7. Kinematik in der Mechatronik

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1 7. Kinematik in de Mechatonik Ein tpisches mechatonisches Sstem nimmt Signale auf, veabeitet sie und gibt Signale aus, die es in Käfte und Bewegungen umsett. Mechanische Stuktu Leistungsteil phsikalische Gößen Meßwetveabeitung Sensoen (Efassung phsikalische Meßwete Gößen Digitalechne (Steueung, Regelung und Datenveabeitung Rückmeldungen (Lage, Bewegungsustand Stellgößen Bewegungen Aktoen (lineae ode otatoische Antiebe Getiebe und Fühungen Käfte ode Bewegungen Gundstuktu eines mechatonischen Sstems Will man die Bewegungen eines mechatonischen Sstems, das häufig aus eine Vielahl mechanische und elektische Bauteile besteht, bescheiben, so können die Methoden de Kinematik eingesett weden. Die Bewegungsvogänge in de Mechatonik weden vowiegend duch otatoische Antiebe ealisiet. Die einelnen Antiebsachsen sind dabei übe Dehgelenke und Stäbe gekoppelt. Elektische Maschine und Getiebe bilden häufig als Getiebemoto den Antieb. 7. Kinematik in de Ebene Beim tanslatoischen Bewegungsablauf müssen de Weg s, die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a duch Rotationsbewegungen de einelnen Antiebselemente wie Dehwinkel α, Winkelgeschwindigkeit ω und Winkelbeschleunigung ε bw. ω& ealisiet weden. l α P(, -Achsenantieb in de -Ebene l α Fü den -Achsenantieb gilt nachfolgende Abeitsbeeich: l - l + l G. Schenke,.00 Automatisiete Antiebe FB Technik, Abt. E+I 76

2 Duch die Geometie ist de Weg mit seinen -Komponenten gegeben. = l cosα cos ( α (7. = l sin α sin ( α Die Geschwindigkeit mit den Komponenten & und & ist die. Ableitung des Weges nach de Zeit. & = l ω α l ( ω + ω ( α (7. & = l ω cos α ( ω + ω cos ( α Die Beschleunigung mit den Komponenten & & und & & ist die. Ableitung des Weges nach de Zeit. && = l ω& α l ( ω& + ω& sin ( α && = l l ω& ω cos α cos α l ( ω ( ω& + ω + ω& cos ( α cos ( α l ω α l ( ω + ω sin ( α Fü die Dimensionieung des Antiebes fü jede Achse sind das entspechende Widestandsmoment M W (α, die Winkelgeschwindigkeit ω, die Winkelbeschleunigung und das Massentägheitsmoment J(α (beogen auf die jeweilige Achse efodelich. Da das Massentägheitsmoment J(α vom Dehwinkel α abhängt, ist es wähend des Bewegungsvoganges auch eitabhängig. Das Antiebsdehmoment M de jeweiligen Achse muß eakt nach Gl. 7. beechnet weden. dω dj( α M = M W ( α + J( α + ω (7. dt dt Das Massentägheitsmoment J(α wid mit Hilfe des Steine schen Sates beechnet. Fü die Dimensionieung von Antieben in de Mechatonik ist häufig nu das gößte Antiebsdehmoment von Inteesse. Hieaus können die gößten Winkelbeschleunigungen bei maimale Nutlast bw. abhängig von de Nutlast beechnet weden. Im allgemeinen bestimmen die Beschleunigungsmomente die maimalen Antiebsdehmomente in de Mechatonik. Aus Gl. 7. kann unächst de Dehwinkel α und anschließend de Dehwinkel α beechnet weden. Aus Gl. 7. können bei bekannten Dehwinkeln α und α die Winkelgeschwindigkeiten ω und ω beechnet weden. Fü Sevoantiebe sind damit die Lage (Dehwinkel α und die Dehahl n (Winkelgeschwindigkeit ω bestimmt. Fü die maimale Antiebsleistung de Sevoantiebe (Dimensionieung des Sevoantiebes müssen usätlich die maimalen Winkelbeschleunigungen ω& und ω & aus Gl. 7. emittelt weden. 7. Kinematik im Raum Im Newton schen Gundgeset m a = Σ F päsentiet die Kaft die Kinetik des Sstems, die Masse m die Tägheit und die Beschleunigung F a die Kinematik. Die Bewegung eines ealen Sstems ist vollständig beschieben, wenn de Otsvekto (t fü alle Sstemteile bestimmt ist. Fü die meisten technischen Ssteme muß diese Aufgabe nu näheungsweise duch Modelle gelöst weden. Das einfachste Modell eines Köpes ist de Massenpunkt. Die aktuelle Position eines Massenpunktes u einem Zeitpunkt t ist duch nachfolgenden Otsvekto gegeben: (t = (t e + (t e + (t e (7.5 G. Schenke,.00 Automatisiete Antiebe FB Technik, Abt. E+I 77 (7.

