Protokoll zu Versuch M4: Stoßgesetze

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1 Protokoll zu Veruch M4: toßgeetze. Einleitung In dieem Veruch läßt man zwei tahlkugeln zentral aufeinandertoßen. Dabei werden die Kugeln an Fäden aufgehängt und können omit al Fadenpendel angeehen werden. Durch den toß erzielt man eine Aulenkung, die bei bekannter Kugelmae auf den übertragenen Impul und auch auf die Gechwindigkeit nach dem toß chließen läßt.. Theorie. chwerpunktkoordinaten Bei der Bechreibung on toßprozeen geht man zweckmäßigerweie om Laborytem, d.h. on einem Koordinatenytem, da tarr mit dem Labor erbunden it, zu einem ytem on chwerpunktkoordinaten über. Dabei it der chwerpunkt eine ytem definiert al: r i m r i M i wobei M: Geamtmae de ytem Leitet man diee Gleichung einmal zeitlich ab, o erhält man: i m i M i Da bedeutet für unere betrachtete ytem on zwei Kugeln K und K : m m m m bzw. ( m m m m )

2 Im weiteren bechreiben die ungetrichenen Größen den Zutand or dem toß, die getrichenen den nach dem toß. paltet man on den Gechwindigkeiten der jeweiligen Kugeln die chwerpunktgechwindigkeit ab, d.h.: ˆ ˆ und etzt diee dann in den Energieatz m m m' m ' Q Q : Differenz der inneren Energien ein, o führt da auf: ˆ ˆ ˆ' ˆ' m( ˆ ) m ( ˆ ) m( ˆ' ) m ( ˆ' ) Q Dabei wurde auch ' geetzt, da auf da abgechloene ytem, da wir betrachten, keine Kraft wirkt und damit der Geamtimpul p m ˆ m ˆ Ge 0 nicht geändert wird. chreibt man die obige Form de Energieatze um, o führt da auf: mˆ mˆ ( m m ) ( m ˆ m ˆ ) mˆ' mˆ' ( m m ) ( m ˆ' m ˆ' ) Q Wegen p m ˆ m ˆ Ge 0 gilt: ˆ ˆ m m ) 0 owie m ˆ' m ˆ' ) 0 ( ( Und damit ergibt ich der Energieatz chließlich zu:

3 m ˆ mˆ ( m m) ) mˆ' mˆ' ( m m Q ) Man betrachtet weiterhin ein chwerpunktytem, deen Urprung im chwerpunkt it und da ich gegenüber dem Laborytem mit der Gechwindigkeit 0 bewegt. Darau folgt für den Energieatz in dieem ytem: Eˆ Eˆ Eˆ' Eˆ ' Q und für den Impulatz: pˆ pˆ p ˆ p ˆ ' '. toßkoeffizient Bezeichnet man die umme der kinetichen Energien im -ytem (chwerpunktytem) or und nach einem zentralen toß mit Ê ge owie E' ge ˆ kann man: Eˆ ' σ ˆ Ge E Ge etzen. Da 0 Eˆ' Eˆ, gilt: 0 σ Ge Ge σ wird auch toßkoeffizient genannt. Dabei handelt e ich nicht um eine Kontante, ondern um eine on der Art und den Impulen der toßpartner abhängige Größe. E it weiterhin: σ : Q 0 σ 0 : Q Eˆ Ge ollkommen elaticher toß ollkommen unelaticher toß 0 < σ < : 0 < Q < Eˆ Ge teilweie elaticher toß 3

4 .3 toßgeetze Mit der orherigen Definition de toßkoeffizienten folgt für die Impule bei einem geraden zentralen toß im -ytem: p ˆ ' σpˆ bzw. p ˆ ' ˆ σp Rechnet man die wieder auf da L-ytem (Laborytem) um, ergibt ich die Relatigechwindigkeit der toßpartner nach dem toß zu: ' ' σ ( ) Unter Benutzung der oben erwähnten Abpaltung der chwerpunktgechwindigkeit ergibt ich weiterhin: ' ˆ' ˆ σ σ ( ) ( σ ) σ Und analog: ' σ σ ( ).4 Gerader zentraler toß beim ballitichen Pendel Der im Veruch realiierte toß, kann in guter Näherung al ollkommen elatich angeehen werden, d.h. σ. Beachtet man weiterhin, daß die zweite Kugel or dem toß ruht, d.h. 0 it, führt diee zu: ' m m ' m und m m m m Da die Kugeln an Fäden aufgehangen ind, werden diee al mathematichen Pendel behandelt. Damit erhält man einen Zuammenhang zwichen der Gechwindigkeit beim Nulldurchgang und der Maximalaulenkung a. Der Energieatz für ein mathematiche Pendel lautet: 4

