9.2. Bereichsintegrale und Volumina

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "9.2. Bereichsintegrale und Volumina"

Transkript

1 9.. Beeichsintegale und Volumina Beeichsintegale Rein fomal kann man Integale übe einem (meßbaen) Beeich B bilden, indem man eine möglicheweise auf einem gößeen Beeich definiete Funktion f mit de chaakteistischen Funktion von B multipliziet und f B setzt, also Man nennt = f χ B f B ( x ) = f (x) fü x aus B und f B ( x ) = außehalb von B. f d B µ das Integal von f übe dem Beeich B. Häufig hängt man den Buchstaben, de den Beeich symbolisiet, an das Integal statt an die Funktion. Offensichtlich gilt fü disjunkte Beeiche A und B die Additionsfomel f A + B d = µ f dµ + f d A B µ. Mit diese Fomel kann man Integale aus Teilen zusammensetzen (was z.b. dann wichtig ist, wenn man die zu integieenden Funktionen stückweise definiet). Volumina gewinnt man häufig duch Integation de Diffeenz y ) zweie Funktionen (welche die obee und untee Begenzungsfläche bescheiben) übe ein von zwei Kuven beandetes Gebiet c( x ) < y < d( x ) (a < x < b). Ob man den Rand hinzunimmt ode nicht, spielt fü Volumina ebenso wie fü Flächeninhalte keine Rolle. Zu beachten ist jedoch, daß c( x ) stets untehalb von d( x ) veläuft. Manchmal muß man das Gesamtgebiet in Steifen ode andee Elementabeeiche zelegen, um eine solche Dastellung zu emöglichen.

2 Das Doppelintegal zu Volumenbeechnung sieht allgemein so aus: V = a b d( x) c( x) y ) dy dx. Dabei bescheibt das innee Integal jeweils den Flächeninhalt des Schnittes duch das Funktionsgebige übe de Paallelen zu y-achse im Abstand x, und das äußee Integal summiet diese "Scheiben" auf. Vielfach ist g die Nullfunktion und kann dann weggelassen weden. Ist außedem f die konstante Funktion, so eduziet sich das Integal auf die obige Fomel fü Flächeninhalte. Man ehält so als Spezialfall das Volumen des von den Ebenen z = und z = sowie den Funktionen y = c( x ) und y = d( x ) begenzten Köpes. Beispiel : Das Pisma übe de Fläche zwischen Sinus und Cosinus Die Fläche zwischen g( x ) = sin( x ) und f( x ) = cos( x ) + fü x im Intevall von π bis π hatten wi schon im letzten Abschnitt behandelt. Diese Beeich B wid duch folgende Ungleichungen beschieben: π < x < π, sin( x ) < y < cos ( x ) +. Fü den Flächeinhalt des Beeiches B egab sich: π π cos( x ) + sin( x ) dx = +. π Dies ist zugleich das Volumen des "Pismas" zwischen de Fläche in Höhe und de gleichen Fläche in Höhe, mit andeen Woten: das Integal übe die Stufenfunktion χ B.

3 Besondes einfach wid die Integation, wenn die zu integieende Funktion nu von eine Vaiablen abhängt. Beispiel : Volumen eines paabolischen Zylindes y ) = x Tunnel g ( x, y ) = + x Wanne Zylinde Das Volumenintegal übe dem Quadat [-,] x [-,] ist hie y ) dx dy = y ) dy dx x 6 dx = -

4 Beispiel : Das Gachinge Atom-Ei hat die Fom eines Paaboloids. Wi betachten das Funktionsgebige y ) = 4 x y übe dem Gundkeis in de x-y-ebene mit Radius : x + y = 4. In diesem Spezialfall lautet das Doppelintegal zu Volumenbeechnung: - 4 x 4 x y dy dx 4 x Das innee Integal finden wi, indem wi x als Paamete festhalten: 4 x 4 x y dy = 8 4 x x 4 x ( 4 x ) ( / ) 4 x Eine Stammfunktion hiefü zu finden, ist schon ziemlich schwieig (MAPLE ode ein Fomelsammlung hilft): 8 4 x x 4 x ( 4 x ) ( / ) dx = x 4 x + 8 acsin x + 4 x ( / ) x ( ) Glücklicheweise wid daaus nach Einsetzen de Genzen - und de seh einfache Ausduck 8 4 x x 4 x ( 4 x ) ( / ) - dx = 8 π und dies ist das Volumen des Atom-Eies. Das hätte man doch auch schnelle heausbekommen können!? In de Tat weden wi im Abschnitt 9. bespechen, wie sich solche "Rotationsintegale" ganz einfach duch Zelegung in waageechte Scheiben beechnen lassen. Die Zelegung in senkechte Scheiben wa ungeschickt, da sie die Rotationssymmetie des Eies nicht beücksichtigt.

5 De Satz von Fubini Manchmal ist es günstige, die Rollen von x und y zu vetauschen und in de andeen Richtung zu integieen. Das Gebiet wid dann beschieben in de Fom a( y ) < x < b( y ), c < y < d und das Integal lautet V = c d b( y) a( y) y ) dx dy. Im Spezialfall konstante Beandungsfunktionen füht das auf den Satz von Fubini, welche besagt, daß man bei stetigen Integanden die Integationseihenfolge vetauschen daf : y) dx dy = y ) dy dx. c d Beispiel 4: Ein Sattel a b y ) = + x y übe dem quadatischen Sockel [, ] x [, ]. a b c d Integation zuest übe x (innen!) und dann übe y (außen!) egibt: + x y 8 dx =, y 8 d = y y x y dx dy = 4 4 Umgekeht: Integation zuest übe y (innen) und dann übe x (außen!) füht auf das gleiche Egebnis, abe übe andee Stammfunktionen: + x y 4 dy = +, x 4 + d = x x 4 4

6 + x y dy dx = 4 4 Hie wa die Integation in beiden Richtungen etwa gleich aufwendig. Andes bei Beispiel 5: Doppelintegal eine Wuzelfunktion dx dy = d y x dy x y x Das innee Integal auf de linken Seite (integiet nach x) egibt x actan y x und hie ist ziemlich ätselhaft, wie eine Stammfunktion duch Integation nach y aussehen könnte. Andesheum geht es hingegen elativ leicht: Das innee Integal auf de echten Seite (integiet nach y) egibt und dies integiet nach x liefet y x dy dx = x y x + y actan y x Beispiel 6: Zwei sich senkecht duchdingende Tonnen x y x gleichen Duchmesses weden beschieben duch die impliziten Dastellungen x + y = und x + z =. Wie sieht das von beiden Tonnen umschlossene "Kissen" aus?

