Lösung: Variante 1: Sinussatz α = = 119 β = 35 γ = = 26 c = 5,8 sm

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1 Aufgabe 1: Leuctturm Der Kapitän eine Sciffe mu laut einen Karten beim Paieren einer Landzunge einen betimmten Abtand zum Fetland einalten, um nict auf ein Riff aufzulaufen. Dazu peilt er den Leuctturm unter einem Winkel von 5 an. Nac 5,8 m ergibt eine erneute Peilung 61. Wie weit it da Sciff bei der. Peilung vom Leuctturm entfernt? Variante 1: Sinuatz α β 5 γ c 5,8 m b in β c inγ in β in5 b c 5,8m 7, 59m inγ in 6 Variante : Zerlegung in rectwinklige Dreiecke α α α1 64 in(β c c in( β 5,8m in(5, 7m co( α b,7m b 7, 59m co( α co(64

2 Aufgabe : Pyramiden Die ägypticen Pyramiden wurden cictweie au großen Kalkteinquadern gebaut. Der Neigungwinkel α aller vier Seiten it immer gleic und beträgt z. B. bei der um 500 v. Cr. erbauten Ceoppyramide ca. 54 (iee Abbildung rect. Durc Vorcreiben eine betimmten Einrückungmaße x der näctöeren Quadercict konnten die Erbauer den Winkel einalten, obwol ie noc kein Winkelmaß kannten. E oll eine Pyramide mit einer Breite von 60 Ellen und einer Höe von 5 Ellen gebaut werden. Betimme da Einrückungmaß x der jeweil näcten Quaderreie in Handbreiten, wenn ein Quader Ellen oc it und eine 1 Elle genau 7 Handbreiten beitzt! Für den Winkel α gilt: tan( α 1 b 5 Ellen 180 Ellen 5, 18 Darau folgt für da Einrückungmaß x in Handbreiten: Quader tan( α x Ellen x Ellen x Ellen tan( α 18 5, Da eine Elle 7 Handbreiten beitzt gilt:,149 Ellen 1 Elle 1 Handbreit 0,149 1 Handbreit x,149 Ellen Ellen und1 Handbreit

3 Aufgabe : Bodenee Der Bodenee it b 64 km lang. Wie viel m tet da Waer in der Mitte de See öer al an den Enden? r 671km π b km 180 b α r α 0, r π 671km π r co( α r r co( α r α r ( 1 co( 0,08064km 80,64m In der Mitte de See tet da Waer ca. 80,6 m öer al an den Rändern.

4 Aufgabe 4: Matterorn Blickt man von einem 10 m über dem Riffelee (bei Zermatt/Scweiz gelegenen Punkt A bei Windtille in den See, o iet man da Spiegelbild de Matterorn unter einem Tiefenwinkel von α 11,8. Die Spitze de Matterorn erblickt man direkt unter dem Höenwinkel β 10,5. Wie viel Meter liegt der Gipfel de Matterorn über dem Riffelee? See 10m AR 586, 81m co(90 α co(78, δ 180 α 156, 4 γ 180 α β δ 1, 55 in( α + β in(,05 RM AR 586,81m 8144, 0m in( γ in(1,55 RM in( α 8144,m in(11,8 1665, 48m Der Gipfel de Matterorn liegt 1665,48 m über dem See.

5 Aufgabe 5: Scüttkegel Auf einer Bautelle wird Sand, der al Füllmaterial benötigt wird, in act 1,75 m oen zylinderförmigen Beältern mit jeweil 1,5 m Durcmeer angeliefert. Der Sand wird langam über ein Förderband augekippt, o da ein kegelförmiger Haufen enttet. Der Vorarbeiter at den Verdact, da die Lieferfirma betrogen at und die Beälter nict ganz voll waren. Er beauftragt einen clauen Lerling da zu überprüfen. Dieer mit Umfang (U 17,5 m und Seitenkante de Kegel. Der claue Lerling weiß: Der Scüttwinkel für Sand it 40. Um zu überprüfen, ob die Beälter voll waren, mit er die Seitenkante. Wie lang müte die Seitenkante ein, wenn die Beälter voll waren? Hinwei: Der Scüttwinkel it der Winkel, den Grundfläce und Seitenkante de Scüttkegel eincließen. Da Geamtvolumen de angelieferten Sande beträgt ( 0,75m 1,75m 4,74m V ge 8 π dm. Au der informativen Figur entnimmt man co ( α und ( α Mit der Volumenformel für den Kegel folgt: 1 V π r π 1 co ( α in( α r in. π co V ( α in( α 4,74m, 97m π co ( 40 in( 40

