Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 2: Aufgaben zu den Kapiteln 3 und 4

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1 1 Lösuge ausgewählter Übugsaufgabe zum Buch Elemetare Stochastik (Spriger Spektrum, 2012) Teil 2: Aufgabe zu de Kapitel 3 ud 4 Zu Abschitt 3.1 Ü3.1.1 Es seie X, = 1, 2,... reellwertige Zufallsvariable (dabei seie die reelle Zahle mit de Borelmege als σ-algebra versehe). Da sid die folgede Mege Ereigisse: a) Die ω, bei dee midestes ei X positiv ist. b) Die ω, bei dee alle X positiv sid. c) Die ω, bei dee die Folge ( X (ω) ) beschräkt ist. Lösug a) E = {ω Ω midestes ei X (ω) ist positiv} ist ei Ereigis, da es die (abzählbare) Vereiigug der E = {X > 0} ist, welche selbst Ereigisse sid, da die X Zufallsvariable sid. b) Wie zuvor sid auch die {X 0} Ereigisse ud damit auch dere Vereiigug E = 1 {X 0}. Die Mege der ω, bei dee alle X positiv sid, ist gerade Ω \ E ud daher ebeso Ereigis. (Wem bekat ist, dass i eier σ-algebra auch abzählbare Schitte ethalte sid, der ka das gesuchte Ereigis auch etwas direkter als 1 {X > 0} darstelle.) c) Die gesuchte Mege lässt sich als E = m 1 1 { X < m} darstelle ud ist Ereigis, da bei dieser Darstellug ur abzählbare Schitte ud Vereiiguge vo Ereigisse auftrete. Ü3.1.2 Es sei X eie rellwertige Zufallsvariable mit der Eigeschaft, dass für jedes c die Wahrscheilichkeit P({X c}) etweder 0 oder 1 ist. Zeige Sie, dass X da im Wesetliche kostat sei muss. Geauer: Es gibt ei c 0, so dass P({X = c 0 }) = 1. Ü3.1.3 Der R 2 sei mit de Borelmege versehe, ud (Ω, E, P) sei ei Wahrscheilichkeitsraum. Eie vektorwertige Abbildug X : Ω R 2 sei durch X(ω) := ( X 1 (ω), X 2 (ω) ) defiiert, wobei X 1, X 2 : Ω R. Beweise Sie: X ist geau da Zufallsvariable, we X 1 ud X 2 Zufallsvariable sid. Ü3.1.4 X sei eie reellwertige Zufallsvariable auf Ω. Defiiere Y : Ω R durch Y (ω) := X(ω) für X(ω) < 1 ud Y (ω) := 0 sost. Zeige Sie, dass auch Y eie Zufallsvariable ist. Ü3.1.5 Sei X eie Zufallsvariable. Beweise Sie: X ist geau da fast sicher kostat, we es keie Zahl a mit der Eigeschaft P({X < a}) > 0 ud P({X > a}) > 0

2 2 gibt. Dabei heißt X fast sicher kostat, we es ei Ereigis N mit P(N) = 0 ud eie Zahl c so gibt, dass X(ω) = c für ω / N. Tipp: I der schwierigere Beweisrichtug köte ma es mit der Kostate c := sup{a P ({X < a}) = 0} versuche. Zeige Sie zuerst, dass das wirklich eie reelle Zahl ist (Teil 1: Es ka icht sei, dass P({X < a}) = 0 für alle a gilt; Teil 2: Es gibt ei a mit P({X < a}) = 0.) Lösug Zur eifachere Beweisrichtug : Sei X fast sicher kostat bei c, d.h. es ist P(X c) = 0 ud damit isbesodere P(X > c) = 0 ud P(X < c) = 0. Für jedes a > c ist ebefalls P(X > a) = 0 ud für jedes a < c ist P(X < a) = 0. Damit gibt es kei a R mit P(X < a) > 0 ud P(X > a) > 0. Zur schwierigere Beweisrichtug : Wie im Tipp beschriebe wolle wir zeige, dass X bei c := sup{a P(X < a) = 0} fast sicher kostat ist. Damit c existiert, muss die fragliche Mege ichtleer ud ach obe beschräkt sei. Wäre sie ubeschräkt, so gäbe es beliebig große a R mit P(X < a) = 0. Damit wäre automatisch ) P(X < a) = 0 für alle a R ud daher P(Ω) = ( P {X < a} a N = lim P(X < a) = 0. Da jedoch immer P(Ω) = 1 ist, muss a {a P(X < a) = 0} beschräkt sei. Die Mege ist außerdem ichtleer: Nach Voraussetzug gilt für alle a R P(X < a) = 0 oder P(X > a) = 0. Es ka icht für alle a R P(X > a) = 0 gelte (sost wäre wieder P(Ω) = 0). Folglich gibt es ei a mit P(X < a) = 0 ud damit ist die Mege ichtleer. ( Damit existiert c ud es gilt P(X < c) = P ) {X < c 1 } = lim P(X < N ) = 0. Aufgrud der Defiitio vo c gilt P(X < a) > 0 für alle a > c ud c 1 damit ach Voraussetzug P(X > a) = 0. Mit der gleiche Argumetatio wie für P(X < c) folgt u P(X > c) = 0. X ist damit fast sicher kostat bei c. Zu Abschitt 3.2 Ü3.2.1 (Ω, E, P) modelliere das Werfe vo drei faire Würfel. (Ω, E, P) ist also {1,..., 6} 3 mit der Gleichverteilug. Bestimme Sie P X für die Zufallsvariable X : (i, j, k) i j + k. Ü3.2.2 Ω = [ 1, 27 ] sei mit der Dichte f(x) = cx versehe (c ist eie geeigete Kostate). Eie Zufallsvariable X : Ω R sei durch X(x) := 3 x defiiert. Bestimme Sie die Dichte vo P X ud bereche Sie damit P({X [ 1, 2 ]}). Ü3.2.3 Bei de eue ALDI-Computer hat es eie Pae gegebe. Der Zufallsgeerator wirft icht, wie beabsichtigt, i [ 0, 1 ] gleichverteilte Zufallszahle aus, soder Zahle, die gemäß der Dichte f(x) := 2x (auf [ 0, 1 ]) verteilt sid. Die Computer werde zu eiem Spottpreis verkauft. Stelle Sie die radom-fuktio durch ei geeigetes Uterprogramm wieder her! (Geauer heißt das: Sie solle eie Zufallsvariable X : [ 0, 1 ] [ 0, 1 ] so fide, dass P X die Gleichverteilug auf [ 0, 1 ] ist. Falls Sie übriges währed des Beweises eie Fuktio g brauche, für die (für alle x) g (x)g(x) = 0.5 gilt, so versuche Sie es doch mit g(x) = x.)

