Freie Universität Berlin. Fachbereich Mathematik/Informatik. Stochastik I WS 2011/12. Mitschrift von: Moritz Hoffmann (

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1 Freie Uiversität Berli Fachbereich Mathematik/Iformatik Stochastik I WS 2011/12 Mitschrift vo: Moritz Hoffma ( cloker@googl .com ) Vorlesug vo: Bemerkug: Prof. Dr. Carste Hartma Eie Garatie auf Richtigkeit oder Vollstädigkeit wird icht überomme!

2 Ihaltsverzeichis Ihaltsverzeichis Ihaltsverzeichis 1 Grudbegriffe Systeme vo Ereigisse Wahrscheilichkeitsräume diskrete Wahrscheilichkeitsräume Hypergeometrische Verteilug Wahrscheilichkeitsräume mit Dichte Bedigte Wahrscheilichkeite Uabhägigkeit mehrerer Ereigisse Zufallsvariable Iduzierter Raum ud Verteilug Diskrete Zufallsvariable Momete vo Zufallsvariable (ZV) Eigeschafte der Momete Kovariaz ud Korrelatio Wichtige Ugleichuge für Wahrscheilichkeitsräume Zufallsvariable mit Dichtefuktio Uabhägigkeit stetiger Zufallsvariable Erwartugswert ud Variaz Eigeschafte vo Erwartugswert ud Variaz Summe vo Zufallsvariable (Faltug) Expoetialverteilug (Wartezeitmodelle) Mehr zu Uabhägigkeit Grezwertsätze Kovergez vo Zufallsvariable Borel-Catelli-Lemma(0-1-Gesetz) Starkes Gesetz der große Zahl(e) Zetraler Grezwertsatz Aweduge vo Grezwertsätze Statistik Parametrische Statistik Parameterschätzug Maximum-Likelihood-Schätzer (MLS) Parameterschätzug: Kofidezitervalle Vo Kofidezitervalle zu Hypothesetests Hypothesetests Likelihood-Ratio-Tests Aweduge Hypothesetests

3 1 GRUNDBEGRIFFE 1 Grudbegriffe Stochastik ach Georgii: Stochastik ist die Lehre vo de Gesetzmäßigkeite des Zufalls. Was ist Zufall? Nach Aristoteles: We im Bereich der Geschehisse, die im strege Sie wege etwas eitrete, ud dere Ursache außer ihe liegt, etwas geschieht, das mit dem Ergebis icht i eie Deswege-Beziehug zu brige ist, da ee wir das zufällig Beispiel[Zufallsexperimete]. Würfel, Müzwurf, Chig-Chag-Chog zufällige Augezahl /... /... Schlage a der Supermarktkasse zufällige Läge der Schlage / Verteilug, Wartezeit Zufallsprozesse, Radioaktivität zufällige Azahl der Klicks (im z.b. Geigerzähler) pro Miute Wie modelliert / formalisiert ma das? (i) Modellierugsaahme Das Zufallsexperimet ka beliebig oft wiederholt werde Das Wisse über zurückliegede Ausgäge des Zufallsexperimets ützt ichts (Uabhägigkeit) (ii) Formalisierug Stichproberaum (Mege aller mögliche Ereigisse), z.b. {1,..., 6} beim Würfel Häufigkeit bestimmter Ereigisse, z.b. P (Wurf = {1}) = 1 6 Wiederholbarkeit: Grezwert Zuächst brauche wir drei Grudbegriffe: (i) Stichproberaum (Raum der Elemetarereigisse) Ω, Elemetarereigis ω Ω (mögliches Ergebis). Bsp: 1x Würfel: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Nx Würfel: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} N (ii) Mege vo Ereigisse E Ω, bzw System vo Ereigisse E, so dass jedem E E sivoll eie Wahrscheilichkeit P (E) zugeordet werde ka. Beispiel[Würfel]. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E = 2 Ω = P(Ω). E = {2, 4, 6} 2 Ω. P (E) = 1 2 E = {1, 3, 5} 2 Ω. P (E) = 1 2 (iii) Wahrscheilichkeit bzw. Wahrscheilichkeitsmaß P. P ist eie Abbildug, die jedem E E eie Zahl zwische 0 ud 1 zuordet. (P : E [0, 1], E P (E)). Beispiel siehe Pukt 2. 3

4 1.1 Systeme vo Ereigisse 1 GRUNDBEGRIFFE 1.1 Systeme vo Ereigisse Frage: Welche Teilmege vo Ω sid zulässig, um sivoll über Wahrscheilichkeite spreche zu köe? Atwort: σ-algebra auf Ω Defiitio[σ-Algebra]. Es sei E 2 Ω. Da heißt E σ-algebra, we, Ω i ihr ethalte sid E E E c E (Abgeschlosseheit bzgl. Komplemet) E 1, E 2,... E E i E i Beispiel. {, Ω} ud 2 Ω sid die kleist- bzw. größtmögliche σ-algebre. 1.2 Wahrscheilichkeitsräume Defiitio[Wahrscheilichkeitsraum]. Ei Tripel (Ω, E, P ) wird Wahrscheilichkeitsraum geat, we (i) E eie σ-algebra ist, d.h. E, Ω E E E E c E E 1, E 2,... E E i E i 1 (ii) P : E [0, 1] ist ei Wahrscheilichkeits-Maß, d.h. a) P (Ω) = 1 (Normierug) b) P (E 1 E 2 ) = P (E 1 ) + P (E 2 ), we E 1 E 2 = (σ-additivität) (Axiome der Wahrscheilichkeitstheorie ach Kolmogorov, 1933) Bemerkug[zur σ-algebra]. Ist E 0 2 Ω, da gibt es eie kleiste σ-algebra [E 0 ], die E 0 ethält, d.h. we E 2 Ω eie σ-algebra mit E 0 E, da ist [E 0 ] E. [E 0 ] wird die vo E 0 erzeugte σ-algebra geat. Bsp: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E 0 = {1, 3, 5} [E 0 ] = {, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, Ω} Allgemeier: [E 0 ] = {, E 0, E c 0, Ω}. Ei wichtiges Beispiel ist die Borel-σ-Algebra auf R, die die Borelmege ethält, ud die vo de offee Itervalle auf R erzeugt wird. Praktisch alle Mege, die ma hischreibe ka, sid Borelmege, sie sid Lebesgue-Meßbar, deshalb sid sie wichtig. Zwar hat es de Aschei, als ethielte die σ-algebra icht mehr als Ω,, Komplemete ud abzählbare Vereiiguge, doch bei äherer Betrachtug ethält sie mehr: (i) edliche Vereiiguge E F = E F... 4

5 1 GRUNDBEGRIFFE 1.2 Wahrscheilichkeitsräume (ii) edliche / abzählbare Durchschitte: E 1 E 2 E 3... = (E c 1 Ec 2 Ec 3...)c (iii) Relativkomplemete: E, F E, E F F \ E = F E c Notiz[Recheregel für Wahrscheilichkeite]. Umittelbare Folgeruge aus de Kolmogorov-Axiome: (i) P ( ) = 0 (ii) P (E) + P (E c ) = 1 (iii) P (E F ) = P (E) + P (F ) P (E F ) (iv) Mootoie: E F P (E) P (F ), da P (F ) = P (E) + P (F \ E) P (E) Beispiel. Würfel: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E = 2 Ω, P als Gleichverteilug auf Ω. Müzwurf: Ω = {0, 1}, P ({0} = p, P ({1} = 1 p)). Ω = [0, 1] R, E = B(Ω) Borel-σ-Algebra, a, b Ω, P ([a, b]) = b a. Wahrscheilichkeit ist Läge des Itervalls, also Gleichverteilug Bemerkug. Ist Ω eie überabzählbare Mege, da ist 2 Ω zu groß, d.h. es ka i.a. kei Wahlscheilichkeitsmaß defiiert werde, das die Kolmogorov-Axiome erfüllt Beobachtug. Praktisch alle elemetare Recheregel für Wahrscheilichkeite folge aus de Axiome Lemma. Es sei E 1 E 2... eie aufsteigede Kette. Da gilt Adersrum: E 1 E 2..., so gilt P ( =1 P ( =1 E ) = lim P (E ) E ) = lim P (E ) Bemerkug[Mathematisches Zähle]. Wir kee bereits die Regel P (E F ) = P (E) + P (F ) P (E F ). Wie sieht das Gaze für Mege aus? Lemma[Eischluss-Ausschluss-Prizip]. Es gilt P (E 1 E 2... E ) = ( 1) k 1 k= Beispiel[Beispiel mit E 1, E 2, E 3 ]. 1 i 1... i k P (E i1... E ik ) P (E 1 E 2 E 3 ) = P (E 1 )+P (E 2 )+P (E 3 ) P (E 1 E 2 ) P (E 1 E 3 ) P (E 2 E 3 )+P (E 1 E 2 E 3 ) 5