5 E E E Ge kin pot cont. mit: Ekin m E pot Da J z mzr z mg D l Beim Durchgang durch die Nullage it der Anteil der potentiellen Energie Null und der der kinetichen maximal, bei Erreichen de Maximalauchlag it die potentielle Energie maximal und die kinetiche Null. Darau ergibt ich: m mg l a Worau wiederum folgt: g a l Man kann erkennen, daß die Maximalaulenkung der Maximalgechwindigkeit proportional it. Folglich it e möglich, dieen Zuammenhang in die Gleichung für die Gechwindigkeit der zweiten Kugel nach dem toß einzuetzen und man erhält: a' m m m a.5 Gerader zentraler toß einer rollenden Kugel Rollt eine Kugel eine chiefe Ebene hinunter, o wird potentielle Energie owohl in kinetiche Energie der Tranlation al auch in Rotationenergie umgewandelt, e gilt: mgh m Jω 5

6 Dabei it J da Trägheitmoment der Kugel und ω die Winkelgechwindigkeit der Rotationbewegung. Für den toß nutzbar it nur die kinetiche Energie. ε bechreibt den Anteil der kinetichen Energie an der Geamtenergie, d.h.: m εmgh Zunächt wird da Trägheitmoment der Kugel berechnet. E it: J ( x y) dm V Berückichtigt man, daß eine homogene Maenerteilung ρ orliegt und wendet man zur weiteren Berechnung Kugelkoordinaten an, ergibt ich da Trägheitmoment zu: J R π π 5 4 ρ r π R in ³ υdrdυdϕ ρ π R ρ R³ 5 R m wobei R: Radiu der Kugel m: Geamtmae der Kugel Aufgrund der Geometrie der Fallrinne, die im Veruch benutzt wird, rollt die Kugel auf r einem Radiu r ' und damit it: ω r' r Mit Hilfe dieer Größen folgt: 6

7 mgh m mr 5 r 9 0 m 5 Darau kann man ableen, daß ε it. 9 Damit beträgt die Endgechwindigkeit der rollenden Kugel: ε gh Unter Verwendung der Proportionalität zwichen Aulenkung und Gechwindigkeit gilt: l a ε lh g Damit ergibt ich chließlich die Aulenkung der zweiten Kugel nach dem toß zu: m 5 a' ε lh mit ε m m 9 7

8 3. Bechreibung der Apparatur 3. Zubehör - Pendelchnüre - 3 Kugeln - Anchraubmeßchiene mit Reitern - Fallrinne - Meßlatte - Gewichtatz - tahlband 3. Aufbau de Veruch Vor Beginn de Veruch werden die an den Fäden hängenden Kugeln und die Fallrinne o jutiert, daß die chwerpunkte aller Kugeln auf einer horizontalen Linie liegen. 8

9 4. Durchführung de Veruch 4. Wägung der Kugeln Zu Beginn werden die Maen der einzelnen Kugeln betimmt: E ergab ich: m G ( 488 ± )g große Kugel m M ( 93 ± )g mittelgroße Kugel m K ( 64 ± )g kleine Kugel Zudem wurde die Pendellänge nach der Jutierung gemeen: l ( 90,3 ± 0,)cm 4. Meung der Aulenkungen nach dem toß Im folgenden werden die Ergebnie der Meung der Aulenkung der zweiten Kugel nach dem toß in Abhängigkeit on der Aulenkung der toßenden Kugel dargetellt. a) Mittelgroße Kugel () gegen große Kugel () a 3cm a 5cm a 8cm a 0cm a cm,7 cm,7 cm 4,4 cm 5,4 cm 6,7 cm,7 cm,8 cm 4,5 cm 5,5 cm 6,6 cm,8 cm,7 cm 4,5 cm 5,5 cm 6,5 cm,7 cm,8 cm 4,3 cm 5,4 cm 6,5 cm,8 cm,7 cm 4, cm 5,5 cm 6,7 cm Mittelwert:,74 cm,74 cm 4,38 cm 5,46 cm 6,58 cm tandardabweichung: 0,05 cm 0,05 cm 0,3 cm 0,05 cm 0, cm Ab. Unicherheit: 0,0 cm 0,0 cm 0,06 cm 0,0 cm 0,05 cm Rel. Unicherheit:,4 % 0,8 %,3 % 0,4 % 0,7 % Endergebni a' in cm,74 ± 0,0,74 ± 0, 0 4,38 ± 0, 06 5,46 ± 0, 0 6,58 ± 0, 05 9

