Wahrscheinlichkeit und Statistik Zusammenfassung

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1 Wahrscheilichkeit ud Statistik Zusammefassug Fabia Hah, Dio Werli 9. September 008 Wahrscheilichkeitstheorie Grudlegede Kombiatorik Die folgede Tabelle bezieht sich auf das Uremodell: ziehe aus k geordet ugeordet ( mit Zurücklege k +k ) ( k! ohe Zurücklege ( k)! k) Ereigisraum Ω Mege aller mögliche Elemetarereigisse ω des betrachtete Zufallsexperimets. Würfel: Ω =,, 3, 4, 5, 6} Ereigis A Teilmege des Ereigisraums Ω (A Ω), also eie Kollektio aus Elemetarereigisse. Ka also auch mehrere Ergebisse des Zufallsexperimets umfasse. Gerader Würfelwurf: A =, 4, 6} Ω Beobachtbare Ereigisse F Ereigisse, die ma wirklich beobachte, also messe ka. Es gilt F Ω. Normalerweise, also we Ω edlich oder überabzählbar ist, wählt ma F = Ω, also alle mögliche Ereigisse des Ereigisraums. Megeoperatioe auf Ereigisse Megeoperatioe auf Ereigisse fuktioiere geau so, wie ma es sich auch ituitiv vorstelle würde: Schittmege A B: Ereigis, dass A ud B gleichzeitig eitrete. Vereiigug A B: Ereigis, dass A oder B (oder auch beide) eitrete. Komplemet A: Ereigis, dass A icht eitritt. Wahrscheilichkeitmass P Fuktio, welche eiem Ereigis eie Wert zwische 0 ud zuordet, also eie Abbildug P : F [0, ]. Recheregel P [Ω] =, P [ ] = P [Ω] = 0 P [A B] = P [A] + P [B] falls A B = (A ud B heisse da disjukt), asoste verwede Iklusio- Exklusios-Prizip: P [A B] = P [A] + P [B] P [A B] Falls alle A i paarweise disjukt sid, gilt: [ ] P A i = P [A i ] () i i P [A] = P [A] A B P [A] P [B] Wahrscheilichkeitsraum (Ω, F, P ) Ei Wahrscheilichkeitsraum charakterisiert ei Zufallsexperimet ud umfasst eie Grudraum Ω, die beobachtbare Ereigisse F ud eie Wahrscheilichkeitsabbildug P. Laplace-Raum Ei Laplace-Raum ist ei edlicher Wahrscheilichkeitsraum, i welchem alle Elemetarereigisse gleich wahrscheilich sid. Das Wahrscheilichkeitsmass P i diesem Raum heisst diskrete Gleichverteilug. Für alle Ereigisse A Ω gilt: P [A] = A Ω Bedigte Wahrscheilichkeit Die bedigte Wahrscheilichkeit vo B gegebe A etspricht der Wahrscheilichkeit, dass B eitritt, we ma scho weiss, dass A eigetrete ist. Es gilt: P [B A] = P [A B] P [A] () (3) P [A B] = P [A] P [B A] = P [B] P [A B] (4) Die Pfadregel, ach der Wahrscheilichkeite i eiem Wahrscheilichkeitsbaum multipliziert werde, um die Wahrscheilichkeit eies Blattes zu erhalte, etspricht eier Verkettug bedigter Wahrscheilichkeite. Satz der totale Wahrscheilichkeit Sei A i eie disjukte Zerlegug vo Ω, also A i = Ω disjukt. Für beliebige Ereigisse B gilt da: P [B] = P [A i B] = P [A i ] P [B A i ] (5)