6 1.3 diskrete Wahrscheilichkeitsräume 1 GRUNDBEGRIFFE 1.3 diskrete Wahrscheilichkeitsräume Defiitio[diskreter Wahrscheilichkeitsraum]. Ist Ω edlich oder abzählbar, so wird (Ω, E, P ) diskreter Wahrscheilichkeitsraum geat Bemerkug[Vorbemerkuge]. Im diskrete Fall wähle wir E = 2 Ω, d.h. jeder Teilmege E 2 Ω ist ei zulässiges Ereigis. Nu P : 2 Ω [0, 1], aber scho im edliche Fall ist 2 Ω recht groß ( 2 Ω = 2 Ω ) Die gute Nachricht ist: Nur P ({ω}) müsse gegebe sei aufgrud der σ-additivität Beispiel[Beispiele für diskrete Wahrscheilichkeitsräume]. (i) Gleichverteilug (Laplaceraum): Ω edlich mit Ω = ud alle ω Ω sid gleich wahrscheilich P ({ω}) = 1. Wahrscheilichkeit eies Ereigisses E 2 Ω : P (E) = E Ω = E Beispiele: Faire Müze ( = 2), Würfel ( = 6), Lotto ( = 49) (ii) Biomialverteilug (Beroulliraum): Experimet mit 2 mögliche Ausgäge {0, 1} (Misserfolg / Erfolg) mit P ({1}) = p ud P ({0}) = 1 p. Wahrscheilichkeit für k Erfolge bei Wiederholuge (Beroulliprozess): P ({k}) = B(k, ) = ( ) p k (1 p) k mit k ( ) = k! ( k)!k! (Biomialverteilug) Passede Mege vo Elemetarereigisse: Ω = {0, 1}, Ω = {1,..., } ( sparsamer ) Beispiel Lotto: ( 49 6 ) 14 Millioe. Spezialfall: = 1, k = 0, 1 P 1 ({k}) = Verschiedee Grezfälle für. { p, falls k = 1 1 p, falls k = 0 Beispiel Geburtstagsparadoxo 1: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass jemad der Awesede am Geburtstag hat? = 150 (# Leute), p = P 150 ({0}) 66.50%, P 150 ({1}) 27.25%, P 150 ({2}) 6% P ({midestes ei Teilehmer}) = 1 P 150 ({0}) 33.7% (iii) Poissoverteilug (Grezfall der Biomialverteilug für ud p 0): Modellierug vo seltee Ereigisse. Ω = N0 = {0, 1, 2,...}, P λ ({k}) = P (k, λ) = λ k k! e λ mit λ = p (Rate). Beispiele: Radioaktive Zerfälle, Fehler pro Vorlesug,... 6

7 1 GRUNDBEGRIFFE 1.3 diskrete Wahrscheilichkeitsräume (iv) Geometrische Verteilug (Wartezeite): Beroulli-prozess mit der Frage: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass beim -te Versuch Erfolg eitritt? Ω = N, P geo ({}) = G() = (1 q)q 1 = p(1 p) 1 mit q = 1 p (Misserfolgswahrscheilichkeit) Beispiel: Wahrscheilichkeit für gerades? P ({ gerade}) = P ({2, 4, 6,...}) σ-additivität = (1 q)q + (1 q)q = (1 q)q q 2i 1 = (1 q)q 1 q 2 i 0 = q 1 + q P ({ ugerade}) = 1 P ({ gerade}) = q > q 1 + q Bemerkug[abschließede Bemerkuge]. a) Im höchstes abzählbahre Fall reicht, die P ({ω}) zu kee. q [0, 1) b) Bei der Wahl des richtige Wahscheilichkeitsraums gibt es meist verschiedee Möglichkeite. c) Der Rest ist geschicktes Zähle Defiitio[Uremodelle (Elemetare Kombiatorik, Behreds-Skript S.55-58)]. Ure mit uummerierte Kugel {1,..., N}, vo dee N gezoge werde Ziehug ist ei Wort a 1 a 2... a, a i {1,..., N} Stichproberaum Ω = {Mege aller Ziehuge} Vier Fälle lasse sich uterscheide: (i) Ziehe mit Zurücklege a) Uter Berücksichtigug der Reihefolge: Ω = N b) Ohe Berücksichtigug der Reihefolge: Ω = ( ) N+ 1 (ii) Ziehe ohe Zurücklege a) Uter Berücksichtigug der Reihefolge: Ω = N(N 1)... (N + 1). Spezialfall: = N Ω = N! (gibt die Azahl der mögliche Permutatioe vo {1,..., N} a) b) Ohe Berücksichtigug der Reihefolge: Ω = ( N ). D.h. Ω ist die Azahl der -elemetige Teilmege vo {1,..., } Beispiel[Geburtstagsparadoxo 2]. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass midestes 2 Leute aus der Vorlesug am gleiche Tag Geburtstag habe? Modellierug à la Laplace: #güstige Ausgäge P =, N = 365, = 150. #mögliche Ausgäge N(N 1)... (N + 1) P ({keie 2 Persoe}) = N 0 P ({midestes 2 Persoe}) = 1 P ({keie 2 Persoe}) 1 Bemerkug: Bei ca. = 50 Persoe beträgt P ({midestes 2 Persoe}) 99.9%. 7

8 1.4 Hypergeometrische Verteilug 1 GRUNDBEGRIFFE 1.4 Hypergeometrische Verteilug Defiitio[Hypergeometrische Verteilug]. vergröbertes Uremodell. N Kugel, vo dee r rot ud (N r) weiß sid. Wir ziehe Kugel ohe Zurücklege (Typ: Ziehe ohe Zurücklege ohe Berücksichtigug der Reihefolge ). Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass uter de gezogee Kugel k rote sid? Modellierug ach Laplace: P = = #güstige Möglichkeite = #alle Möglichkeite ( r N r ) k)( k ( N = H(k, ; N, r) ) #k rote ud N-k weiße ( N ) k H(k, ;, ) = Beispiel[Lotto ohe Schickschack]. P (k richtige) = H(k, 6, 49, 6) Beispiel. Wahrscheilichkeit für k Asse beim Skat? 20% k = Bemerkug. 43% k = 1 P (k Asse) = H(k, 10, 32, 4) = 29% k = 2 7% k = 3 1% k = 4 (i) Die hypergeometrische Verteilug lässt sich leicht auf mehr als 2 Farbe (Eigeschafte) verallgemeier (siehe 2. Übugszettel). (ii) Ist N >>, so besteht kei Uterschied zwische Ziehe mit ud ohe Zurücklege. 1.5 Wahrscheilichkeitsräume mit Dichte Bemerkug. (i) Ω höchstes abzählbar (P (E), E E = 2 Ω ) ist durch Abzähle bestimmbar! (ii) Ω überabzählbar: P (E) ist eie Art vo Volume Abzähle / Summiere wird zur Itegratio Defiitio[Wahrscheilichkeitsräume mit Dichte]. Wir betrachte Wahrscheilichkeitsräume (Ω, E, P ), wobei (i) Ω R (ii) E 2 Ω die σ-algebra der Borelmege ist 8

9 1 GRUNDBEGRIFFE 1.5 Wahrscheilichkeitsräume mit Dichte (iii) P ei Wahrscheilichkeitsmaß ist, das durch seie Dichte defiiert ist, d.h. E E : P (E) = f(x)dx, f 0 (Wahrscheilichkeitsdichte) Bemerkug. E Ω (i) Die Borel-σ-Algebra ist die kleiste σ-algebra, die vo de offee Mege i Ω erzeugt wird. (ii) Da f ei Wahrscheilichkeitsmaß defiiert, gilt: P (Ω) = Ω f = 1 Für E 1, E 2,... E paarweise disjukt gilt = E 1 E 2...f i Bemerkug. E i f Es reicht azuehme, dass f stückweise stetig bzw. midestes itegrabel ist Die Dichte f überimmt hier die Rolle vo P ({ω}), ω Ω im höchstes abzählbare Fall Ist Ω überabzählbar, ist P ({ω}) = 0 ω Ω Beispiel[Beispiele für Wahrscheilichkeitsdichte]. (i) Gleichverteilug Es sei Ω = [a, b] R ud f(x) = (b a) ( 1) eie Wahrscheilichkeitsdichte. f defiiert ei Wahrscheilichkeitsmaß, de P (E) = E f(x)dx ist σ-additiv wege der σ-additivität des Lebesguemaßes dx ud es gilt P (Ω) = 1 Für alle Ereigisse E E bezeichet P (E) die relative Läge vo E Ω: P ([c, d] [a, b]) = d c (b a) 1 = d c b a Ist Ω beschräkt, so defiiert f(x) = ( Ω dx) 1 eie Wahrscheilichkeitsdichte Ist Ω icht beschräkt, so existiert keie Gleichverteilug, de ( Ω dx) 1 = Bemerkug. Es ist möglich, abzählbar viele Puktereigisse ω Ω zu etfere, d.h. vo Ω zu Ω\ E überzugehe, ohe de Wahrscheilichkeitsraum wesetlich zu äder (ii) Normalverteilug (Gaußverteilug) Es sei Ω = R ud f 0 die Dichtefuktio f(x) = 1 e (x m)2 2σ 2 eπσ (Gaußdichte zu de Parameter m ud σ) f ist ormiert, d.h. es gilt f(x)dx = 1 9

