Physik 1 ET, WS 2012 Aufgaben mit Lösung 3. Übung (KW 45)

Transkript

1 3. Übung (KW 45) Aufgabe 1 (M 3.1 Ungleichmäßig bechleunigte Bewegung ) Eine Punktmae bewegt ich unter dem Einflu der Kraft F x bt auf einer Geraden (b it eine Kontante). Die Bewegung beginnt zur Zeit t 0 0 am Ort x 0 mit der Gechwindigkeit v x0. Geucht: Bechleunigung a x1, Gechwindigkeit v x1 und Ort x 1 zur Zeit t 1. m 2.0 kg, b 20 N 1, t 1 2.0, x 0 0, v x0 0 Aufgabe 2 (M 3.5 U-Rohr ) In einem U-Rohr teht eine Queckilberäule in beiden Schenkeln im Augenblick der Beobachtung ungleich hoch. Die Abmeungen de U-Rohre ind der Skizze zu entnehmen. Welche Bechleunigung a hat die Queckilberäule im dargetellten Augenblick? d h2 h1 r h mm, h mm, r 30 mm, d r Aufgabe 3 (M 3.9 Erdmae ) Man berechne mit Hilfe de Gravitationgeetze die Mae m E der Erde, wobei der mittlerer Erdradiu r E, die Fallbechleunigung g owie die Gravitationkontante G gegeben ind. Jen Patommel <patommel@xray-len.de> Seite 1 von 8

2 Aufgabe 4 (M 3.11 Seilkräfte ) Die Körper der Mae m 1, m 2 und m 3 können ich reibungfrei bewegen; Rollenmaen und Seilmae werden vernachläigt. (a) Mit welcher Bechleunigung a bewegen ich die Körper? (b) Wie groß ind die Seilkräfte F 12 und F 32 während der Bewegung? m2 α m3 m1 m g, m g, m g, α 30, Aufgabe 5 (M 3.8 Talenke ) Ein PKW fährt auf einem kurvenfreien Streckenabchnitt mit der Gechwindigkeit v 0 durch eine Talenke (Krümmungradiu r 1 ) und danach über eine Bergkuppe (Krümmungradiu r 2 ). Der Fahrer hat die Mae m. (a) Wie groß it die Gewichtkraft F G de Fahrer? (b) Wie groß ind Radialkraft F r1 und Zwangkraft F z1 für den Fahrer in der Talenke? (c) Wie groß ind Radialkraft F r2 und Zwangkraft F z2 für den Fahrer auf der Bergkuppe? (d) Bei welcher Gechwindigkeit v 1 verliert der PKW auf der Bergkuppe die Bodenhaftung? m 80 kg r m r 2 68 m v 0 72 km h 1 Aufgabe 6 (M 3.4 Schnellzug ) Ein Schnellzug beteht au einer Lokomotive der Mae m L und N Wagen der Mae m W. Der Haftreibungkoeffizient (Räder, Schienen) it µ 0. Alle Achen der Lokomotive werden angetrieben. Berechnen Sie (a) die maximal mögliche Bechleunigung a m auf waagerechter Strecke, (b) die maximale Steigung tan(α), die der Zug mit kontanter Gechwindigkeit überwinden kann! m L 82.5 t, m W 43 t, N 8, µ Jen Patommel <patommel@xray-len.de> Seite 2 von 8

3 Aufgabe 7 (M 3.6 Kegelpendel ) Eine Kugel der Mae m hängt an einem Faden der Länge l und bewegt ich auf einer horizontalen Kreibahn mit dem Radiu r (Kegelpendel). (a) Wie groß it die Winkelgechwindigkeit ω der umlaufenden Kugel? (b) Welche Kraft F wirkt im Faden? m 20 g, l 50 cm, r 40 cm Aufgabe 8 (M 3.13 Fadenkraftdifferenz ) Ein auf einer horizontalen Platte gleitender Körper (Mae m 1 ) wird durch einen Faden über eine Rolle von einem frei herabhängenden Körper (Mae m 2 ) gezogen. (Rollen- und Fadenmae nicht berückichtigen.) Um welchen Wert F ändert ich die Fadenkraft, wenn der gleitende Körper von einer Glaplatte (Gleitreibungzahl µ 0) auf rauhe Holz (µ Holz > 0) gelangt? m1 µ 0 µ > 0 m2 m 1 12 g, m 2 30 g, µ Holz 0.6 Aufgabe 9 (M 3.10 Synchronatellit ) In welcher Höhe h über einem feten Ort auf dem Äquator mu ein Satellit gebracht werden, wenn er über dieem Ort bleiben oll (Synchronatellit)? Jen Patommel <patommel@xray-len.de> Seite 3 von 8