2 Der Satz bedeutet gerade, dass ma die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses ute i eiem Wahrscheilichkeitsbaum bekomme ka, we ma die eizele Pfade addiert, die zu ihm führe. Satz vo Bayes Mit dem Satz vo Bayes lasse sich bedigte Wahrscheilichkeite umkehre. Sei A i eie disjukte Zerlegug vo Ω, also A i = Ω disjukt ud B ei weiteres Ereigis. Da gilt für jedes k: P [A k B] = P [A k B] P [B] Uabhägigkeit = P [A k] P [B A k ] P [A i] P [B A i ] Zwei Ereigisse A ud B heisse uabhägig, falls gilt: (6) P [A B] = P [A] P [B] (7) Vergleich mit (4) liefert: (P [A] 0, P [B] 0) A, B uabhägig P [B A] = P [B] P [A B] = P [A] (8) Aschaulich bedeutet Uabhägigkeit, dass das Eitrete des eie Ereigisses keie Eifluss auf die Wahrscheilichkeit des adere hat. Deshalb ist auch die Kovariaz Cov(X, Y ) zweier Zufallsvariable X ud Y gleich Null, falls sie uabhägig sid (Achtug: Umkehrug gilt icht!). Die Ereigisse A i mit i,,..., } heisse uabhägig, we für jede Teilfamilie T vo A i gilt: j <... < j k, T = A j... A jk (9) k P [T ] = P [A jm ] m= Achtug: Paarweise Uabhägigkeit bedeutet icht, dass alle Elemete uabhägig sid. Gegebeispiel Würfelwurf: A = erste Zahl gerade, B = zweite Zahl gerade, C = beide gerade oder beide ugerade. Zufallsvariable Zufallsvariable X Eie Zufallsvariable ist eie Fuktio X : Ω R, welche jedem Elemetarereigis eie Zahl zuordet, welche repräsetiert, wofür wir us bei userem Zufallsexperimet überhaupt iteressiere. Beispiele: Augezahl bei eiem Würfelwurf, Azahl Köpfe bei k-maligem Müzwurf, Gewicht eier aus eiem Sack gezogee Kartoffel. Eie Zufallsvariable mit abzählbarem Wertebereich heisst diskret, asoste ist sie (bei us meist) stetig. Idikatorfuktio Die Idikatorfuktio ist eie spezielle Zufallsvariable, welche agibt, ob ei Ereigis A eigetrete ist. ω A A (ω) = (0) 0 ω / A Gewichtsfuktio p Die Gewichtsfuktio p X (t) : W(X) [0, ] ordet jedem Wert t, de eie Zufallsvariable X aehme ka, seie Wahrscheilichkeit zu. Viel ituitiver aber auch erlaubt ist die Schreibweise P [X = t], wobei t W(X). Aschaulich gibt P [X = t] auf die Frage Auskuft: Mit welcher Wahrscheilichkeit immt X de Wert t a? Achtug: Die Gewichtsfuktio ist ur für diskrete Zufallsvariable sivoll (de bei eier stetige Verteilug hat ei Eizelereigis immer die Wahrscheilichkeit 0)! Dichtefuktio Die Dichtefuktio f X ist das Aalago zur Gewichtsfuktio für stetige Zufallsvariable. Sie gibt die Äderug ihrer Verteilugsfuktioe a ud charakterisiert sie so vollstädig. Trasformatio t W(X) : f X (t) 0 () t / W(X) : f X (t) = 0 () f X (t) dt = (3) Sei X eie Zufallsvariable mit Dichtefuktio f X ud Y = g(x) bijektiv. Da hat Y die Dichtefuktio: f Y (t) = d dt g (t) f ( X g (t) ) (4) Sei zum Beispiel Y = ax + b. Da gilt: f Y (t) = a f X Verteilug µ ( t b ) a Die Verteilug µ X : B [0, ] mit B W(X) ist das Aalogo zu Gewichts- bzw. Dichtefuktio für Bereiche (Teilmege) der Wertemege eier Zufallsvariable X. Aschaulich beatwortet µ X (B), wie gross die Wahrscheilichkeit ist, dass X eie Wert aus B aimmt. Bei stetige Zufallsvariable ist B oft Teilitervall vo W(X). Verteilugsfuktio F Die Verteilugsfuktio F X : W(X) [0, ] gibt über die Wahrscheilichkeit Auskuft, mit welcher eie Zufallsvariable X höchstes eie bestimmte Wert erreicht. Ituitiver ud erlaubt ist die Schreibweise P [X t], wobei t W(X). F X ist mooto wachsed ud rechtsstetig. Es gilt: We X diskret: F X (t) = lim F X(t) = 0 (5) t i W(X) i t lim F X(t) = (6) t p X (i) = i W(X) i t P [X = i] (7)