10 1.6 Bedigte Wahrscheilichkeite 1 GRUNDBEGRIFFE (iii) Expoetialverteilug: Es sei Ω = [0, ) ud f die Wahrscheilichkeitsdichte f(x) = λe λx. Die Expoetialverteilug beschreibt die Verteilug der Wartezeite zwische 2 seltee Ereigisse, die durch die Poisso-Verteilug mit Parameter λ > 0 gegebe sid. Die Verteilugsfuktio τ F (τ) = P (x < τ) = λ 0 e λx dx beschräkt die Wartezeitverteilug bis zum ächste Ereigis. Z.B. 1.6 Bedigte Wahrscheilichkeite P (a x b) = F (b) F (a) = e λb e λa Defiitio[bedigte Wahrscheilichkeit]. Die bedigte Wahrscheilichkeit vo E uter der Aahme F ist P (E F ) = P (E F ), P (F ) > 0 P (F ) Bemerkug[Iterpretatio]. Bedigte Wahrscheilichkeit ist das relative Maß vo E i F. Iformatioe veräder Wahrscheilichkeite Defiitio[Uabhägigkeit vo Ereigisse]. Zwei Ereigisse E, F E heiße uabhägig, we P (E F ) = P (E) P (F ) bzw. (ach Defiitio vo bedigte Wahrscheilichkeite), we P (E F ) = P (E), P (F E) = P (F ) Notiz. Uabhägigkeit bedeutet, dass die Ketis vo F ihe keie Iformatioe über die Wahrscheilichkeit vo E liefert (bzw. umgekehrt) Satz. E, F uabhägig E, Ω \ F = F c uabhägig Beispiel. Würfel: Es sei Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ud E = {Zahl ist gerade}. (i) F = {Zahl 3}. Da ist P (E) = 1 2, P (F ) = 2 3, P (E F ) = 1 3 = P (E)P (F ). Also sid E ud F uabhägig. (ii) F = {Zahl 4}, d.h. P (F ) = 1 2 P (E F ) P (E). E, F sid abhägig (F ethält mehr gerade als ugerade Zahle). Noch eimal Würfel: Gefragt ist ach der Summe der Augezahle bei 2 mal Würfel. Es sei E = {i + j 7 i, j {1,..., 6}}. (Z.B. (6, 1), (6, 2),... isgesamt 21 aus 36 Möglichkeite). (i) F = {i = 5, j}, d.h. 5 vo 6 Möglichkeite bleibe P (E F ) = 5 6. Zum Vergleich: P (E F ) = P (E F )P (F ) = =

11 1 GRUNDBEGRIFFE 1.6 Bedigte Wahrscheilichkeite (ii) F = {i 3, j 3} P (E F ) = 0, da E F =. (iii) F = {i 4, j 4} P (E F ) = 1 (F E) Satz[Recheregel für bedigte Wahrscheilichkeite]. Es seie E, F, E 1, E 2,... i eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, E, P ) ud wir ehme a, dass P (F ) > 0. Da gelte: (i) E F = P (E F ) = 0 (ii) F E P (E F ) = 1 (iii) P (Ω \ E F ) = 1 P (E F ) (iv) i, j, i j : E i E j =, da ist P ( E k F ) = P (E k F ) (σ-additivität) k k Bemerkug. Ma ka das Wahrscheilichkeitsmaß P F = P ( F ) als Wahrscheilichkeitsmaß auf der Spur-σ-Algebra auffasse: E F = {E F E E} Satz[Satz vo der totale Wahrscheilichkeit]. Es sei Ω = E eie disjukte Vereiigug vo Teilmege. Da gilt P (F ) = P (F E ) P (E ) F E Beweis: F = (F E ) ist die disjukte Vereiigug der F E. P (F ) = P ( (F E )) = P (F E ) = P (F E )P (E ) P (E ) = P (F E )P (E ) Satz[Satz vo Bayes]. Der Satz vo Byes ist eier der bekateste ud wichtigste Sätze der Wahrscheilichkeitstheorie ud der Statistik. Wieder sei Ω = E eie disjukte Vereiigug ud F E mit P (F ) > 0. Da gilt P (E F ) = P (E )P (F E ) P (F ) = P (E )P (F E ) P (E )P (F E ) Beweis: P (E F ) = P (E F ) P (F ) = P (F E )P (E ) P (F ) = P (F E )P (E ) P (F E )P (E ), ach Defiitio vo bedigter Wahrscheilichkeit, ach Satz der totale Wahrscheilichkeit 11

12 1.6 Bedigte Wahrscheilichkeite 1 GRUNDBEGRIFFE Beispiel. Zwei Kartestapel mit eie Würfel, wobei Stapel 1 2 rote ud 8 schwarze Karte hat, Stapel 2 hat 5 rote ud 5 schwarze Karte. Bei Augezahle {1, 2, 3, 4} wird vo Stapel 1 gezoge, sost vo Stapel 2. (i) Wie wahrscheilichkeit ist es, dass eie rote Karte gezoge wird? D.h. F = {rote Karte} ud P (F ) = P (F E 1 = {1, 2, 3, 4})P (E 1 ) + P (F E 2 = {5, 6})P (E 2 ) = = 3 10 (ii) Eie rote Karte wird gezoge. Wie wahrscheilich ist es, dass sie vom Stapel 1 gezoge wurde? Mit Satz vo Bayes folgt: P (E 1 F ) = P (E 1 F ) P (F ) = P (F E 1)P (E 1 ) P (F ) = = Bemerkug[Aweduge der Bayessche Formel]. (i) Bestätigug vo Theorie: I welchem Maße stützt oder widerlegt die Beobachtug B eies schwarze Rabe die Theorie T = Alle Rabe sid schwarz? Gegebe sid folgede Iformatioe: P (B T )P (T ) P (T B) = P (B) P (B T )P (T ) = P (B T )P (T ) + P (B T )P ( T ) P (B T ) = 1, da Theorie wahr die Beobachtug eies schwarze Rabe verwudert icht. P (T ) = P ( T ) = 1 2 P (B T ) = ε Mit zum Beispiel ε = 1 2 folgt: P (T B) = = 2 3 > P (T ) = 1 2 Vergleiche Curd / Cover (1998), The Philosophy of Sciece. (ii) Mediziische Tests: Es sei T ei Test auf eie bestimmte (seltee) Krakheit K, die mit der Wahrscheilichkeit P (K) auftritt (Prävalez). Der Test wird spezifisch geat, T ) mit Wahrscheilichkeit ahe 1 erhält. Die Spezifität ist P ( T K) = 1 P (T K). Nach Bayes: Gegebe sid: P (T K)P ( K) P ( K T ) = P (T ) P (T K)P ( K) = P (T K)P ( K) + P (T K)P (K) Die Prävalez P (K) ohe Dukelziffer ist P ( K) = 1 P (K). 12

13 1 GRUNDBEGRIFFE 1.7 Uabhägigkeit mehrerer Ereigisse Ebeso bekat (aus Date): P (T K) 1 (Zuverlässigkeit) P (T K) 0 ( false positives ) Zahlebeispiel: Siehe Aiger-Skript Beispiel[Ziegeproblem, Ask Marily ]. Das Ziegeproblem: Der Kadidat wählt Tür 1 vo 3. Der Moderator weiß was hiter de Türe steckt ud öffet Tür 3 mit eier Ziege dahiter. Der Kadidat wird gefragt, ob er bei seier Wahl bleibe möchte. Die Frage ist: Ist es sivoll sich umzuetscheide oder ist es egal? Gegebe: B i = {Auto hiter Tür i}, i {1, 2, 3}, A = {Moderator zeigt ihe, dass hiter Tür 3 eie Ziege steht} Gesucht: P (B 1 A) bzw. P (B 2 A). Nach dem Satz der totale Wahrscheilichkeit: P (A) = P (A B i )P (B i ), wobei P (B i ) = i 1 3, P (A B 1) = 1 2, P (A B 2) = 1, P (A B 3 ) = 0. P (A) = = 1 2. Also (ach Bayes): P (B 1 A) = P (A B 1)P (B 1 ) P (A) P (B 2 A) = P (A B 2)P (B 2 ) P (A) = 1 3 = Bemerkug. We der Moderator eie Präferez für Tür 3 hat, äder sich die Wahrscheilichkeite auf P (B 1 A) = P (B 2 A) = Uabhägigkeit mehrerer Ereigisse Bemerkug. Bisher für 2 Ereigisse: P (E F ) = P (E)P (F ). Wie verhält sich Uabhägigkeit bei 3 oder mehr Ereigisse? Beispiel. Zweifacher Müzwurf mit Ereigisse E = {K, Z} {Z, K}, F = {K, }, G = {m, Z} (i) E, F, G sid paarweise uabhägig: (ii) P (E F G) P (E)P (F G). P (E F ) = P (E)P (F ), P (E G) = P (E)P (G), Defiitio[Uabhägigkeit mehrerer Ereigisse]. Die Ereigisse E 1,..., E E heiße uabhägig, we für alle {i 1,..., i k } {1,..., } Bemerkug. P (E i1... E ir ) = r P (E ik ) (i) Falls E 1,..., E uabhägig sid, so sid sie auch paarweise uabhägig. Die Umkehrug gilt icht. k=1 13

