( γ (h(t)) ) h (t) dt =

Transkript

1 γ 1 : [, 1] X eine andee Paametisieung von, so existiet eine monoton wachsende diffeenziebae Funktion h : [, 1] [, 1] mit γ 1 t) = γht)), und es esultiet α γ1 t) γ 1 t) ) dt = α γht)) γ ht)) ) h t) dt = α γs) γ s) ) ds. 2.48) Das este Gleichheitszeichen folgt hie aus de Kettenegel, das zweite aus de Vaiablensubstitution s = ht). Aufgabe. Man hat beim Wegintegal die Feiheit, das Intevall [, 1] duch ein andees Intevall [a, b] zu esetzen: ist γ : [a, b] X eine Paametisieung von, so gilt b α = α γt) γ t))dt. 2.49) a Mitteilung. Bei genaue Betachtung eweist sich die Einschänkung γ t) als unnötig. Mehmaliges Umkehen ist elaubt!), solange γ nu de Spu de Kuve teu bleibt und vom Anfangspunkt zum Endpunkt füht Wegintegal in katesischen Koodinaten Die konkete Beechnung des Wegintegals efodet in de egel die Wahl eines Koodinatensystems. Hiebei hat man völlige Feiheit, denn das Wegintegal dückt sich in allen Koodinaten in de gleichen Weise aus. Von diese Feiheit wollen wi hie abe noch keinen Gebauch machen, sonden ein ganz spezielles Koodinatensystem vewenden. Außedem abeiten wi in diesem Abschnitt im deidimensionalen Euklidischen aum, E 3. Wi einnen daan, dass ein affines Koodinatensystem {o ; e x, e y, e z } von E 3 katesisch heißt, wenn die Basisvektoen e x, e y, e z ein Othonomalsystem von V = 3 bilden. Duch ein solches Koodinatensystem weden katesische Koodinaten x, y, z und Koodinatenfomen dx, dy, dz bestimmt. dx läßt sich anschaulich als die Scha von Ebenen auffassen, die paallel zu yz-ebene liegen eigentlich: die Lösungsmengen de affinen Gleichung x = constant sind) und Abstand Eins voneinande haben mit Pluspol bei x = + ). Eine analoge Aussage gilt fü dy und dz. Eine beliebige 1-Fom A wid duch A = A x dx + A y dy + A z dz ausgedückt, wobei die Komponenten Funktionen A x, A y, A z : E 3 sind. echenbeispiel. Eine Schaubenlinie mit adius, Schaubenhöhe L und Hub 2πL/a wid paametisiet duch [, 1] t γt) = o + cosat)e x + sinat)e y + Lte z. Zu beechnen sei das Wegintegal längs eines Kaftfelds K mit Koodinatendastellung K = k 1 dy + k 2 z dz k 1, k 2 ). Zuest emitteln wi duch Ableiten nach t den Tangentialvekto de Kuve: γ t) = a sinat)e x + a cosat)e y + Le z. 38

2 Einsetzen ins Kaftfeld egibt K γt) γ t)) = k 1 a cosat) + k 2 L 2 t. So ehalten wi das Wegintegal K = K γt) γ t)) dt = k 1 a cosat) + k 2 L 2 t) dt = k 1 sina) + k 2 L 2 / Wegintegal eine exakten 1-Fom Wie zuvo sei X, V, +) ein affine aum. Definition. Eine 1-Fom α : f : X ist, wenn also gilt X V heißt exakt, wenn sie das Diffeenzial eine Funktion α p v) = df) p v) D p f)v), 2.5) ode kuz: α = df. Ein exaktes Kaftfeld K heißt konsevativ. In de Physik scheibt man in diesem Fall K = du und nennt die Funktion U ein Potenzial des konsevativen Kaftfeldes K. Hauptsatz de Diffeenzial- und Integalechnung). Das Wegintegal α eine exakten 1-Fom α = df hängt nu vom Anfangspunkt p und vom Endpunkt q de Kuve ab, nicht abe vom Velauf de Kuve dazwischen: α = Beweis. Wähle eine Paametisieung de Kuve, Pe Definition ist dann Fü die Vekettung von Abbildungen gilt nun nach de Kettenegel df = fq) fp). 2.51) γ : [, 1] X, t γt), γ) = p, γ1) = q. α = [, 1] df) γt) γ t) ) dt. γ X f df) γt) γ t) ) = D γt) f) D t γ) = D t f γ) = d dt fγt)). Hiemit folgt schon das gewünschte Egebnis: d α = fγt)) dt = fγ1)) fγ)) = fq) fp). dt Beispiel 1. Sei jetzt X = E 3 wiede de Euklidische aum mit katesischen Koodinaten x, y, z. Die elektische Feldstäke E eine im Koodinatenuspung befindlichen Punktladung Q ist die 1-Fom E = Q 4πε x dx + y dy + z dz x 2 + y 2 + z 2 ) 3/ ) 39