3 P (t (t P (t + t e (t (t (t + t Bewegung eines Massenpunktes P in einem katesischen Koodinatensstem e 0 e Die aktuelle Position auf de Bahnkuve, (t die de Massenpunkt im Raum bescheibt, egibt sich u einem Zeitpunkt t + t als (t de Otsvekto (t + t, de gegenübe (t einen Zuwachs um (t aufweist. Die dei Einheitsvektoen e, e und e stehen senkecht aufeinande. Das katesische Koodinatensstem wid als im Raum uhend ode geadlinig gleichfömig bewegt angenommen. In einem katesische Koodinatensstem (Inetialsstem sind die Einheitsvektoen von de Zeit unabhängig, deen Ableitungen nach de Zeit sind gleich Null. In Matienscheibweise gilt fü den Otsvekto (t : (t (t = (t (7.6 (t Duch Ableitung des Otsvektos (t nach de Zeit ehält man die Geschwindigkeit v (t des Massenpunktes P auf de Bahnkuve. (t & v(t = (t & e + (t & e + (t & e = (t & (t & Duch Ableitung de Geschwindigkeit v (t ehält man die Beschleunigung a (t : (7.7 && (t a(t = && (t e + && (t e + && (t e = && (t (7.8 && (t De Geschwindigkeitsvekto tangiet stets die Bahnkuve und kann auch in einem sogn. natülichen Koodinatensstem dagestellt weden. G. Schenke,.00 Automatisiete Antiebe FB Technik, Abt. E+I 78

4 e b e t a s at Mitbewegtes, natüliches Koodinatensstem Bahnkuve (t e e 0 e e n (t a a n (t + t Im natülichen Koodinatensstem ist ein dem Massenpunkt begleitendes othogonales Deibein mit den Koodinatenachsen t, n und b, die die sogn. Schmiegungsebene festlegen. Hiebei ist t die Tangentenichtung in de Schmiegungsebene, n ist die Nomalenichtung in de Schmiegungsebene und b ist die Binomalenichtung senkecht u t und n. Im natülichen Koodinatensstem gilt: d (t d ds v(t = = = et v dt ds dt Dabei ist de Tangenteneinheitsvekto. De Betag de Geschwindigkeit ist: e t (7.9 ds v = v = = v + v + v = + + & dt & & In natülichen Koodinaten ausgedückt betägt die Beschleunigung: d dv det a(t = (et v = et + v dt dt dt (7.0 (7. Fü die Ableitung des Einheitsvektos in Tangentenichtung nach de Zeit gilt: det det ds det dϕ = = v = en v = en v (7. dt ds dt ds ds R De Beschleunigungsvekto a (t liegt imme in de Schmiegungsebene. Seine Komponenten in Tangential- und Nomalichtung heißen Tangential- und Nomalbeschleunigung. v a(t = v& et + en = a t + a n (7. R R ist de Kümmungsadius de Bahnkuve. Die Nomalbeschleunigung ist stets um Kümmungsmittelpunkt M geichtet, also imme eine Zentipetalbeschleunigung. Fü den Betag de Beschleunigung gilt: v + a + a = v + = a t + a n a = a = a & R (7. G. Schenke,.00 Automatisiete Antiebe FB Technik, Abt. E+I 79