3 3 Lösug Gesucht ist zuächst eie Zufallsvariable, die die gewüschte Gleichverteilug auf [0, 1] wiederherstellt. Das bedeutet: Die Dichtefuktio auf dem Zielraum soll die Form h(y) = 1 habe für alle y [0, 1]. Satz liefert eie Berechugsvorschrift für h, sofer die Zufallsvariable X gegebe ist ud eiige Eigeschafte erfüllt. I diesem Fall ist es aber aders herum, wir habe bereits die gewüschte Zieldichtefuktio gegebe ud suche die Zufallsvariable. Wir betrachte also die gegebee Gleichug h(y) = f X 1 (y) (X 1 ) (y) ud löse ach der Zufallsvariable X auf. Sollte X da die im Satz geate Eigeschafte erfülle, ist die Aufgabe gelöst. Setzt ma h ud f ei, so etsteht 1 = 2(X 1 )(X 1 ). Die Aufgabestellug verleitet a dieser Stelle dazu, X 1 (y) = y zu setze. Der Test ergibt: y y = 1 y 2 Y = 1 2. X 1 erfüllt tatsächlich die Gleichug. Die gesuchte Zielfuktio ist daher X(x) = x 2. X ist also stetig differezierbar, bijektiv ud streg mooto steiged. Auch die Ableitug X 1 (y) = y ist stetig differezierbar, zumidest auf (0, 1]. Daher ware die Voraussetzuge für Satz erfüllt ud X führt die Zufallszahle der Aldi-Recher auf eie Gleichverteilug zurück. Ü3.2.4 X sei expoetialverteilt zum Parameter λ. Zeige Sie, dass cx für c > 0 ebefalls expoetialverteilt ist. Wie groß ist der zugehörige Parameter? Ü3.2.5 Beweise Sie ei zu Satz?? aaloges Ergebis für streg mooto fallede Zufallsvariable. Ü3.2.6 Es sei f : [ 1, 1 ] [ 0, + [ eie stetige Dichtefuktio. Weiter sei X : [ 1, 1 ] R sei eie stetig differezierbare Zufallsvariable. Wir setze voraus, dass X auf dem Teilitervall [ 0, 1 ] streg mooto steigt. Bestimme Sie i Aalogie zu Satz?? eie Dichtefuktio für P X. Bereche Sie diese Dichtefuktio kokret für de Fall f(x) = (1 + x)/2 ud X(x) = x 2. Ü3.2.7 F X sei die Verteilugsfuktio eier reellwertige Zufallsvariable X. Zeige Sie: a) F X besitzt höchstes abzählbar uedlich viele Ustetigkeitsstelle. b) F X ist ustetig bei eiem x R geau da, we P X ({x}) > 0 gilt. Zu Abschitt 3.3 Ü3.3.1 I eiem Kasio wird ach folgede Regel mit drei Würfel gespielt: Ei Spieler bekommt 1000 Euro für drei Sechse, 100 Euro für zwei Sechse ud 10 Euro für eie Sechs. I alle adere Fälle gibt es gar ichts. Welche

4 4 Midesteisatz wird der Kasiobetreiber verlage, we er icht draufzahle will? Lösug Die Wahrscheilichkeite, mit drei Würfel dreimal, zweimal oder eimal eie 6 zu würfel sid P ({3}) = 1 6, P ({2}) = ( ) ( 1 6 )2 5 6 = 15 6 ud P ({1}) = ( ) ( 5 6 )2 = Der erwartete Gewi (i Euro) ist E(Gewi) = = , 921. Somit sollte der Betreiber 11,93 EUR verlage, um icht draufzuzahle. Ü3.3.2 Bestimme Sie die Variaz ud die Streuug der Poissoverteilug. Ü3.3.3 Bestimme Sie die Variaz ud die Streuug der geometrische Verteilug. Ü3.3.4 Bestimme Sie die Variaz ud die Streuug der Gleichverteilug auf dem Itervall [ a, b ]. Ü3.3.5 Bestimme Sie die Variaz ud die Streuug der Expoetialverteilug. Ü3.3.6 Es sei X : Ω R. Zeige Sie, dass E(X) geau da existiert, we P(X ) < gilt. Zusatz: Ist X : Ω {0, 1, 2,...}, so gilt sogar E(X) = P(X ) im Fall P(X ) <. Lösug Wir betrachte die Mege M := {X } für N. Es gilt atürlich für m der Zusammehag M m M. Sei u χ die charakteristische Fuktio der Mege M. Für ei beliebiges ω Ω liegt X(ω) i eiem Itervall [k, k + 1) für ei passedes k N. Demetspreched gilt ω M i für alle i k ud ω / M k+1. Da dies für alle ω gilt, köe wir die Fuktio χ betrachte ud erkee X(ω) χ (ω) X(ω) + 1. Für eie Beweisrichtug sei E(X) <. Da gilt P(X ) = ( ) E(χ ) = E χ E(X + 1) = E(X) + 1 <. Für die Umkehrug sei P(X ) <. Da gilt etspreched > P(X ) = ( ) E(χ ) = E χ E(X).

