Helmuts Kochrezept Nummer 6:

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1 Helmuts Kochezept Numme 6: Ausdücken von Raumladungsdichten mittels Delta- Distibution in katesischen und kummlinigen Koodinaten (Vesion 2, ) Dieses Kochezept eklät Di, wie du Raumladungsdichten von Punkt-, Linien- und Flächenladungen mittels de Deltadistibution (und Heavisidefunktion) dastellst. Besondes wid auf die Fagestellung eingegangen, waum in kummlinigen Koodinaten - je nach Poblem (scheinba willkülich) - manchmal Vofaktoen de Funktionaldeteminante in de Raumladungsdichtefunktion aufscheinen, und manchmal dann wiede doch nicht. Voaussetzung zum Veständnis dieses Dokuments ist, dass Du die Funktionsweise de Deltadistibution bzw. Heaviside-Funktion pinzipiell beeits vestanden hast. Katesische Koodinaten. Punktladung Fangen wi hamlos an: Gegeben sei eine Punktladung q am (katesischen) Koodinatenpunkt (x, y, z ). Die Raumladungsdichte kann dann mittels folgende Funktion dagestellt weden: ρ(x, y, z) = q δ(x x ) δ(y y ) δ(z z ) () Wenn man weiß, dass die Deltadistibution bei einem Einheitenvegleich die ezike Einheit des Aguments zuückliefet, kann man diese Dastellung mittels Einheitenvegleich leicht auf Plausibilität übepüfen: ρ(x, y, z) = q δ(x x ) δ(y y ) δ(z z ) [ C m 3] [C] [ m ] [ m ] [ m ] (2) Übe Funktionaldeteminanten müssen wi uns in katesischen Koodinaten sowieso nicht den Kopf zebechen. Betachten wi nun abschließend das Integal übe den gesamten R 3 : Q ges = ρ(x, y, z) dx dy dz = q δ(x x ) δ(y y ) δ(z z ) dx dy dz = q (3) Die Sache funktioniet also. Obwohl das Beispiel tivial ist, gibt es doch eine Tatsache, die man sich bewusst machen sollte: Nomaleweise liefet ein Integal dx dy dz ein Volumen. Jedoch eduziet jede de Deltadistibutionen im Integanden von Fomel (3) die Dimension des Integals um eins! Zum Beispiel fixiet δ(x x ) die x-koodinate mit x, und das estliche Integal dy dz könnte (potentiell) nu meh eine Fläche ausechnen. Da abe auch y und z von Deltadistibutionen fixiet weden, ist das gesamte Integal einheitenlos. Die eziken Einheiten [ m ] [ m ] [ m ] de Deltadistibutionen δ(x x ) δ(y y ) δ(z z ) heben das Volumsintegal gewissemaßen völlig auf. Helmut Höne,

2 .2 Linienladung Betachten wi nun als nächstes einen unendlich dünnen, homogen geladenen Daht mit de Linienladungsdichte τ entlang de z-achse von z = L bis z = +L. Die Raumladungsdichte kann in diesem Fall wie folgt dagestellt weden: ρ(x, y, z) = τ δ(x) δ(y) θ(l + z) θ(l z) (4) wobei θ(x) die Heavisidefunktion epäsentiet. Da die Heavisidefunktion einheitenlos ist, können wi folgenden Einheitenvegleich anstellen: ρ(x, y, z) = τ [ C m 3] δ(x) δ(y) [ C m ] [ m ] θ(l + z) θ(l z) [ m ] [] (5) Das passt also. Betachten wi nun, was passiet, wenn wi wiede das Integal übe den gesamten R 3 bilden: Q ges = ρ(x, y, z) dx dy dz = τ δ(x) δ(y) θ(l + z) θ(l z) dx dy dz (6) Wetet man eine Heavisidefunktion de Fom θ(a + z) im Integal aus, wid einfach die untee Integalgenze auf z = a festgelegt. Genauso legt eine Heavisidefunktion de Fom θ(b z) die obee Integalgenze mit z = b fest. Somit kann man das Integal (6) auch so anscheiben: L Q ges = τ δ(x) δ(y) dx dy dz z= L y= x= (7) Das Volumsintegal dx dy dz degeneiet also zu einem Steckenintegal