Impulssatz und Impulsmomentensatz. Bestimmung der Kräfte der Strömung auf die Umgebung

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1 Imulatz und Imulmomentenatz nwendung: Betimmung de Käfte de Stömung auf die Umgebung

2 Imulatz Imul : bzw. Imul de Sytem :. Newtonche Geetz I m di dv I d dt y dv dv y y zum Zeitunkt t ei KSKV y anhand de Tanottheoem mit KV B y I und b d dt y dv t KV dv K ( n) d KS KV

3 t dv ( n) d KV K KV Imulatz tationäe Stömung di dt K KV ( n) d äußee Käfte : Volumenkäfte, Obeflächenkäfte Volumenkäfte Gaitationkaft g KV gdv Obeflächenkäfte Reibungkaft Duckkaft K nd a kont 0

4 weitehin Stützkaft : Kaft on einem feten Köe auf da tömende luid. Imulatz fü tationäe Stömungen mit den jeweiligen Kaftanteilen di dt K ( n ) d g Bemekung : Kontollfläche mu einfach zuammenhängend ein

5 Beiiele zum Imulatz B. : geg : a kont,keine Velute,, b,β,, b, b ge : x y n Löung : Benoulli: a a a

6 Kontinuitätgleichung : b b b b b b Komonenten de Stützkaft au Imulatz x-richtung : y-richtung : coβ b 0 x in β b b b y b b in β b b 0 in β b b b 0 b b ( in β ) b b ( in β )

7 B. : l u einem Behälte autetende luid wid duch eine Palllatte um 90 umgelenkt. Gegeben ind : luid: Wae, ü ba, d 5mm Geucht : Löung : Imulatz x-richtung : n m&

8 Umlenkung () - Veteilung ohne Imulatz : mit Imulatz : au Integal on (), d. h. Kenntni de Stömung innehalb de Kontollfläche nötig. Kenntnie de Stömungehältnie innehalb de Kontollfläche nicht efodelich ü a a / ü 0m

9 πd m & 0.9kg / 4 m & 7. 85N enticht de Rücktoßkaft auf den Behälte Ändeung on, wenn l ekleinet wid, l 0? m & ü l 0 da fü 0, m & 0 0 l l

10 B. : Gegeben : ' ', m ψ Löung : ', m ψ Geucht : ), ( / m f ψ Duckelut o o Im. x-richtung : ) ( ) ( ) (

11 Canotche Gleichung de untetigen Canotche Gleichung de untetigen Roheweiteung. m ψ mit bzw ' ' m ψ m m B ψ ψ ζ

12 B. 4 : Geben Sie unte Venachläigung de Reibungkaft eine Beziehung fü die Widetandkaft de Einbau an. Löung 4 : Kontinuitätgleichung : Imulatz in x-richtung : m& ( ω ) ( ( ) ) 0

13 B. 5 : ü y x α m& Geben Sie fü die Waeitzanlage die Kaft t an, die de Stahl auf die Platte auübt; e it ü 4 ba, d 60 mm, d 0 mm die Stömung ei eibungfei. Löung 5 : n t α

14 Benoulli - : Imulatz in x-richtung : a E ei α0 t ' m t ' : Kaft on de Platte auf den Waetahl & & a ( inα ) t m t : Kaft de Stahl auf die Platte t enticht - t ' Benoulli - : ü ü 4 d d mit mit ü d d a t m & 54. 5N

15 B. 6 : Gegeben : Geucht : eibungfeie Stömung duch 90 Kümme und ka, 6 j m / 0.0m, 0.005m, x ; y a 0ka, Wae Löung 6 : 4 Kontollfläche

16 Imulatz in x-richtung : Kontinuitätgleichung : weit ande al angenommen in die negatie x-richtung. ( ) ( ) a x x a a kn m x 6. 4 weit ande al angenommen in die negatie x-richtung. Imulatz in y-richtung : weit in die negatie y-richtung. x y N y y a a a a

17 Veeinfachte Poelletheoie nnahmen : nzahl de lügel ohne Einflu auf den Schub Stahldehung ohne Einflu auf ax. Gechwindigkeit keine Velute bei Bechleunigung und Vezögeung nalye fü ein mitbewegte Kontollolumen; Umgebungduck it kontant