3 We X stetig: F X (t) = t f X (x) dx (8) Für diskrete ud stetige X gilt gleichermasse: P [a < X b] = F X (b) F X (a) (9) Bei stetige X darf ma ierhalb vo P [...]-Blöcke die Zeiche <, sowie >, frei vertausche Quatil ud Media Für α (0, ) heisst q α = F X (α) das α-quatil der Verteilugsfuktio F. Es bedeutet, dass die Zufallsvariable X mit Wahrscheilichkeit α Werte zwische ud dem α-quatil q α aimmt. Das -Quatil eier Verteilug heisst Media. Erwartugswert E Der Erwartugswert zeigt, welche Wert eie Zufallsvariable bei viele Wiederholuge des Zufallsexperimets durchschittlich aehme wird. Oft schreibt ma astatt E[X] auch µ (Achtug: icht mit Verteilug verwechsel!). diskret: E[X] = t P [X = t] (0) stetig: E[X] = Erlaubte Trasformatioe Für Y = g(x), diskret gilt: E[Y ] = t W(X) Für Y = g(x), stetig gilt: E[Y ] = t W(X) x f X (x) dx () g(t) P [X = t] () g(x) f X (x) dx (3) Für Z = g(x) h(y ) mit X, Y uabhägig gilt: Achtug: E[Z] = E[g(X)] E[h(Y )] (4) Umkehrug gilt icht! Für Y = a + b ix i gilt: E[Y ] = a + b i E[X i ] (5) Erwartugswert eier Fuktio mehrerer ZV Seie X,..., X Zufallsvariable mit gemeisamer Gewichtsfuktio p bzw. gemeisamer Dichtefuktio f ud Y = g(x,..., X ). Da gilt je ach Fall: E[Y ] = = x,...,x g(x,..., x ) p(x,..., x ) (6) g(x,..., x ) f(x,..., x ) dx dx (7) Variaz V ar Die Variaz ist ei Mass für die Streuug eier Zufallsvariable. Sie stellt de Übergag zwische der Zufallsvariable selbst ud ihrer Stadardabweichug dar. Oft schreibt ma deshalb astatt V ar[x] auch σ. Daraus folgt: V ar[x] = E[Y ], wobei Y = X E[X] (8) Falls E[X ] < : X diskret: X stetig: V ar[x] = V ar[x] = E[X ] E[X] (9) V ar[x] = Für Z = a + bx gilt: t W(X) (t µ) P [X = t] (30) (x µ) f X (x) dx (3) V ar[z] = b V ar[x] (3) Für X, X,... X uabhägig gilt: [ ] V ar X i = V ar[x i ] (33) Stadardabweichug σ Die Stadardabweichug ist das Mass für die Abweichug eier Zufallsvariable vo ihrem Erwartugswert. Kovariaz Cov σ = σ = V ar[x] (34) Die Kovariaz ist ei Mass für de Zusammehag zwische zwei Zufallsvariable X ud Y bzw. ihrer Streuug: Cov(X, Y ) = E [(X E[X]) (Y E[Y ])] = Korrelatio ϱ = E[X Y ] E[X] E[Y ] (35) V ar[x + Y ] V ar[x] V ar[y ] Cov(X, X) = V ar[x] (36) Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y ) + Cov(X, Z) (37) a R : Cov(X, a) = 0 (38) b R : Cov(X, by ) = b Cov(X, Y ) (39) Wie die Kovariaz ist auch die Korrelatio ei Mass für de Zusammehag zwische zwei Zufallsvariable X ud Y. Im Gegesatz zu dieser ist die Korrelatio jedoch dimesios- ud eiheitelos ud eiget sich deshalb für Vergleiche verschiedeer Zusammehäge. ϱ = Cov(X, Y ) V ar[x] V ar[y ] (40) 3

