Greensche Funktion. Frank Essenberger FU Berlin. 30.September Nomenklatur 1. 2 Greensche Theoreme 1. 3 Anwendung in der Elektrostatik 2

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1 Greenche Funktion Frank Eenberger FU Berlin 30.September 2006 Inhalterzeichni Nomenklatur 2 Greenche Theoreme 3 Anwendung in der Elektrotatik 2 4 Anpaung an Randbedingungen 3 5 Eindeutigkeit der Löung 3 6 Beipiel für Dirichletche Randbedingung 4 Nomenklatur Auf meiner Homepage finden ie ein Script in dem die Nomenklatur in allen on mir erfaten Texten erklärt wird. 2 Greenche Theoreme Gauß che Geetz: d S E ( x ) = dx 3 E ( x ) Mit dem Anatz E ( x ) = φ( x ) ψ( x ) in da Gauß che Geetz eingehen. Damit folgt: (x Abhängigkeit im weiteren weggelaen) d S φ( x ) ψ( x ) = dx 3 [φ( x ) ψ( x )] ds φ n ψ = dx 3 [ φ] [ ψ] + φ 2 ψ

2 ds φ ψ n = dx 3 [ φ] [ ψ] + φ 2 ψ () Wobei Gleichung () da erte Greenche Theorem dartellt. Durch ertauchen on ψ und φ: ds φ ψ n = dx 3 [ φ] [ ψ] + φ 2 ψ (2) ds ψ φ n = dx 3 [ ψ] [ φ] + ψ 2 φ (3) und abziehen der beiden Gleichung (2) und (3) on einander erhält man chnell da zweite Greenche Theorem Gleichung (4): ds φ ψ n ψ φ n = dx 3 [ φ] [ ψ] [ φ] [ ψ] + φ 2 ψ ψ 2 φ ds (φ ψ n ψ φ n ) = dx 3 (φ 2 ψ ψ 2 φ) (4) 3 Anwendung in der Elektrotatik Wenn man nun ψ = x = x und φ uner geuchte Potential wählt, ergibt R ich: ds (φ n x x x φ x n ) = (φ 2 x x x x 2 φ) ds (φ n R φ R n ) = ( 4πδ( x x ) φ + R ρ( x ) ) (5) ɛ 0 Für eine unendlich große Volumen geht da Oberflächenintegral gegen Null da φ mindeten eine r Abhängigkeit beitzt und o gilt : I = lim ds (φ a n x x x φ x n ) lim dω a 2 ( a a n x a n x a n a a ) lim dω = 4π lim a a a a = 0 Damit wird die Gleichung (5) zu : 2

3 4πδ( x x ) φ( x ) = φ( x ) = 4πɛ 0 x ρ( x ) x ɛ 0 ρ( x ) x x Die it ein Spezialfall. Nämlich der, wenn da Potential auf dem unendlich weit entferneten Rand definiert it. Diee mu dort Null ein da wir on örtlich begrenzten Feldern augehen. Um andere Randbedingungen zu implementieren könnte man mit einem anderen ψ eingehen. 4 Anpaung an Randbedingungen eingegangen. Nun wählen wir allgemei- Im Abchnitt 2 ind wir mit ψ = ner: x x ψ = x x + F ( x, x ) mit F ( x, x ) = F ( x, x ) damit it auch ψ( x, x ) = ψ( x, x ) und 2 F ( x, x ) = 0. Die Funktion F kann nun genutzt werden um Randbedingungen zu implementieren. Mit der Funktion ψ in Gleichung (4) eingehen und wieder δ-funktion aunutzen: φ( x ) = [ 4πɛ 0 ρ( x ) x x + ds φ ( ψ n φ n ψ)] (6) Auf den erten Blick wirkt e o alob man ψ, ψ n und φ auf der Oberfläche kennen müte. Tatächlich reicht e au ψ oder ψ n zu kennen. Die zeigen wir gleich nun noch Definitionen:. ψ heißt Greenche Funktion (meit G( x, x ) genannt) 2. ψ S = G D ( x, x ) S = 0 Dirichletche Randbedingung Neumannche Randbedin- 3. ψ n S = G S ( x, x ) S = cont = 4π S gung 5 Eindeutigkeit der Löung Im origen Abchnitt wurde behauptet, da eine Randbedingung aureicht um da Problem eindeutig zu löen und mit Dirichletche Randbedingung und Neumanncher Randbedingung übertimmt it. Dazu nehmen wir zwei Löungen φ und φ 2 an und etzen u = φ φ 2 und gehen damit in Gleichung () ein. Wobei ψ = φ = u it, damit folgt: 3

4 ds u u n = dx 3 [ u] [ u] + u 2 u (7) Da beide Löung die Poiiongleichung erfüllen gilt: 2 u = 2 φ ( x ) 2 φ 2 ( x ) = 4π(δ( x ) δ( x )) = 0 Und u = 0 für die Dirichletche Randbedingung oder n u = n φ n φ 2 = cont cont = 0 für die Neumannche Randbedingung. Man ieht da eine on beiden Randbedingungen reicht um die linke Seite on Gleichung (9) zu 0 zu machen. 0 = dx 3 [ u] [ u] 0 = u u = cont Wobei u = 0 da dort φ = φ 2 it. Damit it u = cont = 0 (überall) und die Löungen ind alo gleich. 6 Beipiel für Dirichletche Randbedingung Eine Scheibe om Radiu a liegt in der XY Ebene mit Zentrum im Urprung. Der Raum it Ladungfrei. Da Potential auf der Scheibe ei auf V fetgelegt. Außerhalb der Scheibe ei e 0. Wir betrachten da Problem mit orgegebener Dirichletcher Randbedingung und e wird nur der obere Halbraum mit z > 0 betrachtet.die Grennche Funktion oll alo 0 in der XY Ebene ein. Eine Löung wäre: G D ( x, x ) = x x x x + 2z ez Die Funktion F orgt nun dafür, da G D ( x, x ) = 0 Scheibe it. Außerdem gilt: 2 G D ( x, x ) = 4π(δ( x x ) δ( x + ( x, y, +z ) = 4π(δ( x x ) }{{} =0 wegen Def on x Da x nur im oberen Halbraum it und deweiteren gilt auch: G D ( x, x ) = G D ( x, x ). Nun mit unerer Greenchen Funktion in Gleichung (9) eingehen: φ( x ) = [ 4πɛ 0 ρ( x ) x x + ds (G D ( x, x ) φ n φ n G D( x, x ))] Zum Glück it ρ( x ) = G D ( x, x ) Oberflche = 0 auf Grund der Randbedingung und der Aufgabentellung. 4

5 φ( x ) = 4πɛ 0 ds (V 4πɛ 0 S Scheibe ds ( V Nebenrechnung (anderer Summand analog): n G D( x, x )) z ( x x x x + 2z ez ) z ( x x ) = z [(x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2 ] ( 0.5) = (z z ) x x.5 ds (z z ) (V 4πɛ 0 S x x + (z + z ).5 x x + 2z ez ).5 Da auf der Oberfläche z = 0 gilt : ds 2z (V 4πɛ 0 S x x ).5 ds 2zV ( 4πɛ 0 S (ρ 2 + ρ 2 + 2ρρ co(γ) + z 2 ).5 ) Wobei ρ 2 = x 2 + y 2 und ρ 2 = x 2 + y 2. Da Integral it chwer zu löen dehalb chauen wir un da Potential am Ort x = (0, 0, z) an: φ( x ) = 2πɛ 0 2π 0 a dϕ dρ ρ zv (ρ 2 + z 2 ).5 = zv ɛ 0 (ρ 2 + z 2 ) 0 φ(0, 0, z) = ɛ 0 ( + φ(0, 0, z) = V ɛ 0 ( + zv (a 2 + z 2 ) 0.5 ) z (a 2 + z 2 ) 0.5 ) =a ρ 0.5 ρ =0. Auch für komplizierte orgegebene Potentiale oder noch zuätzliche Ladungerteilungen auf der Scheibe hätte man mit dieer Methode chnell Ergebnie erzielen können. Da Problem tellt nur da finden der Greenchen Funktion dar. Die kann aber leicht mit dem Prinzip der Spiegelladungen gechehen mit dem e ehr leicht it eine Funktion auf einer betimmten Fläche erchwinden zu laen. Dazu poitioniert man eine eine zweite,dritte,ierte... Ladung(en) o im Raum, da die Greenche Funktion auf der Oberfläche erchwindet. So wie im Beipiel gechehen. 5