18 Datellung de nnahmen : m

19 Imulatz in x-richtung : m au m m ) ( ) ( & ( e ) ( ) m

20 und Benoulli : Bemekung : naloge Egebni fü Windenegieanlage mit folgt ( ) l m a m l a ( ) ( )( ) ( ) m m Bemekung : naloge Egebni fü Windenegieanlage η goß klein bzw. wenn gegeben, η enthält mechaniche Mindetelute Votiebgad ( ) ( ) ( ) m m m m ufwand Nutzen & & & η m η

21 Imulmomentenatz Dehmoment it fü iele Pobleme weentlich Imulmomentenatz liefet den Zuammenhang zwichen Dehmoment und Dehimul Heleitung mittel Bildung de Momente de Imulatze. : Teilchengechwindigkeit : Dichte V : infinit. Patikelolumen : eultieende äußee Kaft. Newtonche Geetz Moment bzgl. Uung d ( V ) dt d dt ( V )

22 e it : d dt d d d d V ( V ) V ( V ) ( V ) dt dt dt dt [( ) V ] d dt [( ) V ] Summation und Vetauchung liefet : d dt ( ) dv ( y ) y zeitliche Ändeung de Dehimule enticht de Summe de äußeen Dehmomente zu Zeit t gilt: KV ˆ KS ) ( ) y ( KV

23 Reynold Tanottheoem d dt t y ( ) dv ( ) dv ( ) nd t KV ( ) dv ( ) nd ( ) KV KV K K M Imulmomentenatz it weentlich bei de nalye on Vedichten, Tubinen etc. im olgenden chematiche Datellung eine Ventilato und eine Windmühle. Ventilato : Winkelgechwindigkeit ω kont. Schaufelgechwindigkeit ϑ ω abolute Gechwindigkeit elatie Gechwindigkeit R (uh. Beobachte) (mitbew. Beobachte)

24 abolute luidgechwindigkeit : R ϑ nnahmen : luidein- und autitt bei kontant Stömung aallel zu otieenden Schaufel ω ϑ ϑ Eintitt R, ϑ,t utömen in axiale Richtung ; beitzt Tangentialkomonente, t ; ϑ und gleiche Richtung Pume ; d. h. beit on Schaufel an luid. R, ϑ utitt

25 Windmühle: ϑ R, utitt, t und ϑ in entgegengeetzte Richtungen beit on luid an Schaufel Tubine Eintitt adial duchtömte Lauf- und Leitäde : utitt ϑ R, ϑ t,, R, R, ϑ Eintitt

26 ϑ R : Schaufel- bzw. luidgechw. : Relatigechwindigkeit (zum Roto) : abolute Gechwindigkeit (luidgechwindigkeit el. zum Gehäue) lediglich die tangentiale Gechwindigkeit t beeinflut da Moment de Rotoache nnahme : tationäe Stömung M t(r nd) K K dm& EulecheTubinengleichung: M m& ( t t ) t t > 0 ofen t und ω gleiche Richtung Leitung de Roto : P Mω m& ( ω ω ) t t Leitung om Roto an da luid, wenn t > 0 und P > 0.

27 B. 7 : Veeinfachungen de Imulmomentenatze D Stömung tationäe bzw. im Mittel tationäe zykliche Stömung ( ) dv 0 t KV Kom. in Rotoachenichtung weentlich Waeolumentom on 000 ml/ eit einen Raenenge; Stömung titt tangential duch Düen de läche on 0 mm² au; de Radiu de Senge it 00 mm. a) Dehmoment, um den Sengekof fetzuhalten? b) Dehmoment bei 500 U/min? c) Winkelgechwindigkeit fü M0?

28 Skizze : Kontollolumen 00mm utittfläche 0mm autetende Stömung autetende Stömung Dehmoment V & 000ml /

29 Löung 7 : a) Dehmoment de Welle it eine Schnittgöße; Stömung it zyklich, jedoch im zeitlichen Mittel tationä. x 0 x ax. Komonente) Tangentialkomonenteon Eintitt :, 0 utitt : ( t t ( ) nd t m& K ax Minu, da t und ω entgegengeetzt. M a t ϑ 0 R m& m& V& t R, 6. 7m M a. 4Nm

30 b) n500 U/min bzw. ϑ θ t u ω u t R, R, πn πn 6.7m / 0.5m / 6.m / R, Kontollolumen u M b. 4Nm t t R, c) Imulmomentenatz bzw. M c ω ( R, R, 8.5 ad / auch fü 0 it n endlich! M c u ω ) m& 0! ω ω 8.5 ad / 60 / min n 797 U π π ad / U / min M < M b M a