7 Wi wollen das Volumen des Kissens bestimmen. Aus Symmetiegünden genügt es, übe den Oktanten zu integieen, wo alle dei Koodinaten nichtnegativ sind, und das Egebnis mal 8 zu nehmen. Hie geht das seh einfach: V = V = x x dy dx x dx, x dx = x, x V = Also ist das Gesamtvolumen wie in Beispiel gleich 6/. Estaunlich, daß die Keiszahl π hie nicht auftitt, obwohl alle Beandungsflächen Ausschnitte von Keiszylinden sind! Zum Vegleich noch einmal beide Figuen nebeneinande: Beispiel 7: Ein Patyzelt Dehen und Halbieen des "Kissens" aus Beispiel 6 egibt folgende Figu:

8 Hie genügt es zu Volumenbestimmung, die Funktion y ) = x übe de Deiecksfläche x, x und x y, y zu integieen und das Egebnis wiede zu veachtfachen. x x x dx = x dy dx = x x dx x ( + ) x ( x + ) x x dy dx = Damit ist das Volumen des Zeltes gleich 8/, also tatsächlich die Hälfte des Kissenvolumens. Dieses Egebnis haben wi hie abe auf einem ganz andeen Weg hegeleitet. (Geändete Beandungskuven!) Schließlich wollen wi noch einen Fall behandeln, wo de Integationsbeeich seh einfach, nämlich ein Quadat ist, und auch die zu integieende Funktion hamlos escheint (Kugelobefläche). Dennoch wid die Integation hie unvemutet mühsam. Beispiel 8: Ein Kopfstein Wi betachten übe einem quadatischen Sockel [, ] x [, ] die kuppelfömige Obefläche y ) = 4 x y. Wi setzen veeinfachend =. Zu Beechnung des Volumen-Integals

9 4 4 x y dy dx bietet MAPLE den folgenden Ausduck fü das innee unbestimmte Integal an: y 4 x y y + actan 4 x y actan Nach Einsetzen de Genzen und wid daaus y x 4 x y x + actan x actan x x und diesen Ausduck zu integieen macht wiklich keinen Spaß. Die neueen Vesionen von MAPLE schaffen es. Bei veschiedenen Anläufen kommen fü das obige Doppelintegal die folgenden dei auf den esten Blick völlig veschiedenen Resultate heaus: actan acsin acsin + 4 actan actan actan acsin + 7 Die Näheungswete lassen vemuten (beweisen abe nicht), daß diese dei Ausdücke tatsächlich gleich sind. Das Volumen des Kopfsteins betägt also ungefäh Das sind etwa zwei Dittel des Volumens de Kugel mit Radius R = : 4 R π =

Experimentalphysik II (Kip SS 2007)

Experimentalphysik II (Kip SS 2007) Epeimentalphysik II (Kip SS 7) Zusatzvolesungen: Z- Ein- und mehdimensionale Integation Z- Gadient, Divegenz und Rotation Z-3 Gaußsche und Stokessche Integalsatz Z-4 Kontinuitätsgleichung Z-5 Elektomagnetische

Mehr

Integration von Ortsgrößen zu Bereichsgrößen

Integration von Ortsgrößen zu Bereichsgrößen Integation von Otsgößen zu Beeichsgößen 1 Integation von Otsgößen zu Beeichsgößen Stömungen sind Bewegungen von Teilchen innehalb von Stoffen. Ihe wesentlichen Gesetzmäßigkeiten gehen aus Zusammenhängen

Mehr

Polar-, Zylinder-, Kugelkoordinaten, Integration

Polar-, Zylinder-, Kugelkoordinaten, Integration Pola-, Zlinde-, Kugelkoodinaten, Integation Die Substitutionsegel b a f()d = t t f(g(t)) g (t)dt mit g(t ) = a und g(t ) = b lässt sich auf mehdimensionale Beeiche eweiten, z. B. B f(,) dd = f((u,v),(u,v))

Mehr

6 Die Gesetze von Kepler

6 Die Gesetze von Kepler 6 DIE GESETE VON KEPER 1 6 Die Gesetze von Kele Wi nehmen an, dass de entalköe (Sonne) eine seh viel gössee Masse M besitzt als de Planet mit de Masse m, so dass de Schweunkt in gute Näheung im entum de

Mehr

Übungsaufgaben zum Thema Kreisbewegung Lösungen

Übungsaufgaben zum Thema Kreisbewegung Lösungen Übungsaufgaben zum Thema Keisbewegung Lösungen 1. Ein Käfe (m = 1 g) otiet windgeschützt auf de Flügelspitze eine Windkaftanlage. Die Rotoen de Anlage haben einen Duchmesse von 30 m und benötigen fü eine

Mehr

( ) Parameters α. Links: α < 1. Mitte: α = 1 (Exponentialverteilung). Rechts: α > 1.

( ) Parameters α. Links: α < 1. Mitte: α = 1 (Exponentialverteilung). Rechts: α > 1. KAPITEL 8 Wichtige statistische Veteilungen In diesem Kapitel weden wi die wichtigsten statistischen Veteilungsfamilien einfühen Zu diesen zählen neben de Nomalveteilung die folgenden Veteilungsfamilien:

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 15 DER KREIS

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 15 DER KREIS ARBEITSBLATT 15 DER KREIS Zunächst einmal wollen wi uns übelegen, was man mathematisch unte einem Keis vesteht. Definition: Ein Keis ist die Menge alle Punkte, die von einem gegebenen Punkt ( Keismittelpunkt)

Mehr

12. Berechnung reeller Integrale mit dem Residuensatz

12. Berechnung reeller Integrale mit dem Residuensatz 72 Andeas Gathmann 2. Beechnung eelle Integale mit dem esiduensatz Wi haben geade gesehen, dass man mit Hilfe des esiduensatzes nahezu beliebige geschlossene komplexe Kuvenintegale beechnen kann. In diesem

Mehr

Übungen zur Physik 1 - Wintersemester 2012/2013. Serie Oktober 2012 Vorzurechnen bis zum 9. November

Übungen zur Physik 1 - Wintersemester 2012/2013. Serie Oktober 2012 Vorzurechnen bis zum 9. November Seie 3 29. Oktobe 2012 Vozuechnen bis zum 9. Novembe Aufgabe 1: Zwei Schwimme spingen nacheinande vom Zehn-Mete-Tum ins Becken. De este Schwimme lässt sich vom Rand des Spungbetts senkecht heuntefallen,

Mehr

Elektrostatik. Arbeit und potenzielle Energie

Elektrostatik. Arbeit und potenzielle Energie Elektostatik. Ladungen Phänomenologie. Eigenschaften von Ladungen 3. Käfte zwischen Ladungen, quantitativ 4. Elektisches Feld 5. De Satz von Gauß 6. Potenzial und Potenzialdiffeenz i. Abeit im elektischen