14 2 ZUFALLSVARIABLEN (ii) Durch Iduktio zeigt ma leicht: P (E 1... E ) = P (E 1 )P (E 2 E 1 )P (E 3 E 1 E 2 )... P (E E 1... E 1 ) (iii) Die Defiitio vo Uabhägigkeit ist äquivalet zu: E 1 ist uabhägig vo E 2,..., E ud E 2 ist uabhägig vo E 1, E 3,..., E ud... ud E ist uabhägig vo E 1,..., E 1 wobei F ist uabhägig vo E 1,..., E k für alle [E 1,..., E k ] getestet werde muss. 2 Zufallsvariable 2.1 Iduzierter Raum ud Verteilug Wir komme zum wichtigste Begriff der Wahrscheilichkeitstheorie. I de meiste Situatioe ist ma icht a der gesamte Verteilug iteressiert, soder ur a bestimmte Date, die vom Experimet abhäge Beispiel. Im Lotto iteressiert die Azahl der richtige Zahle, beim zweimalige Würfel zum Beispiel die Augesumme, ud beim Müzwurf, im wievielte Wurf zum erste Mal Kopf kommt Defiitio. Sei (Ω, E, P ) ei Wahrscheilichkeitsraum, X : Ω W, F σ-algebra auf W. Falls X 1 (F ) E für alle F F, so heißt X Zufallsvariable auf Ω, geauer (W, F)-wertige Zufallsvariable. We W abzählbar oder edlich ist, so sei F = 2 W. Wir werde fast ausschließlich W R betrachte, F = Borelmege. X heißt da reelle Zufallsvariable Defiitio[iduzierter Wahrscheilichkeitsraum]. Der durch X iduzierte Wahrscheilichkeitsraum ist (W, F, P X ) mit P X (F ) = P (X 1 (F )). Wir schreibe kurz P (X F ) für P ({ω Ω X(ω) F }). Zum Beispiel P (X = x) = P ({ω Ω X(ω) = x}) oder P (X x) = P ({ω Ω X(ω) x}), falls W = R Satz. P X ist Wahrscheilichkeitsmaß auf (W, F). Beweis: P X (W ) = P (X 1 (W )) = P (Ω) = 1 P X ( F i ) = P (X 1 ( F i )) = P ( X 1 (F i )) = i i i i P (X 1 (F i )) = i P X (F i ) Beispiel. (i) Müzwurf, Ω = {K, Z}, P (K) = p, P (Z) = 1 p. Sei X = Nummer des erste Kopfwurfes, W = N. Es ist P (X = ) = (1 p) 1 p, ud wir erhalte die geometrische Verteilug für X. 14

15 2 ZUFALLSVARIABLEN 2.2 Diskrete Zufallsvariable (ii) Zweimaliges Würfel, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 mit Gleichverteilug. Sei X = Augesumme, W = {1, 2,..., 12}. Da ist zum Beispiel P (X = 10) = 3 36 = P (X = s) = 1 #{(i, j) Ω i + j = s} Defiitio. Sei X : Ω R. Die Verteilugsfuktio vo X ist F X : R [0, 1] mit Offebar gilt F X (x) = P (X x) = P ({ω Ω X(ω) x}) lim F (x) = 0, lim = 1 x x x < y F (x) F (y) Ferer ist F (x) rechtsstetig, d.h. mit h 0 geht F (x + h) F (x) Beispiel. (i) Müzwurf. Ω = {K, Z}, X(K) = p, X(Z) = 1 p. Es ist 0 x < 0 F (x) = 1 p 0 x < 1 1 x 1 (ii) Idikatorvariable. Sei A E, I A : Ω R mit { 1 ω A I A (ω) = 0 ω A Es ist 0 x < 0 F IA (x) = 1 P (A) 0 x < 1 1 x 1 Ageomme, X ud Y sid zwei reelle Zufallsvariable, X, Y : Ω R. Wir fasse (X, Y ) als Zufallsvariable auf mit (X, Y ) : Ω 2 R 2, (X, Y )(ω 1, ω 2 ) = (X(ω 1 ), Y (ω 2 )). Allgemei seie X 1,..., X : Ω R, da ist (X 1,..., X ) : Ω R. Die gemeisame Verteilug ist 2.2 Diskrete Zufallsvariable F (x 1,..., x ) = P (X 1 x 1... X x ) Eie (reelle) Zufallsvariable X : Ω W R heißt diskret, falls W edlich oder abzählbar ist Defiitio[Uabhägigkeit]. Seie X, Y : Ω W R reelle Zufallsvariable. Wir werde X ud Y als uabhägig asehe, falls für alls A, B W gilt. P (X A Y B) = P (X A)P (Y B) 15

16 2.2 Diskrete Zufallsvariable 2 ZUFALLSVARIABLEN Lemma. Zwei diskrete Zufallsvariable X, Y : Ω W R sid geau da uabhägig, we P (X = x Y = y) = P (X = x)p (Y = y) x, y W gilt. Mit Iduktio gilt aalog das allgemeie Resultat: Die Zufallsvariable X 1,..., X : Ω W R sid geau da uabhägig, we ist für alle (x 1,..., x ) W. P (X 1 = x 1... X = x ) = P (X i = x i ) Defiitio[Erwartugswert]. Sei X : Ω R diskrete Zufallsvariable. Der Erwartugswert E(X) ist i=1 E(X) = x xp (X = x) = ω Ω X(ω)P (ω) falls die Summe absolut kovergiert Bemerkug. Der Erwartugswert gibt also a, was für ei Wert vo X im Mittel zu erwarte ist. Es gibt also stets ω, ω mit X(ω) E(X), X(ω ) E(X). Für edliche Mege Ω oder edlichem Wertebereich existiert E(X) atürlich immer Notiz. Im Fall der Gleichverteilug auf edlichem Ω, P (ω) = 1 Ω für ω Ω habe wir E(X) = 1 X(ω) Ω Ist Ω = {ω 1,..., ω }, X(ω i ) = x i, so köe wir ω E(X) = x x schreibe. E(X) ist somit der übliche Durchschittswert Beispiel[Gleichverteilug]. Sei Ω = {ω 1,..., ω } ud X(ω i ) = x i (gleichverteilt). Da ist E(X) = 1 Sei u Y = X 2 (y = x 2 ). da ist x i. i=1 E(Y ) = E(X 2 ) = 1 i=1 x 2 i 16

17 2 ZUFALLSVARIABLEN 2.3 Momete vo Zufallsvariable (ZV) 2.3 Momete vo Zufallsvariable (ZV) Defiitio[Momete eier Zufallsvariable]. (i) Es sei k N das k-te Momet vo X ist m k = E(X k ) (ii) Das k-te zetrale (zetrierte) Momet vo X ist σ k = E((x E(X)) k ) Bemerkug. Wichtige Spezialfälle sid der Erwartugswert m 1 = E(X) ud die Variaz σ 2 = E((x E(X)) 2 ) Ist eie Verteilug multimodal (d.h. mehrere Maxima i der Verteilug), so sid Erwartugswert ud Variaz icht sehr aussagekräftig. Gaußsche Zufallsvariable sid solche, die durch eie Gaußverteilug mit Dichte f(x) = 1 2πσ e (x m)2 2σ 2 erzeugt werde. Gaußsche Zufallsvariable sid vollstädig durch ihre erste beide Momete m = m 1, σ = σ 2 bestimmt. 2.4 Eigeschafte der Momete Satz[Liearität des Erwartugswertes]. Es seie X, X 1,..., X : Ω W Zufallsvariable auf Ω mit der Eigeschaft X = α 1 X α X. Da gilt E(X) = α i E(X i ), α i R Beweis: Nach Defiitio des Erwartugswertes gilt E(X) = X(ω)P (ω) = α i X i (ω)p (ω) = α i X i (ω)p (ω) = ω Ω ω Ω i=1 i=1 i=1 ω Ω α i E(X) i= Korollar. Es gilt Var(X) = E((X E(X)) 2 ) = E(X 2 ) (E(X)) Satz[Uabhägigkeit vo Zufallsvariable]. Es seie X : Ω V R ud Y : Ω W R zwei uabhägige Zufallsvariable auf Ω. Da gilt E(XY ) = E(X)E(Y ) Beweis: Nach Defiitio der Uabhägigkeit gilt E(XY ) = X(ω)Y (ω)p (ω) = xyp ((X = x) (Y = y)) ω Ω = (x,y) V W (x,y) V W xyp (X = x)p (Y = y) = ( xp (X = x))( yp (Y = y)) = E(X)E(Y ) x V y W ach Uabhägigkeit 17

18 2.4 Eigeschafte der Momete 2 ZUFALLSVARIABLEN Korollar. Sid X, Y uabhägige Zufallsvariable, so gilt Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) Beweis: Uter Verwedug der Eigeschafte des Erwartugswertes (EW) gilt Var(X + Y ) = E((X + Y ) 2 ) (E(X + Y )) 2 = E(X 2 + 2XY + Y 2 ) (E(X) + E(Y )) 2 = E(X 2 ) + E(XY ) + E(Y 2 ) (E(X)) 2 2E(X)E(Y ) (E(Y )) 2 = E(X 2 ) (E(X)) 2 + E(Y 2 ) (E(Y )) 2 = Var(X) + Var(Y ) Bemerkug. Die Umkehrug des Satzes über die Uabhägigkeit vo Zufallsvariable ud seiem Korollar gilt icht, eie Ausahme sid die Gaußsche Zufallsvariable. Uter lieare Trasformatioe X ax + b trasformiere sich die erste beide Momete wie E(X) ae(x) + b, Var(X) a 2 Var(X) Ist für eie Zufallsvariable X die Variaz Var(X) = 0, so ist P (X = E(X)) = 1. Die Umkehrug gilt auch Beispiel. (i) Momete der Beroulliverteilug (Müzwurf). Ω = {k, z} ud P (k) = p [0, 1], P (z) = 1 p. Zufallsvariable X : Ω {0, 1} mit X(k) = 1, X(z) = 0 (d.h. P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 p). Erwartugswert E(X) = xp (X = x) = 0 (1 p) + 1 p = p x 2-tes Momet E(X 2 ) = x 2 P (X = x) = p x Variaz Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = p p 2 (ii) Uabhägige Wiederholuge (Müzwurf). Situatio wie i (i), aber wir führe uabhägige Wiederholuge aus. Zufallsvariable X = #Kopfwürfe ud wir schreibe X als { 1, Kopf im i-te Wurf X = x i, wobei x i = 0, sost i=1 Wahrscheilichkeit für k-mal Kopf ist P (X = k) = E(X) = p Var(X) = (p p 2 ) ( ) p k (1 p) k k 18

