Harmonische Schwingung

Transkript

1 Haronice Scwingung 1. a Foto zeigt eine Atronautin i BMM (Body Ma Meaureent evice) der NASA. Mit diee BMM betien die Atronauten i Spaceuttle in der Erdulaufban ire Körperae. E betet au eine Getell, in de ic die Atronautin it eine Gurt fetgecnallt at. iee Getell it reibungfrei in einer Sciene ontiert und an einer Scraubenfeder befetigt. (a) Waru verwendet die NASA keine?norale Bodenwaage?? (b) Wie könnte diee Gerät funktionieren? (c) Spielt die Orientierung diee Gerät relativ zur Erde eine Rolle? (d) Waru üen ic die Atronauten in de Getell fetcnallen waru genügt e nict, da ie ic nur ineinetzen? (e) Welce Federkontante würden Sie für diee Gerät wälen, wenn die Scwingungdauer der Anordnung in der Größenordnung von 0,5 Sekunden liegen oll? Begründen Sie jeden Scritt Irer Abcätzung! Quelle: Löung: (a) Bei einer noralen Bodenwaage wirkt der Scwerkraft eine Körper die Bodendruckkraft entgegen, die i Spaceuttle felt. (b) iee Gerät, in de die Atronautin fetgecnallt it, tellt zuaen it der Feder ein aronice Federpendel dar, deen Mae die Sue au Atronautenae und Getellae it. (c) Unter den Bedingungen der Mikrogravitation (,,Scwereloigkeit ) pielt die Orientierung (orizontal) keine Rolle alle Raurictungen ind i Gegenatz zu eine Eperient auf der Erdoberfläce gleicberectigt. (d) Wenn ic die Atronautin nict fetcnallt, betet keine Verbindung zwicen Getell und Atronautin und bereit die kleinten Kräfte füren dazu, da ie au de Getell wegbecleunigt wird und dait keine Meung öglic it. (e) Für ein Federpendel gilt: T = 2π = 4π2 T 2 Setzt an die Periodendauer von 0,5 und die Mae von 100 kg für Getell plu Atronautenae an, o ergibt ic N 1

2 2. Eine Kugel der Mae = 40,0g, die reibungfrei in einer Röre gleitet, fällt au der Höe = 5,25c auf eine Feder der Härte = 19,62 N. ei die Koordinate de unteren Rande der Kugel. (a) Berecne ω, T, A und den Nullpunkt 0 der einetzenden aronicen Scwingung. (b) Wäle den Zeitnullpunkt o, da er de tieften Punkt der Bewegung entprict; dadurc wird der Graf von (t) acenye- 0 tric. Berecne t 1 und t 2 it (t 1 ) = 0 und (t 2 ) =. Screibe (t) für eine volle Periode der Bewegung in. Beacte, da nict die ganze Bewegung eine aronice Scwingung it! Wie lange dauert eine volle Periode der Bewegung? Zeicne den Grafen von (t) ( t = 0,1 =2c, = 1c =0,5c). (c) Zeige, da der Graf von (t) eine glatte Kurve it (kein Knick). Zeicne auc die Grafen von v(t) und a(t). Löung: (a) ω = = 22,1 1, T = 2π ω = 0,284 Für 0 it die Kraft auf die Kugel ( it poitiv, zeigt alo nac oben) F() = g In der Gleicgewictlage (Nullpunkt der Scwingung) 0 gilt F( 0 ) = 0 g = 0 = 0 = g = 2,00c Für 0 it die Kraft auf die Kugel (g = 0 ) g F() = g = + 0 = ( 0 ) = it = 0. Für 0 it die Bewegung der Kugel alo tatäclic eine aronice Scwingung u 0. Pot. Energie it Bezugp. = 0: W 0 () = g+ 2 2 Pot. Energie it Bezugp. 0 : W p () = W 0 () W 0 ( 0 ) = g( 0 )+ 2 (2 2 0 ) W p () = g( 0 )+ 2 ( 0)(+ 0 ) = g + 2 (2 0 + ) = = g + }{{} ( )2 = 2 ( )2 g ie Geatenergie der Scwingung berecnen wir bei = 0: W(0) = W p (0)+W kin (0) = }{{} g = g2

3 MitderAplitudeAitdertiefte PunktderKugel bei 0 A.Wegen W kin ( 0 A) = 0 und W p ( 0 A) = 2 A2 folgt au de Energieatz W( 0 A) = W(0) = 2 A2 = = A = 0 ( 0 2) = 5,00c (b) Für 0 gilt (t) = 0 Acoωt. Au (t 1 ) = 0 folgt coωt 1 = 0 A = t 1 = 0,0895 Fallzeit für die Höe : 2 τ = g = 0,103 ait it t 2 = t 1 +τ = 0,193. ie geate Scwingungdauer it c 4 2 t 2 t 1 t 1 t 2 t T ge = 2t 2 = 0,386. g 2 (t+t 2) 2 für t 2 t t 1 (t) = 0 Acoωt für t 1 < t < t 1 g 2 (t t 2) 2 für t 1 t t 2 (c) Für die Glatteit der Kurve üen wir zeigen, da li t t 1 li t t 1 ẋ(t) = li ẋ(t): t t + 1 ẋ(t) = li (Aωinωt) = Aωinωt 1 = Aω 1 co 2 ωt 1 = Aω t t 1 = ω A = ω g 2 0 = 2 = 2g li ẋ(t) = li ( g(t t 2 )) = g(t 1 t 2 ) = gτ = 2g t t + 1 t t + 1 g(t+t 2 ) für t 2 t t 1 v(t) = ẋ(t) = Aωinωt für t 1 < t < t 1 g(t t 2 ) für t 1 t t 2 g für t 2 t t 1 a(t) = v(t) = Aω 2 coωt für t 1 < t < t 1 g für t 1 t t A 2 = 3