Mehr

Einführung in die Theoretische Physik

Einführung in die Theoretische Physik Einfühung in die Theoetische Physik De elektische Stom Wesen und Wikungen Teil : Gundlagen Siegfied Pety Fassung vom 19. Janua 013 n h a l t : 1 Einleitung Stomstäke und Stomdichte 3 3 Das Ohmsche Gesetz

Mehr

Statische Magnetfelder

Statische Magnetfelder Statische Magnetfelde Bewegte Ladungen ezeugen Magnetfelde. Im Magnetfeld efäht eine bewegte Ladung eine Kaft. Elektische Felde weden von uhenden und bewegten Ladungen gleichemaßen ezeugt. Die Kaft duch

Mehr

Seminarvortrag Differentialgeometrie: Rotationsflächen konstanter Gaußscher

Seminarvortrag Differentialgeometrie: Rotationsflächen konstanter Gaußscher Seminavotag Diffeentialgeometie: Rotationsflächen konstante Gaußsche Kümmung Paul Ebeman, Jens Köne, Mata Vitalis 1. Juni 22 Inhaltsvezeichnis Vobemekung 2 1 Einfühung 2 2 Este Fundamentalfom 2 3 Vetägliche

Mehr

Inhalt der Vorlesung A1

Inhalt der Vorlesung A1 PHYSIK A S 03/4 Inhalt de Volesung A. Einfühung Methode de Physik Physikalische Gößen Übesicht übe die vogesehenen Theenbeeiche. Teilchen A. Einzelne Teilchen Bescheibung von Teilchenbewegung Kineatik:

Mehr

Abstandsbestimmungen

Abstandsbestimmungen Abstandsbestimmungen A) Vektoechnungsmethoden (mit Skalapodukt): ) Abstand eines Punktes P von eine Ebene IE im Raum (eine Geade g in de Ebene ): Anmekung: fü Geaden im Raum funktioniet diese Vektomethode

Mehr

7 Trigonometrie. 7.1 Definition am Einheitskreis. Workshops zur Aufarbeitung des Schulstoffs Sommersemester TRIGONOMETRIE

7 Trigonometrie. 7.1 Definition am Einheitskreis. Workshops zur Aufarbeitung des Schulstoffs Sommersemester TRIGONOMETRIE 7 Tigonometie Wi beschäftigen uns hie mit de ebenen Tigonometie, dabei geht es hauptsächlich um die geometische Untesuchung von Deiecken in de Ebene. Ein wichtiges Hilfsmittel dafü sind die Winkelfunktionen

Mehr

Die Schrödingergleichung für das Elektron im Wasserstoffatom lautet Op2 e2 Or. mit

Die Schrödingergleichung für das Elektron im Wasserstoffatom lautet Op2 e2 Or. mit 4 Stak-Effekt Als Anwendung de Stöungstheoie behandeln wi ein Wassestoffatom in einem elektischen Feld. Fü den nichtentateten Gundzustand des Atoms füht dies zum quadatischen Stak-Effekt, fü die entateten

Mehr

7 Trigonometrie. 7.1 Defintion am Einheitskreis. Workshops zur Aufarbeitung des Schulsto s Wintersemester 2014/15 7 TRIGONOMETRIE

7 Trigonometrie. 7.1 Defintion am Einheitskreis. Workshops zur Aufarbeitung des Schulsto s Wintersemester 2014/15 7 TRIGONOMETRIE 7 Tigonometie Wi beschäftigen uns hie mit de ebenen Tigonometie, dabei geht es hauptsächlich um die geometische Untesuchung von Deiecken in de Ebene. Ein wichtiges Hilfsmittel dafü sind die Winkelfunktionen

Mehr

Zentrale Klausur 2015 Aufbau der Prüfungsaufgaben

Zentrale Klausur 2015 Aufbau der Prüfungsaufgaben Zentale Klausu 2015 Aufbau de Püfungsaufgaben Die Zentale Klausu 2015 wid umfassen: hilfsmittelfeie Aufgaben zu Analysis und Stochastik eine Analysisaufgabe mit einem außemathematischen Kontextbezug eine

Mehr

Klassische Mechanik - Ferienkurs. Sommersemester 2011, Prof. Metzler

Klassische Mechanik - Ferienkurs. Sommersemester 2011, Prof. Metzler Klassische Mechanik - Feienkus Sommesemeste 2011, Pof. Metzle 1 Inhaltsvezeichnis 1 Kelegesetze 3 2 Zweiköeoblem 3 3 Zentalkäfte 4 4 Bewegungen im konsevativen Zentalkaftfeld 5 5 Lenzsche Vekto 7 6 Effektives

Mehr

Aufgaben zur Vorbereitung Technik

Aufgaben zur Vorbereitung Technik Aufgaben zu Vobeeitung Technik Pof. Dipl.-Math. Usula Lunze Seite Test Anhand des ausgegebenen Tests können Sie selbständig emitteln, wo Ihe Schwächen und Lücken liegen. Die Aufgaben sollen soweit wie

Mehr

FH Giessen-Friedberg StudiumPlus Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler Grundlagen der Elektrotechnik Magnetisches Feld

FH Giessen-Friedberg StudiumPlus Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler Grundlagen der Elektrotechnik Magnetisches Feld 3 Stationäes magnetisches Feld: Ein stationäes magnetisches Feld liegt dann vo, wenn eine adungsbewegung mit gleiche Intensität vohanden ist: I dq = = const. dt Das magnetische Feld ist ein Wibelfeld.

Mehr

Lösung der Aufgabe 4.2.2

Lösung der Aufgabe 4.2.2 Elektomagnetische Felde und Wellen: Lösung de Aufgabe 422 1 Lösung de Aufgabe 422 Übeabeitet von: JüM 172005 Aufgabe wie in de Klausu Eine Kugel vom adius ist gleichfömig in x-ichtung polaisiet mit P =

Mehr

Kinematik und Dynamik der Rotation - Der starre Körper (Analogie zwischen Translation und Rotation eine Selbstlerneinheit)

Kinematik und Dynamik der Rotation - Der starre Körper (Analogie zwischen Translation und Rotation eine Selbstlerneinheit) Kinematik und Dynamik de Rotation - De stae Köpe (Analogie zwischen Tanslation und Rotation eine Selbstleneinheit) 1. Kinematische Gößen de Rotation / Bahn- und Winkelgößen A: De ebene Winkel Bei eine