19 2 ZUFALLSVARIABLEN 2.5 Kovariaz ud Korrelatio Notiz. Im Folgede sei (Ω, E, P ) ei Wahrscheilichkeitsraum (Ω höchstes abzählbar) ud X : Ω W R eie reele Zufallsvariable auf Ω Beispiel. (i) Momete müsse icht existiere, z.b. sei Ω = N, X(ω k ) = k mit P (X = k) = c. k 3 c ist so gewählt, dass P (X = k) = 1, d.h. c = 1 = ζ(3). Bereche 1. ud 2. k 3 Momet: E(X) = E(X 2 ) = k c k 3 k N k 2 c k 3 k N k N c = ζ(2) k 2 ζ(3) k N c = = k = k N (ii) Momete der Poissoverteilug Ω = N0 ud wir betrachte P (X = ) = λ! e λ. Bereche wieder 1. ud 2. Momet: E(X) = λ! e λ = λ λ 1 ( 1)! e λ = λ =0 E(X 2 ) = 2 λ =0 =0 Berechug aus der Biomialverteilug: k N! e λ = λ + λ 2, d.h Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 lim p λ B(k,, p) = λk k! e λ Aus der letzte Vorlesug wisse wir, dass EB(X) = p, Var B (X) = (p p 2 ) EB(X) E(X) = λ, Var B (X) 2.5 Kovariaz ud Korrelatio Var(X) = λ Defiitio[Kovariaz]. Es seie X, Y : Ω W R zwei Zufallsvariable. Die Kovariaz vo X ud Y ist cov(x, Y ) = E((X E(X))(Y E(Y ))) Bemerkug[Kovariaz, Variaz ud Uabhägigkeit]. (i) Zwei Zufallsvariable X, Y heiße ukorreliert, we cor(x, Y ) = 0. Sid X ud Y uabhägig, so sid sie immer ukorreliert. Umkehrug gilt allerdigs icht. (ii) Offesichtlich gilt cor(x, X) = Var(X). Weiter gilt Var(αX + βy ) = α 2 Var(X) + β 2 Var(Y ) + 2αβcov(X, Y ) (iii) cov(, ) : W W R defiiert eie symmetrische, positiv semidefiite Biliearform, d.h. cov(x, Y ) = cov(y, X) cov(x, X) 0 (iv) Mittels Kovariaz lasse sich Skalarprodukte ud Norme defiiere, für die die übliche Idetitäte gelte. 19

20 2.6 Wichtige Ugleichuge für Wahrscheilichkeitsräume 2 ZUFALLSVARIABLEN 2.6 Wichtige Ugleichuge für Wahrscheilichkeitsräume Satz. Es seie X, Y : Ω W R. Da gilt die Cauchy-Schwarzsche Ugleichug (E(XY )) 2 E(X 2 )E(Y 2 ) Gleichheit gilt, we P (X = αy ) = 1 für α R Beweis: Wir uterscheide zwei Fälle: (i) Sei E(X 2 ) = 0. Das ist gleichbedeuted mit P (X = 0) = 1 bzw. P (X 0) = 0. Das heißt, dass E(XY ) = (x,y) xyp ((X = x) (Y = y)) = 0 Das heißt wir habe Gleichheit ud P (X = 0 Y ) = 1 (ii) Nu E(X 2 ) > 0 ud wir defiiere die Hilfs-Zufallsvariable Z := Y αx, für die gilt 0 E(Z 2 ) = E((Y αx) 2 ) = α 2 E(X 2 ) 2αE(XY ) + E(Y 2 ) α R Die Ugleichug gilt isbesodere für α = E(XY ) E(X 2 ), d.h. 0 (E(XY ))2 E(X 2 ) (E(XY ))2 2 E(X 2 + E(Y 2 (E(XY ))2 ) = ) E(X 2 + E(Y 2 ) ) Das ist gerade die Cauchy-Schwarzsche Ugleichug, wobei Gleichheit geau da gilt, we P (Y = αx) = Bemerkug. Astelle der Kovariaz wird häufig der Korrelatioskoeffiziet ρ(x, Y ) = cov(x, Y ) Var(X)Var(Y ) betrachtet. Nach der Cauchy-Schwarzsche Ugleichug ist (cov(x, Y )) 2 Var(X)Var(Y ) Daraus folgt sofort, dass 1 ρ(x, Y ) 1 mit Gleichheit, falls X, Y mit Wahrscheilichkeit 1 liear abhägig sid Satz[och mehr Ugleichuge..]. (i) Markov-Ugleichug: Sei X 0. da gilt P (X a) E(X) a a R (ii) Tschebyschev-Ugleichug: P ( X E(X) a) Var(X) a 2 a R 20

21 2 ZUFALLSVARIABLEN 2.7 Zufallsvariable mit Dichtefuktio Beweis: (i) E(X) = x xp (X = x) = x a xp (X = x) + x<a xp (X = x) x a xp (X = x) a x a P (X = x) = ap (X a) (ii) Wir defiiere Y = X E(X) 2 0. Da gilt ach (i) P ( X E(X) a) = P ( x E(X) 2 a 2 ) E(Y ) a 2 = Var(X) a Beispiel[Awedug der Ugleichuge]. Approximatio vo Erwartugswerte. Es sei X : Ω W R eie reelle Zufallsvariable mit uabhägige Kopie X 1,..., X (z.b. uabhägige Müzwürfe oder Versuche im Lotto zu gewie). Ferer sei Y = X X. Da gilt Mit der Tschebyschev-Ugleichug folgt: P ( X 1 + X X E(Y ) = E(X), Var(Y ) = Var(X) E(X) ε) 1 ε 2 Var(X) 0 ε > 0 D.h. die Güte der Schätzug vo E(X) durch uabhägige Ausführuge (Samples) hägt vo der Größe des Samples / Azahl der Versuche ud der Variaz vo X ab. 2.7 Zufallsvariable mit Dichtefuktio Aiger-Skript, S. 34 ff. Wie immer (Ω, E, P ) sei ei Wahrscheilichkeitsraum, wobei E eie geeigete σ-algebra über Ω (hier: die σ-algebra der Borelmege) Defiitio[Zufallsvariable mit Dichtefuktio]. Die Zufallsvariable X : Ω W = R wird stetig verteilt mit Verteilugsfuktio F (x) = P (X x), we F (x) die folgede Form hat: F (x) = x Dabei ist f 0 die Dichte vo X, d.h. es gilt f(s)ds f(s)ds = Notiz[Berechug vo Wahrscheilichkeite]. 21

22 2.8 Uabhägigkeit stetiger Zufallsvariable 2 ZUFALLSVARIABLEN Ereigissystem: F 2 W sei die σ-algebra der Borelmege vo W. Wahrscheilichkeit für X A, A F F (X A) = A W f(s)ds Isbesodere ist für A = [a, b] W : P (X A) = ud es gilt P (X = x) = 0 {x} F b a f(x)ds Beispiel. Zufallsvariable auf der Eiheitskreisscheibe. Ω = {(ω 1, ω 2 ) ω1 2 + ω2 2 1} ud wir defiiere X = ω1 2 + ω2 2, also Abstad zum Ursprug. Frage: Welches Wahrscheilichkeitsmaß iduziert X : Ω [0, 1]? P X ([c, d]) = P ({X [c, d]}) = Fläche des KreisrigsR cd Fläche vo Ω Welche Dichtefuktio f gehört zu P X? = πd2 πc 2 π = d 2 c 2 f(s) = 2s P X ([c, d]) = 2.8 Uabhägigkeit stetiger Zufallsvariable d c 2sds = d 2 c Defiitio[gemeisame Verteilug]. Es seie X, Y : Ω W R zwei Zufallsvariable mit Verteilugsfuktioe F X (x), F Y (y) ud Dichte f X, f Y. Als gemeisame Verteilug vo X ud Y bezeiche wir die Fuktio F (x, y) = P ({X x} {Y y}) = x y f(x, t)dsdt Dabei ist f(x, y) die gemeisame Wahrscheilichkeitsdichte vo X ud Y Defiitio[Uabhägigkeit]. Zwei Zufallsvariable X, Y heiße uabhägig, we die Ereigisse {X x} ud {Y y} uabhägig sid, d.h. we Notiz[Zetrale Frage]. F (x, y) = F X (x)f Y (y) (i) Was ist der Zusammehag zwische f(x, y), f X (x) ud f Y (y)? (ii) was heißt Uabhägigkeit für die Dichte f(x, y)? Lemma. Es seie X, Y : Ω W R zwei stetig verteilte Zufallsvariable mit gegebee Verteiluge F x, F y, F ud Dichte f X, f Y. Da gilt: 22