4 Löung zu Aufgabe 7 D l B ~e z l ~F g ~F Z ~F Zz ~ F g ~e x E C ~F Zx ~ F ge ~ F Z + ~ F g m~a r A ~F g mg ~e z r Wir wählen ein karteiche Koordinatenytem, deen z-ache nach oben weit und betrachten (ohne Einchränkung der Allgemeinheit) den Zeitpunkt t 0, zu dem ich der Faden parallel zur x-z-ebene befindet (iehe Zeichnung) und omit die Gechwindigkeit der Kugel parallel zur y-ache zeigt ( v e y ). Ob ich die Kugel linkoder rechtherum dreht, pielt für unere Überlegungen keine Rollte, wir tellen un aber vor, da ie ich zum Zeitpunkt t 0 in die Zeichenebene hineinbewegt (ich von un entfernt). Da ich die Kugel mit kontantem Gechwindigkeitbetrag v v ω S r auf einer Kreibahn vom Radiu r in einer kontanten Höhe z cont bewegt, beträgt ihre Bechleunigung a(t) a r (t) v2 r e r(t) ω 2 Sr e r (t), e r (t) co(ω S t) e x in(ω S t) e y. Zum Zeitpunkt t 0 it der radiale Einheitvektor e r (0) e x, die Bechleunigung lautet alo zum in der Zeichnung dargetellten Zeitpunkt a r ω 2 Sr e x. Gemäß dem zweiten Newtonchen Geetz mu die auf die Kugel von außen einwirkende Geamtkraft F ge m a r mω 2 Sr e x (7.1) betragen. Anderereit it bekannt, da außer der Schwerkraft F g und der vom Faden augeübten Zwangkraft F Z keine weiteren Kräfte auf die Kugel wirken (wir Jen Patommel <patommel@xray-len.de> Seite 4 von 8

5 vernachläigen den Luftwidertand owie andere törende Einflüe wie z. B. elektrotatiche Aufladungen, Wirbeltröme aufgrund de Erdmagnetfelde, Gravitationeinwirkungen in der Nähe befindlicher Gegentände uw.). Die Geamtkraft it omit die Summe au Gewicht- und Zwangkraft: F g mg e z (7.2) F Z F Zx e x + F Zy e y + F Zz e z (7.3) F ge F g + F Z. (7.4) Einetzen der Gleichungen (7.1) (7.3) in Gleichung (7.4) ergibt ω 2 Sr e x mg e z + (F Zx e x + F Zy e y + F Zz e z ) F Zx e x + F Zy e y + F Zz e z ωsr 2 e x + 0 e y + mg e z F Zx ωs 2r F Zy 0 F Zz mg. Die y- und die z-koordinaten der Zwangkraft ind damit fetgelegt. Die x-koordinate der Zwangkraft cheint hingegen beliebe Werte annehmen zu können, je nach dem, wie groß die Winkelgechwindigkeit ω S it. Nun it e aber o, da die Zwangkraft eine reine Zugkraft it, d. h. ie wirkt auchließlich entlang de Faden. Diee Bedingung legt den Wert der x-koordinate und mithin den Wert von ω S fet. Dazu folgende geometriche Überlegung (iehe Zeichnung): Die Dreiecke ABC und ADE haben die gleichen Innenwinkel, ind alo ähnlich. Somit it da Verhältni der Längen entprechender Dreieckeiten gleich (Ähnlichkeitätze) und e folgt AC AE mω2 S r r ω S BC DE mg g Pythagora g l2 r 2 Analog berechnet man den Betrag der Zwangkraft: AB AD F Z l BC DE mg F Z lmg 9.81 m m Pythagora lmg l2 r mg 2 1 ( r /l) kg 9.81 m N 0.33 N. ( 0.4 /0.5) 2 3 Jen Patommel <patommel@xray-len.de> Seite 5 von 8