Mehr

Einführung in die Finanzmathematik - Grundlagen der Zins- und Rentenrechnung -

Einführung in die Finanzmathematik - Grundlagen der Zins- und Rentenrechnung - Einfühung in die Finanzmathematik - Gundlagen de ins- und Rentenechnung - Gliedeung eil I: insechnung - Ökonomische Gundlagen Einfache Vezinsung - Jähliche, einfache Vezinsung - Untejähliche, einfache

Mehr

Vektorrechnung 1. l P= x y = z. Polarkoordinaten eines Vektors Im Polarkoordinatensystem weist der Ortsvektor vom Koordinatenursprung zum Punkt

Vektorrechnung 1. l P= x y = z. Polarkoordinaten eines Vektors Im Polarkoordinatensystem weist der Ortsvektor vom Koordinatenursprung zum Punkt Vektoechnung Vektoen Vektoechnung 1 Otsvekto Feste Otsvektoen sind mit dem Anfangspunkt an den Koodinatenuspung gebunden und weisen im äumlichen, katesischen Koodinatensstem um Punkt P,, ( ) Das katesische

Mehr

Grundwissen. 9. Jahrgangsstufe. Mathematik

Grundwissen. 9. Jahrgangsstufe. Mathematik Gundwissen 9. Jahgangsstufe Mathematik Seite 1 1 Reelle Zahlen 1.1 Rechnen mit Quadatwuzeln a ist diejenige nicht negative Zahl, die zum Quadat a egibt. d.h.: ist keine Wuzel aus 4. Eine Wuzel kann nicht

Mehr

4.1 Lagrange-Gleichungen, Integrale der Bewegung, Bahnkurven

4.1 Lagrange-Gleichungen, Integrale der Bewegung, Bahnkurven Das Zwei-Köe-Poblem 9 Woche_Skitoc, /5 agange-gleichngen, Integale e Bewegng, Bahnkven Betachtet ween wei Pnktmassen m n m an en Oten (t n (t, ie übe ein abstansabhängiges Potenial U( miteinane wechselwiken

Mehr

( ) ( ) 5. Massenausgleich. 5.1 Kräfte und Momente eines Einzylindermotors. 5.1.1 Kräfte und Momente durch den Gasdruck

( ) ( ) 5. Massenausgleich. 5.1 Kräfte und Momente eines Einzylindermotors. 5.1.1 Kräfte und Momente durch den Gasdruck Pof. D.-Ing. Victo Gheoghiu Kolbenmaschinen 88 5. Massenausgleich 5. Käfte und Momente eines Einzylindemotos 5.. Käfte und Momente duch den Gasduck S N De Gasduck beitet sich in alle Richtungen aus und

Mehr

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2011/2012

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2011/2012 Senatsvewaltung fü Bildung, Wissenschaft und Foschung Fach Name, Voname Klasse Abschlusspüfung an de Fachobeschule im Schuljah / Mathematik (B) Püfungstag.. Püfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine

Mehr

U y. U z. x U. U x y. dy dz. 3. Gradient, Divergenz & Rotation 3.1 Der Gradient eines Skalarfeldes. r dr

U y. U z. x U. U x y. dy dz. 3. Gradient, Divergenz & Rotation 3.1 Der Gradient eines Skalarfeldes. r dr PHYSIK A Zusatvolesung SS 13 3. Gadient Divegen & Rotation 3.1 De Gadient eines Skalafeldes Sei ein skalaes eld.b. ein Potential das von abhängt. Dann kann man scheiben: d d d d d d kann duch eine Veändeung

Mehr

Laborpraktikum Sensorik. Versuch. Füllstandssensoren PM 1

Laborpraktikum Sensorik. Versuch. Füllstandssensoren PM 1 Otto-von-Gueicke-Univesität Magdebug Fakultät fü Elektotechnik und Infomationstechnik Institut fü Miko- und Sensosysteme (IMOS) Labopaktikum Sensoik Vesuch Füllstandssensoen PM 1 Institut fü Miko- und

Mehr

A A Konservative Kräfte und Potential /mewae/scr/kap2 14s

A A Konservative Kräfte und Potential /mewae/scr/kap2 14s 2.4 Konsevative Käfte und Potential /mewae/sc/kap2 4s3 29-0-0 Einige Begiffe: Begiff des Kaftfeldes: Def.: Kaftfeld: von Kaft-Wikung efüllte Raum. Dastellung: F ( ) z.b. Gavitation: 2. Masse m 2 in Umgebung

Mehr

Übungsaufgaben zum Prüfungsteil 1 Lineare Algebra /Analytische Geometrie

Übungsaufgaben zum Prüfungsteil 1 Lineare Algebra /Analytische Geometrie Übungsaufgaben zum Püfungsteil Lineae Algeba /Analytische Geometie Aufgabe Von de Ebene E ist folgende Paametefom gegeben: 3 E: x= 4 + 0 + s 3 ;,s 0 3 4 a) Duch geeignete Wahl de Paamete und s ehält man

Mehr

Über eine ziemlich allgemeine Zahlenfolge und eine ziemlich allgemeine Funktion

Über eine ziemlich allgemeine Zahlenfolge und eine ziemlich allgemeine Funktion Übe eine ziemlich allgemeine Zahlenfolge und eine ziemlich allgemeine Funktion Beat Jaggi, beat.jaggi@phben.ch Abstact Ausgehend von einem veallgemeineten Mittelwet wid eine Zahlenfolge definiet, die eine

Mehr

Herleitung der Divergenz in Zylinderkoordinaten ausgehend von kartesischen Koordinaten

Herleitung der Divergenz in Zylinderkoordinaten ausgehend von kartesischen Koordinaten Heleitung de Divegenz in Zylindekoodinaten ausgehend von katesischen Koodinaten Benjamin Menküc benmen@cs.tu-belin.de Ralf Wiechmann alf.wiechmann@uni-dotmund.de 9. Oktobe 24 Zusammenfassung Es wid ausgehend

Mehr

Physik 1 ET, WS 2012 Aufgaben mit Lösung 5. Übung (KW 48) Verschiebungsarbeit )

Physik 1 ET, WS 2012 Aufgaben mit Lösung 5. Übung (KW 48) Verschiebungsarbeit ) 5. Übung (KW 48) Aufgabe 1 (M 4.1 Veschiebungsabeit ) Welche Abeit muss aufgewendet weden, um eine Fede mit Fedekonstanten k (a) ohne Vospannung, d. h. von de Vospannlänge x 1 0, (b) von de Vospannlänge

Mehr

3.1 Elektrostatische Felder symmetrischer Ladungsverteilungen

3.1 Elektrostatische Felder symmetrischer Ladungsverteilungen 3 Elektostatik Das in de letzten Volesung vogestellte Helmholtz-Theoem stellt eine fomale Lösung de Maxwell- Gleichungen da. Im Folgenden weden wi altenative Methoden kennenlenen (bzw. wiedeholen), die