23 2 ZUFALLSVARIABLEN 2.8 Uabhägigkeit stetiger Zufallsvariable (i) f X (x) = f(x, y)dy, f Y (y) = f(x, y)dx (ii) X ud Y sid geau da üabhägig, we f(x, y) = f X (x)f Y (y) Mit f { f(x) x W 0 sost folgt W = R. Beweis: (i) F X (x) = P (X x) = lim P ({X x} {Y y}) y = x f(x, t)dsdt Nu gilt aber f X (x) = F X(x) = f(x, t)dt (ii) : X, Y uabhägig, d.h. F = F X F Y ud es gilt δ 2 δxδy F (x, y) = f(x, y) f(x, y) = f X(x)f Y (y) : Umgekehrt folgt aus f(x, y) = f X (x)f Y (y), dass F (x, y) = x y x = ( f X (s)f Y (t)dsdt = f X (s)ds)( y x y ( f Y (t)dt)f X (s)ds f Y (t)dt) = F X (x)f Y (y) Beispiel[Gaußsche Zufallsvariable]. Es seie X 1, X 2 Zufallsvariable, dere Verteilugsfuktio durch eie Gaußdichte gegebe ist. Bekat sei die gemeisame Gaußverteilug vo X = (X 1, X 2 ): Erwartugswert E(X i ) = 0 für i = 1, 2. Kovariaz C ij = E(X i X j ) für i, j = 1, 2. Kovariazmatrix C = (C ij ) R 2 2, C = C t > 0. 23

24 2.9 Erwartugswert ud Variaz 2 ZUFALLSVARIABLEN gemeisame Gaußdichte für x = (x 1, x 2 ): f(x) = 1 2π det C e 1 2 xt C 1 x wobei x t Ax = i,j A ij x i x j X 1, X 2 uabhägig geau da, we C diagoal ist. ( ) Fall: C = 0 1 ( ) Fall: C = Fall (abhägig): C = 4.Fall: C = ( ) 1 δ δ 1 ( ) 1 c, c >> δ c 2 Falls X 1, X 2 abhägig, so ädert sich der Erwartugswert uter der bedigte Wahrscheilichkeit, dass etweder X 1 oder X 2 bekat ist Defiitio[Margialverteilug (Radverteilug)]. F X (x) = lim P ({X x} {Y y}) = y x margiale Dichte f X (x) = f(x, y)dy (aalog für F Y, f Y ). 2.9 Erwartugswert ud Variaz f(s, t)dtds Defiitio. Es sei X eie stetige Zufallsvariable mit Dichtefuktio f 0. Da defiiere wir de Erwartugswert als ud die Variaz als Var(X) = Beispiel[Gleichverteilug]. E(X) = xf(x)dx (x E(X)) 2 f(x)dx Sei X : Ω [a, b] R gleichverteilt mit Dichte Erwartugswert ud Variaz: E(X) = b a f(x) = (b a) 1 x b a dx = [ x 2 ] b 2b 2a a = b2 a 2 2b 2a = a + b 2 Var(X) = b a ( x a+b 2 )2 dx = b a (b a)

25 2 ZUFALLSVARIABLEN 2.10 Eigeschafte vo Erwartugswert ud Variaz Dichte ud die Verteilugsfuktio auf R: x 0 x (, a) F (x) = P (X x) = f(x)dx = x a b a x [a, b] 1 x (a, ) 0 x (, a) f(x) = 1 b a x [a, b] 0 x (b, ) Beispiel[Erwartugswert der Gaußverteilug]. X sei eie stadard-ormalverteilte Zufallsvariable, d.h. mit Dichte Was ist E(X)? E(X) = xf(x)dx = 1 2π f(x) = 1 e x2 2 2π 2.10 Eigeschafte vo Erwartugswert ud Variaz xe x2 2 dx = 0,da xe x2 2 symmetrisch zum Ursprug Satz. Es sei X : Ω W R eie stetige Zufallsvariable mit Dichtefuktio f 0 ud g : W W R eie stetig differezierbare Fuktio mit g > 0. Da gilt: E(g(X)) = g(x)f(x)dx W R Beweis: Wir defiiere Y = g(x) als eue Zufallsvariable ud wir ehme zuächst a, dass Y die Dichte h 0 habe. E(Y ) = yh(y)dy Nu ist g 0 g ist ivertierbar. D.h. X = g 1 (Y ) ud es folgt, dass E(Y ) = yh(y)dy = g(x)h(g(x))g (x)dx W W g 1 (W ) wobei wir y = g(x) ud dy = g (x)dx substituiert habe. Bleibt zu zeige: h 0 existiert (als Dichtefuktio) ud f(x) = h(g(x))g (x). Nu ist F (x) = P (X x) = P (y g(x)) g(x) = h(y)dy = x h(g(u))g (u)du Substitutio: y = g(x) 25

26 2.10 Eigeschafte vo Erwartugswert ud Variaz 2 ZUFALLSVARIABLEN Für die Verteilugsfuktio gilt F (x) = f(x) F (x) = h(g(x))g (x) = f(x) Durch Umdrehe der Substitutio folgt aalog: h(y) = f(g 1 (y)) g (g 1 (y)) Bemerkug. (i) Ei Nebeprodukt des Satzes war die folgede Trasformatiosformel für Zufallsvariable: Hat X die Dichte f(x), da hat Y = g(x), g (x) 0 die Dichte h(y) = f(g 1 (y)) g (g 1 (y)) f(x) = h(g(x))g (x) (ii) Der Satz gilt gleichermaße für mehrere Zufallsvariable X 1,..., X mit gemeiesamer Dichte f(x 1,..., x ): E(g(X 1,..., X )) = g(x 1,..., x )f(x 1,..., x )dx 1... dx Folgerug[Umittelbare Folgeruge aus dem Satz]. (i) Var(X) = W (X E(X))2 f(x)dx = E((X E(X)) 2 ) = E(X 2 ) (E(X)) 2 (ii) E(αX + β) = αe(x) + β α, β R (ii) E(α 1 X α X ) = α 1 E(X 1 ) α E(X ), α i R Beweis: X 1,..., X mit gemeiesamer Dichtefuktio f(x 1,..., x ) ud g(x 1,..., x ) = i=1 α ix i E( α i x i ) = ( α i x i )f(x 1,..., x )dx = α i i=1 = i=1 α i x i f Xi (x i )dx i = i=1 W i=1 i=1 α i E(X i ) x i f(x 1,..., x )dx 1... dx Wobei wir ausgeutzt habe, dass f Xi (x i ) = f(x 1,..., x i, x i+1,..., x )dx 1... dx i 1 dx i+1... dx (iii) Var(αX + β) = α 2 Var(X) αβ R (iv) P (X A) = E(χ A (X)) A E 26

27 2 ZUFALLSVARIABLEN 2.11 Summe vo Zufallsvariable (Faltug) Beispiel[Trasformatio Gaußscher Zufallsvariable]. Sei X stadard-ormalverteilt mit Dichte f(x) = 1 e x2 2 2π Betrachte eie eue Zufallsvariable Y = σx + µ, σ > 0. Was ist die Dichte vo Y? Möglichkeit 1: Berechug vo Y, Var(Y ): E(Y ) = E(σX + µ) = σe(x) + µ Var(Y ) = σ 2 Var(X) h(y) = 1 2πσ e (y µ)2 2σ 2 Möglichkeit 2: Trasformatiosformel g(x) = σx + µ g (x) = σ > 0, g 1 (y) = y µ σ Eisetze: h(y) = f(g 1 (y)) g (g 1 (y)) = 1 e (y µ)2 2σ 2 2πσ 2.11 Summe vo Zufallsvariable (Faltug) Im Folgede seie X, Y : Ω R zwei Zufallsvariable mit gemeisamer Dichte f(x, y). Gesucht: Dichte ud die Verteilugsfuktio der Summe Z = X + Y Beispiel. (i) Verteilug des arithmetische Mittels X+Y 2 (ii) Toleraze bei zusammegesetzte Bauteile (iii) Summe der Augezahle beim Würfel (diskret) Notiz[Zetrale Frage]. (i) I welche Fälle lässt sich die Verteilug F X+Y bzw. die Dichte f X+Y (elemetar) aus de f X, f Y bzw. F X, F Y bereche? (ii) Ist die Verteilug der Summe vom gleiche Typ wie die Verteilug der Summade? Satz. Es seie X, Y : Ω R Zufallsvariable mit Dichte f(x, y). Da hat Z = X + Y die Dichtefuktio f Z (z) = f(x, z x)dx = f(z x, x)dx 27

28 2.11 Summe vo Zufallsvariable (Faltug) 2 ZUFALLSVARIABLEN Beweis: Wir bereche die Verteilugsfuktio F Z für das Ereigis {Z z} = {(x, y) x + y z} R R Ist F Z (z) = P (Z z) bekat, da bekomme wir die Dichte aus f Z (z) = F Z (z). F Z (z) = {Z z} f(x, t)dsdt = z s s= t= f(s, t)dsdt Neue Variable: x = s, y = s + t s = x, t = y x dsdt = dxdy (Determiate = 1). F Z (z) = z x= y= f Z (z) = F Z(z) = f(x, y x)dxdy = f(x, z x)dx z ( f(x, y x)dx)dy Korollar. Sid X, Y uabhägig ( f(x, y) = f X (x)f Y (y)), da ist f X+Y (z) = f X (x)f Y (z x)dx = f X (z x)f Y (x)dx Der Itegralausdruck f(x)g(z s)ds = (f g)(z) wird Faltug geat Bemerkug. (i) Die Faltug ist assoziativ, d.h. f g h = (f g) h = f (g h) Daher lässt sich der Satz (bzw. seie Folgerug) leicht durch Iduktio auf uabhägige Zufallsvariable X 1,..., X verallgemeier. (ii) Im diskrete Fall ist die Verteilug der Summe zweier Zufallsvariable X, Y : Ω W N durch die diskrete Faltug P X+Y (k) = P X (i)p Y (k i), k W N Beispiel[Summe gleichverteilter Zufallsvariable]. Seie X, Y : Ω [0, 1] uabhägig ud gleichverteilt mit f X = f Y = 1 auf [0, 1] ud f X = f Y = 0 sost. Dichte vo X + Y? f X+Y (z) = f X (s)f Y (z s)ds 28

