Übungszettel Trigonometrie

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1 Übungzettel Trigonometrie 1. ) Eine Strßenlmpe, die n einem Mt in der Höhe befetigt it, beleuhtet einen Fußweg, der unter dem Winkel ε gegen die Horizontle geneigt it. Der Lihtkegel it lotreht t nh unten gerihtet und ht den Öffnungwinkel α.. Fertigen Sie eine Skizze n und berehnen Sie die Länge der ugeleuhteten Wegtreke. b) Wie groß müte h ein, dmit bei α und εeine Wegtreke von 18 m ugeleuhtet wird? ) Stellen Sie eine llgemeine Formel zur Berehnung von h uf. 2. Von einem dreiekigen Grundtük in Hnglge mit den Ekpunkten A, B und C kennt mn folgende Betimmungtüke:. Vom tieften Punkt A u wird der um höher liegende Punkt C unter dem Höhenwinkel α geehen. Vom Punkt C wird der Punkt B unter dem Tiefenwinkel geehen. ) Betimmen Sie die Längen der Seiten de Grundtüke (uf dm genu) und deen Fläheninhlt (uf ). b) Um wie viel m liegt der Ekpunkt B höher l A und tiefer l C? 3. 3 Orte A, B und C liegen in einer horizontlen Ebene, wobei A von B entfernt it. Von einem Gipfel G u ieht mn B unter dem Tiefenwinkel und A in derelben Rihtung hinter B unter dem Tiefenwinkel. Nh Drehen de Meintrument um den Horizontlwinkel mit mn zu C den Tiefenwinkel. ) Wie hoh liegt der Berggipfel G über der Ebene? b) Wie weit it C von A und von B entfernt? ) In derelben Ebene, uf hlber Streke zwihen A und C, befindet ih der Ort H. Unter welhem Höhenwinkel ieht mn im Ort H den Gipfel G?

2 Ein Verntltunggelände beitzt die Form eine unregelmäßigen ebenen Fünfek mit den Ekpunkten A, B, C, D und E. Folgende Abmeungen ind beknnt: Die Streke AB (= ) wird vom Ekpunkt C u unter dem Winkel geehen. Vom Ekpunkt D u ieht mn die Streke AE (= e) unter. Die Streke CD (= ) wird vom Ekpunkt A u unter geehen. Bei der Berehnung oll jeder berehnete Winkel und jede Seite o genu wie möglih berehnet werden! ) Berehnen Sie den Umfng diee Fünfek. b) Wie groß it die Flähe, gemeen in Hektr? ) Wie groß it die Winkelumme in dieem Fünfek? d) Begründen Sie, wrum ih in jedem ebenen Fünfek eine Winkelumme von 540 ergeben mu. Die zwei Orte Altenbrunn und Blubh liegen n den gegenüberliegenden Ufern eine See (in derelben Horizontlebene).. Um die Entfernung der beiden Ortzentren zu betimmen, werden vom Berggipfel S de Sonnkogel, der ih 837m über dem See befindet, Vermuungen zu Altenbrunn und Blubh vorgenommen. Vom Gipfel S ieht mn d Zentrum von Altenbrunn unter dem Tiefenwinkel und nh Shwenken de Meintrument um den Horizontlwinkel d Zentrum von Blubh unter dem Tiefenwinkel. Fertige eine Skizze n und berehne unter Berükihtigung einer Intrumentenhöhe von die Entfernung der beiden Ortzentren. Im Rthu von Altenbrunn blikt der Bürgermeiter u einem Bürofenter. Er ieht die Spitze der Sttue, die in der Mitte de neuen Biotop ufgetellt wurde, unter dem Tiefenwinkel, und mit zum Fußpunkt der Sttue einen Tiefenwinkel von. Berehne die Höhe der Sttue, wenn ie ih in einem Abtnd von zum Rthu befindet. In welher Höhe über dem Niveu de Rthupltze befindet ih der Beobhtungpunkt de Bürgermeiter?

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4 Beipiel 3 G β α C z h.. ε y δ β B β α A = m α = 10.8 β = 18.6 = 12.1 ε = 38.5 β = 180 β = δ = 180 β α = 7.8 ) in α = in δ, = in α in δ = in β = h, h = in β = b) o β = y, y = o β = tn = h z, z = h tn = b = y 2 + z 2 2yz o ε = u = + y = = u 2 + z 2 2uz o ε = ) u 2 = 2 + z 2 2z o ϕ 2z o ϕ = 2 + z 2 u 2 ( 2 + z 2 u 2 ) ϕ = ro = z ( ) 2 = z z o ϕ = tnω = h G ω = rtn ( ) h = z u h C φ /2 H /2 A. ω H 3

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6 Beipiel 5 D d δ 1 δ 2 E ε 2 1 C t e b A ψ ϕ α ω β B AB = = 83m BC = b = 95m AD = = 155m α = = 27 δ 1 = 56 ϕ = 40 in ω b = in 1 in ω = b in 1 ( ) b in 1 ω = rin = I β = ω = J t in β = in 1 t = in β in 1 = T = 2 + t 2 2t o ϕ = C ψ = α ϕ ω = K ε = 180 ψ δ 1 = L d in ψ = e = in δ 1 in ε in ε d = in ψ in ε e = in δ 1 in ε = D = E U = + b + + d + e = m b) A 1 = 1 2 b in β = A 2 = 1 2 t in ϕ = A 3 = 1 2 e in ψ = A = m 2 A = h 6

7 ) in δ 2 t = in ϕ in δ 2 = t in ϕ δ 2 = rin t in ϕ = δ = δ 1 + δ 2 = M 2 = 180 δ 2 ϕ = = = N α + β + + δ + ε = 540 ) D Fünfek it u 3 Dreieken mit je 180 Winkelumme zummengeetzt. 7