5 5 Für de Zusatz, also de diskrete Fall, gilt, dass ω i M k liegt, geau da, we X(ω) = k ist. Demetspreched gilt X = χ ud die Gleichheit folgt sofort. Ü3.3.7 Ei Stab der Läge 1 werde zufällig i zwei Teile zerbroche (Bruchstelle gleichverteilt). a) Wie groß ist der Erwartugswert für X, wobei X die Läge des kleiere der beide Stücke misst? b) Bereche Sie auch de Erwartugswert des Quotiete kürzeres Stück durch lägeres Stück. c) I diesem Aufgabeteil sei die Bruchstelle gleichverteilt i [ 0.5 c, c ], wobei 0 c 0.5. Die Zufallsvariable X sei wie i a) defiiert. Für welche Werte vo c ist der Erwartugswert vo X größer als 0.4? Zu Abschitt 3.4 Ü3.4.1 Es werde Kugel auf gut Glück auf Fächer verteilt. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit dafür, dass geau ei Fach leer bleibt? Lösug Wir suche die Wahrscheilichkeit, dass bei Kugel ud Kste, geau ei Kaste leer bleibt. Dazu bereche wir die Azahl der güstige ud die Azahl der mögliche Ereigisse ud dividiere sie. Bei de güstige Ereigisse gilt, dass die Reihefolge uwichtig ud Wiederholug möglich ist (i eiem Kaste köe mehrere Kugel liege). Die Azahl bei k Kugel ud Käste berechet sich folgedermaße: ( ) +k 1 k. Wir ersetze och k durch ud erhalte #mögliche Ereigisse = ( ) 2 1. Für die güstige Ereigisse müsse wir zähle, wie viele Möglichkeite es gibt, dass geau ei Kaste frei bleibt. Es gibt Käste, vo dee eier frei bleibe muss. Für die Kugel, die icht i eie eigee Kaste kommt, existiere 1 verschiedee Möglichkeite, also isgesamt ( 1) güstige Möglichkeite. Die gesuchte Wahrscheilichkeit # güstige Ereigisse beträgt # mögliche Ereigisse = ( 1) ( 2 1 ). Ü3.4.2 Eie edliche Folge (x 1, y 1 ),... (x, y ) i Z 2 soll ei Treppeweg geat werde, we stets etweder (x k+1, y k+1 ) = (x k, y k ) + (0, 1) gilt oder (x k+1, y k+1 ) = (x k, y k ) + (1, 0), we es also immer jeweils eie Schritt ach rechts oder ach obe geht. Wie viele Treppewege gibt es vo (0, 0) ach (20, 30)? Lösug Wie ma seie Treppeweg auch astellt, i jedem Fall gibt es isgesamt 20 Schritte ach rechts ud 30 ach obe, lediglich die Reihefolge ist uterschiedlich. Aus 50 isgesamt getätigte Schritte müsse also die 20 erwählt werde, welche ach rechts führe solle. Die Azahl der Möglichkeite, 20 aus 50 Schritte zu wähle etspricht also der Azahl a mögliche Treppewege vo (0, 0) ach (20, 30) ud das sid gerade ( ) = 50! = ! 30!

6 6 Möglichkeite. Ü3.4.3 Wie viele verschiedee eubuchstabige Wörter ka ma aus de Buchstabe A, B, C, E, E, H, I, K, O, R, S, S, T, T, T, W, Z bilde? Jeder Buchstabe dieses Vorrats darf dabei ur eimal verwedet werde. ( STOCHASTIK ist also zugelasse, STOCKKORB aber icht.) Ü3.4.4 Beweise Sie die Formel Zu Abschitt 3.5 ( +1 k ) = ( k) + ( k 1 ) für k. Ü3.5.1 Diskutiere die Wahrscheilichkeite für das eue Lotto: 5 aus 35, mit zwei Zusatzzahle. Es werde also aus 35 ummerierte Kugel 5 Richtige ud zwei Zusatzzahle gezoge, ud gefragt sid die iteressierede Wahrscheilichkeite ( 5 Richtige, 4 Richtige mit Zusatzzahl, 3 Richtige mit 2 Zusatzzahle, usw.). Lösug Wir leite die Wahrscheilichkeit für das Ereigis E := {4 Richtige + Zusatzzahl} explizit her, die adere Lösuge fuktioiere aalog. Wir betrachte zuächst die Mege aller mögliche Ziehuge: Wir ziehe erst 5 aus 35 Kugel ( ( ) 35 5 Möglichkeite) ud im Aschluss zwei Zusatzzahle aus de verbleibede 30 ( ( ) 30 2 Möglichkeite). Die Multiplikatio dieser beide Zahle liefert us die Azahl aller Ziehuge, die eitrete köe. Die Azahl aller für us güstige Fälle bereche wir so: Wir wähle aus de 5 gezogee Zahle usere 4 Richtige aus ( ( 5 4) Möglichkeite), weiter usere Zusatzzahl (( 2 1) Möglichkeite) ud schließlich die zwei verbleibede falsche Zahle (( ) 28 2 Möglichkeite). Multipliziere liefert die Azahl aller güstige Fälle. Zusamme erhalte wir also P (E) = ( 5 4 ) ( 2 ( 1) 28 ) 2 9 ( 35 ) ( 5 30 ) = Aalog berechet sich die Wahrscheilichkeit für 5 Richtige zu 1/ ( 35 5 ). Die Wahrscheilichkeit für das Ereigis 3 Richtige ud 2 Zusatzzahle ist geauso groß wie die für das Ereigis E (ma ersetze ( 5 4) ( 2 1) durch ( 5 3) ( 2 2) ). Ü3.5.2 Sei σ eie Zufallspermutatio der Zahle 1,...,. Weiter sei k eie atürliche Zahl, k. Gefragt ist ach der Wahrscheilichkeit, dass i σ geau k Elemete festbleibe. Schließe Sie aus der Formel, dass diese Wahrscheilichkeit für festes k ud geüged große durch 1/(k!e) approximiert werde ka.