6 Löung zu Aufgabe 8 Auf den Körper 1 wirken die Gleitreibungkraft F R1 und die durch da Seil vermittelte Zwangkraft F Z1 : F R m 1 gµ e x, µ {µ Gla, µ Holz } F Z1 F Z1 e x F ge1 F R + F Z1 (F Z1 m 1 gµ) e x, wohingegen auf den Körper 2 die Schwerkraft F g und die durch da Seil verurachte Zwangkraft F Z2 wirken: F g m 2 g e z F Z2 F Z2 e z F ge2 F g + F Z2 (F Z2 m 2 g) e z. Da dritte Newtonche Geetzt (actio reactio) beagt, da F Z1 F Z2 gilt, alo F ge1 (F Z m 1 gµ) e x (8.1) F ge2 (F Z m 2 g) e z. (8.2) Nach dem zweiten Newtonche Geetzt bewirken die Kräfte F ge1 und F ge2 folgende Bechleunigungen: F a 1 ( ) ge1 (8.1) FZ µg e x (8.3) m 1 m 1 F a 2 ( ) ge2 (8.2) FZ g e z. (8.4) m 2 m 2 Da Seil oll weder reißen, noch hängt e durch; für die Bechleunigungen mu alo gelten: a 1x a ( 2z ) (8.3) F Z FZ µg g (8.4) m 1 m 2 m 1 m 2 F Z g (µ + 1). (8.5) m 1 + m 2 Wenn der Körper 1 von der Glaoberfläche auf die Holzoberfläche gelangt, ändert ich die Kraft im Seil aufgrund der unterchiedlichen Gleitreibungkoeffizienten: F Z F Z,Holz F Z,Gla (8.5) m 1 m 2 g (µ Holz + 1) m 1m 2 g (µ Gla + 1) m 1 + m 2 m 1 + m 2 m 1 m 2 g (µ Holz µ Gla ) m 1 + m 2 12 g 30 g 12 g + 30 g 9.81 m 2 (0.6 0) kg m mn Jen Patommel <patommel@xray-len.de> Seite 6 von 8

7 Löung zu Aufgabe 9 Wenn der Satellit mit kontanter Winkelgechwindigkeit ω S in einer kontanten Höhe h über der Erdoberfläche um die Erde kreit (Erdradiu r E ), o beträgt eine Bechleunigung a(t) a r (t) ω 2 S(r E + h) e r (t), (9.1) wobei e r der (zeitabhängige) Einheitvektor it, der vom Erdmittelpunkt in Richtung de Satelliten zeigt. Wir gehen davon au, da der Satellit eine eigenen Schubdüen nicht benutzt (höchten, um die Höhe h überhaupt zu erreichen oder zur Bahnkorrektur) und da die Atmophäre in der Höhe h hinreichend dünn it, o da der Luftwidertand vernachläigbar klein it. Dann wirkt auf den Satelliten auchließlich die Gravitationkraft zwichen Erde und Satellit: F ge (t) F g (t) G m Sm E (r E + h.) 2 e r(t). (9.2) Da zweite Newtonche Geetz liefert den Zuammenhang zwichen dieer äußeren Geamtkraft und der reultierenden Bechleunigung: F ge (t) m S a(t) (9.1) (9.2) G m Sm E (r E + h.) 2 e r(t) m S ω 2 S(r E + h) e r (t) G m E (r E + h.) 2 ωs(r 2 E + h) Gm h 3 E r ωs 2 E. Der Satellit oll ich ynchron mit der Erde bewegen, d. h. eine Winkelgechwindigkeit entpricht derjenigen der Erde: ω S ω E 2π T E h 3 GmE TE 2 r 4π 2 E m 3 kg kg ( ) km. 4π km Jen Patommel <patommel@xray-len.de> Seite 7 von 8

8 Quellen Die Aufgaben ind entnommen au: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer, Hellmut Zimmer, Übungbuch Phyik, Haner Fachbuch, ISBN: Die Übung- und Löungblätter gibt e unter Die Homepage zur Vorleung findet ich unter Jen Patommel <patommel@xray-len.de> 8