9.2. Bereichsintegrale und Volumina

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1 9.. Beeichsintegale und Volumina Beeichsintegale Rein fomal kann man Integale übe einem (meßbaen) Beeich B bilden, indem man eine möglicheweise auf einem gößeen Beeich definiete Funktion f mit de chaakteistischen Funktion von B multipliziet und f B setzt, also Man nennt = f χ B f B ( x ) = f (x) fü x aus B und f B ( x ) = außehalb von B. f d B µ das Integal von f übe dem Beeich B. Häufig hängt man den Buchstaben, de den Beeich symbolisiet, an das Integal statt an die Funktion. Offensichtlich gilt fü disjunkte Beeiche A und B die Additionsfomel f A + B d = µ f dµ + f d A B µ. Mit diese Fomel kann man Integale aus Teilen zusammensetzen (was z.b. dann wichtig ist, wenn man die zu integieenden Funktionen stückweise definiet). Volumina gewinnt man häufig duch Integation de Diffeenz y ) zweie Funktionen (welche die obee und untee Begenzungsfläche bescheiben) übe ein von zwei Kuven beandetes Gebiet c( x ) < y < d( x ) (a < x < b). Ob man den Rand hinzunimmt ode nicht, spielt fü Volumina ebenso wie fü Flächeninhalte keine Rolle. Zu beachten ist jedoch, daß c( x ) stets untehalb von d( x ) veläuft. Manchmal muß man das Gesamtgebiet in Steifen ode andee Elementabeeiche zelegen, um eine solche Dastellung zu emöglichen.

2 Das Doppelintegal zu Volumenbeechnung sieht allgemein so aus: V = a b d( x) c( x) y ) dy dx. Dabei bescheibt das innee Integal jeweils den Flächeninhalt des Schnittes duch das Funktionsgebige übe de Paallelen zu y-achse im Abstand x, und das äußee Integal summiet diese "Scheiben" auf. Vielfach ist g die Nullfunktion und kann dann weggelassen weden. Ist außedem f die konstante Funktion, so eduziet sich das Integal auf die obige Fomel fü Flächeninhalte. Man ehält so als Spezialfall das Volumen des von den Ebenen z = und z = sowie den Funktionen y = c( x ) und y = d( x ) begenzten Köpes. Beispiel : Das Pisma übe de Fläche zwischen Sinus und Cosinus Die Fläche zwischen g( x ) = sin( x ) und f( x ) = cos( x ) + fü x im Intevall von π bis π hatten wi schon im letzten Abschnitt behandelt. Diese Beeich B wid duch folgende Ungleichungen beschieben: π < x < π, sin( x ) < y < cos ( x ) +. Fü den Flächeinhalt des Beeiches B egab sich: π π cos( x ) + sin( x ) dx = +. π Dies ist zugleich das Volumen des "Pismas" zwischen de Fläche in Höhe und de gleichen Fläche in Höhe, mit andeen Woten: das Integal übe die Stufenfunktion χ B.

3 Besondes einfach wid die Integation, wenn die zu integieende Funktion nu von eine Vaiablen abhängt. Beispiel : Volumen eines paabolischen Zylindes y ) = x Tunnel g ( x, y ) = + x Wanne Zylinde Das Volumenintegal übe dem Quadat [-,] x [-,] ist hie y ) dx dy = y ) dy dx x 6 dx = -

4 Beispiel : Das Gachinge Atom-Ei hat die Fom eines Paaboloids. Wi betachten das Funktionsgebige y ) = 4 x y übe dem Gundkeis in de x-y-ebene mit Radius : x + y = 4. In diesem Spezialfall lautet das Doppelintegal zu Volumenbeechnung: - 4 x 4 x y dy dx 4 x Das innee Integal finden wi, indem wi x als Paamete festhalten: 4 x 4 x y dy = 8 4 x x 4 x ( 4 x ) ( / ) 4 x Eine Stammfunktion hiefü zu finden, ist schon ziemlich schwieig (MAPLE ode ein Fomelsammlung hilft): 8 4 x x 4 x ( 4 x ) ( / ) dx = x 4 x + 8 acsin x + 4 x ( / ) x ( ) Glücklicheweise wid daaus nach Einsetzen de Genzen - und de seh einfache Ausduck 8 4 x x 4 x ( 4 x ) ( / ) - dx = 8 π und dies ist das Volumen des Atom-Eies. Das hätte man doch auch schnelle heausbekommen können!? In de Tat weden wi im Abschnitt 9. bespechen, wie sich solche "Rotationsintegale" ganz einfach duch Zelegung in waageechte Scheiben beechnen lassen. Die Zelegung in senkechte Scheiben wa ungeschickt, da sie die Rotationssymmetie des Eies nicht beücksichtigt.