7 7 Bei zufälligem Zusammewürfel vo Tazpaare ist es also ziemlich wahrscheilich, dass icht ur ei Paar soder gleich mehrere i der alte Zusammesetzug atrete. Ü3.5.3 I Italie spiele sie 6 aus 90. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit für 6 Richtige ud deke Sie sich eie origielle Illustratio aus, um diese gerige Wahrscheilichkeit zu veraschauliche. Ü3.5.4 Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, beim Lotto (6 aus 49) zwei aufeiaderfolgede Zahle zu ziehe? Tipp: Um die Azahl der güstige Ausgäge zu bestimme, ist es hilfreich, die Elemetarereigisse als 6-Tupel ( 1,..., 6 ), i {1,..., 49} mit 1 < 2 <... < 6, aufzufasse. Wie lasse sich da die güstige Ausgäge beschreibe? Fide Sie ei N N mit N < 49, so dass die gesuchte Azahl gerade die Azahl aller Ziehuge 6 aus N ist. Ü3.5.5 Wir betrachte N 0, versehe mit alle Poissoverteiluge. Ei (ubekater) Parameter λ wird ausgewählt, da wird eimal abgefragt. Das Ergebis sei. Fide Sie eie maximum-likelihood-schätzug für λ. Lösug Sei das Ergebis des Zufallsexperimets. Wir setze zuächst 0 voraus ud betrachte L (λ) := P ({X = }) = e λ λ!. Gesucht ist das Maximum dieser Likelihood-Fuktio. Dazu leite wir L ach λ ab ud erhalte L (λ) = e λ λ 1 ( λ).! Nullsetze liefert = λ. Aus der Problemstellug heraus ergibt sich, dass λ ei Maximum ist (alterativ: zweite Ableitug bilde!). Im Fall = 0 erhalte wir die Likelihood-Fuktio L 0 (λ) = e λ mit dem Maximum i λ = 0. Aufgabe zu Kapitel 4 Zu Abschitt 4.1 Ü4.1.1 Das Itervall [ 0, 1 ] sei mit der Gleichverteilug versehe. Fide Sie alle Itervalle [ a, b ], so dass [ a, b ] ud [ 0, 0.5 ] uabhägig sid. Lösug Zuächst sid alle Itervalle [a, b] mit a = b uabhägig vo [0, 0.5], da dies Nullmege sid (P([a, a] [0, 0.5]) = 0 ud P([a, a]) P([0, 0.5]) = 0), sei also u a < b. Das Itervall [a, b] ka icht i [0, 0.5] ethalte sei, de sost wäre P([a, b] [0, 0.5]) = P([a, b]), aber P([a, b]) P([0, 0.5]) = 1 2P([a, b]). Außerdem muss a < 0.5 gelte, de sost wäre wieder P([a, b]) P([0, 0.5]) = P([a, b]), aber P([a, b] [0, 0.5]) = 0. Es bleibt folglich der Fall a < 0.5 ud 1 2