29 2 ZUFALLSVARIABLEN 2.12 Expoetialverteilug (Wartezeitmodelle) Wir uterscheide zwei Fälle: z [0, 1]: z f X+Y (z) = 1ds = z 0 z [1, 2]: f X+Y (z) = 1 z 1 1ds = 2 z D.h. X + Y ist icht gleichverteilt! Beispiel[weitere Beispiele..]. Gaußverteilug: Sid X 1, X 2 uabhägig gaußverteilt mit Erwartugswert µ 1, µ 2 ud Variaz σ 1, σ 2 (Notatio: X i N(µ i, σi 2 )), da gilt X 1 + X 2 N(µ 1 + µ 2, σ σ 2 2) Expoetialverteilug: Sid X 1, X 2 : Ω [0, ) uabhägig expoetialverteilt mit Dichte f i (x) = λe λx, λ > 0, i {1, 2}, da hat die Summe die Dichte f X1 +X 2 (z) = λ 2 e λz z Falls Dichte uterschiedlich mit λ 1 λ2, da folgt f X1 +X 2 (z) = λ 1 λ Expoetialverteilug (Wartezeitmodelle) Modellierug vo zufällige Zeititervalle (Wartezeite) Beispiel. Zeit zwische zwei Arufe Zeit, bis ei Fisch abeißt z Zahl der Würfe bis zur ächste 6 0 e λ 1s e λ 2(z s) ds = λ 1λ 2 λ 2 λ 1 (e λ 1z e λ 2z ) Defiitio[gedächtislose Wartezeit]. Es sei X : Ω [0, ) eie Zufallsvariable auf Ω. X heißt gedächtislose Wartezeit, we P (X x + t X t) = P (X x) Satz. Folgede Aussage sid äquivalet: (i) X ist eie gedächtislose Wartezeit (ii) X ist expoetialverteilt mit Dichte f(x) = λe λx für ei λ > 0 29

30 2.12 Expoetialverteilug (Wartezeitmodelle) 2 ZUFALLSVARIABLEN Beweis: Wir zeige zuächst, dass die Defiitio gleichbedeuted ist mit der Aussage P (X s+t) = P (X s)p (X t) x, t [0, ). Nach Defiitio bedigter Wahrscheilichkeite ist P (X s + t X t) = P ({X s + t} {X t}) P (X t) = P (X s + t) P (X t) Also (ii) (i) : Verteilugsfuktio F (x) = P (X x) = x 0 f(s)ds = λ x 0 e λs ds = 1 e λx P (X x) = 1 P (X x) = e λx P (X s + t) = e λ(s+t) = e λs e λt = P (X t)p (X s) Nu (i) (ii) : Setze G(x) = 1 F (x), wobei F (x) = P (X x) ist ud sich G(x) = x g(s)ds schreibe lässt. Eigeschafte vo G: (a) G(0) = 1 (gleichbedeuted mit P (Ω) = 1) (b) G(s + t) = G(s)G(t) (Defiitio für die gedächtislose Wartezeit) (c) lim G(x) = 0 (da G = 1 F ) x Zu zeige: (a) - (c) bestimme eideutig G(x) = e αx, α < 0 (d.h. α = λ). De da folgt f(x) = F (x) = G (x) = δ δx (e λx ) = λe λx Beweis i zwei Schritte: Wir zeige zuächst, dass G(s) > 0 s 0. Es ist G(0) > 0 ud wege der Stetigkeit existiert ei ε > 0, so dass G(s) > 0 s [0, ε]. G(s) > 0 s 0, de G(s) = G( s )... G( s ) = G( s }{{} ) -mal ud es gibt ei 0 N, so dass s [0, ε] > 0. Nu gilt, dass G(1) = e α > 0, α = log G(1) R. Defiiere u eie Fuktio G(s) = e αs. Wir were zeige, dass G(s) = G(s) für alle s = m Q+. Es gilt G(1) = G( m m ) (b) = G( 1 m )m = G(1) = e α G( 1 m ) = G( 1 m ). Also gilt auch G( 1 m ) = G( 1 m ) bzw. (wege (b)) G( m ) = G( m ) N 0, m N. Wege der Stetigkeit gilt G(s) = G(s) s 0. Wege (c) muss α < 0 gelte. Wir setze α = λ, λ > 0 ud sid fertig Bemerkug. (i) Oft ist die Aahme, dass eie Wartezeit gedächtislos ist, Ufug. Deoch ist die Expoetialverteilug oft (meist) eie gute (erste) Näherug. 30

31 2 ZUFALLSVARIABLEN 2.12 Expoetialverteilug (Wartezeitmodelle) (ii) Warte muss icht otwedigerweise i Zeiteiheite gemesse werde. Beispiel: Strecke bis zum ächste Ufall auf der Autobah oder Seite bis zum ächste Tippfehler i eiem Text. (iii) Die diskrete Variate der gedächtislose Wartezeit wird durch die geometrische Verteilug P () = q 1 (1 q) mit q = 1 p beschriebe. Beispiel: Wa kommt die ächste 6 beim Würfel? Beispiel[Hotlie]. Hotlie agerufe - es ist besetzt. Sie wisse aus Erfahrug, dass die durchschittliche Wartezeit 10 Miute beträgt. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, ach 5 Mitue drazukomme? Aahme: Wartezeit ist expoetialverteilt. Begrüdug: f(x) = λe λx mit λ = 1 10 Miute E(X) = = λ 0 0 xf(x)dx xe λx dx = [ xe λx ] 0 + }{{} =0 0 e λx dx (durchschittliche Wartezeit) = 1 λ [e λx ] 0 = 1 λ Was us iteressiert ist: P (X 5) = 1 5 e x 10 = [ e x 10 ] = 1 e 1 2 0, 39 0 Wie lage muss ma warte, um mit 90%-iger Sicherheit a die Reihe zu komme? P (X T ) = F (T ) = 1 10 T 0 e x 10 0, 9 Also 1 e T 10 0, 9, d.h. T 23 Miute. Hotlie 2-mal agerufe, beide Male besetzt bzw. 1-mal agerufe ud sie wisse, dass eie Perso vor ihe ist. Was ist die Verteilug der summierte Wartezeite? (Satz: f X+Y (x) = (f X f Y )(x)). 31

32 2.13 Mehr zu Uabhägigkeit 2 ZUFALLSVARIABLEN Aahme f X = f Y mit Parameter λ > 0: f X+Y (x) = λ 2 x 0 e λs e λ(x s) ds = λ 2 e λx x f X, f Y uterschiedlich mit Parameter λ, µ > 0: Es lässt sich zeige, dass Beweis mit l Hospital Mehr zu Uabhägigkeit f X+Y (x) = λµ µ λ (e λx e µx ) lim f X+Y = f X+Y (x) µ λ Wir betrachte u de Fall vo uabhägige Zufallsvariable X 1,..., X Beispiel. Hotlie mit Leituge Satz. Es seie X 1,..., X uabhägig expoetialverteilt mit Parameter λ > 0. Da gilt (i) X mi = mi{x 1,..., X } ist expoetialverteilt mit Parameter λ. (ii) X max = max{x 1,..., X } hat die Dichte f max = λe λx (1 e λx ) 1 Beweis: F mi,max = P (X mi,max x) ud G mi,max (x) = 1 F mi,max (x). (i) Es gilt G mi (x) = P (X mi x) = P ({X 1 x}... {X x}) = = P (X i x) (1 F (x)) = e λx siehe letzte VL i=1 Dichte: f mi (x) = F mi (x) = (1 G mi(x)) = λe λx (ii) F max (x) = P (X i x) = (F (x)) = (1 e λx ) (siehe letzte VL). i=0 i=1 f max (x) = F max(x) = (1 e λx ) 1 λe λx Korollar. Es gilt (i) E(X mi ) = 1 λ 0 für 32

