1.1.4 Potential; Äquipotentiallinien bzw. -flächen; potentielle Energie eines geladenen Teilchens im homogenen elektrischen Feld

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1 1.1.4 Potential; Äquipotentiallinien bzw. -flächen; potentielle nergie eine geladenen Teilchen im homogenen elektrichen Feld Die Charakteriierung eine elektrichen Felde in einem Raumpunkt durch Angabe von Feldtärke oder Kraft auf eine Probeladung kann wegen de Vektorcharakter beider Größen, die zu ihrer volltändigen Bechreibung die Angabe von Betrag und Richtung erfordern, leicht zu erheblichen rechnerichen Schwierigkeiten führen. In manchen Fällen bringt die Nutzung eine Zuammenhang zwichen der bereit au der Mitteltufe bekannten elektrichen Spannung U und der elektrichen Feldtärke Vorteile. Arbeit im elektrichen Feld ine Probeladung Q p erfährt in einem elektrichen Feld andauernd eine Kraft F, die nach F = Q p berechnet werden kann. Zur Bewegung der Probeladung in einem elektrichen Feld it daher im allgemeinen eine Arbeit W erforderlich. Bei der Berechnung der Arbeit, die bei der Verchiebung einer Probeladung Q p von einem Punkt P 1 zu einem Punkt P 2 in einem elektrichen Feld aufzubringen it bzw. dabei frei wird, können folgende Sonderfälle auftreten: Fi i a) b) c) a) infachter Fall: // und = cont. läng. Für W folgt dann W 12 = F = Q p = Q p. Anmerkung: Die Vereinfachung folgt au der Definition de Skalarprodukt für den Sonderfall paralleler Vektoren. b) = cont. läng, aber und chließen einen kontanten Winkel = ; ein. Für W folgt dann W 12 = Q p = Q p co(φ). Seite

2 Anmerkung: In beiden Fällen it die Geradlinigkeit von keine zwingende Vorauetzung! c) Allgemeiner Fall: it weder dem Betrag noch der Richtung nach läng de beliebigen (auch krummlinigen) Wege kontant. Zur Berechnung von W wird in Teilwege i ( i : Ortvektor zum Punkt P i ) zerlegt, läng denen al kontant angenommen wird. Für W 12 folgt dann:w 12 = Q p $ 1 $ Q p $ n $ i W 12 = n i=1 Q p $ i $ i. Wegen der Annahme der Kontanz von i läng i tellt diee Gleichung natürlich auch nur eine Näherung dar. Diee lät ich verbeern, wenn man die i verkleinert und damit die Zahl der Teilwege i vermehrt: W 12 = lim nd (Q p $ n i=1 i $ i ) =Q p $ i=1 i $ P i =Q p $ 2 $ d. bleibt zunächt die Frage offen, ob der Wert de Integral und damit die Arbeit W 12 von der Art de Wege zwichen den Punkten P 1 und P 2 abhängt. Mit Hilfe de nergieatze, deen allgemeine Gültigkeit voraugeetzt wird, lät ich zeigen, da die nicht der Fall it. Wäre nämlich der Arbeitüberchu bei der Bewegung der Ladung auf einem Weg 1 von P 1 nach P 2 größer al die aufzuwendende Arbeit von P 2 nach P 1 auf einem Weg 2, o könnte man durch Herumführen der Probeladung von P 1 läng de Wege 1 nach P 2 und zurück läng de Wege 2 andauernd nergie gewinnen. Die it aber nach dem nergieatz nicht möglich! Zuammenfaung: Wird in einem elektrichen Feld eine Probeladung Q p läng bewegt, o it die dabei aufzuwendende bzw. freiwerdende Arbeit W 12 gegeben durch W 12 = Q p $ $ d. Die Arbeit it vom gewählten Weg unabhängig. nergie eine geladenen Teilchen im homogenen elektrichen Feld Beonder leicht it die nergie eine Teilchen im homogenen Feld zu berechnen, da darin die Feldtärke kontant it. Zur Berechnung wird die Arbeit W 12 beim Verchieben einer Probeladung Q P läng de Wege berechnet: y 1 x Seite