8 8 b > 0.5. Ereut ist P([a, b]) P([0, 0.5]) = 1 2P([a, b]), d.h. wir müsse [a, b] so wähle, dass P([a, b] [0, 0.5]) = P([a, 0.5]) = 1 2P([a, b]) gilt. Die beide Itervalle sid folglich geau da uabhägig, falls etweder a = b gilt o der falls geau die Hälfte des Itervalls [a, b] i [0, 0.5] liegt (das gilt für a + b = 1). Ü4.1.2 Wir betrachte die Poissoverteilug auf {0, 1,...} zum Parameter λ. Bestimme Sie P(A B)für A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}. Ü4.1.3 Bestimme Sie eie stetige Dichte f auf [ 0, 1 ] so, dass [ 0, 0.5 ] ud [ 0.4, 0.8 ] uabhägig sid. Ü4.1.4 Aus eiem vollstädige Skatspiel wurde das Kreuz As etfert. Die restliche Karte seie mit der Gleichverteilug versehe. a) Bereche Sie die bedigte Wahrscheilichkeit P(Köig Kreuz). b) Zeige Sie, dass es ur auf triviale Weise möglich ist, zwei uabhägige Ereigisse A, B zu fide. (Das soll bedeute: A, B sid geau da uabhägig, we A oder B die leere Mege oder der gaze Raum ist.) Ü4.1.5 I eiem Kaste befide sich 4 weiße, 6 rote ud 10 grüe Kugel. Es wird zweimal ohe Zurücklege gezoge. Bestimme Sie mit Hilfe eies Wahrscheilichkeitsbaumes die folgede Wahrscheilichkeite: a) Die Wahrscheilichkeit, dass zwei gleichfarbige Kugel gezoge wurde. b) Die Wahrscheilichkeit, dass keie grüe Kugel gezoge wurde. Ü4.1.6 Die Mege {1,..., } sei mit der Gleichverteilug versehe, dabei sei > 1. Zeige Sie: ist geau da eie Primzahl, we aus A, B Ereigisse, A, B uabhägig stets folgt, dass eie der Mege leer oder gleich {1,..., } ist. Lösug Wir betrachte die Mege {1,..., } mit der Gleichverteilug. Wir zeige beide Implikatioe: Sei = p eie Primzahl, ud seie A ud B uabhägige Ereigisse. Aus der Charakterisierugsgleichug für Uabhägigkeit folgt P (A) P (B) = P (A B), geauer: A p B p = A B p, was äquivalet zu A B = A B p ist. Offebar gilt also p A B, ud damit p A oder p B. Wege A, B p folgt die Aussage aus der Aufgabestellug. Es gelte folgede Aussage: Sid die Mege A, B {1,..., } uabhägig, da gilt A = oder A = {1,..., } (oder B = oder B = {1,..., }). Zu zeige ist, dass da eie Primzahl sei muss. Wir führe eie Kotrapositiosbeweis. Sei also keie Primzahl. Wir weise u die Existez zweier uabhägiger Mege A, B {1,..., } ach, so dass weder A och B leer oder die gaze Mege sid. Wir köe als Produkt seier Primfaktore darstelle: = d i=1 p i für d 2. Wir kostruiere die Mege A ud B gerade so, dass die jeweilige Kardialitäte die Uabhägigkeitsbedigug A B = A B d i=1 p i erfülle. Wähle wir A = {1, 2,..., m} ud B = {m, m , m + p d 1}

9 mit m = d 1 i=1 p i, so erhalte wir A = d 1 i=1 p i, B = p d sowie A B = 1 (Ma beachte, dass dies ur möglich ist, weil wir us auf eiem edliche Wahrscheilichkeitsraum befide, auf dem wir jede Mege als Ereigis zulasse!). Zusamme gilt also: d 1 A B = p i p d = 1 i=1 d p i = A B, i=1 was usere Kotrapositiosbeweis abschließt. Ü4.1.7 Herr A. hat seie Bachelorarbeit geschriebe. Er bittet zwei Freude darum, ach Rechtschreibfehler zu suche. Sie lese die Arbeit uabhägig voeiader. Der erste fidet k 1, der adere k 2 Fehler, dabei gibt es k Fehler, die beide agestriche habe. Ermittel Sie daraus eie Schätzwert für die wirkliche Fehlerazahl k 0. Tipp: Sei k 0 die Azahl der wirkliche Fehler. We da der erste Freud Fehler mit Wahrscheilichkeit p 1 fidet, so sollte k 1 k 0 p 1 gelte. Ud so weiter. (Die Uabhägigkeit ist auch och zu berücksichtige: Wie wahrscheilich ist es, dass beide de gleiche Fehler fide?) So erhält ma drei Glecihuge für p 1, p 2, k 0, ud damit ist k 0 leicht zu bestimme. Lösug Sei Ω die Mege aller Fehler, ud F 1, F 2 Ω die Mege der Fehler, die der erste bzw. der zweite Freud gefude habe. Da gilt für die Wahrscheilichkeit vo F 1 F 2, also dass ei Fehler vo beide Freude gefude wurde, folgede Gleichug: P(F 1 )P(F 2 ) = P(F 1 F 2 ) = P(F 1 F 2 )P(F 2 ) Beim erste Gleichheitszeiche wird die Uabhägigkeit beider Ereigisse geutzt, beim zweite die Defiitio der bedigte Wahrscheilichkeit. Nach Eisetze wird diese Gleichugsfolge u zu p 1 p 2 = k k 0 = k k 2 p 2. Durch Kürze erhalte wir u die Gleichug p 1 = k/k 2, d.h. aus de bekate Werte k ud k 2 köe wir p 1 bereche. Aus dem daraus erhaltee Wert für p 1 ud der bereits vorgegebee Schätzug k 1 k 0 p 1 köe wir schließlich das gesuchte k 0 bereche, d.h. die Schätzug für die Azahl k 0 aller Fehler lautet k 0 k 1k 2 k. Ma überlege sich, dass das Ergebis plausibel ist, ud beachte, dass die Rolle vo k 1 ud k 2 vertauschbar sid. Zu Abschitt 4.2 Ü4.2.1 Drei Käste K 1, K 2, K 3 ethalte gut durchmischt schwarze ud weiße Kugel. Es ethalte 9