10 b) Große Kugel () gegen mittelgroße Kugel () a 3cm a 5cm a 7cm a 9cm a 0cm 4,4 cm 7, cm 0,3 cm 3,4 cm 4,3 cm 4,3 cm 7, cm 0,3 cm 3,5 cm 4,4 cm 4,3 cm 7, cm 0, cm 3,6 cm 4,5 cm 4,4 cm 7,0 cm 0,5 cm 3,4 cm 4,4 cm 4, cm 7, cm 0,6 cm 3,5 cm 4,5 cm Mittelwert: 4,3 cm 7, cm 0,38 cm 3,48 cm 4,4 cm tandardabweichung: 0,08 cm 0,08 cm 0,6 cm 0,08 cm 0,08 cm Ab. Unicherheit: 0,04 cm 0,04 cm 0,07 cm 0,04 cm 0,04 cm Rel. Unicherheit: 0,9 % 0,5 % 0,7 % 0, % 0, % Endergebni a' in cm 4,3 ± 0,04 7, ± 0, 04 0,38 ± 0, 07 3,48 ± 0, 04 4,4 ± 0, Meung der Aulenkungen der nach toß mit der rollenden Kugel Im weiteren werden die Ergebnie der Aulenkungen der großen Kugel in Abhängigkeit om Abtand der kleinen Kugel om oberen Ende der Fallrinne dargetellt. 0cm 0cm 0cm 6,8 cm 5,6 cm 4,0 cm 7,0 cm 5,7 cm 4, cm 7, cm 5,8 cm 4, cm 7,0 cm 5,7 cm 4,0 cm 7, cm 5,7 cm 3,9 cm Mittelwert: 7,00 cm 5,70 cm 4,04 cm tandardabweichung: 0, cm 0,07 cm 0, cm Ab. Unicherheit: 0,05 cm 0,03 cm 0,05 cm Rel. Unicherheit: 0,3 % 0, % 0,3 % Endergebni a' in cm 7,00 ± 0,05 5,70 ± 0, 03 4,04 ± 0, 05 0

11 30cm 40cm 50cm,9 cm 9, cm 6, cm,0 cm 9,3 cm 6,3 cm,9 cm 9,4 cm 6,4 cm,8 cm 9,4 cm 6,3 cm,9 cm 9,3 cm 6,4 cm Mittelwert:,90 cm 9,3 cm 6,3 cm tandardabweichung: 0,07 cm 0,08 cm 0,08 cm Ab. Unicherheit: 0,03 cm 0,04 cm 0,04 cm Rel. Unicherheit: 0,3 % 0,4 % 0,6 % Endergebni a' in cm,90 ± 0,03 9,3 ± 0, 04 6,3 ± 0, Aumeung der Fallrinne Im folgenden werden die Ergebnie der Meung der in der Abbildung abgebildeten Größen der Fallrinne angegeben: h (3,0 0,)cm 0 ± H ( 38,5 ± 0,)cm L ( 57,5 ± 0,)cm Will man die Höhe h betimmen o betrachtet man: h h 0 x

12 Nach dem atz de Pythagora gilt: b b x Nach Verwendung de trahlenatze und Pythagora ergibt ich: ~ L H L H L L b etzt man diee in die Formel für x ein, o erhält man: H L H L L H x Damit ergibt ich die Fallhöhe h zu: 0 H L h h Unter Berückichtigung dieer Formel kann man in h bzw. h umrechnen: h h h h 0 cm ± 0, cm 3,00 cm ± 0,0 cm 5,56 cm ± 0,00 cm 0 cm ± 0, cm 5,44 cm ± 0,3 cm 5,04 cm ± 0,0 cm 0 cm ± 0, cm 9,87 cm ± 0,4 cm 4,46 cm ± 0,0 cm 30 cm ± 0, cm 4,3 cm ± 0,5 cm 3,78 cm ± 0,0 cm 40 cm ± 0, cm 8,75 cm ± 0,6 cm,96 cm ± 0,03 cm 50 cm ± 0, cm 3,8 cm ± 0,70 cm,78 cm ± 0, cm

13 5 Auwertung 5. Berechnung der Flächenträgheitmomente In den folgenden Diagrammen werden jeweil die Aulenkungen der getoßenen Kugel nach dem toß gegen die Aulenkungen der toßenden Kugel or dem toß aufgetragen. a) toß mittelgroße Kugel () gegen große Kugel () Diagramm : toß mittelgroße Kugel gegen große Kugel 7 6 a' 0,54 a 0,08 cm Aulenkung der getoßenen Kugel in cm Aulenkung der kleinen Kugel in cm Die teigung der linearen Augleichgeraden entpricht dem Quotienten on a' m c a m m Betimmt man durch einzeichnen on teilten und flachten Geraden, die noch innerhalb der Fehlerbalken liegt den Fehler der teigung, o erhält man: c 0,54( ± 0,6%) 3