3 Der kizzierte Weg lät ich wegen der Unabhängigkeit der Arbeit vom Weg durch die Teilwege 1 und 2 eretzen, die parallel bzw. enkrecht zum Feldtärkevektor verlaufen. Für die Verchiebungarbeit W 12 gilt dann 2 W 12 =Q p $ i=1 i $ i = Q p $ $ x + $ y. Wegen // x gilt $ x = $ x, wegen z y gilt $ y = 0. Darau folgt W 12 = Q p x. Mit dieem Term wird auch die nergie eine Teilchen der Ladung Q P angegeben, da in einem homogenen elektrichen Feld die Strecke x gegen die Feldlinien bewegt worden it; die Bewegung enkrecht zu den elektrichen Feldlinien it für die nergie nicht relevant. Anmerkung: in ich von einer Kondenatorplatte zur anderen bewegende Teilchen gewinnt dabei die nergie W = Q P d. Da elektriche Potential Die Arbeit im elektrichen Feld it - wie chon die Kraft auf eine Probeladung - von der Probeladung Q p abhängig. inen ladungunabhängigen Term erhält man wieder, indem man den Quotienten W 12 /Q p bildet. Dabei gibt W 12 /Q p diejenige nergie an, die die Ladung Q p bei der Verchiebung im elektrichen Feld von P 1 nach P 2 gewonnen hat; ie heißt Potential Φ de Punkte P 1 bzgl. P 2. Definition: Da elektrotatiche Potential eine Punkte P 1 gegenüber einem (willkürlich wählbaren) Bezugpunkt P 2 it gleich dem Quotienten au der Überführungarbeit W 12 und der Probeladung Q p : 12 = W 12 P Q p = 2 () $ d. Für die inheit de Potential gilt: 1 J C = 1 VA = 1V. Anmerkungen: 1. Im Gegenatz zur elektrichen Feldtärke it da Potential eine kalare Größe. Sie kann mit der Hubarbeit im Gravitationfeld verglichen werden (Verchiebungarbeit bei "inheitladung"). 2. Der Wert de Potential it nach Definition nicht nur von der Lage von P 1, dem Ort, für den da Potential angegeben wird, ondern auch von der de Bezugpunkt P 2 abhängig. Dieer mu daher tet angegeben werden. Häufig wird ein geerdeter Punkt al Bezugpunkt gewählt; die rde hat dann da Potential Null. Gelegentlich ordnet man aber auch einem "unendlich fernen" Punkt da Potential Null zu. A Seite

4 3. Da reultierende Potential Φ ge im Feld mehrerer felderzeugender Ladung erhält man wegen de kalaren Charakter de Potential einfach al Summe der inzelpotentiale: Φ ge = Φ 1 + Φ Φ n. Der Potentialbegriff it noch in weiterer Hinicht für die Arbeit bedeutungvoll: oll z. B. eine Probeladung Qp von einem Feldpunkt P a zu einem Feldpunkt P e verchoben werden; der Potentialnullpunkt ei der Punkt P 0 (vgl. Skizze!). P2 P0 Dann gilt für die kalare Größe Arbeit: W 02 = W 01 + W 12 bzw. W 12 = W 02 - W 01 = Q p Φ 2 - Q p Φ 1 = Q p (Φ 2 - Φ 1 ) = Q p Φ unabhängig von der Wahl de Potentialnullpunkt (vgl. mit der Hubarbeit W h = m g h in der Nähe der rdoberfläche!). Äquipotentialflächen Punkte gleichen Potential liegen auf og. Äquipotentialflächen. Au den zuletzt überlegten Beziehungen lät ich dann ofort folgern: 1. Alle Punkte eine tromloen Leiter ind Äquipotentialflächen; andernfall würden Ladungen ich läng Feldlinien bewegen! 2. Äquipotentialflächen verlaufen tet enkrecht zur Richtung der elektrichen Feldlinien. Begründung: Bei der Verchiebung einer Probeladung läng einer Äquipotentialfläche darf in keinem Moment Arbeit verrichtet werden. Die it aber genau dann der Fall, wenn tet Q p = 0 gilt. Die it erfüllt, wenn z gilt. Seite

5 Beipiele für Äquipotentiallinien: + Seite