Kapitel 10 VERTEILUNGEN

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1 Kapitel 0 VERTEILUNGEN Fassug vo 3. Februar 2006 Prof. Dr. C. Porteier Prof. Dr. W. Groes Matheati für Huabiologe ud Biologe 39

2 0. Zufallsvariable 0. Zufallsvariable Häu g wird statt des Ergebisses! 2 eies Zufalls-Experiets eie zugeordete Zahl X (!) 2 R agegebe, z.b. sei ud für! 2 : Stichproberau eier Persoegruppe X (!) : Alter oder Körpergröße. BEISPIEL Wir betrachte ochals das uabhägiges Dreistufe-Experiet aus Beispiel Auf de Stichproberau = f+ + +; + + ; + +; + ; + +; + ; +; g de iert a für! 2 X (!) := falls Rh -al auftritt. Diese Futio erzeugt eie Eiteilug vo i 4 Klasse fx = g := f! 2 j X (!) = g, für = 0; ; 2; 3, älich die Ereigisse, dass Rh Die Wahrscheilicheite gerade -al auftritt. P (X = ) := P (fx = g) sid für = 3 ud = 2 scho berechet. Für = erhält a ud isgesat P (X = ) = P (+ + ) + P (+ +) + P ( + +) = 3 (0:85) 2 0:5 ' 0:325, P (X = ) 0:64 0:325 0:057 0:003. Diese Zahle a a auch i eie Histogra (oder Balediagra ) veraschauliche. DEFINITION Futio Sei ei Wahrscheilicheitsrau it Wahrscheilicheitsfutio P. Eie heißt Zufallsvariable. Die Futio X :! R :! 7! X (!) P X : X ()! R : x 7! P X (x) := P (X = x) := P (fx = xg), 40 VERTEILUNGEN Prof. Dr. C. Porteier Prof. Dr. W. Groes

3 Zufallsvariable 0. wobei fx = xg := f! 2 j X (!) = xg, heißt Verteilug vo X. Die Zahl P (X = x) ist die Wahrscheilicheit, daßx de Wert x ait. BEMERKUNG Bei viele Berechuge wird ur die Verteilug vo X ud icht die Wahrscheilicheite auf beötigt. BEMERKUNG 2 Die Mege X (!) ist it der Verteilug P X wieder ei Wahrscheilicheitsrau. Für die Teilege fx ; : : : ; x g X (!) gilt! [ X X P X (fx ; : : : ; x g) = P X fx j g = P X (x j ) = P (X = x j ), j= j= j= da für 6= l die Teilege fx g ud fx l g disjut sid. Prof. Dr. C. Porteier Prof. Dr. W. Groes VERTEILUNGEN 4

4 0.2 Erwartugswert ud Variaz 0.2 Erwartugswert ud Variaz DEFINITION Sei X eie Zufallsvariable auf de Wahrscheilicheitsrau it der Verteilug P X ud de Werte x ; x 2 ; ; x. Ma de iert ud Die Zahle p j := P X (x j ) = P (X = x j ) für j = ; 2; : : : ;. := E (X) := V ar (X) := X p j x j, j= X p j (x j ) 2 j= (X) := p V ar (X) heiße Erwartugswert, Variaz ud Stadard-Abweichug vo X. Nit die Zufallsvariable uedlich viele Werte a, so werde diese Größe etspreched durch uedliche Reihe de iert. Diese Zahle a a folgederaße iterpretiere : Der Erwartugswert gibt de Mittelwert der Werte vo X bei häu ger Wiederholug des Experiets. Die Variaz oder die Stadard-Abweichug ist ei Maßfür die Streuug u de Erwartugswert. BEISPIEL Wir betrachte ochals das uabhägige Dreistufe-Experiet i Beispiel 0.. Es gilt E (X) = 0: : : :003 3 = 0:449 ' 0:45. Die exate Rechug ergibt it p = 0:5 ud q = 0:85 E (X) = q q 2 p + 3 q p p 3 3 = = 3 p(q 2 + 2pq + q 2 ) = 3 p(q + p) 2 = Für die Variaz erhält a = 3 p = 0:45. V ar (X) = = 0:64 (0 0:45) 2 + 0:326 ( 0:45) 2 + 0:057 (2 0:45) 2 + 0:003 (3 0:45) 2 ' ' 0:38, ud ählich wie obe die exate Forel V ar (X) = 3pq = 0; VERTEILUNGEN Prof. Dr. C. Porteier Prof. Dr. W. Groes

5 Erwartugswert ud Variaz 0.2 Viele Zufallsvariable habe als Verteilug eie vo vier Stadard-Verteiluge : Gleich-, Bioial-, Poisso-, Noral-Verteilug. Beispiele zur Gleichverteilug de sich i de Beispiele 9.2. ud 9.2.3, die übrige Verteiluge werde i de ächste Abschitte behadelt. Prof. Dr. C. Porteier Prof. Dr. W. Groes VERTEILUNGEN 43