10 10 K 1 : 2 schwarze ud 4 weiße Kugel; K 2 : 3 schwarze ud 5 weiße Kugel; K 3 : 1 schwarze ud 3 weiße Kugel. a) Aus Kaste K 3 wird dreimal mit Zurücklege gezoge. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass die erste Kugel weiß, die zweite schwarz ud die dritte wieder weiß ist? b) Nu wird zuächst eier der Käste zufällig ausgewählt (jeder mit Wahrscheilichkeit 1/3), aus dem da eimal gezoge wird. Mit welcher Wahrscheilichkeit liefert das eie weiße Kugel? c) We eie Ziehug wie i b) eie weiße Kugel liefert, mit welcher Wahrscheilichkeit wurde da im erste Schritt Kaste K 2 gewählt? Ü4.2.2 I eiem Lade ist eie Alarmalage eigebaut, die im Falle eies Eibruchs mit Wahrscheilichkeit 0.99 die Polizei alarmiert. I eier Nacht ohe Eibruch wird mit Wahrscheilichkeit Alarm ausgelöst. (Eie Maus berührt die Alage o. ä.) Die Eibruchswahrscheilichkeit für eie Nacht ist Die Alage hat gerade Alarm gegebe. Ma bereche die Wahrscheilichkeit, dass gerade ei Eibruch stattfidet. Lösug Seie die i der Aufgabe betrachtete Ereigisse wie folgt defiiert: A = Die Alarmalage ist ausgelöst worde. B = Es wird eigebroche. Gesucht ist die Wahrscheilichkeit P(B A). Der Satz vo Bayes (4.2.2) liefert folgede Zusammehag: P(B A) = P(A B)P(B) P(A B)P(B) + P(A B 2 )(1 P(B)) Die gegebee Wahrscheilichkeite eigesetzt, folgt P(B A) = ( ) Nur mit eier Wahrscheilichkeit vo rud 20% hadelt es sich also tatsächlich um eie Eibruch. Ü4.2.3 Es geht um das Problem auf Seite?? ( Erfolg macht sicher ). Dort wurde die Käste gleichverteilt ausgesucht, d. h. der i-te Kaste wurde mit Wahrscheilichkeit 1/ gewählt. a) Diskutiere Sie die Variate, bei der der i-te Kaste mit Wahrscheilichkeit 2i/[( + 1)] gewählt wird (i = 1,..., ); es werde also mit größerer Wahrscheilichkeit Käste mit viele rote Kugel ausgewählt. Wie ist i diesem Fall die bedigte Wahrscheilichkeit, ach k Erfolge och eie weitere zu habe? Gebe Sie die exakte Lösug a sowie eie geeigete Näherug mit Hilfe eier Itegratio.

11 11 b) Diesmal sei die Wahrscheilichkeit für de i-te Kaste 2( i+1)/[(+1)]. Bestimme Sie auch für diese Situatio die bedigte Wahrscheilichkeit, dass es ach k Erfolge och eie weitere gibt (Formel ud Itegralapproximatio). Ü4.2.4 Diskutiere Sie das Ziegeproblem i der Variate mit k Türe, wobei k > 2: Es gibt eie Gewi, der Kadidat wählt, der Quizmaster öffet k 2 Türe, ud der Kadidat darf och eimal wechsel. Würde dadurch seie Gewichace steige? Ud we ja, um wie viel? Ü4.2.5 Falls Sie am Sotagvormittag das Radio bei eiem zufällig gewählte Seder eistelle, erkligt mit 20 Prozet Wahrscheilichkeit Orgelmusik, a de adere Vormittage ur mit 2 Prozet Wahrscheilichkeit. Nu hatte Sie i de Semesterferie ei etwas ustrukturiertes Lebe, die Tage der Woche ware alle gleichberechtigt. A irgedeiem Vormittag wachte Sie auf, ud beim Radio-Eischalte der Seder wurde zufällig gewählt erklag Orgelmusik. Mit welcher Wahrscheilichkeit war das ei Sotag? Lösug Die Bezeichug für Sotag sei S, die für Orgelmusik O. Gesucht ist P(S O). Es ist bekat, dass P (S) = 1 7 ud P ( S) = 6 7, sowie P (O S) = 1 5 ud P (O S) = betrage. Die Berechug der bedigte Wahrscheilichkeit erfolgt durch Awede des Satzes vo Bayes: P(S O) = P(O S) P(S) P(O S) P(S) + P(O S) P( S) = 5 = 62, 5%. 8 Ü4.2.6 Hier geht es um das Umkehre bedigter Wahrscheilichkeite. Es sei A das Ereigis der Patiet hat die Krakheit K, ud B bedeutet, dass ei Test auf K positiv verlaufe ist. Fide Sie mit Begrüdug eie Formel für P ( A B), also die Wahrscheilichkeit dafür, dass der Patiet K icht hat, we das Testergebis egativ ist. Diese Formel soll die Zahle P (A), P (B A) ud P (B A) ethalte. Bereche Sie daach P ( A B) für die kokrete Werte P (A) = 0.04, P (B A) = 0.99, P (B A) = Ü4.2.7 (Das diskrete Iterview): I eier Ure sid 1000 Zettel mit Frage. Auf 500 Zettel steht Ist die letzte Ziffer Ihrer Persoalausweisummer gerade?, auf de adere 500 eie Frage F, die mit ja oder ei zu beatworte ist, auf die aber vor Zeuge ur uger eie ehrliche Atwort gegebe wird (Beispiele sollte jedem selbst eifalle). Um zu erfahre, mit welcher Wahrscheilichkeit p die Iterviewte F mit ja beatworte, wird so verfahre: Der Iterviewte zieht eie Zettel ud atwortet; dabei weiß der Iterviewer icht, welcher Zettel gezoge wurde. Wie ka ma u p schätze, we viele Iterviews geführt wurde?