4 ϱ(x, Y ) ϱ(x, Y ) = gilt geau da, we es Kostate a, b R, b 0 gibt sodass P [Y = a+bx] =. X ud Y heisse da perfekt korreliert. ( ) p t ( p) t (50) t p (5) σ = V ar[x] = p ( p) (5) Diskrete Verteiluge Azahl Köpfe beim 0-malige Müzwurf Diskrete Gleichverteilug Eifachste Verteilug, bei welcher alle Werte Z zwische zwei Schrake a Z ud b Z gleich wahrscheilich sid. F X (t) = P [X t] = µ X (B) = σ = V ar[x] = a t b 0 sost 0 t < a t a+ a t b t > b B a + b Ergebis eies Müz- oder Würfelwurfs. Beroulli-Verteilug (4) (4) (43) (44) (45) Eie Beroulli-verteilte Zufallsvariable mit Parameter p immt geau die beide Werte 0 ud mit de Wahrscheilichkeite p ud p a. Also ist sie auch die Idikatorfuktio A für ei Ereigis A mit P [A] = p. X Be(p) p t = 0 p t = (46) p (47) σ = V ar[x] = p ( p) (48) Biomialverteilug Die Biomialverteilug beschreibt die Azahl der Erfolge bei uabhägige 0--Experimete mit Erfolgswahrscheilichkeit p. Daraus folgt: X = Y i mit Y i Be(p) (49) X Bi(, p) Geometrische Verteilug Die geometrische Verteilug mit Parameter p beschreibt die Wartezeit auf de erste Erfolg bei eier Folge uabhägiger 0--Experimete mit Erfolgswahrscheilichkeit p. X = if i N Y i = } mit Y i Be(p) (53) X Geom(p) p ( p) t (54) F X (t) = P [X t] = ( p) t (55) p (56) σ = V ar[x] = p p (57) Gedächtislosigkeit / forgetfuless property: P [X t + s X s] = P [X t] (58) Die Wahrscheilichkeit, dass ma och eie weitere Zeitabschitt t warte muss, hägt icht davo ab, wie lage ma scho gewartet hat. Wartezeit auf Kopf bei wiederholtem Müzwurf Negativbiomialverteilug Die Negativbiomialverteilug mit Parameter r ud p beschreibt die Wartezeit auf de r-te Erfolg bei eier Folge uabhägiger 0--Experimete mit Erfolgswahrscheilichkeit p. Daraus folgt NB(, p) Geom(p). X NB(r, p) σ = V ar[x] = Für X,..., X r Geom(p) i.i.d. gilt: Müzwurf ( ) t p r ( p) t r r (59) r p (60) r ( p) p (6) X + X X r NB(r, p) (6) Wartezeit auf dritte Kopf beim wiederholtem 4

5 Hypergeometrische Verteilug Eie hypergeometrisch verteilte Zufallsvariable beschreibt die Azahl guter Kugel, we ma aus eier Ure mit Kugel, davo r gute, m Mal ohe Zurücklege zieht. σ = V ar[x] = Poisso-Verteilug ( r ( t) r ) m t ( (63) m) r m r m ( m ) r (64) (65) Die Poisso-Verteilug mit Parameter λ R + ist eie Approximatio der Biomialverteilug für kleie p ud grosse, wobei λ = p. Die Approximatio ist gut für p 0.05 ud damit ei Modell für seltee Ereigisse. X P(λ) e λ λt t! (66) λ (67) σ = V ar[x] = λ (68) Azahl eigeheder Druckaufträge i = 3600 Sekude mit eier Jobwahrscheilichkeit vo p = % pro Sekude, we pro Sekude maximal ei Job eitreffe ka. Stetige Verteiluge Stetige Gleichverteilug Bei der stetige Gleichverteilug oder auch uiforme Verteilug sid alle Werte zwische zwei Schrake a ud b gleich Wahrscheilich. X U(a, b) f X (t) = F X (t) = σ = V ar[x] = Expoetialverteilug b a a t b 0 sost 0 t < a t a b a a t b t > b a + b (b a) (69) (70) (7) (7) Die Expoetialverteilug mit Parameter λ R + ( Ausfallrate ) ist das stetige Aalogo zur geometrische Verteilug ud beschreibt