheitsrechug ud Statisti - Formelsammlug (Revisio : powered by LATEX Seite 5 vo Poissoverteilug Sript S. 113 Sachs S. 115 P λ ( = λ! e λ Erwartugswert: Variaz: E(X = λ var(x = λ Awedug der Poisso-Verteilug: für die Häufigeite selteer Ereigisse. Azahl Arufe bei eier Telefozetrale i eier gewisse Periode. Azahl grosse Versicherugsschäde i eier gewisse Periode. Azahl Jobs, die bei eiem Server aomme. Azahl Ereigisse i eiem Zeititervall. Azahl Loomotive der SBB, die i der ächste Woche eie Defet habe. Azahl der Gewier mit 4 Richtige im Lotto. 3.9 Biomialverteilug Sript S. 109 Sachs S. 11 Wird agewedet bei eiem Experimet mit ur zwei Ausgäge (Ereigis mit W eit p tritt ei, Ereigis tritt icht ei. Eie Zufallsvariable mit disrete Werte {0,..., } heisst biomialverteilt zum Parameter p, we die Wahrscheilicheit des Wertes wie folgt ist: ( X = Bi(; p = p (1 p µ = E(X = p σ = var(x = p(1 p : Versuche : -mal erfolgreich p: Wahrscheilicheit Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheilicheit, dass bei 350 Leute geau ( 350 heute Geburtstag habe? P ( = ( ( ( Gleichverteilug Stetig Sript S. 85 Disret Sript S. 108 Erwartugswert: E(X = a+b Erwartugswert: E(X = +1 Variaz: var(x = (b a 1 Variaz: var(x = Schätze Sachs S Kosistete Schätzer Sript S. 11 Sachs S. 136 Ei Schätzer ist osistet, we lim = E(X ergibt Der Mittelwert der Stichprobe ist ei osisteter Schätzer. lim = X1+...+X = E(X Der Schätzer X = X1+...+X heisst der Stichprobemittelwert der Stichprobe X 1,..., X. Mit Tascherecher: X: mea({x1,..., X i } 4. Erwartugstreue Schätzer Sript S. 11 Sachs S. 136 Ei Schätzer ist erwartugstreu, we E(Schätzer = E(realer Wert Ist der Stichprobemittelwert ei osisteter E(µ(X 1,..., X = E(X1+...+E(X = E(X Schätzer, aber er ist sogar erwartugstreu: Erwartugstreue Schätzer für var(x ist: S = 1 1 ( Xi 1 ( X i Stichprobevariaz, empirische Variaz S = 1 1 (X i X X = M heisst Stichprobemittelwert i=1 Mit Tascherecher S : variace({x 1,..., X i } S: stddev({x 1,..., X i } 4..1 Kleistmöglicher Fehler E((E(X x1+...+x = miimal F. Brau, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. Arold, S. Ferretti 0. Jauar 009