Mehr

Erzeugung eines Skalars durch räumliche Differentiation einer vektoriellen Größe

Erzeugung eines Skalars durch räumliche Differentiation einer vektoriellen Größe eugung eines Skalas duch äumliche Diffeentiation eine ektoiellen Göße Diegen - de Gaußsche Integalsat Diegen ist als Wot aus de Stahlenoptik bekannt wid hie abe iel allgemeine gebaucht: Unte Diegen estehen

Mehr

Transformation der Cauchy-Riemann-DGLen

Transformation der Cauchy-Riemann-DGLen Tansfomation de Cauchy-Riemann-DGLen von Benjamin Schwaz 4 Mai 27 Tansfomationsfomel Fü gewöhnlich weden die Cauchy-Riemannschen Diffeentialgleichungen fü eine Abbildung f : U R 2 mit U R 2 bezüglich de

Mehr

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen Lagebeziehungen zwischen Geaden und Ebenen. Lagebeziehungen zwischen Geaden g a Gegeben seien zwei Geaden zu g µ b () Man untesucht zuest die Richtungsvektoen a, b auf lineae Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit

Mehr

Seminar Gewöhnliche Dierentialgleichungen Anwendungen in der Mechanik

Seminar Gewöhnliche Dierentialgleichungen Anwendungen in der Mechanik Semina Gewöhnliche Dieentialgleichungen Anwendungen in de Mechanik Geog Daniilidis 6.Juli 05 Inhaltsvezeichnis Einleitung Motivation:.Newtonsche Gesetz 3 Vowissen 4 Konsevativen Systeme 3 5 Zentale Kaftfelde

Mehr

Kreisbewegungen (und gekrümmte Bewegungen allgemein)

Kreisbewegungen (und gekrümmte Bewegungen allgemein) Auf den folgenden Seiten soll anhand de Gleichung fü die Zentipetalbeschleunigung, a = v 2 / 1, dagelegt weden, dass es beim Ekläen physikalische Sachvehalte oftmals veschiedene Wege gibt, die jedoch fühe

Mehr

Stereo-Rekonstruktion. Stereo-Rekonstruktion. Geometrie der Stereo-Rekonstruktion. Geometrie der Stereo-Rekonstruktion

Stereo-Rekonstruktion. Stereo-Rekonstruktion. Geometrie der Stereo-Rekonstruktion. Geometrie der Stereo-Rekonstruktion Steeo-Rekonstuktion Geometie de Steeo-Rekonstuktion Steeo-Kalibieung Steeo-Rekonstuktion Steeo-Rekonstuktion Kameakalibieung kann dazu vewendet weden, um aus einem Bild Weltkoodinaten zu ekonstuieen, falls

Mehr

I)Mechanik: 1.Kinematik, 2.Dynamik

I)Mechanik: 1.Kinematik, 2.Dynamik 3. Volesung EP I) Mechanik 1.Kinematik Fotsetzung 2.Dynamik Anfang Vesuche: 1. Feie Fall im evakuieten Falloh 2.Funkenflug (zu Keisbewegung) 3. Affenschuss (Übelageung von Geschwindigkeiten) 4. Luftkissen

Mehr

Komplexe Widerstände

Komplexe Widerstände Paktikum Gundlagen de Elektotechnik Vesuch: Komplexe Widestände Vesuchsanleitung 0. Allgemeines Eine sinnvolle Teilnahme am Paktikum ist nu duch eine gute Vobeeitung auf dem jeweiligen Stoffgebiet möglich.

Mehr

6 Ideale Strömungen. 6.2 Potentialströmungen. 6.1 Inkompressibilität

6 Ideale Strömungen. 6.2 Potentialströmungen. 6.1 Inkompressibilität 6 Ideale Stöungen Als Ideale Stöungen bezeichnet an Stöungen von inkopessiblen, eibungslosen (Re ) Flüssigkeiten. 6. Inkopessibilität Wann daf an eine Stöung als inkopessibel bezeichnen? Wie goss sind

Mehr

Drei Kreise. Fahrrad r = = = 3 = 3. r r r. n = = = Der Flächeninhalt beträgt 6,34 cm 2.

Drei Kreise. Fahrrad r = = = 3 = 3. r r r. n = = = Der Flächeninhalt beträgt 6,34 cm 2. Dei Keise Bestimmt den Flächeninhalt de schaffieten Fläche. Die schaffiete Figu besteht aus einem gleichseitigen Deieck ( cm) und dei Keisabschnitten (gau gezeichnet). Damit beechnet sich die Gesamtfläche:

Mehr

Aufgabe 1 Es werden n gewöhnliche Spielwürfel nebeneinander auf den Tisch gelegt (siehe Bild).

Aufgabe 1 Es werden n gewöhnliche Spielwürfel nebeneinander auf den Tisch gelegt (siehe Bild). Landeswettbeweb Mathemati aden-wüttembeg 1991 Runde ufgabe 1 Es weden n gewöhnliche Spielwüfel nebeneinande auf den Tisch gelegt (siehe ild). Man addiet alle ugenzahlen, die nicht duch den Tisch ode duch

Mehr

Kapitel 4 Energie und Arbeit

Kapitel 4 Energie und Arbeit Kapitel 4 negie und Abeit Kaftfelde Wenn wi jedem unkt des Raums eindeutig einen Kaft-Vekto zuodnen können, ehalten wi ein Kaftfeld F ( ) Häufig tauchen in de hysik Zental-Kaftfelde auf : F( ) f ( ) ˆ

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2013/14 Blatt

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2013/14 Blatt Übungen zu Ingenieu-Mathematik III WS 3/4 Blatt 7..4 Aufgabe 38: Betachten Sie eine Ellipse (in de Ebene) mit den Halbachsen a und b und bestimmen Sie die Kümmung in den Scheitelpunkten. Lösung:Eine Paametisieung

Mehr

An welche Stichwörter von der letzten Vorlesung können Sie sich noch erinnern?

An welche Stichwörter von der letzten Vorlesung können Sie sich noch erinnern? An welche Stichwöte von de letzten Volesung können Sie sich noch einnen? Magnetfeld: Pemanentmagnete und Elektomagnete F = qv B B Gekeuzte Felde De Hall-Effekt Geladene Teilchen auf eine Keisbahn = mv

Mehr

1 Lineare Bewegung der Körper

1 Lineare Bewegung der Körper Lineae Bewegung de Köpe.3 Regentopfen und Fallschimspinge (v 0 (t) = g v(t)) In beiden Fällen handelt es sich um Objekte, die aus goßen Höhen fallen und von dem duchfallennen Medium (Luft) gebemst weden.