entlang de z-achse von z = L bis z = +L (x und y wede ja weitehin von den Deltadistibutionen fixiet ). Das passt wundeba, weil nun eine Linienladungsdichte ( Länge ) mit eine Steckenlänge multipliziet wid: Q ges = τ Länge L δ(x) δ(y) dx dy dz = τ 2L z= L y= x= Steckenintegal (La nge in z Richtung) (8).3 Flächenladung Betachten wi zum Abunden noch eine unendlich dünne, echteckige, homogen geladene Platte in de xy-ebene, die sich in x-richtung von a bis a, und in y-richtung von b bis b esteckt. Die Flächenladungsdichte diese Platte sei σ. Hie ist die Raumladungsdichtefunktion, welche diese Konfiguation epäsentiet: Hie de Einheitenvegleich: ρ(x, y, z) = σ θ(a + x) θ(a x) θ(b + y) θ(b y) δ(z) (9) ρ(x, y, z) = σ θ(a + x) θ(a x) [ C m 3] [ C m 2] [] Wie ewatet: Auch hie ist alles in Odnung. θ(b + y) θ(b y) [] δ(y) [ m ] () Helmut Höne,

3 Das Integal übe den gesamten R 3 sieht nun so aus: Q ges = ρ(x, y, z) dx dy dz = σ θ(a + x) θ(a x) θ(b + y) θ(b y) δ(z) dx dy dz () Nach Umlegung de Heavisidefunktionen auf Integalgenzen fü x und y eduziet sich dieses Integal zu: b a Q ges = σ δ(z) dx dy dz z= y= b x= a (2) Das Volumsintegal dx dy dz degeneiet also zu einem Flächenintegal in de xy-ebene von x = a bis x = +a und y = b bis y = +b. Das wa zu ewaten, weil nu meh eine Koodinate mittels δ(z) festhalten, und jetzt - wie ehofft nunmeh eine Flächenladungsdichte ( Flächeneinheit ) mit eine Fläche multipliziet wid: Q ges = σ Fla che b a δ(z) dx dy dz = σ 2a 2b z= y= b x= a Fla chenintegal (Fla che) (3) 2 Zylindekoodinaten 2. Punktladung Betachten wi nun eine Punktladung q am Koodinatenpunkt (, φ, z ), de abe jetzt in Zylindekoodinaten angegeben ist. In de Fomel fü die Raumladungsdichte taucht nun plötzlich die ezike Funktionaldeteminate fü Zylindekoodinaten auf: Vesuch eine anschaulichen Ekläung ρ(, φ, z) = q δ( ) δ(φ φ ) δ(z z ) (4) Eine anschauliche Ekläung hiefü ist, dass jede einzelne Koodinate, übe die wi integieen (z.b. dx) zunächst eigentlich ein Steckenintegal dastellt. Est die Deltadistibution im Integal pickt gewissemaßen einen einzelnen Punkt de Stecke heaus und bingt so das Steckenintegal zum kollabieen. Beispielsweise pickt (in katesischen Koodinaten) das Integal δ(x x ) dx aus dem Steckenintegal dx den einzelnen Punkt x heaus. Fü unsee Anschauung (Mathematike bitte weghöen) können wi uns vostellen, dass die beechnete Stecke so kuz wid, dass sie zu einem Punkt degeneiet. Abe in Zylindekoodinaten wid ein Steckenintegal entlang des Zylindeumfangs so dagestellt: dφ. De Fakto stammt aus de Funktionaldeteminante, und ist anschaulich leicht zu vestehen, wenn man bedenkt, dass ein kleines Winkelinkement dφ bei einem gewissen Radius eine umso gößee intefesimale Stecke entlang des Umfangs epäsentiet, je göße de Wet von ist. Wenn wi abe nun aus dem Integal dφ einfach nu mit δ(φ φ ) einen bestimmten Winkel φ heauspicken wüden, dann wäe wie beim nomalen Steckenintegal - die heausgepickte Stecke-die-zum-Punktdegeneiet (schlampig geschen) umso länge, je göße wid. Das wollen wi nicht. Um dies zu koigieen, und aus dem Steckenintegal dφ ein echtes Punktintegal zu machen, müssen wi duch dividieen. Helmut Höne,

