Definition: Die Bewegung eines Körpers, die sich in festen Zeitabständen wiederholt und symmetrisch zu einer Ruhelage abläuft heißt Schwingung.

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1 9 Schwingungen 9.1 Beipiele und Grundlagen Ruhelage Ruhelage Fadenpendel Ruhelage Federpendel Federpendel Ruhelage orionpendel Charakteritika: Die Bewegung it periodich; d.h. die Bewegung wiederholt ich nach einer betimmten Zeit immer wieder. Die Bewegung erfolgt ymmetrich zur Ruhelage de chwingenden Sytem (Ozillator) Definition: Die Bewegung eine Körper, die ich in feten Zeitabtänden wiederholt und ymmetrich zu einer Ruhelage abläuft heißt Schwingung. Die jeweilige, momentane Aulenkung der chwingenden Mae gegenüber der Ruhelage (Nulllage) nennt man die Elongation (t); y(t). Der Betrag der maximal auftretenden Elongation heißt Amplitude A; max ; y max. Bleibt die Amplitude während de geamten Schwingungvorgang kontant, o liegt eine ungedämpfte Schwingung vor. Nimmt die Amplitude mit der Zeit ab, z. B. durch Reibung, o pricht man von einer gedämpften Schwingung. Die Zeitpanne für einen Hin- und Hergang der Schwingung nennt man die Periodendauer. Für die Schwingungfrequenz f gilt dann: 1 f 1

2 oder auch: f n t n : Anzahl der Schwingungperioden; t :dafür benötigte Zeit Zur Vereinfachung der mathematichen Behandlung einer Schwingung werden folgende Bedingungen eingeführt: e wird zunächt von Reibung abgeehen. Bewegung de chwingenden Körper erfolge eindimenional; wird eindimenional projiziert. chwingende Maen werden al Maenpunkte betrachtet. 9. Zeit-Elongation-Diagramm für verchiedene Schwingungformen.1 Sinuförmig (Federpendel) A. Dreieckförmig (Jo-Jo; Maxwell-Rad) A.3 Rechteckförmig (Kipp-Schwingung)

3 9.3 Die harmoniche Schwingung Eine Schwingung it harmonich, wenn zwichen ihr und einer Kreibewegung ein geometricher Zuammenhang beteht. Eine Kugel, die mit kontanter Bahngechwindigkeit einen Krei umläuft wird mit parallelen Licht von der Seite her beleuchtet und der Schatten der Kugel auf einer enkrechten Ebene beobachtet. Parallel dazu lät man den Pendelkörper eine Federpendel chwingen. Schwingen (die Schatten) beide Körper ynchron, dann müen ie die gleiche Zeit-Ort-Funktion haben. Diee erhält man folgendermaßen: Die y -Koordinate der Kugel erhält man zunächt au folgender geometrichen Überlegung: r y y in y r in r Bei der gleichmäßigen Kreibewegung gilt: t t und omit folgt: y r in t Befindet ich zum Zeitpunkt t die Mae nicht in der Ruhelage, o mu eine gewie Phaenverchiebung berückichtigt werden: alo y r in t Da die Bewegung zu irgendeinem Zeitpunkt auch mal die maximale Aulenkung erreichen mu gilt: ymax A alo: r A und omit: y Ain t Die y -Koordinate der Kugel entpricht ja der y-koordinate ihre Schatten und o folgt chließlich: y(t) Ain t Zeit Ort Funktion 3

4 Mit Hilfe der Differenzialrechnung erhält man die Momentangechwindigkeit yt da vt v t kont. t dyt yt dt yt vt lim y t A co t dt dt dt v t y t A co t dabei it vmax A Betrag der Maxima lg echwindigkeit Entprechend die Momentanbechleunigung vt da a t a t kont. t dvt vt dt vt a t lim v t A in t dt dt dt a t v t y t A in t dabei it amax A Betrag der Maxima l bechleunigung Ferner gilt auch: a t y t Durch Umformung erhält man chließlich v t y t die Differenzialgleichung der harmonichen Schwingung y t y t y t y t 4