5 Die Bewegung des staen Köpes im Raum kann beschieben weden, wenn die Lage von wei beliebigen Punkten P und P des staen Köpes vefolgt wid. Die voneinande abhängigen Otsvektoen und efoden sechs Koodinatenangaben. Die Lage des staen Köpes im Raum wid häufig duch die dei Koodinaten eines Punktes des Staköpes in einem Beugssstem und dei Winkelangaben beschieben. Die Winkel geben die Vedehung de Achsen eines köpeeigenen Koodinatensstems, u den Achsen des otsfesten Beugssstems an, und wa fü den betachteten Punkt. Man beeichnet die dei katesischen Koodinaten des Punktes P im Beugssstem auch als Position des Punktes und die dei Winkelkoodinaten als Oientieung des Punktes des staen Köpes. Die Absolutbewegung eines Staköpes wid duch vektoielle Übelageung de Fühungsbewegung (Position und de Relativbewegung (Oientieung emittelt. Die einfachste äumliche Bewegung efolgt mit dei lineaen Achsen, die othogonal aufeinande stehen. Duch die eine Tanslation im Raum veändet sich nu die Position P. Die Bewegung kann mit den Gleichungen 7.5 bis 7.8 beechnet weden. Mit Lineaantieben ode Laufkänen mit Laufkanbükke, Laufkankate und Laufkanhubwek weden diese Bewegungen technisch ealisiet. De duch keine Bindungen gefesselte stae Köpe hat im Raum 6 Feiheitsgade. Um seine Lage eindeutig u bescheiben sind dahe 6 Koodinatenangaben efodelich. Häufig sind die Bewegungsmöglichkeiten von eine Kette von staen Köpen duch Bindungen an vogegebene Bahnen ode duch Fiieung einelne Punkte de Kette eingeschänkt. Bei einem aus veschiedenen staen Köpen bestehenden Mehköpesstem kann jede einelne Köpe solchen Bindungen untewofen sein, außedem können sie unteeinande gekoppelt sein. Diese Kopplungen können sta (Gelenke, Stäbe ode nicht sta (elastische Feden sein. Kopplungen, die nicht sta sind schänken die Anahl de Feiheitsgade des Einelköpes nicht ein, es wiken abe übe die Kopplungselemente Käfte wischen den Köpen, die bei Poblemen in de Kinetik beücksichtigt weden müssen. Stae Kopplungen (kinematische Kopplungen schänken die Anahl de Feiheitsgade ein, da wischen den Koodinaten, die die Lage de Köpe bescheiben, feste Beiehungen, sogn. Zwangsbedingungen, bestehen. Die Anahl de Koodinaten, die dann mindestens efodelich ist, um die Lage eines Sstems stae Köpe u bescheiben, entspicht de Anahl de Feiheitsgade des Sstems. Besteht ein Roboteam aus α l eine kinematischen Kette l von Einelköpen (Gliede, α die jeweils duch ein Dehgelenk miteinande gekop- α pelt sind, so hat jede Einelköpe aufgund de Ein- l α schänkung de Bewegungsmöglichkeit auf eine Rota- l tion nu einen Feiheitsgad. l 0 0, 0, 0 P (,, α 5 Roboteam als kinematische Kette mit 5 Feiheitsgaden G. Schenke,.00 Automatisiete Antiebe FB Technik, Abt. E+I 80

6 = = (l l 0 cosα α cos ( α ( α cos ( α ( α = (l cosα cos ( α cos ( α α Abhängig von de Zeit kann ein Punkt P im Raum mit den Koodinaten,, duch den Otsvekto (t beschieben weden. Da mit dem 5-Achsen-Robote nu 5 Feiheitsgade u Vefügung stehen, können neben den Raumkoodinaten P(,, im Abeitsbeeich nu wei von dei Oientieungen im Raum eeicht weden. Es sind dieses die Oientieungen α und α 5. Mit den Gl. 7.5 und 7.5 bw. 7.6 ehält man den Otsvekto (t. Die Geschwindigkeit v (t ehält man entspechend Gl. 7.7 und die Beschleunigung a (t entspechend Gl Das Antiebsdehmoment M de jeweiligen Achse muß nach Gl. 7. beechnet weden. Die Beechnung de Dehwinkel α (Lage und de Winkelgeschwindigkeiten ω (Dehahl fü die einelnen Achsen ist seh aufwendig. Das Gleichungssstem wid im allg. in Matienscheibweise dagestellt und fü die jeweiligen Bahnkuven gelöst. Aus den Winkelbeschleunigungen ω, & den Massentägheitsmomenten J(α, den Geschwindigkeiten ω, den eitlichen Ändeungen de Massentägheitsmomente dj(α/dt und den Widestandsmomenten MW(α wid fü die Achsen die maimale Antiebsleistung de Sevoantiebe emittelt. Bei vielen Roboten wid die notwendige Antiebsleistung im wesentlichen duch die Beschleunigungsmomente bestimmt. cosα (7.5 G. Schenke,.00 Automatisiete Antiebe FB Technik, Abt. E+I 8