Mehr

34. Elektromagnetische Wellen

34. Elektromagnetische Wellen Elektizitätslehe Elektomagnetische Wellen 3. Elektomagnetische Wellen 3.. Die MXWELLschen Gleichungen Die MXWELLschen Gleichungen sind die Diffeentialgleichungen, die die gesamte Elektodynamik bestimmen.

Mehr

Kapitel 2. Schwerpunkt

Kapitel 2. Schwerpunkt Kpitel Schwepunkt Schwepunkt Volumenschwepunkt Fü einen Köpe mit dem Volumen V emittelt mn die Koodinten des Schwepunktes S (Volumenmittelpunkt) us S dv dv z S S z S dv dv z dv dv z S S S Flächenschwepunkt

Mehr

Elektrostatik II Felder, elektrische Arbeit und Potential, elektrischer Fluss

Elektrostatik II Felder, elektrische Arbeit und Potential, elektrischer Fluss Physik A VL9 (.. Elektostatik II Fele, elektische Abeit un Potential, elektische Fluss Das elektische Fel elektisches Fel eine Punktlaung Dastellung uch Fellinien elektische Abeit un elektisches Potential

Mehr

Lehrstuhl für Fluiddynamik und Strömungstechnik

Lehrstuhl für Fluiddynamik und Strömungstechnik Lehstuhl fü Fluiddynamik und Stömungstechnik Pof. D.-Ing. W. Fank Lösungen zu dem Aufgabenblatt Aufgabe 1 Gegeben: p =,981 ba (Duck fü z = ), T = 83 K (Tempeatu fü z = ), α = 6 1-3 K m -1, m = 9 kg/ kmol

Mehr

2.3 Elektrisches Potential und Energie

2.3 Elektrisches Potential und Energie 2.3. ELEKTRISCHES POTENTIAL UND ENERGIE 17 2.3 Elektisches Potential un Enegie Aus e Mechanik wissen wi, ass ie Abeit Q, ie an einem Massepunkt veichtet wi, wenn iese um einen (kleinen) Vekto veschoben

Mehr

Lösen einer Gleichung 3. Grades

Lösen einer Gleichung 3. Grades Lösen eine Gleichung Gdes We sich uf dieses Abenteue einlssen will, bucht einige Kenntnisse übe komlee Zhlen Es eicht be, wenn mn folgende Schvehlte kennt und kochezettig (mn nehme) nwenden knn: Es gibt

Mehr

Computer-Graphik II. Kompexität des Ray-Tracings. G. Zachmann Clausthal University, Germany cg.in.tu-clausthal.de

Computer-Graphik II. Kompexität des Ray-Tracings. G. Zachmann Clausthal University, Germany cg.in.tu-clausthal.de lausthal ompute-aphik II Komplexität des Ray-Tacings. Zachmann lausthal Univesity, emany cg.in.tu-clausthal.de Die theoetische Komplexität des Ray-Tacings Definition: das abstakte Ray-Tacing Poblem (ARTP)

Mehr

5.3 Die hypergeometrische Verteilung

5.3 Die hypergeometrische Verteilung 5.3 Die hypegeometische Veteilung Das Unenmodell fü die hypegeometische Veteilung ist die Ziehung ohne Zuücklegen. Die Une enthalte n Kugeln, davon s schwaze und w n s weiße. De Anteil p : s n de schwazen

Mehr

Bewegungen im Zentralfeld

Bewegungen im Zentralfeld Egänzungen zu Physik I Wi wollen jetzt einige allgemeine Eigenschaften de Bewegung eines Massenpunktes unte dem Einfluss eine Zentalkaft untesuchen, dh de Bewegung in einem Zentalfeld Danach soll de spezielle

Mehr

Gleichseitige Dreiecke im Kreis. aus der Sicht eines Punktes. Eckart Schmidt

Gleichseitige Dreiecke im Kreis. aus der Sicht eines Punktes. Eckart Schmidt Gleichseitige Deiecke im Keis aus de Sicht eines Punktes Eckat Schmidt Zu einem Punkt und einem gleichseitigen Deieck in seinem Umkeis lassen sich zwei weitee Deiecke bilden: das Lotfußpunktdeieck und

Mehr

F63 Gitterenergie von festem Argon

F63 Gitterenergie von festem Argon 1 F63 Gitteenegie von festem Agon 1. Einleitung Die Sublimationsenthalpie von festem Agon kann aus de Dampfduckkuve bestimmt weden. Dazu vewendet man die Clausius-Clapeyon-Gleichung. Wenn außedem noch

Mehr

Aufgabe 1: LKW. Aufgabe 2: Drachenviereck

Aufgabe 1: LKW. Aufgabe 2: Drachenviereck Aufgabe 1: LKW Ein LKW soll duch einen Tunnel mit halbkeisfömigem Queschnitt fahen. Die zweispuige Fahbahn ist insgesamt 6 m beit; auf beiden Seiten befindet sich ein Randsteifen von je 2 m Beite. Wie

Mehr

Fläche und Umfang des Kreises

Fläche und Umfang des Kreises Fläche und Umfang des Keises Mai 015 Ano Fehinge, Gymnasiallehe fü Mathematik und Physik Appoximation de Keisfläche duch einbeschiebene und umbeschiebene eguläe Vielecke duch sukzessive Eckenvedopplung

Mehr

Wichtige Begriffe dieser Vorlesung:

Wichtige Begriffe dieser Vorlesung: Wichtige Begiffe diese Volesung: Impuls Abeit, Enegie, kinetische Enegie Ehaltungssätze: - Impulsehaltung - Enegieehaltung Die Newtonschen Gundgesetze 1. Newtonsches Axiom (Tägheitspinzip) Ein Köpe, de

Mehr

Abiturprüfung Physik 2016 (Nordrhein-Westfalen) Leistungskurs Aufgabe 1: Induktion bei der Torlinientechnik

Abiturprüfung Physik 2016 (Nordrhein-Westfalen) Leistungskurs Aufgabe 1: Induktion bei der Torlinientechnik Abitupüfung Physik 2016 (Nodhein-Westfalen) Leistungskus Aufgabe 1: Induktion bei de Tolinientechnik Im Fußball sogen egelmäßig umstittene Entscheidungen übe zu Unecht gegebene bzw. nicht gegebene Toe

Mehr

Übungen: Extremwertaufgaben

Übungen: Extremwertaufgaben Übungen: Extemwetufgben.0 Eine Stenwte ht meist die Fom eines Zylindes (Rdius, Höhe h) mit eine oben ufgesetzten Hlbkugel (siehe z. B. die im Bild unten gezeigte Fitz-Weiths-Stenwte in Neumkt). Die gesmte