5 9.4 Veranchaulichung dieer Zuammenhänge in den entprechenden Diagrammen: Wir nehmen zunächt an, da die Pendelmae zum Zeitpunkt t in poitiver Richtung durch die Nulllage chwingt. yt Ain t

6 1 Körper tartet au der Ruhelage nach oben in poitiver Richtung; eine Gechwindigkeit it in dieem Moment poitiv (da nach oben gerichtet) und maximal; eine Bechleunigung it null. 1 Körper bewegt ich nach oben in poitiver Richtung; eine Gechwindigkeit it poitiv, nimmt aber ab; eine Bechleunigung it negativ (Verzögerung). Körper befindet ich im oberen Umkehrpunkt, er hat maximale poitive Aulenkung; eine Gechwindigkeit it null; eine Verzögerung it maximal. 3 Körper bewegt ich nach unten; er hat negative Gechwindigkeit, der Gechwindigkeitbetrag nimmt zu; Bechleunigung negativ (da Gechwindigkeit negativ), nimmt aber zu. 3 Körper befindet ich in der Ruhelage (Nulldurchgang); ein Gechwindigkeitbetrag it maximal (Gechwindigkeit negativ, da Bewegung nach unten); Bechleunigung null 3 4 Körper bewegt ich nach unten; eine Gechwindigkeitbetrag nimmt ab (Gechwindigkeit nimmt zu); Bechleunigung it poitiv 4 Körper befindet ich im unteren Umkehrpunkt, er hat maximale negative Aulenkung; eine Gechwindigkeit it null; Bechleunigung it maximal 4 5 Körper bewegt ich nach oben; eine Gechwindigkeit nimmt zu; Bechleunigung nimmt ab. 5 iehe Berückichtigung de Nullphaenwinkel Körper befindet ich zum Zeitpunkt t in der Ruhelage und bewegt ich nach oben. Körper befindet ich zum Zeitpunkt t zwichen der Ruhelage und dem oberen Umkehrpunkt und bewegt ich nach oben. Körper befindet ich zum Zeitpunkt t im oberen Umkehrpunkt. Körper befindet ich zum Zeitpunkt t zwichen dem oberen Umkehrpunkt und der Ruhelage und bewegt ich nach unten. Körper befindet ich zum Zeitpunkt t in der Ruhelage und bewegt ich nach unten. 3 Körper befindet ich zum Zeitpunkt t zwichen der Ruhelage und dem unteren Umkehrpunkt und bewegt ich nach unten. 3 Körper befindet ich zum Zeitpunkt t im unteren Umkehrpunkt. 3 Körper befindet ich zum Zeitpunkt t zwichen dem unteren Umkehrpunkt und der Ruhelage und bewegt ich nach oben. 6

7 Man kann auch alle drei Funktionen in ein Diagramm zeichnen! y(t) a(t) v(t) y(t) v(t) a(t) a(t) y(t) v(t) 3 a(t) v(t) y(t) 7

8 Aufgaben 1. Ein Körper der Mae m 5g chwingt inuförmig. In einer Zeit von t 1 vollendet er 8 Schwingungen. Die Zeitrechnung beginnt, wenn er die Nulllage in Richtung der poitiven y-ache paiert. Der Abtand der Umkehrpunkte beträgt 18cm. 1.1 An welcher Stelle befindet ich der Körper nach 8,? y t,9m in 1,6 t ; y 8, 5,3cm 1. Wie groß ind eine Gechwindigkeit und eine Bechleunigung nach 8,? Gib auch die Richtung dieer vektoriellen Größen bezüglich der y-ache an! m m v t,144 co 1,6 t ; v 8,,37 ; Körper bewegt. nach unten a t, 34 in 1,6 t ; a 8, 1,3 ; Bechleunigt in neg. Richtung m m 1.3 Berechne den Betrag der maximalen Gechwindigkeit bzw. Bechleunigung! m m vmax A, 45 ; amax A,3 1.4 Berechne, zu welchen Zeiten ich der Körper im oberen Umkehrpunkt befindet! 5 1 t n 1 ; n IN; allgemeiner : t n n 16 n Gib eine Formel für die Rücktellkraft an! F Am in t,11n in 1,6 t R 8