6 Wahrscheilicheitsrechug ud Statisti - Formelsammlug (Revisio : powered by LATEX Seite 6 vo Maximum Lielihood Schätzer Sript S. 13 Si des Lielihoodschäzers ist eie ubeate Parameter ϑ eier Dichtefutio f(x, ϑ zu schätze. L(x 1,..., x ; ϑ = p(x 1, ϑ... p(x, ϑ = d dϑ L(x 1,..., x ; ϑ = 0 = ϑ =? (Maximum-Lielihood-Schätzer (x i ϑ 1 Für eie ormalverteilte Grösse lautet die Lielihood Futio: L(x 1,..., x ; ϑ = 1 ( π e σ i=1 Der ubeate Parameter ϑ a u durch suche des Maximums der Futio ermittelt werde (ϑ wird variert. Die Futio wird maximal, we die Summe im Expoet miimal wird. Das ϑ, das die Summe miimiert, a durch ableite ach ϑ ud ull setze ermittelt werde. Es öe auch Stichprobevariaz S oder Ähliches ermittelt werde. 4.4 t-verteilug Sript S. 13 Sachs S. 150 Der Mittelwert ( x1+...+x ormalverteilter Date ist t-verteilt, we die Variaz mit der Stichprobevariaz geschätzt wurde. Ab eier gewisse Azahl Messuge ( 30 a äherugsweise auch wieder mit der Normalverteilug gerechet werde. +1 Γ( Die Wahrscheilicheitdichte der t-verteilug ist: ϕ t (t = +1 πγ( (1 + t ( X µ Falls Verteilug beat ist, fide t so dass P t = 1 α Checliste 1 X, S als Schätzuge vo µ, σ ermittel t aus t-tabelle [ ( = 1 für α = Fehlerw eit 3 Itervall X t S, X ] + t S, (1 α Kofidezitervall S/ [ µ X t S, X ] + t S 4.4. Awedug X µ S/ t-verteilt Beispiel: Fide t: lim = 0 aber lagsamer wie bei Gaussverteilug x 10 Messuge ergebe Durchschittswert 4,7 ud eie Stadardabweichug 0,1. Fide ei 99% Kofidezitervall für µ. = , ,498 [ X 3, 498 S, X ] [ ] + 3, 498 S 4,7 3,498 0,1 10, 4,7 + 3,498 0,1 10 µ [4,507, 4,808] mit Wahrscheilicheit 99% 4.5 Kofidezitervall Sript S. 131 Sachs S. 146 Ei Itervall [L(X 1,..., X, R(X 1,..., X ] heisst ei 1 α- Kofidezitervall für de Parameter ϑ, we der wahre Wert des Parameters ϑ höchstes mit Wahrscheilicheit α ausserhalb des Itervalls liegt. F. Brau, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. Arold, S. Ferretti 0. Jauar 009

7 Wahrscheilicheitsrechug ud Statisti - Formelsammlug (Revisio : powered by LATEX Seite 7 vo 11 5 Hypothesetest Sachs S Grudsätze - Ma braucht Aussage, die ma widerlege öte. - Irrtum ist möglich (Irrtumsw eit α - Beweis durch Widerlege des Gegebeweises 5. Vorgehe 1. Hypothese, die der Test Widerlege soll. Irrtumsw eit α = 0.05, 0.01,... (Niveau=1-α 3. Testgrösse T, W eitsverteilug 4. Bestimmug der Schrae t für: P ( T E(T > t = α 5. Falls Messuge ergebe T E(T > t = Hypothese falsch mit W eit 1- α 5.3 χ -Test - Teste eier Wahrscheilicheitsverteilug Sript S. 139 Sachs S. 174 χ = Z Z r (Z r sid stadardormalverteilt = χ -Verteilug mit r-freiheitsgrade Durchführug des χ -Tests Teilitervalle: I i, i = 1,..., Wahrscheilicheit: P (X I i = p i Beobachtuge, davo jeweils i im Itervall i ( = i ( i p i p i D = i x r 1 e x ϕ (x = r Γ ( r x > 0 0 x 0 E(X = r; var(x = r 1. Klasse bilde: Gross geug, dass mehrere Beobachtuge i jede Klasse falle. (erste ud letzte Klasse öe breiter sei Faustregel: i 5; : Azahle der Klasse. Disrepaz D bereche i 1 Itervall p i i ( i p i /p i D = 3. Schwellewert für D aus χ 1-Tabelle lese. (Azahl Freiheitsgrade= Azahl Klasse 1 = 1 p = 1 α α =Irrtumswahrscheilicheit D D 1 α Hypothese ist uwahrscheilich! D < D 1 α Hypothese icht wiederlegbar! D D α Date möglicherweise fabriziert! Nachteile: -Grob verpixeltes Bild der Verteilug -we weig Messwerte = gerige Aussageraft ist χ 1, mit 1 Freiheitsgrade F. Brau, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. Arold, S. Ferretti 0. Jauar 009