Mehr

Berechnung der vorhandenen Masse von Biogas in Biogasanlagen zur Prüfung der Anwendung der StörfallV

Berechnung der vorhandenen Masse von Biogas in Biogasanlagen zur Prüfung der Anwendung der StörfallV Beechnung de vohandenen Masse von Biogas in Biogasanlagen zu Püfung de Anwendung de StöfallV 1. Gundlagen Zu Püfung de Anwendbakeit de StöfallV auf Betiebsbeeiche, die Biogasanlagen enthalten, muss das

Mehr

Experimentelle Physik II

Experimentelle Physik II Expeimentelle Physik II Sommesemeste 08 Vladimi Dyakonov (Lehstuhl Expeimentelle Physik VI VL#4/5 07/08-07-008 Tel. 0931/888 3111 dyakonov@physik.uni-wuezbug.de Expeimentelle Physik II 8. Bandstuktu und

Mehr

Kernfach Mathematik (Thüringen): Abiturprüfung 2015 Pflichtaufgaben Teil A

Kernfach Mathematik (Thüringen): Abiturprüfung 2015 Pflichtaufgaben Teil A Kenfach Mathematik (Thüingen): Abitupüfung 2015 Pflichtaufgaben Teil A 1. Gegeben ist die Funktion f duch f(x) = x 3 3x + 2 (x 0). a) Zeigen Sie, dass t(x) = 3x + 2 eine Gleichung de Tangente an den Gaphen

Mehr

Unterlagen Fernstudium - 3. Konsultation 15.12.2007

Unterlagen Fernstudium - 3. Konsultation 15.12.2007 Untelagen Fenstudium - 3. Konsultation 5.2.2007 Inhaltsveeichnis Infomationen u Püfung 2 2 Aufgabe 7. Umstömte Keisylinde mit Auftieb 3 3 Aufgabe 8. Komplexes Potential und Konfome Abbildung 0 Infomationen

Mehr

Stochastik: Nutzung sozialer Netzwerke

Stochastik: Nutzung sozialer Netzwerke Stochastik: Nutzung soziale Netzweke Die Nutzung von sozialen Netzweken wid imme beliebte. Dabei nutzen imme meh Jugendliche veschiedene soziale Netzweke. Es wid davon ausgegangen, dass 30 % alle Jugendlichen

Mehr

I)Mechanik: 1.Kinematik, 2.Dynamik

I)Mechanik: 1.Kinematik, 2.Dynamik 3. Volesung EP I) Mechanik 1.Kinematik Fotsetzung 2.Dynamik Anfang Vesuche: 1. Feie Fall im evakuieten Falloh 2.Funkenflug (zu Keisbewegung) 3. Affenschuss (Übelageung von Geschwindigkeiten) 4. Luftkissen

Mehr

1 Ergänzungen zum Themenfeld Vollständige Induktion

1 Ergänzungen zum Themenfeld Vollständige Induktion KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS D. Chistoph Schmoege Heiko Hoffmann WS 013/14 5.10.013 Höhee Mathematik I fü die Fachichtung Infomatik 1. Saalübung (5.10.013) 1 Egänzungen zum

Mehr

Besondere Leistungsfeststellung Mathematik ERSTTERMIN

Besondere Leistungsfeststellung Mathematik ERSTTERMIN Sächsisches Staatsministeium Geltungsbeeich: fü Kultus Schüle de Klassenstufe 10 an allgemeinbildenden Gymnasien Schuljah 011/1 ohne Realschulabschluss Besondee Leistungsfeststellung Mathematik ERSTTERMIN

Mehr

7.1 Mechanik der trockenen Reibung

7.1 Mechanik der trockenen Reibung 41 7 eibung Bei Köpekontakt titt neben eine omalkaft senkecht zu Beühebene i. Allg. auch eine tangentiale Kaftkomponente auf. Zu untescheiden ist de haftende Kontakt, de eine tangentiale Bindung dastellt,

Mehr

Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald / Institut für Physik Physikalisches Grundpraktikum

Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald / Institut für Physik Physikalisches Grundpraktikum Enst-Moitz-Andt-Univesität Geifswald / Institut fü Physik Physikalisches Gundpaktikum Paktikum fü Physike Vesuch E7: Magnetische Hysteese Name: Vesuchsguppe: Datum: Mitabeite de Vesuchsguppe: lfd. Vesuchs-N:

Mehr

Flächeninhalt ohne Höhen die Dreieckformel von Heron (oder Archimedes?)

Flächeninhalt ohne Höhen die Dreieckformel von Heron (oder Archimedes?) Aufgabe 1: Zeichne in dein Heft einen Keis mit beliebigem Radius (abe bitte nicht zu klein), und konstuiee ein umbeschiebenes Deieck. Deine Zeichnung könnte etwa so aussehen wie die nebenstehende kizze.

Mehr

Steuerungskonzept zur Vermeidung des Schattenwurfs einer Windkraftanlage auf ein Objekt

Steuerungskonzept zur Vermeidung des Schattenwurfs einer Windkraftanlage auf ein Objekt teueungskonzept zu Vemeidung des chattenwufs eine Windkaftanlage auf ein Objekt Auto: K. Binkmann Lehgebiet Elektische Enegietechnik Feithstaße 140, Philipp-Reis-Gebäude, D-58084 Hagen, fa: +49/331/987

Mehr

PN 2 Einführung in die Experimentalphysik für Chemiker und Biologen

PN 2 Einführung in die Experimentalphysik für Chemiker und Biologen PN 2 Einfühung in die alphysik fü Chemike und Biologen 2. Volesung 27.4.07 Nadja Regne, Thomas Schmiee, Gunna Spieß, Pete Gilch Lehstuhl fü BioMolekulae Optik Depatment fü Physik LudwigMaximiliansUnivesität

Mehr

Musterlösung Klausur Mathematik (Wintersemester 2012/13) 1

Musterlösung Klausur Mathematik (Wintersemester 2012/13) 1 Mustelösung Klausu Mathematik Wintesemeste / Aufgabe : 8 Punkte Fü die Nahfage Dp nah einem Podukt als Funktion seines Peises p sollen folgende Szenaien modelliet weden:. Wenn de Peis um einen Euo steigt,

Mehr

2.12 Dreieckskonstruktionen

2.12 Dreieckskonstruktionen .1 Deieckskonstuktionen 53.1 Deieckskonstuktionen.1.1 B aus a, b und c. Keis um mit Radius b 3. Keis um B mit Radius a 4. Schnittpunkt de Keise ist Bemekung: Es entstehen zwei konguente B..1. B aus α,