14 b) toß große Kugel () gegen mittelgroße Kugel () Diagramm : toß große Kugel gegen mittelgroße Kugel 6 4 a',48 a - 0,4 cm Aulenkung der getoßenen Kugel in cm Aulenkung der großen Kugel in cm In dieem Fall gilt für die teigung: c a' a m m m Nach analogem Vorgehen zur Abchätzung de Fehler der teigung wie bei a) erhält man: c,48( ±,0%) 4

15 Addiert man beide teigungen, o erhält man: c c m m ( m m m m m m m m ) Bildet man den Quotienten au beiden teigungen, führt da zu: c c m m m m m m m m Da Verhältni der teigungen entpricht alo dem Verhältni der Maen der beiden Kugeln. etzt man die betimmten teigungen ein, o ergibt ich nach Berückichtigung der Fortpflanzung de Größtfehler der Quotient zu: c c m m 0,36( ±,6%) Vergleicht man die mit dem Verhältni au den direkt au der Wägung betimmten Maen, o erhält man: m m 0,40( ±,4%) E fällt auf, daß diee Werte innerhalb ihrer Fehlerbereiche nicht übereintimmen. Abweichungen reultieren z.b. au den relati ungenauen Meungen der Aulenkungen mit Hilfe der Reiter. Allerding ergibt ich au der Bildung de Mittelwerte nur ein recht geringer Fehler für die einzelnen Größen, wa ich auf den Fehler der Augleichgeraden und damit auf da Verhältni auwirkt. 5

16 5. Betimmung de für den toß nutzbaren Energieanteil Im weiteren oll der Anteil ε der Geamtenergie, der für den toß nutzbar it betimmt werden. Dazu wird in Diagramm 3 die Aulenkung der großen Kugel nach dem toß gegen die Wurzel au der Fallhöhe aufgetragen. Die Fallhöhen berechnen ich au den unter 4.3 und 4.4 gemeenen Größen mit Hilfe der Formel: h h 0 H L Diagramm 3: Aulenkung der großen Kugel gegen h 8 6 a',88 cm h,04 cm 4 Aulenkung der großen Kugel in cm Wurzel au Fallhöhe h in cm Die teigung der Augleichgeraden entpricht: c 3 a' h m m m εl 6

17 Nach Betimmung de Fehler dieer teigung nach dem bekannten Verfahren erhät man: c,88 cm( 3 ± 0,%) Mit Hilfe dieer Größe läßt ich jetzt der nutzbare Anteil der Geamtenergie betimmen durch: ε c ( m m ) 0,4 ( ± 8,% ) 0,4 0, 03 3 ± 8m l 5 E fällt auf, daß der theoretich erwartete Wert on ε durch unere Meungen 9 nicht betätigt wird elbt wenn man die Fehlerbereiche berückichtigt. 7

18 6. Dikuion Bei der Dikuion der Ergebnie der on und durchgeführten Meungen fällt auf, daß owohl da betimmte Maenerhältni der Kugeln im erten Veruchteil, al auch der nutzbare Energieanteil der Geamtenergie im zweiten Veruchteil niedriger liegen al die Vergleichwerte au der direkten Meung bzw. theoretichen Überlegungen. Zu begründen it die zum einen in ungenauen Meungen, denn icherlich it da Vorgehen bei der Meung der Aulenkungen nicht da genauete. peziell im erten Veruchteil pielen aber noch andere Apekte eine Rolle. Zum einen kann man wohl agen, daß Jutierung der chwerpunkte der Kugeln nicht die genauete war. Zum anderen cheint e fragwürdig, ob die Annahme, daß e ich bei dem on den beiden an Fäden befetigten Kugeln durchgeführten toß, tatächlich um einen ollkommen elatichen handelte. Man konnte bei manchen tößen ganz deutlich chwingungen de Faden ehen. Dadurch geht Energie für den eigentlichen toß erloren. Die könnte die on un fetgetellte Differenz begründen. Bei der Betimmung on ε könnte neben den chon erwähnten Punkten noch angeführt werden, daß die Abmeung der trecke nicht onderlich exakt war. Gleiche gilt für alle betimmten Größen der Fallrinne, die mit Hilfe der Meßlatte augemeen wurde. icherlich gibt e hierbei genauere Möglichkeiten. 8