6 0.3 Bioial-Verteilug 0.3 Bioial-Verteilug DEFINITION Ei uabhägiges -Stufe-Experiet, bei de i jeder Stufe der gleiche Wahrscheilicheitsrau = A; A auftritt, heißt ei -stu ges Beroulli-Experiet. Der Stichproberau wird it bezeichet. Er besitzt 2 Eleete. Jedes Eleet! 2 ist ei Wort der Läge it de Buchstabe A ud A, das a i Baudiagra als Zweig darstelle a. Mit p := P (A) ud q := P A ( = p ) werde die eleetare Wahrscheilicheite bezeichet, ud it X die Zufallsvariable auf, die das Auftrete vo A i! zählt, d.h. X (!) = falls A i! -al auftritt. DEFINITION 2 Die Verteilug b ;p : f0; ; 2; : : : ; g! R : 7! b ;p () := P (X = ) heißt die Bioial-Verteilug. SATZ Für die Bioialverteilug gilt b ;p () = p q. Ist Y eie Zufallsvariable it Werte i f0; ; 2; : : : ; g, die bioialverteilt ist, so gilt E (Y ) = p ud V ar (Y ) = p q = p ( p). Ma vergleiche dazu die Berechuge i Beispiel 0.2. BEISPIEL Eie Bevölerugsgruppe habe zu 3 % die Erbalage E. Es werde 00 Persoe zufällig gewählt. Wie großist die Wahrscheilicheit, daßgeau 2 Persoe die Erbalage E habe? Es gilt ud p = 0:03 ; q = 0:97 00 P (X = 2) = b 00;0:03 (2) = 0:03 2 0:97 98 ' 0: Wie großist die Wahrscheilicheit, daßidestes 2 Persoe die Erbalage E habe? Ma betrachte das Gegeereigis fx < 2g : Es gilt also P (X < 2) = P (X = 0) + P (X = ) = = 0:03 0 0: :03 0:97 99 ' 0:95, 0 P (X > 2) = P (X < 2) ' 0: VERTEILUNGEN Prof. Dr. C. Porteier Prof. Dr. W. Groes

7 Bioial-Verteilug 0.3 Der Erwartugswert vo X ist E (X) = 00 0:03 = 3, d.h. i Mittel gibt es 3 Persoe, die die Erbalage E habe, we a ehrals eie Stichprobe vo 00 Persoe auswählt = 00 ud p = 0: = 00 ud p = 0: Prof. Dr. C. Porteier Prof. Dr. W. Groes VERTEILUNGEN 45

8 0.4 Poisso-Verteilug 0.4 Poisso-Verteilug BEISPIEL Ei radioatives Präparat sedet -Teilche (Heliuioe) aus ud wir wähle eie feste ud geügeg große Beobachtugszeit, die als Eiheit diee soll. Sei die ittlere Azahl gesedeter -Teilche pro Eiheit ud für 2 N sei das Eiheitsitervall [0; ] i Teilitervalle der Läge uterteilt. Ist viel größer als ( ), so öe wir aehe, daßi jede dieser Itervalle höchstes ei -Teilche gesedet wurde. Da es solche Itervalle gibt, i dee geau ei -Teilche gesedet wurde, ist die Wahrscheilicheit, daßi eie Zeititervall der Läge ei Teilche ausgesadt wird, gleich. Da diese -Teilche voeiader uabhägig ausgesadt werde, lässt sich deach das Aussede vo -Teilche i Eiheitsitervall [0; ] approxiativ als -stu ges Beroulli- Experiet iterpretiere. Die Wahrscheilicheit, daß Teilche i Eiheitsitervall [0; ] ausgesadt werde, ist soit ach Satz 0.3 approxiativ durch P (X = ) ' b ;p () = gegebe, ud zwar uso geauer, je größer 2 N wird. Da =! =! : : : ud li! = e gilt dait die vo D. Poisso staede Aussage : li! b ; () =! li! li! ( + ) : : : ( ) = : : : = =! e. () DEFINITION Die Verteilug heißt Poisso-Verteilug. N! R : 7! p () :=! e I obige Beispiel erhält a z.b. für = 0 P (X = 6) = p 0 (6) = 06 6! e 0 = 0: : : : ' 6:3% 46 VERTEILUNGEN Prof. Dr. C. Porteier Prof. Dr. W. Groes

9 Poisso-Verteilug 0.4 ud P (X = 0) = p 0 (0) = 00 0! e 0 ' 2:5% = = 0 SATZ so gilt Ist Y eie Zufallsvariable it Werte i N, die poissoverteilt ist, d.h. P (Y = ) = p () für alle 2 N. E (Y ) = ud V ar (Y ) =. Prof. Dr. C. Porteier Prof. Dr. W. Groes VERTEILUNGEN 47

10 0.4 Poisso-Verteilug BEMERKUNG Mit deselbe Überleguge wie i de Eigagsbeispiel erhält a, dass auch zufällig auf eier Fläche verteilte Partiel z.b. vo Wid verteilte Saeörer oder Blutörperche auf eie Objetträger poissoverteilt sid. BEISPIEL 2 Bei zufällig auf eier Fläche verteilte Partiel soll die Wahrscheilicheit berechet werde, dass auf eie Eiheitsquadrat Q idestes ei Partiel liegt. Statt P (X > ) ist es hier wesetlich güstiger, das Gegeereigis P (X < ) zu betrachte, a erhält dait P (X > ) = P (X < ) = P (X = 0) = 0 = 0! e = e. U zu erittel, uss ei Durchschittswert durch Auszähle aller Partiel auf eier größere Fläche berechet werde. Für = erhält a da z.b. P (X > ) = e ' 0:63. Ugefähr 63% aller Quadrate it derselbe Fläche wie Q ethalte zuidest eie Partiel. BEMERKUNG 2 Für die obige Forel () gilt folgede präzisere Aussage X jb ;p () p p ()j 6 2 p 2. =0 Ist 2 p 2 (z.b. = 00 ud p = 2% = 0:02, also 2 p 2 = 200 0:02 2 = 0:08 ), so a i sehr guter Näherug die Bioial-Verteilug b ;p () durch die Poisso-Verteilug p p () ersetzt werde. Letztere ist wesetlich eifacher zu bereche. 48 VERTEILUNGEN Prof. Dr. C. Porteier Prof. Dr. W. Groes