Mehr

Bogenweichen. Entstehung von Außen- und Innenbogenweichen aus einer einfachen Weiche

Bogenweichen. Entstehung von Außen- und Innenbogenweichen aus einer einfachen Weiche Technische Univesität Desden Faultät Veehswissenschaften "Fiedich List" Pof. f. Gestaltung v. Bahnanlagen Bogenweichen Pof. Fengle A 9 Vesion 1-1 Gundlagen Die feizügige Anodnung von Weichen in einem Gleisplan

Mehr

Analytische Geometrie Übungsaufgaben 2 Gesamtes Stoffgebiet

Analytische Geometrie Übungsaufgaben 2 Gesamtes Stoffgebiet Analytische Geometie Übungsaufgaben Gesamtes Stoffgebiet Pflichtteil (ohne Fomelsammlung und ohne GTR): P: a) Püfe, ob das Deieck ABC gleichschenklig ist: A(/7/), B(-//), C(//) b) Püfe, ob das Deieck ABC

Mehr

3 Das kanonische und das großkanonische Ensemble

3 Das kanonische und das großkanonische Ensemble 3 Das kanonische und das goßkanonische Ensemble 3. Definition kanonisches Ensemble Wie in de Themodynamik entspechen die Bedingungen des abgeschlossenen Systems, nämlich vogegebene E, V und N, nicht de

Mehr

Allgemeine Mechanik Musterlösung 3.

Allgemeine Mechanik Musterlösung 3. Allgemeine Mechanik Mustelösung 3. HS 014 Pof. Thomas Gehmann Übung 1. Umlaufbahnen fü Zweiköpepobleme Die Bewegungsgleichung von zwei Köpen in einem zentalwikenem Kaftfel, U() = α/, lautet wie folgt:

Mehr

Investition und Finanzierung

Investition und Finanzierung Investition und Finanzieung Studiengang B.A. Business Administation Pof. D. Raine Stachuletz Hochschule fü Witschaft und Recht Belin Belin School of Economics and Law Somme 2012 slide no.: 1 Handlungsfelde

Mehr

6.2 Erzeugung von elektromagnetischen Wellen

6.2 Erzeugung von elektromagnetischen Wellen 6.2. ERZEUGUNG VON ELEKTROMAGNETISCHEN WELLEN 29 6.2 Ezeugung von elektomagnetischen Wellen In diesem Abschnitt soll die Entstehung und die Emission von elektomagnetischen Wellen beschieben weden. Die

Mehr

Physik II Übung 1 - Lösungshinweise

Physik II Übung 1 - Lösungshinweise Physik II Übung 1 - Lösungshinweise Stefan Reutte SoSe 01 Moitz Kütt Stand: 19.04.01 Fanz Fujaa Aufgabe 1 We kennt wen? Möglicheweise kennt ih schon einige de Studieenden in eue Übungsguppe, vielleicht

Mehr

KAPITEL IV DREHBEWEGUNGEN STARRER KÖRPER

KAPITEL IV DREHBEWEGUNGEN STARRER KÖRPER KAPITEL IV DREHBEWEGUNGEN STARRER KÖRPER . GRUNDBEGRIFFE. MODELL "STARRER KÖRPER" Bishe habe wi us mit de Mechaik de Puktmasse beschäftigt; dabei meie wi eigetlich u die Bewegug des Massemittelpuktes.

Mehr

6. Das Energiebändermodell für Elektronen

6. Das Energiebändermodell für Elektronen 6. Das Enegiebändemodell fü Eletonen Modell des feien Eletonengases ann nicht eläen: - Unteschied Metall - Isolato (Metall: ρ 10-11 Ωcm, Isolato: ρ 10 Ωcm), Halbleite? - positive Hall-Konstante - nichtsphäische

Mehr

Lösen von Extremwertaufgaben mit EXCEL

Lösen von Extremwertaufgaben mit EXCEL Lösen von Etemwetaugaben mit EXCEL In de Wissenschat, abe auch in de Witschat, spielt das Lösen von Etemwetaugaben eine goße Rolle. Imme wiede wid die Fage danach gestellt, was untenommen weden muss, damit

Mehr

Mathematik / Wirtschaftsmathematik

Mathematik / Wirtschaftsmathematik tudiengang Witschaftsingenieuwesen Fach Mathematik / Witschaftsmathematik At de Leistung tudienleistung Klausu-Knz. WB-WMT--66 / WI-WMT- 66 Datum.6.6 Bezüglich de Anfetigung Ihe Abeit sind folgende Hinweise

Mehr

Einführung in die Physik I. Wärme 3

Einführung in die Physik I. Wärme 3 Einfühung in die Physik I Wäme 3 O. von de Lühe und U. Landgaf Duckabeit Mechanische Abeit ΔW kann von einem Gas geleistet weden, wenn es sein olumen um Δ gegen einen Duck p ändet. Dies hängt von de At

Mehr

Kernfach Mathematik (Thüringen): Abiturprüfung 2013 Aufgabe A1: Analysis (mit CAS)

Kernfach Mathematik (Thüringen): Abiturprüfung 2013 Aufgabe A1: Analysis (mit CAS) Kenfach Mathematik (Thüingen): Abitupüfung 03 Aufgabe A: Analysis (mit CAS) Gegeben ist die Funktion f duch y= f(x) = x e (x 0). x a) Untesuchen Sie den Gaphen de Funktion f auf lokale Extempunkte und

Mehr

Testen von Hypothesen eine Anwendung der Binomialverteilung

Testen von Hypothesen eine Anwendung der Binomialverteilung Hebet Saube - Hebet.Saube@t-online.de.5.998 Testen von Hypothesen eine Anwendung de Binomialveteilung I. Einseitige Test eine Hypothese Von einem Wüfel wid vemutet, daß e öftes die Sechs liefet, als es

Mehr

1 Strömungsmechanische Grundlagen 1

1 Strömungsmechanische Grundlagen 1 Stömungsmechanische Gundlagen -i Stömungsmechanische Gundlagen. Eigenschaften von Gasen und Flüssigkeiten.. Fluide.. Extensive und intensive Gößen..3 Zähigkeit und Fließvehalten 4. Bilanzgleichungen 0.3

Mehr

ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvb lzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiofghj

ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvb lzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiofghj qwetyuiopasdfghjklzxcvbnmqwetyuiop asdfghjklzxcvbnmqwetyuiopasdfghjklzx cvbnmqwetyuiopasdfghjklzxcvbnmqwe tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwetyuiopasdf Aufgaben M-Beispielen ghjklzxcvbnmqwetyuiopasdfghjklzxcvb Vobeeitung

Mehr