8 Wahrscheilicheitsrechug ud Statisti - Formelsammlug (Revisio : powered by LATEX Seite 8 vo Kolmogorov-Smirov Test Sript S. 141 Idee: Date: Vergleiche Verteilugsfutioe (statt der Dichtefutioe X Zufallsvariable, Verteilugsfutio F x, Messuge ergebe Stichprobe x i F x theoretische Verteilugsfutio empirische Verteilugsfutio Azahl{xi x} K + = max F x (x - F emp (x K = max F emp (x-f x (x Sei X1,..., X sei eie Stichprobe eier Zufallsvariable X. Der Kolmogorov- Smirov-Test auf dem Niveau α für die Hypothese, dass X die Verteilugsfutio F hat wird wie folgt durchgeführt: 1. Bereche K + = max <x< (F (x F (x. Fide t,1 α i der Tabelle 3. Falls K + > t,1 α, verwerfe die Hypothese, dass X die Verteilugsfutio F hat. 6 Wichtige Formel 6.1 Reiheetwicluge Geometrische Reihe Biomialreihe E-Futio =0 x = 1 1 x x =0 =0 =0 =1 x < 1 = x x 1 x = (1 x x 1 ( α x = (1 + x α x ( 1, 1 x! = e x F. Brau, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. Arold, S. Ferretti 0. Jauar 009

9 Wahrscheilicheitsrechug ud Statisti - Formelsammlug (Revisio : powered by LATEX Seite 9 vo 11 7 Übugsverzeichis Titel Übugsummer χ -Test 14.1 Aubrad 3.3 Auto-Ziege-Problem 4. Betrag verdoppel bei Kopf 5.4, 6. Blac Jac 4.4 Blutgruppe 14.3 Bredauer Verzögerugselemet 7.3 Dügemittel (Ertragssteigerug 13. Erwartugstreuer Schätzer 1.1 Erwartugswert bereche 5., 5.3, 5.4, 6.3, 6.4, 7.1, 7. Expoetialverteilug 8.3, 11. Fairesstest 9.1, 13.3 Faltug vo Verteiluge 10.4 Glücsrad.1 Google-Matrix 4.1 Herstellerwere 4.3 Hypergeometrische Verteilug 5.1 Hypothesetest 13, 14.3 Kodesatore & Toleraze 10.3 Kofidezitervall 13.1 Kosisteter Schätzer 1.1 Lebesdauer v. Bauteile 9. Marsmäche mit Pustel 3.1 Maximum Lielihood-Methode 1., 1.3 Mote Carlo Methode.3 MTBF (Mea Time Before Failure 9. Multiple Choice Test.4 Müze (Fairess 9.1 Müze werfe bis Kopf ommt 6.3, 8.1 Nachommastelle mit Müze ermittel 8. Normalverteilug 11.1, 13. Poissoverteilug 6.4 Rausche 11.3 Regressiosgerade 7.3 Roulettetisch bis 1. Null ommt 6.3 Satz vo Bayes 3.1 Schätzer 1.1 Stadardormalverteilug 10., 11.1 Studetebefragug 5.1 t-verteilug 13.1 Test ob Gleichverteilug 14.5 Test ob Normalverteilug 14.4 Totale Wahrscheilicheit 3.3, 4.3 Tschebyscheff 7.1, 7. Uabhägigeit vo Ereigisse 3. Variaz bereche 6.1, 6.4, 7.1, 7. Verteilugsfutio bestimme 8.1, 8., 8.4, 10.1 Wahrscheilicheitsdichte 10.1 Webseitestatisti 13.4 Wetterdate 13.1, 14.4 Widerstäde & Toleraze 10. Widerstadsrausche 11.3 Würfel (Fairess 13.3 Würfel bis eie 6 gewürfelt wird 6.3 Ziege-Auto-Problem 4. F. Brau, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. Arold, S. Ferretti 0. Jauar 009

10 Wahrscheilicheitsrechug ud Statisti - Formelsammlug (Revisio : powered by LATEX Seite 10 vo 11 8 Tabelle c Prof. Dr. Adreas Müller 8.1 Quatile der Normalverteilug p x Verteilugsfutio der Normalverteilug x Quatile für de Kolmogorov-Smirov-Test p = 0.01 p = 0.05 p = 0.1 p = 0.5 p = 0.5 p = 0.75 p = 0.9 p = 0.95 p = F. Brau, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. Arold, S. Ferretti 0. Jauar 009

11 Wahrscheilicheitsrechug ud Statisti - Formelsammlug (Revisio : powered by LATEX Seite 11 vo Quatile der t-verteilug = Quatile der χ -Verteilug = 1 p = 0.01 p = 0.05 p = 0.1 p = 0.5 p = 0.5 p = 0.75 p = 0.9 p = 0.95 p = F. Brau, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. Arold, S. Ferretti 0. Jauar 009