5 De Satz von Fubini Manchmal ist es günstige, die Rollen von x und y zu vetauschen und in de andeen Richtung zu integieen. Das Gebiet wid dann beschieben in de Fom a( y ) < x < b( y ), c < y < d und das Integal lautet V = c d b( y) a( y) y ) dx dy. Im Spezialfall konstante Beandungsfunktionen füht das auf den Satz von Fubini, welche besagt, daß man bei stetigen Integanden die Integationseihenfolge vetauschen daf : y) dx dy = y ) dy dx. c d Beispiel 4: Ein Sattel a b y ) = + x y übe dem quadatischen Sockel [, ] x [, ]. a b c d Integation zuest übe x (innen!) und dann übe y (außen!) egibt: + x y 8 dx =, y 8 d = y y x y dx dy = 4 4 Umgekeht: Integation zuest übe y (innen) und dann übe x (außen!) füht auf das gleiche Egebnis, abe übe andee Stammfunktionen: + x y 4 dy = +, x 4 + d = x x 4 4

6 + x y dy dx = 4 4 Hie wa die Integation in beiden Richtungen etwa gleich aufwendig. Andes bei Beispiel 5: Doppelintegal eine Wuzelfunktion dx dy = d y x dy x y x Das innee Integal auf de linken Seite (integiet nach x) egibt x actan y x und hie ist ziemlich ätselhaft, wie eine Stammfunktion duch Integation nach y aussehen könnte. Andesheum geht es hingegen elativ leicht: Das innee Integal auf de echten Seite (integiet nach y) egibt und dies integiet nach x liefet y x dy dx = x y x + y actan y x Beispiel 6: Zwei sich senkecht duchdingende Tonnen x y x gleichen Duchmesses weden beschieben duch die impliziten Dastellungen x + y = und x + z =. Wie sieht das von beiden Tonnen umschlossene "Kissen" aus?

7 Wi wollen das Volumen des Kissens bestimmen. Aus Symmetiegünden genügt es, übe den Oktanten zu integieen, wo alle dei Koodinaten nichtnegativ sind, und das Egebnis mal 8 zu nehmen. Hie geht das seh einfach: V = V = x x dy dx x dx, x dx = x, x V = Also ist das Gesamtvolumen wie in Beispiel gleich 6/. Estaunlich, daß die Keiszahl π hie nicht auftitt, obwohl alle Beandungsflächen Ausschnitte von Keiszylinden sind! Zum Vegleich noch einmal beide Figuen nebeneinande: Beispiel 7: Ein Patyzelt Dehen und Halbieen des "Kissens" aus Beispiel 6 egibt folgende Figu:

8 Hie genügt es zu Volumenbestimmung, die Funktion y ) = x übe de Deiecksfläche x, x und x y, y zu integieen und das Egebnis wiede zu veachtfachen. x x x dx = x dy dx = x x dx x ( + ) x ( x + ) x x dy dx = Damit ist das Volumen des Zeltes gleich 8/, also tatsächlich die Hälfte des Kissenvolumens. Dieses Egebnis haben wi hie abe auf einem ganz andeen Weg hegeleitet. (Geändete Beandungskuven!) Schließlich wollen wi noch einen Fall behandeln, wo de Integationsbeeich seh einfach, nämlich ein Quadat ist, und auch die zu integieende Funktion hamlos escheint (Kugelobefläche). Dennoch wid die Integation hie unvemutet mühsam. Beispiel 8: Ein Kopfstein Wi betachten übe einem quadatischen Sockel [, ] x [, ] die kuppelfömige Obefläche y ) = 4 x y. Wi setzen veeinfachend =. Zu Beechnung des Volumen-Integals

9 4 4 x y dy dx bietet MAPLE den folgenden Ausduck fü das innee unbestimmte Integal an: y 4 x y y + actan 4 x y actan Nach Einsetzen de Genzen und wid daaus y x 4 x y x + actan x actan x x und diesen Ausduck zu integieen macht wiklich keinen Spaß. Die neueen Vesionen von MAPLE schaffen es. Bei veschiedenen Anläufen kommen fü das obige Doppelintegal die folgenden dei auf den esten Blick völlig veschiedenen Resultate heaus: actan acsin acsin + 4 actan actan actan acsin + 7 Die Näheungswete lassen vemuten (beweisen abe nicht), daß diese dei Ausdücke tatsächlich gleich sind. Das Volumen des Kopfsteins betägt also ungefäh Das sind etwa zwei Dittel des Volumens de Kugel mit Radius R = : 4 R π =