6 Aufgabe 6: Boeing 747 Die Boeing 747 it eine der größten und tärkten Verkerflugzeuge der Welt. Sie kann mit einer Höctgecwindigkeit von 90 km/ fliegen. Bei irem Startweg beitzt ie jedoc aufgrund de oen Luftwidertand nur eine durccnittlice Gecwindigkeit von circa 50 km/. Nac ungefär 8 Minuten at ie ire maximale Flugöe von m erreict. Wie viele Kilometer legt ie zurück, um ire maximale Höe zu erreicen? Wie viele Kilometer fliegt ie jedoc nur Luftlinie? Welcen mittleren Steigwinkel beitzt eine Boeing 747? Da Flugzeug fliegt 8 Minuten (8* mit einer Gecwindigkeit von 50 km/, um eine maximale Flugöe von m zu erreicen. 1000m m 50 69, Flugweg Gecwindigkeit Flugzeit m Flugweg 69, ,m, km Der Luftlinie-Weg kann mit dem Satz de Pytagora berecnet werden. Flugweg Luftlinienweg + Flugöe Luftlinienweg Flugweg Flugöe.1, m 0.85, 5m Der mittlere Steigwinkel ergibt ic au: in Flugöe Flugweg 1.700m.1,m , ( α α arcin 4,

7 Aufgabe 7: Hobbygärtner Willi Der Hobbygärtner Willi findet die Bepflanzung in einem Garten ziemlic langweilig und möcte dealb etwa Extravagante auprobieren! Er etzt ic in den Kopf, eine zen Apfelbäume o umzupflanzen, da ic genau fünf Reien mit jeweil vier Bäumen ergeben. Er weiß jedoc nict, wie er eine fixe Idee verwirklicen oll! Kannt du im da weiterelfen? Bei der Einpflanzung von Bäumen, die mit den Jaren eine große Baumkrone entwickeln, it e innvoll, darauf zu acten, immer einen Mindetabtand von 8 Meter zum näcten Baum einzualten, damit ie ic ungeindert auweiten können! Wie viel m² Gartenfläce nimmt demzufolge die oben becriebene Anordnung der Bäume in Anpruc? Um mit zen Bäumen fünf Reien mit jeweil vier Bäumen zu eralten, müen diee wie nebenteend dargetellt angeordnet werden. Hierbei tellen die roten Punkte die Bäume und die cwarzen Linien die Reien dar! Für die Fläcenberecnung de Stern it e innvoll, den Stern in fünf kongruente große Dreiecke (gelb und in fünf kongruente kleine Dreiecke (grün zu zerlegen. A Stern 5 A + 5 A Dreieck klein Dreieck groß Strecke AB 8m Winkel AMB 7 Winkel MAB Winkel ABM 54 ((180-7 / Winkel ACB 7 (180 - * 54 Um die Fläce de kleinen Dreieck zu berecnen, wird da gleiceitige Dreieck in zwei rectwinklige Dreiecke zerlegt und im Anclu daran die Höe mit Hilfe de Tangen berecnet. Gegenkatete 4m tan( 6 Dreieck klein 5,51m Ankatete 1 ADreieck klein 8m Dreieck klein Dreieck klein,04m² Analog dazu wird die Fläce de großen Dreieck berecnet, indem da gleiceitige Dreieck in zwei rectwinklige Dreiecke zerlegt und die Höe mit Hilfe de Tangen berecnet wird. Dreieck groß tan( 7 Dreieck groß 1,1m 4m 1 ADreieck groß 8m Dreieck groß 49,4m² Die Fläce de geamten Stern ergibt ic omit zu: A 5 A + 5 A 5,04m² ,4m² 56,4m² Stern Dreieck klein Dreieck groß