Physikspezifische mathematische Methoden: Anwendungen der Differentialrechnung

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Maja Schwarz
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1 Phsikspeifische mathematische Methoden: Anwendngen de Diffeentialechnng 23. Mai 2013 Inhalt 1 Kvendiskssion Nllstellen Extemwete Wendestellen Beispiel: Gasskve Impliites Diffeenieen - Umkehfnktion Ableitng de Umkehfnktion Fehleechnng mit eine Vaiable 4 4 Patielle Ableitngen nd totales Diffeential Sat von Schwa Totales Diffeential Schlssfolgeng fü die Fehleechnng mehee Vaiable 6 1

2 1 Kvendiskssion Gegeben sei eine Fnktion = f(x). Es gelten folgende allgemeine Assagen: 1.1 Nllstellen x 0 : f(x 0 ) = 0.B.: f(x) = (x + a)(x + b) x 0 = a; x 0 = b Lineafaktoelegng 1.2 Extemwete x E : notwendige Bedingng: f (x E ) = 0 hineichende Bedingng: { f (x E ) > 0 Minimm f (x E ) < 0 Maximm 1.3 Wendestellen x W : notwendige Bedingng: f (x W ) = 0 f (x W ) 0 hineichende Bedingng: { f (x W ) > 0 l W f (x W ) < 0 l W endestelle 1.4 Beispiel: Gasskve { W (x) = 1 exp 2πσ (x µ)2 2 W (x) = 1 2πσ exp 2σ 2 } } { (x µ)2 2σ 2 0 {}}{ ] [ 2( x µ) 2σ x = µ 2 [ ] } W (x) = 1 (x µ) 2πσ exp { 2 (x µ)2 2σ 2 σ 4 1 }{{ σ 2 x µ = ±σ } Liteat: Fichtenhol Diffeential- nd Integalechnng, Bd. 1, S.259/290 = (x + 2) 2 (x 1) 3 x 01 = 2; x 02 = 1 = (x 1) 2 (x + 2)(5x + 4) x E 1 = 1; x E 2 = 2; x E 3 = 4 5 = 2(x 1)(10x x + 1) x W 1 = 1; x W 2 1, 53; x W 3 0, 07 2

3 2 Impliites Diffeenieen - Umkehfnktion [Beispiel 1]: [Beispiel 2]: f(x) = x x ln f(x) = x ln x d d dx [ln f(x)] = dx (x ln x) 1 f(x) f (x) = 1 ln x + x 1 x f (x) = x x (ln x + 1) x = R 2 2x + 2 = 0 { x = 0 hoiontale T angente = x = 0 vetikale T angente geometische Detng: Die Tangente an den Keis im P(x;) hat den Anstieg x. 2.1 Ableitng de Umkehfnktion x = x[(x)] 1 = x () (x) d dx = 1 dx d = ln x x = e d dx = 1 dx = 1 e = 1 x d = acsin(x) x = sin() = 1 dx d Umkehegel Bchechnng mit Diffeentialen 1. Odnng möglich! = 1 cos() = 1 1 sin 2 () = 1 1 x 2 Mit Hilfe de Umkehegel gelingt es, die Ableitng alle Umkehfnktionen (.B. von Winkelfnktionen) beechnen. Ein analoges Vogehen ist fü die Hpebelfnktionen möglich! = cosh(x) = 1 2 (ex + e x ) = 1 2 (ex e x ) = sinh(x) = sinh(x) = 1 2 (ex e x ) = 1 2 (ex + e x ) = cosh(x) Die Umkehfnktionen de Hpebelfnktionen sind als Aea-Fnktionen bekannt: = cosh(x) acosh() = x = sinh(x) asinh() = x 3