eie Lebesdauer oder eie Wartezeit. X Exp(λ) f X (t) = F X (t) = σ = V ar[x] = 0 t < 0 λ e λt t 0 0 t < 0 e λt t 0 Gedächtislosigkeit / forgetfuless property: Normalverteilug (73) (74) λ (75) λ (76) P [X > t + s X > s] = P [X t] (77) Die Normalverteilug mit Erwartugswert µ R ud Variaz σ R + modelliert Summe oder Mittelwerte vieler i.i.d. Zufallsvariable (dies folgt aus dem zetrale Grezwertsatz). Meistes beschreibt sie die Ergebisse vo Messuge aus der Natur. X N (µ, σ ) f X (t) = σ π (t µ) e σ (78) F X (t) = tabelliert durch Φ(t) (79) µ (80) σ = V ar[x] = σ (8) Gewicht vo Kürbisse Stadardormalverteilug N (0, ) heisst Stadardormalverteilug. Ihre Dichte F X (t) Φ(t) ist tabelliert. Eigeschaft: Sei X N (µ, σ ), Y = X µ σ. Da gilt Y N (0, ) ud: [ P [X x] = P Y x µ ] ( ) x µ = Φ (8) σ σ Chiquadratverteilug Die Chiquadratverteilug mit m Freiheitsgrade taucht bei bestimmte Tests auf ud etsteht durch Quadriere ud Summiere vo m stadardormalverteilte Zufallsvariable. Eigeschaft: χ m X χ m m Xi mit X i N (0, ) (83) 5

6 t-verteilug Die t-verteilug mit m Freiheitsgrade ist symmetrisch ud tritt bei Tests auf. X t m f X (t) = Γ ( ) m+ ) m+ ( mπ Γ m ) ( + x m (84) 0 für > (85) σ = V ar[x] = für > (86) Simulatio Sei F eie stetige, streg mooto wachsede ud bijektive Verteilugsfuktio mit Umkehrfuktio F. Sei X U(0, ) gleichverteilt ud Y = F (X). Da hat Y gerade die Verteilugsfuktio F. Awedug: PC liefert immer uiforme Zufallszahle zwische 0 ud. Wir wolle aber eie adere Verteilug habe. Beispiel Expoetialverteilug s = F (t) = e λt (87) Umkehrfuktio: t = F log( s) (s) = λ Sei u x ei zufällig geerierter Wert der Zufallsvariable X mit X U(0, ). Aufgrud obige Formel gilt: y = F log( x) (x) = Exp(λ) (88) λ Gemeisame Verteiluge Fuktioe Aalog zum Fall für eie Zufallsvariable existiere für gemeisame Verteiluge: Gemeisame Gewichtsfuktio, falls alle X i diskret: p(x,..., x ) = P [X = x,..., X = x ] (89) Gemeisame Dichtefuktio, falls alle X i stetig: Gemeisame Verteilugsfuktio f(x, x,..., x ) (90) F (x,..., x ) = P [X x,..., X x ] (9) Im diskrete Fall gilt: = t W(X ) t x Im stetige Fall gilt: = x F (x, x,..., x ) (9) P [X = t,..., X = x ] (93) t W(X) t x F (x, x,..., x ) (94) x f(t,..., t ) dt dt Darstellug für = Im diskrete Fall: Darstellug als Tabelle Im stetige Fall: Darstellug als Flächegraph Radverteiluge Möchte ma ausgehed vo eier gemeisame Verteilug bestimmte Zufallsvariable ubetrachtet lasse ud quasi Eizelverteiluge herausfide, da: Gewichtsfuktio: ubetrachtete ZV wegsummiere: P [X = x] = (95) Dichtefuktio: f X (x) = t W(Y ) t W(Y ) P [X = x, Y = y,..., Y = y ] ubetrachtete ZV wegitegriere: Verteilugsfuktio: f(x, y,..., y ) dy dy (96) Limes bilde: F X (x) = lim lim F (x, y,..., y ) (97) y y Uabhägigkeit vo Zufallsvariable Die Zufallsvariable X, X,..., X heisse uabhägig, falls: F (x,..., x ) = F X (x ) F X (x ) (98) Dies ist je ach Fall (diskret oder stetig) äquivalet zu: P [X = x,..., X = x ] (99) = P [X = x ] P [X = x ] f(x,..., x ) = f X (x ) f X (x ) (00) Sid Zufallsvariable gleich verteilt ud uabhägig, so schreibt ma i.i.d. für idepedet idetically distributed. Bedigte Verteiluge Bedigte Gewichtsfuktio Die bedigte Gewichtsfuktio eier Zufallsvariable X, gegebe dass Y = y, ist defiiert als: P [X = x Y = y] = P [X = x, Y = y] P [Y = y] (0) X ud Y sid uabhägig geau da, we x W(X) gilt: Bedigte Dichtefuktio P [X = x Y = y] = P [X = x] (0) Die bedigte Dichtefuktio eier Zufallsvariable X, gegebe Y = y, ist defiiert als: f(x y) = f(x, y) f(y) X ud Y sid uabhägig geau da, we x gilt: (03) f(x y) = f(x) (04) 6

7 Grezwertsätze Schwaches Gesetz der grosse Zahle Seie X, X,... uabhägige oder zumidest paarweise ukorrelierte Zufallsvariable mit gleichem Erwartugswert µ ud gleicher Variaz σ. Sei X = X i. Da gilt: ε > 0 : lim P [ X µ > ε ] = 0 (05) Starkes Gesetz der grosse Zahle Seie X, X,... i.i.d. Zufallsvariable mit edlichem Erwartugswert µ. Sei X = X i. Da gilt: [ ] P lim X = µ = (06) Markow-Ugleichug Sei X eie Zufallsvariable, a R + ud h : R R + eie Fuktio. Da gilt: P [h(x) a] E[h(X)] a Chebyshev-Ugleichug (07) Sei Y Zufallsvariable mit Erwartugswert µ ud Variaz σ : ε > 0 : P [ Y µ > ε] σ ε (08) Awedug: Sehr leicht berechebare Schrake für jede beliebige Verteilug. Cheroff-Schrake Seie X, X,..., X i.i.d. mit X i Be(p). Sei S = X i Bi(, p) ud damit E[S ] = p. ( e ε ε > 0 : P [S ( + ε)e[s ]] ( + ε) +ε ) E[S] (09) Awedug: Viel eifacher zu reche als die Verteilugsfuktio der Biomialverteilug, liefert im Gegesatz zur Poisso-Approximatio eie exakte Schrake. Zetraler Grezwertsatz Seie X, X,... i.i.d. Zufallsvariable mit E[X i ] = µ ud V ar[x i ] = σ. Sei S = X i. Da gilt: [ ] S µ lim σ t = Φ(t) (0) Oft wird folgede Abkürzug beutzt: S = S E[S ] V ar[s ] = S µ σ () Die etstadee Zufallsvariable S heisst Stadardisierug vo S. Der zetrale Grezwertsatz lässt sich so schreibe als: Für X = gross S approx N (0, ) P [S t] Φ(t) () approx S N (µ, σ ) X approx i gilt: X N ( µ, σ) Statistik Stichprobe I der Statistik möchte ma aus beobachtete Date Rückschlüsse auf die Verteiluge ziehe, welche diese Date geeriert habe. Eie vo eiem Elemetarereigis ω erzeugte Datemege heisst Stichprobe. Ihre Date x, x,..., x heisse Realisieruge ud werde als Werte X (ω),..., X (ω) vo Zufallsvariable X,..., X betrachtet. Schätzer Betrachtet ma jede der zu charakterisierede Zufallsvariable X,..., X als abhägig vo Parameter ϑ i, so reduziert sich das Ziel darauf, diese Parameter ϑ,..., ϑ m zu schätze. Ei Schätzer T i ist eie Zufallsvariable, die i Abhägigkeit der Date geau eie der gesuchte Parameter ϑ i schätzt. Erwartugstreue Ei Schätzer T i heisst erwartugstreu für ϑ i, falls E[T i ] = ϑ i. Im Mittel über alle Realisatioe schätzt er also richtig. Kosistez Erweitert ma eie Schätzer so, dass er weitere Realisieruge derselbe Zufallsvariable berücksichtigt, heisst er kosistet, falls er