4 v 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 t 2 t 1 t 1 t 2 0,2 t 0,4 0,6 0,8 1,0 a t 2 t 1 t 1 t 2 t Ein Wagen der Mae = 5,00 kg prallt zur Zeit t = 0 it der Gecwindigkeit v 0 = 1,57 auf eine aeloe Feder der Härte = 49,3 N. Al Ort de Wagen bezeicnen wir die -Koordinate eine recten Rande (iee Abbildung). v 0 t = 0 0 (a) U welce Strecke A wird die Feder zuaengetauct? Zu welcer Zeit t 1 gilt (t 1 ) = A? (b) Berecne den Ort und die Gecwindigkeit de Wagen zur Zeit t 2 = 0,250. (c) Wo it der Wagen zur Zeit t 3 = 2,00? Löung: (a) 2 v2 0 = 2 A2 = A = v 0 = 0,500 t 1 = T 4 = 1 4 2π ω = π 2 = 0,500 (b) (t) = Ainωt it ω = = 3,14 1 = (t 2 ) = 0,5 in0,785 = 0,353 v(t) = Aωcoωt = v(t 2 ) = 1,57 co0,785 = 1,11 (c) Zur Zeit T 2 = 1,00 löt ic der Wagen a Ort = 0 von der Feder: ( (t 3 ) = v 0 t 2 T ) = 1, = 1,57 4

5 4. Tarzan cwingt ic an einer Liane durc den Urwald (iee Abbildung). abei at ein Scwerpunkt zu repunkt die Entfernung L = 15,0, befindet ic = 25,0 über de Boden. Er tartet ruend zur Zeit t = 0 in der Lage 1 (ϕ 1 = 30 ). Löung: (a) ω = (a) Tarzan lät die Liane i tieften Punkt der Pendelbewegung lo (Lage 2 ). Wann (t 2 ) und wo ( 2 ) erreict er den Boden? Berecne die Koordinaten de Punkte P( 4 y 4 ), an de ic Tarzan zur Zeit t 4 = 3,00 befindet. (b) Tarzan lät die Liane i öcten Punkt der Pendelbewegung lo (Lage 3 ). Wann (t 3 ) und wo ( 3 ) erreict er den Boden? 1 L y 1 y y 0 nict aßtabgetreu! 3 T 3 T 2 Berecne die Koordinaten de Punkte Q( 5 y 5 ), an de ic Tarzan zur Zeit t 4 = 3,00 befindet. (c) Fertige eine Zeicnung wie die gegebene Abbildung, die jedoc aßtabgetreu it (1 : 200). Zeicne verciedenfarbig die Bankurven von Tarzan in den Fällen (a) und (b) owie die Punkte P und Q ein. g L = 0, ; T = 2π ω = 7,77; T 2 = T 4 = 1,94 y 1 = Lcoϕ 1 = 12,0; y 2 = L = 10,0 y = y 1 y 2 = Lcoϕ 1 = 2,0 Gecwindigkeit in 2: 2 v2 2 = g y = v 2 = 2g y = 6,3 Fallzeit: g 2y2 2 τ2 2 = y 2 = τ 2 = g = 1,43 = t 2 = T 2 +τ 2 = 3,37 2 = v 2 τ 2 = 2 y 2 y = 2 ( L)L(1 coϕ 1 ) = 9,0 4 = v 2 (t 4 T 2 ) = 6,6, y 4 = y 2 g 2 (t 4 T 2 ) 2 = 4,5, P(6,6 4,5) 2y1 (b) v 3 = 0, d.. freier Fall: τ 3 = g = 1,56 = t 3 = T 3 +τ 3 = 5,44 ϕ 3 = 30 = 3 = Linϕ 3 = L 2 = 7,5 ϕ(t) = 30 coωt = ϕ 5 = ϕ(t 4 ) = 22,6 = 0,395 5 = Linϕ 5 = 5,8, y 5 = Lcoϕ 5 = 11,2, Q(5,8 11,2) 2 5

6 (c) Kurve zu (a) (t = t T 2 ): (t) = v 2 t = t = v 2 y y(t) = y 2 g 2 t2 = y = y 2 g 2v2 2 2 L 20 ϕ 5 y = 10 0, Q y 10 9,5 8,0 5,5 2,0 5 P Eine Kugel der Mae fürt entlang der -Ace zwicen A und A = 13,0c eine aronice Scwingung au, der Ort der Kugel zur Zeit t it (t). Zur Zeit t 0 = 0 befindet ic die Kugel bei = A, a Ort 1 = (t 1 ) = 5,00c beträgt die Gecwindigkeit der Kugel v 1 = 24,0 c. (a) Berecne die Kreifrequenz ω der Scwingung und creibe die Gleicung der Funktion (t) in. (b) Berecne t 1. (c) Berecne (t 2 ) und v(t 2 ) für t 2 = 3,00. Löung: (a) 2 v = 2 A2 = v = A2 = v 2 1 +ω = ω 2 A 2 ω = v 1 A = 24 c 12c = 2,00 1 (t) = Acoωt (b) (t 1 ) = 13c coωt 1 = 5c = coωt 1 = 5 13 = ωt 1 = 1,966 t 1 = 0,983 (c) (t 3 ) = 13c co6 = 12,5c, v(t 3 ) = Aωinωt 3 = 26 c in6 = 7,26 c 6