Erhaltung der Masse. B = mb, für b = 1. sys. Die Masse des Systems bleibt bei Bewegung durch das Strömungsfeld konstant.

Transkript

1 Ehaltng de Masse Die Masse des Sstems bleibt bei Beegng dch das Stömngsfeld konstant B mb, fü b dm ss dv tt KV KF n da 0 integale Fom diffeentielle Fom übe Gaßschen Sat ode am Element

2 Zeitliche lokale Massenändeng :

3 Massenflss übe die Obefläche des Elements (in -Richtng) : ( ) ( ) ( ) ( )

4 Nettomassenflss in -Richtng ) ( ) ( ) ( In - nd -Richtng ehält man ) (, ) (

5 diffeentielle Fom de Kontinitätsgleichng b. mit

6 lok. konek. d t t Mit folgt : b. 0 di d d

7 Sondefälle : stat. Stömng Inkompessibles Flid konstant 0

8 Ehaltng des Implses F : Af die Flidmasse ikende esltieende Kaft I Ss dm : Impls Anendng af ein diffeentielles Massesstem: m ss konstant F F F d( m) d m ma : Obeflächen- nd Volmenkäfte

9 Volmenkaft : Geichtskaft maßgeblich in katesischen Koodinaten: F F F b b b mg mg mg

10 Obeflächenkaft: Element Umgebng F n A F s F F F F, Fn A beliebige Obefläche

11 Nomalspannng: n lim A 0 F n A Schbspannng: lim A 0 lim A 0 F F A F A

12 die übliche Zeichenkonektion gilt C C D B D B A A

13 Bedetng de Indies : S ij : i Richtng de Nomalen de Ebene j Richtng de Spannng Spannngen af 3 othogonalen, dch einen Pnkt gehende Ebenen definieen den Spannngsstand eindetig Obeflächenkäfte (nicht ollständig):

14 Smmation liefet die Komponenten de esltieenden Obeflächenkaft: Käfte in - / - / -Richtng: F S k F j F i F F S S S S F F S S

15 Einseten in mit ma F F s F b F m t a egibt k j i

16 Diffeentielle Fom de Implsehaltng X Y g t g t Z g t

17 Kinematik des Flidelements Afgabe : Spannngen dch Geschindigkeitskomponenten asdücken Beegng eines Elements Ändeng seine Lage nd seine Fom Bestimmng de Vefomng mittels de elatien Beegng ischen Pnkten I nd II I II d d (t konst.) O d : : Otsekto Geschindigkeitsändeng

18 d in Komponentenscheibeise d d d d d d d d d d d d Um den Zsammenhang mit Tanslation, Rotation, Dehnng nd Scheng ekennen, id mgeschieben d & ε d & ε d & ε d & ε d & ε d & ε d & ε d & ε d d ω d ω d & ε d ω d ω d ω d ω d d d

19 ε& i d ij ε ε ε ε ε ε ε ε ε & & & & & & & & & & De Vegleich beide Gleichngsssteme egibt folgende Definitionen fü nd b. ij ε& ij ω ω ω ω

20 Bedetng on & ε, ε&, ω? i ij ij Unefomtes Element beegt sich in de Stömng Tanslation:

21 Rotation: dγ ω s dϕ tan( dϕ) dϕ dϕ

22 dϕ & ϕ ω ω Zeitliche Winkeländeng as dem aithmetischen Mittel Dehng m -Achse In 3D ehält man : ω ω Deh- ode Wibelekto ω ij -Teme ω ω ω ω ω i ω j ω k : Rotation des nefomten Elements

23 Relatie Volmenändeng (Volmendilatation) V d V ) ( V V d V ) ( di V d V ) ( Kontinitätsgleichng fü inkomp. Flide Rechteck Scheng Paallelepiped β α γ d d d V

24 Vefomng des Elements Dehnng dβ Scheng dα

25 Dehnngsgeschindigkeit entspicht de eitlichen Dehnngsändeng po Kantenlänge entspicht den Haptdiagonalen de Mati ij d d α d β ε ε ε & & &,, d β d d d β α γ ; : gesamte Winkeländeng po Zeit