12 12 Lösug Wir bezeiche mit F h das Ereigis harmlose Frage, also die Frage ach der letzte Ziffer der Ausweisummer, F p stehe für peiliche Frage. Die befragte Perso atwortet mit ja sei durch J abgekürzt ud N stehe für die Atwort ei. Gesucht ist also p = P(J F p ). Wir setze voraus, dass die Hälfte aller Ausweise mit eier gerade Ziffer edet. Es ist also P(J F h ) = 0.5 als bekat vorausgesetzt. Da es vo beide Frage jeweils 500 Zettel gibt, gilt P(F p ) = P(F h ) = 0.5 Wir wede u Satz (Satz vo der totale Wahrscheilichkeit) a: P(J) = P(J F p )P(F p ) + P(J F h )P(F h ) = p Wir ehme a, dass vo N befragte Persoe mit ja geatwortet habe. Wir köe P(J) also durch /N schätze. Auf diese Weise erhalte wir für p die Schätzug ( ) p = 2 N Zu Abschitt 4.3 Ü4.3.1 Ω := {1,..., } m sei mit der Gleichverteilug versehe. Wir defiiere E k,l Ω durch E k,l := {(x 1,..., x m ) x k = l} für k = 1,..., m ud l = 1,...,. Was ist die maximale Azahl, die Sie aus diese m Mege wähle köe, um uabhägige Ereigisse zu erhalte? Ü4.3.2 Seie A, B, C Ereigisse (i irgedeiem Wahrscheilichkeitsraum). Falls A ud B uabhägig sid, so folgt aus A B C A B, dass P(A C) P(A) P(C) gilt. Lösug Wir defiiere zuächst a := P (A B); b := P (A \ B); c := P (B \ A); b := P (C \ B); c := P (C \ A). Wege der Voraussetzug A B C gilt C = (A B) (C \ B) (C \ A) ud folglich P (C) = a + b + c. Außerdem gilt P (A) = a + b ud somit ist a + b (a + b)(a + c + b) (1) zu zeige. Die Uabhägigkeit der Ereigisse A ud B liefert P (A B) = P (A)P (B) a = (a + b)(a + c) (2)

13 13 Offesichtlich gelte die Ugleichuge 0 b b ud 0 c c ud damit folgt (??). Um das eizusehe, betrachte wir für festes c die Fuktioe f(x) = a+x ud g(x) = (a + b)(a + c + x) ud bediee us der Hilfsmittel der Aalysis. Zuächst eimal ist f(0) g(0). Das folgt aus (??) ud a + c a + c. Für beliebiges x R gilt außerdem 1 = f (x) g (x) = a + b, da a + b = P (A) 1. Folglich ist f(x) g(x) für x 0, ud die Substitutio x = b liefert die Behauptug (??). Ü4.3.3 Es sei (Ω, E, P) ei Wahrscheilichkeitsraum, ud A, B seie uabhägige Ereigisse. Muss da {E E A, B, E sid uabhägig} eie Teil-σ- Algebra vo E sei? Ü4.3.4 A, B, C seie Ereigisse. Ma weiß, dass sie uabhägig sid ud ma ket die Wahrscheilichkeite. Ka ma aus diese Iformatioe die Wahrscheilichkeit vo A B C ermittel? Zu Abschitt 4.4 Ü4.4.1 Beweise Sie: Sid X 1,..., X reellwertige uabhägige Zufallsvariable, so sid auch Y, X 1,..., X uabhägig, we Y kostat ist. Ü4.4.2 (X ) sei eie Folge uabhägiger idetisch verteilter Zufallsvariable. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass die Folge (X ) vo irgedeier Stelle a mooto falled ist? Ü4.4.3 Mit Ω wie i Aufgabe defiiere wir X k : Ω R durch (x 1,..., x m ) x k für k = 1,..., m. Zeige Sie, dass die X 1,..., X m uabhägig sid. Lösug Der Fall = 6, m = 2 wird auf Seite 136 ausführlich behadelt. Wir zeige die Uabhägigkeit der Ereigisse {X 1 a 1 },..., {X m a m } für beliebige a 1,... a m {1,... }. Für k = 1,..., m gibt es jeweils ( a k + 1) m 1 Elemete i Ω mit X k a k ud folglich ist P({X k a k }) = ( a k + 1) m 1 m = ( a k + 1). Es gibt weiter Π m i=1 ( a i + 1) Elemete i Ω mit X 1 a 1, X 2 a 2,... ud X m a m. Es ist folglich P({X 1 a 1,..., X m a m }) = Πm i=1 ( a i + 1) m = Π m i=1p({x i a i }) ud das beweist die Uabhägigkeit.