für eie grössere Azahl immer geauer wird: Maximum-Likelihood-Methode [ ] P lim T () i = ϑ i = (3) Die Likelihood-Fuktio L gibt die Wahrscheilichkeit eier Stichprobe uter eiem Parameter ϑ wieder: L(x,..., x ; ϑ) = p(x,..., x ; ϑ) f(x,..., x ; ϑ) Sid die Zufallsvariable X i i.i.d., so gilt: L(x,..., x ; ϑ) = diskreter Fall stetiger Fall p X(x i ; ϑ) diskreter Fall f X(x i ; ϑ) stetiger Fall (4) (5) log L(x,..., x ; ϑ) heisst log-likelihood-fuktio. Der Maximum-Likelihood-Schätzer T ML für ϑ ist dadurch defiiert, dass er die Likelihood-Fuktio L über ϑ maximiert. Dadurch schätzt er ϑ geau so, dass die gegebee Stichprobe uter ϑ am wahrscheilichste ist. Da es sich bei L meistes um ei Produkt hadelt ud die log- Fuktio streg mooto steiged ist, ka ma auch log L über ϑ miimiere, was eifacher zu reche ist. Häufig gebrauchte ML-Schätzer X i Be(p): T p = X i = X (6) 7

8 Da es schwieriger ist, eie Hypothese zu verwerfe, wähle wir als Nullhypothese das Gegeteil der eigetlich gewüschte Aussage. Ausserdem wird immer ei Sigifikaziveau α gegebe. Falls sich der kritische Bereich z.b. am rechte Rad vo T befidet, berechet sich der kritische Wert c, also desse utere Greze (exklusiv), zu: P ϑ0 [T c] = α ach c auflöse (3) Bei eier zweiseitige Alterativhypothese sid gegebeefalls Symmetrie auszuutze. Die Wahrscheilichkeit uter der Nullhypothese, de erhaltee Wert für die Teststatistik zu bekomme, heisst P-Wert. Ist er kleier als α, so verwirft ma die Nullhypothese. Abbildug : Ei Test mit Fehler erster ud zweiter Art X i N (µ, σ ): Tests T µ = X i = X (7) = ( ) Xi X (8) ( ) = Xi ( ) X T σ Achtug: T σ ist icht erwartugstreu: E[T σ ] = V ar[x] (9) Deshalb beutzt ma meistes die empirische Stichprobevariaz S : S = T σ = T σ = ( ) Xi X (0) Ausgehed vo eier Stichprobe möchte ma zwei Verteilugsparameter (bzw. Parameterbereiche) gegeeiader abwäge: Eie Nullhypothese Θ 0 ud eie Alterativhypothese Θ A. Ma wählt u eie Zufallsvariable T ames Teststatistik abhägig vo ϑ, welche die Date der Stichprobe auswertet. Dabei wolle wir die Nullhypothese ablehe, we der realisierte Wert T (x,..., x ) i eie kritische Bereich oder Verwerfugsbereich K fällt. Die Etscheidug ka auf zwei Arte falsch herauskomme: Fehler.Art: Die Nullhypothese wird abgeleht, obwohl sie eigetlich richtig wäre. Die Wahrscheilichkeit für eie Fehler. Art heisst Sigifikaziveau α: z-test Der z-test ist ei Test für Erwartugswert bei bekater Variaz σ. Es seie also X,..., X N (ϑ, σ ) i.i.d.. Wir wolle die Nullhypothese ϑ = ϑ 0 teste. Teststatistik: T = X ϑ 0 σ N (0, ) (4) De kritische Bereich K bestimmt ma abhägig vo der Alterativhypothese Θ A : ϑ A > ϑ 0 eiseitig: K = (c >, ) mit c > = ( α)-quatil = Φ ( α) (5) ϑ A < ϑ 0 eiseitig: K = (, c > ) mit c < = α-quatil = Φ (α) (6) ϑ A ϑ 0 zweiseitig: K = (, c ) (c, ) ( c = α ) ( -Quatil = Φ α ) t-test (7) Der t-test ist ei Test für Erwartugswert bei ubekater Variaz. Es seie also X,..., X N (ϑ, σ ) ud wir möchte die Nullhypothese ϑ = ϑ 0 teste. Teststatistik: T = X ϑ 0 S t (8) Dabei bezeichet S de Schätzer für die empirische Stichprobevariaz. Der kritische Bereich K lässt sich aalog zum z-test mit de Quatile der t -Verteilug bestimme. α = P ϑ0 [T K], ϑ 0 Θ 0 () Fehler.Art: Die Nullhypothese wird ageomme, obwohl sie falsch wäre. Die Wahrscheilichkeit für eie Fehler. Art beträgt β, wobei β als die Macht des Tests bezeichet wird: β = P ϑa [T K], ϑ A Θ A () 8

9 Beispiele t-test Aufgabe Ei Waschmittelhersteller brigt 5kg-Packuge i de Umlauf. Die Kosumeteschutzorgaisatio kauft 5 Packuge. Es ergibt sich ei Mittel vo X = 4.9 kg ud eie empirische Stichprobevariaz S = 0.kg. Die eizele Gewichte seie durch uabhägige N (µ, σ ) Zufallsvariable beschriebe.. Wie laute die Hypothese H 0 ud H A?. Wie ist (X 5)/(S/5)) verteilt uter H 0? 3. Führe Sie de t-test auf dem 5%-Niveau durch. Wie gross ist der P-Wert? Wird die Nullhypothese verworfe? 4. Bereche Sie das 95%-Vertrauesitervall für de i 3. beschriebee Test. Lösug. H 0 : µ = 5, H : µ < 5. Verteilug: t 5 = t 4 3. T-Statistik: T = X µ0 q =.58. P -Wert = P S µ0 [T < c] = Gesucht ist ei c, sodass P µ0 [T < c] = 0.05 bzw P µ0 [T > c] = Dies ergibt c =.7. Weil T =.58 > c wird die Nullhypothese icht verworfe. 4. Die Formel für das Vertrauesitervall ergibt I 0.95 = [4.79, 5.008]. Da user Test aber eiseitig ist, wird das Itervall I 0.95 = [, 5.008]. Folge vo Zufallsvariable Aufgabe Seie X,..., X iid. Poisso-verteilte Zufallsvariable mit Parameter λ =. Gegebe sei u die Folge: + Wie gross ist der Grezwert? X i Simulatio() Aufgabe Die Zufallsvariable X sei Pareto-verteilt ud habe die Verteilugsfuktio: ( ) α x F X (x x 0, a) = x 0 α >, x x 0 0 sost αx α 0 x α α >, x x 0 f X (x x 0, a) = 0 sost Ei auf [0,] uiform verteilter Zufallsgeerator habe u die Werte 0.37 ud geeriert. Bereche daraus Realisieruge der eier Pareto-verteilte Zufallsvariable mit α = ud x 0 = 0 6. Lösug Die Iverse F X der Verteilugsfuktio, ausgewertet a de geerierte Stelle [0, ] ergibt die Realisieruge der Verteilug F X. fürx x 0 : F X (y) = x 0 ( y) /α Jetzt müsse ur och die beide Werte eigesetzt werde. Simulatio() Aufgabe Die Cauchy-Verteilug hat die Dichte f(x) = π ( + x ) für x R Kostruiere Sie eie Cauchy-verteile Stichprobe vom Umfag 4 aus der folgede Exp() Lösug x = 0.47, x = 0.448, x 3 = 0.4, x 4 = Die Verteilugsfuktio vo X Exp() ist F (x) = e x. We ma auf expoetialverteilte Werte die Verteilugsfuktio der Expoetialverteilug awedet, erhält ma [0, ]- uiform-verteilte Werte. Dies liefert i diesem Beispiel durch eisetze der x i i F die uiform verteilte y i : y = 0.34, y = 0.36, y 3 = 0.07, y 4 = Nu muss ma ur och die y i i F der Cauchy-Verteilug eisetze für Cauchy-verteilte z i. Lösug + X i = + X i F (x) = x f(x)dx = + π arcta(x) F (y) = ta(π (y )) z = 0.544, z = 0.465, z 3 =.836, z 4 = Der zetrale Grezwertsatz liefert für Y N (, 4/) + lim X i = E[Y ] = 4 9