4 Ekläung übe Einheitenvegleich Wem die obige Ekläung zu hand-waving ist, kann sich mit dem Einheitenvegleich übezeugen, dass de Fakto notwendig ist: ρ(, φ, z) = q [ C m 3] [C] δ( ) [ m ] δ(φ φ ) [ m ] [] δ(z z ) Man sieht: Ohne den Fakto ginge es sich einheitenmäßig einfach nicht aus! Betachten wi nun das Integal übe den gesamten R 3 in Zylindekoodinaten: [ m ] (5) Q ges = ρ ddφdz = q Gesamt ladung δ( ) δ(φ φ ) δ(z z ) d dφ dz z= φ= = Punkt (einheitenlos) (6) Man sieht, dass die in einem Punkt konzentiete ichtig aufintegiet wid. 2.2 Linienladung 2.2. Linienladung paallel zu z-achse bei Betachten wi nun einen unendlich dünnen, homogen geladenen Daht mit de Linienladungsdichte τ paallel zu z-achse mit eine Ausdehnung in z-richtung von z = L bis z = +L. Die Position in xy Richtung wid in Zylindekoodinaten übe und φ dagestellt, wobei gelten soll:. Die Raumladungsdichte kann in diesem Fall wie folgt dagestellt weden: Ein Einheitenvegleich bestätigt die Plausibilität: ρ(, φ, z) = τ δ( ) δ(φ φ ) θ(l + z) θ(l z) (7) ρ(, φ, z) = τ [ C m 3] [ C m ] Das Integal übe den gesamten R 3 sieht so aus: δ( ) [ m ] δ(φ φ ) [ m ] [] θ(l + z) θ(l z) [] (8) Q ges = τ δ( ) δ(φ φ ) θ(l + z) θ(l z) d dφ dz z= φ= = (9) Nach Ausweten von θ(l + z) θ(l z) ehält man: Q ges = τ Länge φ= δ( ) δ(φ φ ) d dφ = fixiet senkechten Daht in xy Richtung L dz z= L La nge in z Richtung = τ 2L (2) Es wid im Endeffekt, wie ewatet, die Linienladungsdichte mit eine Länge multipliziet. Helmut Höne,

5 2.2.2 Linienladung entlang de z-achse bei = Nehmen wi nun an, dass de unendlich dünne, homogen geladene Daht mit de Linienladungsdichte τ genau entlang de z-achse von z = L bis z = +L veläuft. Was ist de Unteschied zu vohin? De Unteschied ist, dass nun kein eindeutige Winkel φ meh angegeben weden kann. Die Angabe = beinhaltet beeits die ganze Infomation übe die Lage des Dahtes in xy-richtung; ein allfällige Winkel φ liefet keine zusätzliche Infomation meh. Wi können hie als Ausweg einen beliebigen Winkel φ annehmen (z.b. φ = ). Dann funktioniet Fomel (7) weitehin. Alledings ist bei komplexeen Integanden genau zu püfen, ob die Fixieung auf einen Winkel eine Einschänkung dastellt, die nicht de zu beechnenden Situation entspicht. Zudem scheint es natüliche, übe den gesamten Winkelbeeich von φ = bis zu integieen. Dahe wid in so eine Situation in de Physik die Raumladungsdichte oft so dagestellt: ρ(, φ, z) = τ δ() θ(l + z) θ(l z) (2) Obwohl die Faustegel lautet, dass de Fakto bei Zylindekoodinaten nu benötigt wid, wenn eine Deltadistibution mit φ im Agument vokommt, haben wi hie eine Ausnahme von de Regel. Wi lassen δ(φ) zwa weg, dies abe nu wegen de Unvolkommenheit de Zylindekoodinaten bei =. Eigentlich scheiben wi ja i.a. in so eine Situation ein δ(φ), und nu bei = hat dies eben keinen Sinn. De zusätzliche Fakto wid kla, wenn man sich das folgende Integal übe den gesamten R 3 ansieht: Q ges = τ δ() θ(l + z) θ(l z) d dφ dz z= φ= = (22) Nach Küzen von mit (in Fomel (22) ot dagestellt) und Ausweten von θ(l + z) θ(l z) sieht das Integal wie folgt aus: Q ges = τ δ() d = = dφ φ= = L dz z= L La nge in z Richtung = τ 2L (23) De zusätzliche Fakto stammt also nicht aus eine Funktionaldeteminante, sonden wid benötigt um das übigbleibende Integal von φ = bis zu kompensieen. Kitisch anzumeken bei diese Dastellung ist, dass δ() d gemäß Standaddefinition de Deltadistibution steng genommen nicht eins egibt, da de kitische Punkt = gleichzeitig eine Integalgenze ist. Als = Physike weiß man hie einfach, was gemeint ist; beim Beechnen mit Wolfam Mathematica käme abe z.b. null heaus. 