33 3 GRENZWERTSÄTZE (ii) E(X max ) = 1 λ 1 i für i=1 Beweis: Erwartugswerte ausreche! Beispiel. (i) 3 uabhägige Kühlkreisläufe i eiem AKW: E(X max ) = 1 λ ( ) = 11 6λ 2 λ (ii) Sportlehrer wartet auf 30 Schüler, die sich umziehe: 3 Grezwertsätze E(X max ) = 3mi( ) >> 3mi Kovergez vo Zufallsvariable { 1 falls 6 gewürfelt Beispiel. Fairer Würfel, X =, X 1, X 2,... seie uabhägige 0 sost Kopie vo X. Y := X X 1 6 für große = relativer Ateil vo Würfe, die 6 ergebe bzw. Y 1 6, aber was heißt das geau? Beispiel. X gleichverteilt auf [0, 1], X 1, X 2,... uabhägige Kopie vo X. Wie sieht die Dichte vo X X für verschiedee aus? Für große ähelt sich die Faltug immer mehr der Normalverteilug. Bei der Dichte vo X X für verschiedee? Es kovergiert gege x = 0, 5 (vertikaler Strich) Erierug. (a ) N Folge i R. a a : ε > 0 0 N : 0 : a a < ε Defiitio. Seie X 1, X 2,... Zufallsvariable i R auf (Ω, E, P ). a) X X fast sicher : P ({ω Ω X (ω) X(ω)}) = P (X X) = 1 f.s. Schreibweise: X X b) X X i Wahrscheilichkeit : P ({ω Ω X (ω) X(ω) > ε}) 0 ε > 0 i.w. Schreibweise (kurz): X X P ( X X > ε) 0 ε > 0 c) X X i Verteilug : P (X x) P (X x) (d.h. X X (x) F X (x)) für alle x R, i dee F X stetig ist. i.v. Schreibweise: X X 33

34 3.1 Kovergez vo Zufallsvariable 3 GRENZWERTSÄTZE Bemerkug. Ei Ereigis ist fast sicher, falls P (Ereigis) = Satz. (i) X f.s. X X i.w. X (ii) X i.w. X X i.v. X Beweis: (i) O.B.d.A. X = 0 (sost ehme X X). Wir wisse P (X 0) = 1. Zu zeige: ε P ( X > ε) 0. Sei ε fest. Defiiere A := {ω Ω X k (ω) ε k }. Es gilt also A 1 A 2... Sei ω Ω mit X (ω) 0. Da existiert 0 N mit X (ω) ε 0. D.h. ω A 0. Es gilt {ω Ω X (ω) 0} A }{{} N hat Wahrscheilichkeit 1 Es gilt außerdem, dass P ( A ) = lim P (A ). Zusamme habe wir: N 1 = P ( N A ) = lim P (A ) Nu {ω Ω X (ω) > ε} Ω \ A ud damit P ( X > ε) 1 P (A ). lim P ( X > ε) = lim 1 P (A ) = 0 Ud damit { ist die Implikatio gezeigt. Gegebeispiel für die Rückrichtug: 1 X = mit P (X = 1) = 1 0 ud P (X = 0) = 1 1. P (X > ε) = { 1 0 < ε < ε 1 0 X i.w. 0 f.s. Aber X 0, de: Defiiere A := {ω Ω X k (ω) = 0 für k }, Eigeschafte vo A also wie im Beweis. Es lässt sich zeige: A = {ω Ω X (ω) 0} ud P (A ) = 0 1 P ( A ) = 0 P (X 0) = 0 N i.w. (ii) Sei X X, d.h. P ( X X > ε) F (x) = P (X x). Sei ε > 0 fest. Es gilt: 0 ε > 0. Sei F (x) = P (X x), F (x) = P (X x) = P (X x X x + ε) + P (X x X > x + ε) }{{}}{{} P (X x+ε)=f (x+ε) P ( X X >ε) 34

35 3 GRENZWERTSÄTZE 3.1 Kovergez vo Zufallsvariable Außerdem: F (x ε) = P (X x ε) = P (X x ε X x) + P (X x ε X > x) }{{}}{{} F (x) P ( X X >ε) Zusamme: F (x ε) P ( X X > ε) F (x) F (x + ε) + P ( X X > ε) }{{}}{{} 0 0 Nach Quetschlemma: F (x) = lim i.v. (x), also X X. { Gegebeispiel für die Rückrichtug: X = 0 1 mit P (X = 0) = 1 2 = P (X = 1). X 1 =... = X = X. Setze Y = 1 X. 0 x < 0 F (x) = P (X x) = x < 1 1 x 1 ud F Y (x) = P (Y x) = P (X x) = F (x) = F (x). Aber X Y = 1, d.h. P ( X Y = 1) = 1 P ( X Y > ε) = 0 ε < 1 ud somit ist keie Kovergez gege 0 möglich Satz[Das schwache Gesetz der große Zahl]. Seie X 1, X 2,... uabhägige Kopie vo eier reelle Zufallsvariable X. Da gilt: P ( X X E(X) ε) 0 ε > 0 d.h. X X i.w. E(X). Geauer: Im Beispiel: Würfel X = P ( X X E(X) ε) Var(X) ε 2 }{{} 0 { 0 falls 6 1 sost E(X) = 1 6. Beweis: Eifach die Tschebyschev-Ugleichug awede. E(X), Var( X ) = 1 Var(X) = VarX 2 Tschebyscheff: P ( X E(X) ε) Var X = VarX ε 2 ε Bemerkug[Kovergezbegriffe, Zusammestellug]. ε > 0 X := X X. E( X ) = Fast sichere Kovergez: X f.s. X P ({ω Ω X (ω) X(ω)}) = 1 35

36 3.2 Borel-Catelli-Lemma(0-1-Gesetz) 3 GRENZWERTSÄTZE Kovergez i Wahrscheilichkeit X Kovergez i Verteilug i.w. X P ({ω Ω X (ω) X(ω) > ε}) 0 ε > 0 X i.v. X P (X x) P (X x) Iterpretatio: Fast sichere Kovergez ud Kovergez i Wahrscheilichkeit sid Aussage über eizele Ausführuge eies Zufallsexperimets. Kovergez im Verteilugssie betrifft das Verhalte im Mittel Beispiel[Schwaches Gesetz der große Zahl]. Relative Häufigkeit der 6 beim Würfel, X i = { 6 beim i-te Wurf} Fairer Würfel: E(X i ) = p = 1 6, Var(X i) = p(1 p) = 1 36 (X i beroulliverteilt mit Wahrscheilichkeit p = 1 6 ). Schwaches Gesetz der große Zahle: P ( X X }{{} empirisches Mittel 1 6 }{{} Grezwert p=e(x) 3.2 Borel-Catelli-Lemma(0-1-Gesetz) ε) Var( X X )) ε 2 = 1 }{{} ε Kovergezrate Hilfssatz zur Utersuchug der Kovergez vo Zufallsvariable ( starkes Gesetz der große Zahle) Notiz[Voraussetzuge]. (i) Es sei (Ω, E, P ) ei Wahrscheilichkeitsraum, A 1, A 2,... eie uedliche Folge vo Ereigisse mit A i E. Frage: Welche Ereigisse komme uedlich oft vor? Etwas präziser: Wir frage ach ω Ω, die i uedlich viele A i liege, i Formel: A = {ω Ω ω A k für uedlich viele k} Beispiel: Auftrete der 6 beim Würfel. Stichproberaum Ω = {(ω 1, ω 2,...)}, ω i {1, 2, 3, 4, 5, 6}, also eie uedliche Folge vo Würfe. Wir betrachte die Ereigisfolge A 1, A 2,... mit A i = { 6 beim i-te Wurf}. D.h. A = {ω Ω ω k = 6 uedlich oft} (ii) A ist ei Ereigis, de A lässt sich als A = lim sup A = B mit B = =1 k schreibe, d.h. A E ud es gilt, dass B 1 B 2... eie aufsteigede Kette bilde, weshalb P (A ) = P ( ) = lim P (B ) (Stetigkeit vo Obe) =1 A k 36

37 3 GRENZWERTSÄTZE 3.2 Borel-Catelli-Lemma(0-1-Gesetz) Satz[Borel-Catelli-Lemma]. Ist k 1P (A k ) <, so gilt P (A ) = 0 Sid A 1, A 2,... uabhägig ud k 1A k =, da ist P (A ) = 1 Beweis: (i) Wege der Kovergez der Reihe k 1A k gilt, dass lim P (A k ) = 0. k P (B 1 ) P (A k ) folgt, dass k Wege P (A ) = lim P (B ) = 0 (ii) Wir werde zeige, dass P (A c ) = 0. Wege der Uabhägigkeit vo A 1, A 2,... sid auch A c 1, Ac 2,... uabhägig ud somit ist Daher ist Es folgt: P ( A c i) = i=1 (1 P (A i )) }{{} =P (A c i ) i=1 i=1 lim P ( A c i) = 0 i=1 P (A c ) = P (( A k ) c =1 k }{{} =lim if A c Also gilt, dass P (A c ) = 0 ud somit P (A ) = 1. e P (A i) = e i=1 P (A i) ) = lim P ( A c k ) k Bemerkug. Ohe die Uabhägigkeit der A 1, A 2,... ist (ii) falsch: Mit z.b. A 1, so dass 0 < P (A 1 ) < 1 ud A k = A 1 k, folgt, dass P (A ) = P (ω A 1 ) (0, 1) Beispiel. (i) Würfel: A i = { 6 im i-te Wurf} hat die Wahrscheilichkeit, eie 6 zu würfel, d.h. P (A i ) = 1 6. Also ist P (A k) = ud die 6 tritt fast sicher uedlich oft k 1 auf. (ii) Ifiite Mokey Theorem: Affe drückt wohllos (d.h. gleichverteilt) Taste eier Schreibmaschie ud A i sei das Ergebis, alle Bäde vo Shakespeare. Auch hier ist P (A k ) =, d.h. Shakespeare wird oft geschriebe. k 1 (iii) Ureexperimet: Seie U 1, U 2,... Ure mit rote ud weiße Kugel, wobei U gerade 1 weiße ud α 1 rote Kugel hat. P ({weiße Kugel im i-te Zug} ) = }{{} A i 1 α 37