4 3 Fehleechnng mit eine Vaiable Gegeben sei eine fnktionale Abhängigkeit: = f(x) x sei Messgöße Keis: U = 2π; A = π 2 = π 4 d2 Kgel: V = 4 3 πr3 ; V (d) = π 6 d3 = 1 6 π d3 Voassetng: a) Messng liefet Schwankngen x x 0 m den Mittelwet x 0 b) x = x x 0 x 1 (Fehle sei klein) Wie goß ist de Fehle in? = f(x) f(x 0 ) = f (ξ) x wobei x o ξ x f (x) x in 1. Näheng fü kleine x (Mittelwetsat de DR) absolte Fehle: = x x f (x) x elative Fehle: = f (x) f(x) x [Beispiel 1]: V (d) = π 6 d3 absolte Fehle: V V (d) d = π 2 d2 d elative Fehle: V V = π 2 d2 π d = 3 d 6 d3 d 1% Fehle in de Messng von d füht 3% Fehle im Volmen. [Beispiel 2]: A K = πr 2 = π 4 d2 A K (d) = π 4 d2 A K A K = π 2 d π d = d 4 d2 d (2D): A K = π 2 d d [Beispiel 3]: λ f = c f(λ) = c λ f = f (λ) λ = c λ λ 2 f f = + λ λ = Es gibt keine negativen Fehle! 4

5 4 Patielle Ableitngen nd totales Diffeential R 1 : = (x) R 2 : = (x, ) = d dx x (x+ x) (x) x ( x ) x (x+ x,) (x,) x ( ) x 0 (x,+ ) (x,) 0 ( ) x: Ableiten von nach bei konstantem x (Index wid oft weggelassen) (Beachte: Alle Diffeeniengsegeln bleiben ehalten!) R 3 : = (x,, ) ( x ) (x+ x,,) (x,,), x ( ) x, 0 ( ) x, 0 (+,,) (x,,) (+,,) (x,,) Scheibweise höhee Ableitng: [Beispiel 1]: (x, ) = x x = 1 2x = x 2 x = cos ϕ = 1 2 = 2 x = sin ϕ 2 x 2 = x ( x ), 2 x = x ( ) [Beispiel 2]: ( V T ) p : pv = nrt V (T, p) = nr T p V (T,p) T = nr 1 p ( V p ) T : V (T,p) p = nr T p Sat von Schwa Bei mehfach stetig diffeeniebaen Fnktionen mehee Vaiablen ist die Reihenfolge de Diffeentiationen nicht entscheidend. 2 x = x ( ) = 2 x [Beispiel]: = x 2 x = 2x; = x2 2 x = 2x; 2 x = 2x 5

6 4.2 Totales Diffeential Bescheibt die Ändeng de abhängigen Vaiable als Fnktion de nabhängigen Diffeentiale. R 1 : d = d dx dx R 2 : d = ( x ) dx + ( ) xd R 3 : d = ( x ) dx + (, ) d + ( x, ) x,d [Beispiel 1] d = x dx + d d = xdx + d [Beispiel 2] [Beispiel 3] dv = nr 1 p dt nr T p 2 dp = nr T p ( dt T (x,, ) = 2x dp p ) dv V = dt T dp p d = 2dx + 2xd + 2xd = ( dx x + d + d ) d = dx x + d + d 5 Schlssfolgeng fü die Fehleechnng mehee Vaiable R 2 : absolte Fehle: ( x ) x + ( ) elative Fehle: ( x ) x + ( ) [Beispiel 1] ( x ) x + ( ) x x + 2 x x 2 x x 2 + x x+ 2 2 R 3 : [Beispiel 3] ( x ) x x x + Abschlssbeispiel + ( ) + + ( ) 2 x 2x + 2x 2x + 2x 2x = xa b c gescht ist: (a, b, c = const.) bei gegebenen Fehlen x,, d = axa 1 b dx + c d = a dx x + b d c d a x x b 1 xa b d + c + b + c! xa b ( c) d c+1 Fehle addieen sich (wost case!) 6

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7.2 Moment und Varianz Def. 21 Es sei X eine zufällige Variable. Falls der Erwartungswert E( X p ) existiert, heißt der Erwartungswert EX p p tes Moment der zufälligen Variablen X. Es gilt dann: + x p