26 Schegeschindigkeit übe aithmetische Mittelng γ& ij γ γ γ & & & Vegleiche mit : Mati d ij Mati ij d : enthält Dehnng nd Scheng Tenso de Defomation Teme ij ij γ ε & & ˆ

27 Spannngstenso ij in de Implsehaltng Zsammenhang ischen ij nd d & ij dch Netonschen Reibngsansat : Tangentiale Spannng ~ Schegeschindigkeit nd mittels Isotopie des Elements & ε & ε, & ε di, nd iskositätsbedingte Nomalspannngen Ansat: p ηε& λ di p ηε& λ di p ηε& λdi η & γ η & γ η & γ

28 Die Gößen η nd λ sind Popotionalitätsfaktoen Die Nomalspannngen eden i. a. mfomliet p η& ε p η& ε p η& ε di ˆ η di di ˆ η di di ˆ η di η : dnamische Viskosität ˆ η λ η 3 : Volmeniskosität Stokes sche Hpothese : ˆ η λ η 3 inkompessible Stömngen : 0 mittlee Nomalspannng : 3 di ( ) p ˆ η di 0

29 Naie- Stokes Gleichngen Einseten de Nomal- nd Tangentialspannng di p g d di p g d η η η η η η 3 3 di p g d η η η 3

30 Naie- Stokes Gleichngen fü ein ink. Flid inkompessible Stömng, η konst 0 di Veeinfachng de. Ableitngen η η η p g d p g d p g d η η η

31 Enegiegleichngen. Haptsat de Themodnamik : dq de dw Q : Wäme; E : Enegie; W : Abeit Volmenelement : V m V Wämeleitng nach Foie : A dq T T q λ n λ : Wämeleitfähigkeit Betachtng fü die Fläche (-Richtng) afgenommene Wäme: abgegebene Wäme: T λ T λ T λ T λ

32 Nettoämestom in -, - nd -Richtng dq V T λ T λ T λ

33 eitliche Ändeng de Gesamtenegie: de de d V ( ) e : massenbeogene innee Enegie Abeit po Zeit anhand on : dw V ( )

34 analoge Vogehenseise fü den gesamten Spannngstenso : dw V ( ) ( ) ( ) Mittels Implsehaltng (.B. -Impls) : d de dw Umfomng de nd -Theme : de de d d d V

35 K K K V dw de V dw de V

36 Einfühng de Spannngen egibt die Enegiegleichng mitφ fü ηˆ 0 Φ η λ λ λ T T T p di de Φ mechanische Enegie themische Enegie Φ Dissipatio nsfnktion 0 3 >

37 Enegiegleichngen fü ideale Gase kaloische Zstandsgleichngen: ) ( ), ( T f p e h T f e dt c dt T h dh dt c dt T e de p p pd dp dt p d dh de Kontinitätsgleichng: di d pd dp dt c dh de p Φ η λ λ λ T T T dp dt c p

38 Fom de Enegiegleichng in CFD-Unteschngen ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] q q q p E p E p E t E b. mit laten die ämlichen. Ableitngen de linken Seite h H E p e p H ( ) ( ) ( ) H H H

39 Fomen de Ehaltngsgleichngen Vektoscheibeise nte Beücksichtigng des Nabla-Opeatos Masse: Impls: ode ( ) 0 t d 0 Spannngstenso p η& ε p p 3 di ˆ ηdi

40 ode: ode: mit Fomen de Naie-Stokes Gleichngen: d g p ( ) g p t ( ) ( ) g p t inkompessibles Flid mit η konstant: stationä d g p η ( ) g p η

41 Enegie : Gesamtenegie pls Kontinitätsgleichng e E ) ( ) ( ) ( p q g E t E ) ( ) ( p q g e d E p H : Gesamtenthalpie ) ( ) ( p t p dh e d q t p g dh

42 mit : innee Enegie p q de e h : innee Enthalpie b. bei idealem Gas: Φ η dp q dh dp q dt c p