3 Diese Feldstäke ist exakt, E = dφ, mit elektischem Potenzial Φ = Q ) 4πε x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 Nach dem obigen Hauptsatz ist das Wegintegal E = Φp) Φq) längs eine Kuve von p nach q wegunabhängig. Man nennt E =: q E die elektische Spannung zwischen den Punkten p p und q. Beispiel 2. Das Kaftfeld K des echenbeispiels von Abschnitt ist exakt: K = k 1 dy + k 2 z dz = df, f = k 1 y + k 2 z 2 /2. Mit Kenntnis des Hauptsatzes wäe die Beechnung des Wegintegals K küze ausgefallen: K = fγ1)) fγ)) = k 1 sina) + k 2 L 2 / Anschauliche Deutung des Hauptsatzes Wi wissen aus Abschnitt 1.4, dass wi Lineafomen λ : 3 duch Ebenenschaen veanschaulichen können in diese bildlichen Vostellung wid de Funktionswet λv) duch Abzählen de von v gekeuzten Ebenen bestimmt. In Abschnitt haben wi dann gesehen, wie die Ebenenscha zu λ df) p duch Lineaisieung de Niveauflächen de Funktion f im Punkt p entsteht. Diese Deutung des Diffeenzials df in Vebindung mit de anschaulichen Definition des Wegintegals eine 1-Fom in Gl. 2.45) lässt eine intuitive Deutung des Hauptsatzes zu. Deutung des Hauptsatzes). Beim Integieen eine exakten 1-Fom α = df füht die Pozedu des Abzählens gekeuzte Ebenen im diffeenziellen Limes, N ) insgesamt dazu, dass gekeuzte Niveauflächen gezählt weden, das Integal q p fq) fp) beechnet Wegintegal eines Vektofeldes df also die Niveau-Zunahme/Abnahme Das Wegintegal eine 1-Fom ist imme eklät, sofen de aum affin ist ode allgemeine: eine diffeenziebae Stuktu hat). Andes im Falle eines Vektofeldes! Um Vektofelde längs Kuven zu integieen, muss man die Geometie des aumes kennen und heanziehen. im Folgenden ein Euklidische aum. Aus Abschnitt ist uns schon de Euklidische Isomophismus I zwischen Vektofelden und 1-Fomen bekannt. Sei X = E n Definition. Sei u u : X V ein Vektofeld in einem Euklidischen aum X mit Euklidischem Diffeenzvektoaum V. Das Wegintegal u d von u längs eine Kuve ist eklät duch u d := Iu). 2.54) Zu Beechnung des Wegintegals des Vektofeldes u gehen wi also zu entspechenden 1-Fom Iu) übe und integieen dann die 1-Fom in de uns bekannten, natülichen Weise. 4

4 Als Konsequenz des Hauptsatzes übe Wegintegale exakte 1-Fomen egibt sich: Satz. Fü das Wegintegal eines Gadientenfeldes f längs eine Kuve von p nach q gilt f d = fq) fp). 2.55) Beweis. f d = Igadf) = df = fq) fp). echenbeispiel. Ein Langstecken-Flugzeug soll die andzone eines Wibelstums Huicane) von Ost nach West duchfliegen. Die küzeste Flugoute veläuft nödlich des Wibelstums in de nödlichen Hemisphäe wo goße Stüme am Boden im Gegenuhzeigesinn, in de eiseflughöhe von 1 km ode daübe abe im Uhzeigesinn wibeln), weshalb vo dem Stat zusätzliches Keosin getankt weden muss, um den duch Gegenwind veusachten Mehbedaf an Enegie zu decken. Fü eine gobe Abschätzung des Mehbedafs legen wi das Stumzentum in den Koodinatenuspung eines Systems ebene Polakoodinaten x 1 = cos θ und x 2 = sin θ und nehmen eine Flugoute längs x 2 = h = const an. Das vom Wibelstum ezeugte, zusätzliche Kaftfeld K H infolge von Gegenwind und eibung, bei vogegebene eisefluggeschwindigkeit) sei K H = f) dθ, f) = k 2 e /)2. Da K H keine konsevative Kaft ist, hilft uns de Hauptsatz nicht weite und wi sind gezwungen, wiklich zu echnen. Wi paametisieen die Flugoute duch x 1 γs)) = hs und x 2 γs)) = h. Nehmen wi eine totale Flugstecke von L an, dann machen wi einen venachlässigbaen Fehle, wenn wi s die gesamte Zahlenachse duchlaufen lassen siehe Skizze). So haben wi 2 γs)) = h s 2 ), tan θγs)) = 1/s. Mit de Zwischenechnung 2 dθ) γs) γ s)) = h s 2 ) d actan 1/s) = h2 ds ehalten wi dann das Abeitsintegal K H = Kγs)γ H s))ds = kh 2 e 1+s2 ) h 2 / 2 ds = πkh e h2 / 2. Jetzt beechnen wi das gleiche Integal ein zweites Mal und zwa so, wie es die meisten Benutze des Vektokalküls ohne 1-Fomen) täten. Diese echnung beginnt damit, dass man die 41

5 Kaft als Vektofeld päsentiet bekommt: K H = f) Dann paametisiet man die Flugoute z.b. als gleichfömig geadlinige Bewegung: ê θ. t γt) = o vte 1 + he 2, γ t) = ve 1. Weite muss das Euklidische Skalapodukt des Vektofeldes K H mit dem Linienelement d beechnet weden: K H d = f) ê θ, ve 1 dt = v f) sin θ dt. Diese Ausduck ist längs de Flugoute γt) auszuweten. Dazu benötigen wi γt)) = vt) 2 + h 2, sin θγt)) = h vt)2 + h 2. Einsetzen egibt schließlich das Abeitsintegal + K H d = kv v2 t 2 + h 2 e v2 t 2 +h 2 )/ 2 hdt v2 t 2 + h. 2 Nach Substitution s = vt und Küzen de Wuzelfaktoen esultiet das Integal von zuvo. Fußnote. Spätestens) seit Cal Fiedich Gauß kennt man das nach ihm benannte) Integal e πx2 dx = ) Duch die Vaiablensubstitution y = x π/a fü a > ) ehält man e ay2 dy = π/a e πx2 dx = π/a. 2.57) 42