14 14 Ü4.4.4 X 1, X 2,... : Ω R seie uabhägige Zufallsvariable, ud alle P Xk seie die Gleichverteilug auf [ 0, 1 ]. Beweise Sie, dass das Ereigis Wahrscheilichkeit Null hat. {ω für alle k ist X k (ω) 0.999} Ü4.4.5 X 1,..., X seie reellwertige Zufallsvariable. Zeige Sie, dass Sie geau da uabhägig sid, we P({X 1 B 1,..., X B }) = P({X 1 B 1 }) P({X B }) für beliebige Borelmege B 1,..., B gilt. Es ist also icht erforderlich, die etsprechede Gleichug für Idizes 1 i 1 < i 2 < i k achzu prüfe (vgl. Irrtum 2 auf Seite 133). Lösug Nach Defiitio sid die Zufallsvariable geau da uabhägig, we für alle a k R, i {1,..., } gilt, dass die Mege {X 1 a 1 },..., {X a } uabhägig sid. Da es sich dabei ur um edlich viele Mege hadelt, liefert das wiederholte Awede vo Lemma 4.4.1, dass diese Bedigug äquivalet dazu ist, dass die Mege {X 1 B 1 },..., {X B } für alle Borelmege B 1,..., B uabhägig sid. Dies ist ach Defiitio der Uabhägigkeit äquivalet zur Gleichheit P ({X 1 B 1,..., X B }) = P ({X 1 B 1 }) P ({X B }) für alle Borelmege B 1,..., B, sodass damit alles gezeigt ist. Zu Abschitt 4.5 Ü4.5.1 Mit de Bezeichuge vo Satz gilt: a) {(ω 1, ω 2,...) ( X (ω ) < für alle } gehört zu E. (X1 b) {(ω 1, ω 2,...) (ω 1 )+X (ω ) ) ) / ist koverget} gehört ebefalls zur σ-algebra E. Ü4.5.2 Wir verwede wieder die Bezeichuge vo Satz Es sei P X die Gleichverteilug i {1,..., 6}, es geht also um die Modellierug eier Folge vo Würfelwürfe. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit vo {(X 1 2) ud ( (X 4 = 6) oder (X 5 3) ) }. Lösug Wir betrachte das Ereigis E = {(X 1 2) ud ((X 4 = 6) oder (X 5 3)}. Dazu eie kleie Vorbemerkug: Wir köe hier ur die Wahrscheilichkeit vo Schitte oder disjukte Vereiiguge bereche, deswege müsse

15 15 wir das Ereigis E passed zerlege. Seie dazu A = {X 1 2}, B = {X 4 = 6} ud C = {X 5 3}. Da ist E = A (B C), ud wir erhalte P (E) = P (A (B C)) = P (A) P (B C), was ach dem Iklusios-Exklusiosprizip gerade P (A) P (B C) = P (A) (P (B)+P (C) P (B C)) = P (A) (P (B)+P (C) P (B) P (C)) ist. Eisetze vo P (A) = 5/6, P (B) = 1/6 ud P (C) = 3/6 liefert P (E) = 35/72. Zu Abschitt 4.6 Ü4.6.1 Es seie X, Y : Ω R Zufallsvariable, für die der Erwartugswert existiert. Da ka es sei, dass das Produkt XY keie Erwartugswert hat. Lösug Betrachte als Ω das Itervall [ 0, 1 ] mit der Gleichverteilug ud als Zufallsvariable X, Y die Fuktioe x 1/ x. Der Erwartugswert vo X ud Y ist edlich, der vo XY existiert aber icht. Ü4.6.2 Seie X 1, X 2, X 3 uabhägige auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable. Wie ist da X 1 + X 2 + X 3 verteilt? (Es soll die Gleichug der Dichtefuktio ermittelt werde.) Ü4.6.3 X, Y seie uabhägige, auf dem gleiche Wahrscheilichkeitsraum defiierte reellwertige Zufallsvariable. Die zugehörige Verteilugsfuktioe F X, F Y möge stetig differezierbar sei; wir wisse scho, dass da die Ableituge gerade die Dichtefuktioe zu P X, P Y sid. a) Zeige Sie, dass Z := max{x, Y } ebefalls eie Dichtefuktio hat. Drücke Sie dazu die Verteilugsfuktio vo Z durch F X ud F Y aus ud bestimme Sie daraus durch Ableite die Dichtefuktio vo Z. Als Beispiel soll berechet werde, ach welcher Dichtefuktio max(radom,radom) (also das Maximum zweier uabhägige Abfrage des Zufallsgeerators) verteilt ist. b) Das gleiche Problem, diesmal für das Miimum. Lösug a) Weil das Supremum (falls es überall edlich ist) vo Folge vo Zufallsvariable wieder eie Zufallsvariable ist (vgl. Satz (v)), ist isbesodere Z := max{x, Y } eie Zufallsvariable. Die Verteilugsfuktio vo Z lautet: F Z (a) = P (ω Z(ω) a) = P (ω max{x(ω), Y (ω)} a) = P (ω (X(ω) a) (Y (ω) a)) = P (ω X(ω) a) P (ω Y (ω) a) = F X (a) F Y (a), wobei die vorletzte Gleichug wege der vorausgesetzte Uabhägigkeit gilt. Die Dichtefuktio erhalte wir durch Ableite, de ach Voraussetzug sid

16 16 F X ud F Y stetig differezierbar. f Z (a) = F Z (a) = f X(a) F Y (a)+f X (a) f Y (a), wobei f die jeweilige Dichtefuktio bezeichet. radom hat die Dichtefuktio f(x) = 1 auf [0, 1] ud 0 sost. Die Verteilugsfuktio lautet F (x) = x für x [0, 1]. Da ist f max{radom,radom} (x) = 1 x + x 1 = 2x auf [0, 1]. b) Es bezeiche W = mi{x, Y }. Da ist 1 F W = P (ω W (ω) > a) = P (ω (X(ω) > a) (Y (ω) > a))) = P (ω X(ω) > a) P (ω Y (ω) > a) = (1 F X (a)) (1 F Y (a)) F W = F X + F Y F X F Y. Da ist f mi{radom,radom} (x) = 2 2x auf [0, 1]. Ü4.6.4 Es gibt Zufallsvariable X, Y mit existieredem Erwartugswert, die icht uabhägig sid, so dass die Erwartugswerte vo X, Y, XY existiere ud E(XY ) = E(X) E(Y ) gilt. (Uabhägigkeit ist also keie otwedige Bedigug für diese Gleichheit.)

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