2.3 Flächenladung eine Zylindemantelfläche Gegeben sei ein Zylinde mit Radius, dessen Achse mit de z-achse zusammenfalle, und de sich in z- Richtung von L bis L esteckt. Die Obefläche dieses Zylindes tage eine homogene Obeflächenladungsdichte σ. Die Raumladungsdichte in Zylindekoodinaten stellt sich dann wie folgt da: ρ(, φ, z) = σ δ( ) θ(l + z) θ(l z) (24) Entgegen de esten Intuition wid hie also kein Fakto in de Raumladungsdichte benötigt. Waum ist das so? Dies ist so, weil wi Fomel (24) keine Deltadistibution mit φ im Agument beinhaltet. Helmut Höne,

6 Kontollieen wi Fomel (24) mit einem Einheitenvegleich auf Plausibilität: ρ(, φ, z) = σ δ( ) θ(l + z) θ(l z) [ C m 3] [ C m 2] [ m ] [] (25) wid au- De Einheitenvegleich liefet also eine weitee Bestätigung. De tiefee Gund fü den Wegfall von ßedem kla, wenn man das Integal übe den gesamten R 3 betachtet: Q ges = σ δ( ) θ(l + z) θ(l z) d dφ dz z= φ= = (26) Nach Ausweten von θ(l + z) θ(l z) ehält man: Q ges = σ Fla che δ( ) d = fixie Radius L z= L dφ dz φ= Zylindemantelfläche = σ 2L (27) Man ekennt: Die Deltadistibution δ( ) fixiet den Radius auf, und das Restintegal dφdz liefet genau die Zylindemantelfläche 2L, mit de die Flächenladungsdichte multipliziet weden muss. Das daf hie also nicht weggeküt weden. 3 Kugelkoodinaten 3. Punktladung Betachten wi nun wiedeum eine Punktladung q am Koodinatenpunkt (, θ, φ ), de diesmal in Kugelkoodinaten festgelegt ist. In de Fomel fü die Raumladungsdichte taucht, wie zu ewaten, die ezike Funktionaldeteminate fü Kugelkoodinaten Anschauliche Ekläung 2 sin(θ) auf: Die Begündung ist analog zu den Zylindekoodinaten: ρ(, θ, φ) = q 2 sin(θ) δ( ) δ(θ θ ) δ(φ φ ) (28) Ein kleines Winkelinkement dφ epäsentiet eine umso gößee intefesimale Stecke entlang eines Beitenkeises, je göße de Wet von sin(θ) ist. Ein kleines Winkelinkement dθ epäsentiet eine umso gößee intefesimale Stecke entlang eines Längenkeises, je göße de Wet von ist. Beides zusammen egibt die bekannte Funktionaldeteminante 2 sin(θ). Die Deltafunktionen, die auf die Winkel θ und φ wiken, picken nu einen Winkel heaus, die entspechenden Längen müssen imme noch koigiet weden, damit (schlampig geschen) de von de Deltadistibution heausgepickte Punkt auch wiklich ein Punkt bleibt. Es ist Veständnis födend, die ezike Funktionaldeteminante beim Anscheiben de Raumladungsdichte wie folgt aufzuspalten: ρ(, θ, φ) = q δ( ) δ(θ θ ) δ(φ φ sin(θ) ) (29) Das gehöt zum δ(θ θ ), und das zum δ(φ φ sin(θ) ). Helmut Höne,

7 Einheitenvegleich De Einheitenvegleich bestätigt die Schlüssigkeit de Dastellung: ρ(, θ, φ) = q δ( ) δ(θ θ ) δ(φ [ C m 3] [C] [ φ sin(θ) ) m ] [ m ] [] [ m ] [] (3) Hie das Integal übe den gesamten R 3 in Kugelkoodinaten: Q ges = q Gesamt ladung π δ( ) δ(θ θ ) sin(θ) δ(φ φ ) 2 sin(θ) d dθ dφ φ= θ= = Punkt (einheitenlos) (3) 3.2 Linienladung entlang eines Teils eine Beitenkeises Gegeben sei eine homogene Linienladung mit de Linienladungsdichte τ entlang des Beitenkeises eine Kugel im Uspung. Die Kugel habe den Radius, und de Beitenkeis wid übe den Winkel θ festgelegt. Die Linienladung esteckt sich von φ = π 2 bis φ = 3π 2. Die Raumladungsdichte lässt sich wie folgt dastellen: ρ(, θ, φ) = τ δ( ) δ(θ θ ) θ ( π 2 + φ) θ (3π 2 φ) (32) Im Gegensatz zu Raumladungsdichte fü die Punktladung wid hie nu meh de Radius und de Winkel θ fixiet. Übe den Winkel φ wid das eigentliche Linienintegal in den übe die Heavisidefunktion vogegebenen Genzen gebildet. Da es in Fomel (32) keine Deltadistibution mit φ im Agument gibt, fehlt auch de zugehöige Anteil de eziken Funktionaldeteminante Hie die Einheitenübepüfung: sin(θ). ρ(, θ, φ) = τ δ( ) δ(θ θ ) θ ( π + φ) θ [ C m 3] [ C m ] [ 2 (3π 2 m ] [ m ] Das Integal übe den gesamten R 3 stellt sich wie folgt da: φ) (33) π Q ges = τ δ( ) δ(θ θ ) θ ( π 2 + φ) θ (3π 2 φ) 2 sin(θ) d dθ dφ φ= θ= = (34) Nach Auswetung von θ ( π 2 + φ) θ (3π 2 φ) egibt sich: 3π/2 π Q ges = τ δ( ) δ(θ θ ) 2 sin(θ) d dθ dφ φ=π/2 θ= = (35) Nach Küzen von mit 2 und Auswetung de Deltadistibutionen bekommt man schließlich: 3π/2 Q ges = τ La nge sin(θ ) dφ φ=π/2 Stecke am Beitenkeis = π sin(θ) (36) Helmut Höne,

8 3.3 Obeflächenladung an eine Kugelobefläche Gegeben sei eine Kugel im Uspung mit Radius. Die Obefläche diese Kugel tage eine homogene Obeflächenladungsdichte σ. Die Raumladungsdichte in Kugelkoodinaten stellt sich dann wie folgt da: ρ(, θ, φ) = σ δ( ) (37) Da Fomel (37) wede Deltadistibutionen mit θ, noch mit φ im Agument beinhaltet, fallen auch beide Anteile de eziken Funktionaldeteminante weg. Da in diesem Beispiel die gesamte Kugelobefläche geladen ist, müssen die Integationsgenzen fü θ und φ nicht explizit mit Heavisidefunktionen festgelegt weden. De Einheitenvegleich ist simpel: Dies ist das Integal übe den gesamten R 3 : ρ(, θ, φ) = σ δ( ) [ C m 3] [ C m 2] [ (38) m ] π Q ges = σ δ( ) 2 sin(θ) d dθ dφ φ= θ= = (39) Nach Auswetung von δ( ) bleibt: Q ges = σ Fla che φ= π 2 2 sin(θ) dθ dφ = σ 4π θ= Kugelobefla che (4) 4 Zusammenfassung Deltadistibutionen eduzieen die Dimension des Volumsintegals. Mit ein, zwei ode dei Deltadistibutionen im Integanden entsteht ein Flächen- ode Linienintegal; ode übehaupt ein einheitenloses Integal. Die Deltadistibution liefet die ezike Einheit des Aguments zuück; die Heavisidefunktion ist einheitenlos. Mit diesem Wissen kann eine Raumladungsdichtefomel mittels Einheitenvegleich auf Plausibilität übepüft weden. In Zylindekoodinaten muss de Raumladungsdichte i.a. eine ezike Funktionaldeteminante hinzugefügt weden, abe nu wenn in de Fomel fü die Raumladungsdichte eine Deltadistibution mit φ im Agument vokommt. Eine Ausnahme ist die Dastellung eine Linienladung entlang de z-achse in Zylindekoodinaten. Fixiet man hie nicht (willkülich) einen Winkel φ mittels Deltadistibution, so muss dem Ausduck fü die Raumladungsdichte de Fakto hinzugefügt weden. In Kugelkoodinaten muss imme, wenn in de Fomel fü die Raumladungsdichte eine Deltadistibution mit einem φ im Agument vokommt, de ezike Funktionaldeteminantenanteil sin(θ) hinzugefügt weden. In Kugelkoodinaten muss imme, wenn in de Fomel fü die Raumladungsdichte eine Deltadistibution mit einem θ im Agument vokommt, de ezike Funktionaldeteminantenanteil hinzugefügt weden. Helmut Höne,